Геометрические и физические приложения определенных интегралов термин. Механические приложения определенного интеграла. Площадь поверхности тела вращения

Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.

В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.

В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.

Площадь плоской фигуры

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _{a}^{b}\left(y_{1} \left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_{1} \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_{2} \left(y\right)$, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _{c}^{d}\left(x_{1} \left(y\right)-x_{2} \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а также двумя лучами, проходящими под углами $\phi =\alpha $ и $\phi =\beta $ соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: $S=\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{\alpha }^{\beta }\rho ^{2} \left(\phi \right)\cdot d\phi $.

Длина дуги кривой

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{\rho ^{2} \left(\phi \right)+\rho "^{2} \left(\phi \right)} \cdot d\phi $.

Если на отрезке $\left$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $.

Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана параметрически, то есть $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{x"^{2} \left(t\right)+y"^{2} \left(t\right)} \cdot dt $.

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям $a\le x\le b$, и для которого известны площади сечений $S\left(x\right)$ плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$.

Формула для вычисления объема такого тела имеет вид $V=\int \limits _{a}^{b}S\left(x\right)\cdot dx $.

Объем тела вращения

Пусть на отрезке $\left$ задана неотрицательная непрерывная функция $y=y\left(x\right)$, образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то образуется тело, называемое телом вращения.

Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид $V=\int \limits _{a}^{b}S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, где $y_{1} \left(x\right)$ и $y_{2} \left(x\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Ox$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}\left(y_{1}^{2} \left(x\right)-y_{2}^{2} \left(x\right)\right)\cdot dx $.

Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_{1} \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_{2} \left(y\right)$, где $x_{1} \left(y\right)$ и $x_{2} \left(y\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Oy$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _{c}^{d}\left(x_{1}^{2} \left(y\right)-x_{2}^{2} \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left$ задана неотрицательная функция $y=y\left(x\right)$ с непрерывной производной $y"\left(x\right)$. Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ -- его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $.

Предположим, что кривую $x=\phi \left(y\right)$, где $\phi \left(y\right)$ -- заданная на отрезке $c\le y\le d$ неотрицательна функция, вращают вокруг оси $Oy$. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{c}^{d}\phi \left(y\right)\cdot \sqrt{1+\phi "^{2} \left(y\right)} \cdot dy $.

Физические приложения ОИ

1. Для вычисления пройденного пути в момент времени $t=T$ при переменной скорости движения $v=v\left(t\right)$ материальной точки, которая начала движение в момент времени $t=t_{0} $, используют ОИ $S=\int \limits _{t_{0} }^{T}v\left(t\right)\cdot dt $.
2. Для вычисления работы переменной сили $F=F\left(x\right)$, приложенной к материальной точке, перемещающейся по прямолинейному пути вдоль оси $Ox$ от точки $x=a$ до точки $x=b$ (направление действия силы совпадает с направлением движения) используют ОИ $A=\int \limits _{a}^{b}F\left(x\right)\cdot dx $.
3. Статические моменты относительно координатных осей материальной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left$ выражаются формулами $M_{x} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $ и $M_{y} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}x\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $, где линейная плотность $\rho $ этой кривой считается постоянной.
4. Центр масс материальной кривой -- это точка, в которой условно сосредоточена вся её масса таким образом, что статические моменты точки относительно координатных осей равны соответствующим статическим моментам всей кривой в целом.

Формулы для вычисления координат центра масс плоской кривой имеют вид $x_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}x\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx } $ и $y_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx } $.

5. Статические моменты материальной плоской фигуры в виде КрТ относительно координатных осей выражаются формулами $M_{x} =\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $ и $M_{y} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
6. Координаты центра масс материальной плоской фигуры в виде КрТ, образованной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left$, вычисляют по формулам $x_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}x\cdot y\left(x\right)\cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot dx } $ и $y_{C} =\frac{\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot dx } $.

Тема 6.10. Геометрические и физические приложения определенного интеграла

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y =f(x)(f(x)>0), прямыми x = a , x = b и отрезком [ a , b ] оси Ох, вычисляется по формуле

2. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f (x) и y = g (x) (f (x)< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой и прямыми х=a , x= b , находится по формуле

4. Пусть S (x)- площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, тогда объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси плоскостями х=а и х= b , находится по формуле

5. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой y = f (x) и прямыми y=0, х=а и х= b , вращается вокруг оси Ох, тогда объем тела вращения вычисляется по формуле

6. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная кривой х= g (y) и

прямыми x =0, y = c и y = d , вращается вокруг оси О y , тогда объем тела вращения вычисляется по формуле

7. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y = f (x) (или x = F (y)), то длина дуги определяется формулой

Лекция 21 Приложения определенного интеграла (2ч)

Геометрические приложения

а) Площадь фигуры

Как уже отмечалось в лекции 19, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x ) , прямыми х = а , х = b и отрезком [a , b ] оси ОХ. При этом если f (x ) £ 0 на [a , b ], то интеграл следует взять со знаком минус.

Если же на заданном отрезке функция у = f (x ) меняет знак, то для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью ОХ, следует разбить отрезок на части, на каждой из которых функция сохраняет знак, и найти площадь каждой части фигуры. Искомая площадь в этом случае есть алгебраическая сумма интегралов по этим отрезкам, причем интегралы, соответствующие отрицательным значения функции, взяты в этой сумме со знаком «минус».

Если фигура ограничена двумя кривыми у = f 1 (x ) и у = f 2 (x ), f 1 (x )£f 2 (x ), то, как следует из рис.9, ее площадь равна разности площадей криволинейных трапеций а ВСb и а АDb , каждая из которых численно равна интегралу. Значит,

Заметим, что площадь фигуры, изображенной на рисунке 10,а находятся по такой же формуле: S = (докажите это!). Подумайте, как вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке 10,б?

Мы вели речь только о криволинейных трапециях, прилежащих к оси ОХ. Но аналогичные формулы справедливы и для фигур, прилежащих к оси ОУ. Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке 11, находится по формуле

Пусть линия y = f (x ), ограничивающая криволинейную трапецию, может быть задана параметрическими уравнениями , t Î , причем j(a)=а , j(b) = b , т.е. у = . Тогда площадьэтой криволинейной трапеции равна

.

б) Длина дуги кривой

Пусть дана кривая у = f (x ). Рассмотрим дугу этой кривой, соответствующую изменению х на отрезке [a , b ]. Найдем длину этой дуги. Для этого разобьем дугу АВ на п частей точками А = М 0 ,М 1 , М 2, ..., М п = В (рис.14), соответствующими точкам х 1 , х 2 , ..., х п Î [a , b ].

Обозначим Dl i длину дуги , тогда l = . Если длины дуг Dl i достаточно малы, то их можно считать приближенно равными длинам соответствующих отрезков , соединяющих точки М i -1, Mi . Эти точки имеют координаты М i -1 (х i -1, f (x i -1)) , M i (х i , f (x i )). Тогда длины отрезков равны соответственно

Здесь использована формула Лагранжа. Положим х i – x i -1 =Dх i , получим

Тогда l = , откуда

l = .

Таким образом, длина дуги кривой у = f (x ), соответствующей изменению х на отрезке [a , b ], находится по формуле

l = , (1)

Если кривая задана параметрически , t Î, т.е. y (t ) = f (x (t )), то из формулы (1) получим:

l =
.

Значит, если кривая задана параметрически , то длина дуги этой кривой, соответствующей изменению t Î, находится по формуле

в) Объем тела вращения.

Рис.15

Рассмотрим криволинейную трапецию а АВb , ограниченную линией у = f (x ), прямыми х = а , х = b и отрезком [a , b ] оси ОХ (рис.15). Пусть эта трапеция вращается вокруг оси ОХ, в результате получится тело вращения. Можно доказать, что объем этого тела будет равен

Аналогично можно вывести формулу объема тела, полученного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х = j(у ), прямыми y = c , y = d и отрезком [c , d ] оси ОУ (рис.15):

Физические приложения определенного интеграла

В лекции 19 мы доказали, что с физической точки зрения, интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = b – a , с переменной линейной плотностью r = f (x ), f (x ) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца.

Рассмотрим другие физические приложения определенного интеграла.

Задача 1 . Найти работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом основания R. Плотность масла равна r.

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Пусть ось ОХ проходит вдоль оси симметрии цилиндра высоты Н и радиуса R, начало – в центре верхнего основания цилиндра (рис.17). Разобьем цилиндр на п малых горизонтальных частей. Тогда , где A i – работа по выкачиванию i -го слоя. Это разбиение цилиндра соответствует разбиению отрезка изменения высоты слоя на п частей. Рассмотрим один из таких слоев, расположенный на расстоянии х i от поверхности, шириной Dх (или сразу dx ). Выкачивание этого слоя можно рассматривать как «поднятие» слоя на высоту х i .

Тогда работа по выкачиванию этого слоя равна

A i »Р i x i , ,

где Р i =rgV i = rgpR 2 dx , Р i – вес, V i – объем слоя. Тогда A i » Р i x i = rgpR 2 dx.х i , откуда

, и, следовательно, .

Задача 2 . Найти момент инерции

а) полого тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

б) сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

в) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его середину;

г) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его левый конец.

Решение. Как известно, момент инерции точки относительно оси равен J =mr 2 , а системы точек .

а) Цилиндр тонкостенный, значит, толщиной стенок можно пренебречь. Пусть радиус основания цилиндра R, высота его Н, плотность масс на стенках равна r.

Разобьем цилиндр на п частей и найдем , где J i – момент инерции i -го элемента разбиения.

Рассмотрим i -й элемент разбиения (бесконечно малый цилиндрик). Все его точки находятся на расстоянии R от оси l . Пусть масса этого цилиндрика т i , тогда т i = rV i » rS бок = 2prRdx i , где х i Î. Тогда J i » R 2 prRdx i , откуда

.

Если r – постоянная, то J = 2prR 3 Н, а так как при этом масса цилиндра равна М = 2prRН, то J = МR 2 .

б) Если цилиндр сплошной (заполненный), то разобьем его на п вло женных один в другого тонких цилиндров. Если п велико, каждый из этих цилиндров можно считать тонкостенным. Это разбиение соответствует разбиению отрезка на п частей точками R i . Найдем массу i -го тонкостенного цилиндра: т i = rV i , где

V i = pR i 2 Н – pR i - 1 2 Н = pН(R i 2 –R i -1 2) =

PН(R i –R i -1)(R i +R i -1).

Ввиду того, что стенки цилиндра тонкие, то можно считать, что R i +R i -1 » 2R i , а R i –R i -1 = DR i , тогда V i » pН2R i DR i , откуда т i » rpН×2R i DR i ,

Тогда окончательно

в) Рассмотрим стержень длины l , плотность масс которого равна r. Пусть ось вращения проходит через его середину.

Моделируем стержень как отрезок оси ОХ, тогда ось вращения стержня –ось ОУ. Рассмотрим элементарный отрезок , масса его , расстояние до оси можно считать приближенно равным r i = х i . Тогда момент инерции этого участка равен , откуда момент инерции всего стержня равен . Учитывая, что масса стержня равна , то

г) Пусть теперь ось вращения проходит через левый конец стержня, т.е. моделью стержня является отрезок оси ОХ. Тогда аналогично , r i = х i , , откуда , а так как , то .

Задача 3. Найти силу давления жидкости с плотностью r на прямоугольный треугольник с катетами а и b , погруженный вертикально в жидкость так, что катет а находится на поверхности жидкости.

Решение .

Построим модель задачи. Пусть вершина прямого угла треугольника находится в начале координат, катет а совпадает с отрезком оси ОУ (ось ОУ определяет поверхность жидкости), ось ОХ направлена вниз, катет b совпадает с отрезком этой оси. Гипотенуза этого треугольника имеет уравнение , или .

Известно, что если на горизонтальную область площади S , погруженную в жидкость плотности r, давит столб жидкости высотой h , то сила давления равна (закон Паскаля). Воспользуемся этим законом.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) , слева и справа - прямыми x=a и x=b соответственно, снизу - осью Ox , вычисляется по формуле

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) , сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно, слева - осью Oy :

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y 2 =f 2 (x) , снизу - графиком функции y 1 =f 1 (x) , слева и справа - прямыми x=a и x=b :

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной слева и справа графиками функций x 1 =φ 1 (y) и x 2 =φ 2 (y) , сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно:

Рассмотрим случай, когда линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями x = φ 1 (t) , y = φ 2 (t) , где α ≤ t ≤ β , φ 1 (α)=a , φ 1 (β)=b . Эти уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a, b ]. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Перейдем к новой переменной x = φ 1 (t) , тогда dx = φ" 1 (t) dt , а y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t) , следовательно, \begin{displaymath}

Площадь в полярных координатах

Рассмотрим криволинейный сектор OAB , ограниченный линией, заданной уравнением ρ=ρ(φ) в полярных координатах, двумя лучами OA и OB , для которых φ=α , φ=β .

Сектор разобьем на элементарные секторы OM k-1 M k (k=1, …, n , M 0 =A , M n =B ). Обозначим через Δφ k угол между лучами OM k-1 и OM k , образующими с полярной осью углы φ k-1 и φ k соответственно. Каждый из элементарных секторов OM k-1 M k заменим круговым сектором с радиусом ρ k =ρ(φ" k) , где φ" k - значение угла φ из промежутка [φ k-1 , φ k ], и центральным углом Δφ k . Площадь последнего сектора выражается формулой .

выражает площадь "ступенчатого" сектора, приближенно заменяющего данный сектор OAB .

Площадью сектора OAB называется предел площади "ступенчатого" сектора при n → ∞ и λ=max Δφ k → 0 :

Так как , то

Длина дуги кривой

Пусть на отрезке [a, b ] задана дифференцируемая функция y=f(x) , графиком которой является дуга . Отрезок [a,b ] разобьем на n частей точками x 1 , x 2 , …, x n-1 . Этим точкам будут соответствовать точки M 1 , M 2 , …, M n-1 дуги , соединим их ломаной линией, которую называют ломаной, вписанной в дугу . Периметр данной ломаной обозначим через s n , то есть

Определение . Длиной дуги линии называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев M k-1 M k неограничено возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

где λ - длина наибольшего звена.

Будем отсчитывать длину дуги от некоторой ее точки, например, A . Пусть в точке M(x,y) длина дуги равна s , а в точке M"(x+Δ x,y+Δy) длина дуги равна s+Δs , где,i>Δs - длина дуги . Из треугольника MNM" находим длину хорды : .

Из геометрических соображений следует, что

то есть бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны.

Преобразуем формулу, выражающую длину хорды :

Переходя к пределу в этом равенстве, получим формулу для производной функции s=s(x) :

из которой находим

Эта формула выражает дифференциал дуги плоской кривой и имеет простой геометрический смысл : выражает теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника MTN (ds=MT , ).

Дифференциал дуги пространственной кривой определяется формулой

Рассмотрим дугу пространственной линии, заданной параметрическими уравнениями

где α ≤ t ≤ β , φ i (t) (i=1, 2, 3 ) - дифференцируемые функции аргумента t , то

Интегрируя это равенство по промежутку [α, β ], получаем формулу для вычисления длины этой дуги линии

Если линия лежит в плоскости Oxy , то z=0 при всех t∈[α, β] , поэтому

В случае, когда плоская линия задана уравнением y=f(x) (a≤x≤b ), где f(x) - дифференцируемая функция, последняя формула принимает вид

Пусть плоская линия задана уравнением ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярных координатах. В этом случае имеем параметрические уравнения линии x=ρ(φ) cos φ , y=ρ(φ) sin φ , где в качестве параметра берется полярный угол φ . Поскольку

то формула, выражающая длину дуги линии ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярных координатах, имеет вид

Объем тела

Найдем объем тела, если известна площадь любого поперечного сечения этого тела, перпендикулярного некоторому направлению.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси Ox и определяемыми уравнениями x=const . Для любого фиксированного x∈ известна площадь S=S(x) поперечного сечения данного тела.

Элементарный слой, отсеченный плоскостями x=x k-1 , x=x k (k=1, …, n , x 0 =a , x n =b ), заменим цилиндром с высотой Δx k =x k -x k-1 и площадью основания S(ξ k) , ξ k ∈ .

Объем указанного элементарного цилиндра выражается формулой Δv k =E(ξ k)Δx k . Составим сумму всех таких произведений

являющуюся интегральной суммой для данной функции S=S(x) на отрезке [a, b ]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Объемом данного тела называют предел объема указанного ступенчатого тела при λ→0 , где λ - длина наибольшего из элементарных отрезков Δx k . Обозначим через V объем данного тела, тогда по определению

С другой стороны,

Следовательно, объем тела по заданным поперечным сечениям вычисляется по формуле

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии y=f(x) , где a≤x≤b , то S(x)=πf 2 (x) и последняя формула принимает вид:

Замечание . Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) (c ≤ x ≤ d ), вокруг оси Oy вычисляется по формуле

Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b ) вокруг оси Ox (предположим, что функция y=f(x) имеет непрерывную производную). Фиксируем значение x∈ , аргументу функции придадим приращение dx , которому соответствует "элементарное кольцо", полученное вращением элементарной дуги Δl . Это "кольцо" заменим цилиндрическим кольцом - боковой поверхностью тела, образованного вращением прямоугольника с основанием, равным дифференциалу дуги dl , и высотой h=f(x) . Разрезав последнее кольцо и развернув его, получим полоску шириной dl и длиной 2πy , где y=f(x) .

Следовательно, дифференциал площади поверхности выразится формулой

Эта формула выражает площадь поверхности, полученной вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b ) вокруг оси Ox .

1. Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x) , осью абсцисс и прямыми x = a , x = b , определяется как S = ∫ a b f x d x .

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x) , пересекающей ось абсцисс, определяется формулой S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x < 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

2. Площадь криволинейного сектора.

Площадь криволинейного сектора Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α , φ = β , называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .

3. Объем тела вращения.

Объем тела вращения

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке функцией f (x) . Его объем выражается формулой V = π ∫ a b f 2 x d x .

К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения

Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b , а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x , – непрерывная на отрезке функция σ (x) . Тогда его объем равен V = ∫ a b σ x d x .

4. Длина дуги кривой.

Пусть задана кривая r → t = x t , y t , z t Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .

Длина дуги плоской кривой В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x) , a ≤ x ≤ b , выражается формулой S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .

5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x) , a ≤ x ≤ b , и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .