Преобразование графика тригонометрической функции у = sin x путем сжатия и расширения гбпоу «российский колледж традиционной культуры» попова л.а. Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем Построение графиков тригонометрических функций
Конспект урока алгебры и начала анализав 10 классе
по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»
Цель урока: систематизировать знания по теме «Свойства и графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x )».
Задачи урока:
- повторить свойства тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x );
- повторить формулы приведения;
- преобразование графиков тригонометрических функций;
- развивать внимание, память, логическое мышление; активизировать мыслительную деятельность, умение анализировать, обобщать и рассуждать;
- воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, интерес к предмету.
Оборудование урока:икт
Тип урока: изучение нового
Ход урока
Перед уроком 2 ученика на доске строят графики из домашнего задания.
Организационный момент:
Здравствуйте, ребята!
Сегодня на уроке мы будем преобразовывать графики тригонометрических функций у=sin (x ), у=cos (x ).
Устная работа:
Проверка домашнего задания.
разгадывание ребусов.
Изучение нового материала
Все преобразования графиков функций являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
Преобразование графиков функций.
Дана функция у = f (x ). Все графики начинаем строить с графика этой функции, затем производим с ним действия.
Функция
Что делать с графиком
y = f(x) + a
Все точки первого графика поднимаем на а единиц вверх.
y = f(x) – a
Все точки первого графика опускаем на а единиц вниз.
y = f(x + a)
Все точки первого графика сдвигаем на а единиц влево.
y = f (x – a)
Все точки первого графика сдвигаем на а единиц вправо.
y = a*f (x),a>1
Закрепляем нули на месте, верхние точки сдвигаем выше в а раз, нижние – опускаем ниже в а раз.
График «вытянется» вверх и вниз, нули остаются на месте.
y = a*f(x), a<1
Закрепляем нули, верхние точки опустятся вниз в а раз, нижние – поднимутся в а раз. График «сожмётся» к оси абсцисс.
y = -f (x )
Зеркально отобразить первый график относительно оси абсцисс.
y = f (ax ), a <1
Закрепить точку на оси ординат. Каждый отрезок на оси абсцисс увеличить в а раз. График растянется от оси ординат в разные стороны.
y = f (ax ), a >1
Закрепить точку на оси ординат, каждый отрезок на оси абсцисс уменьшить в а раз. График «сожмётся» к оси ординат с обеих сторон.
у = | f(x)|
Части графика, расположенные под осью абсцисс зеркально отобразить. Весь график будет расположен в верхней полуплоскости.
Схемы решения.
1)y = sin x + 2.
Строим график у = sin x . Каждую точку графика поднимаем вверх на 2 единицы (нули тоже).
2)y = cos x – 3.
Строим график y = cos x . Каждую точку графика опускаем вниз на 3 единицы.
3)y = cos (x - /2)
Строим график y = cos x . Все точки сдвигаем на п/2 вправо.
4)у = 2 sin x .
Строим график у = sin x . Нули оставляем на месте, верхние точки поднимаем в 2 раза, нижние опускаем на столько же.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Построение графиков тригонометрических функций с помощью программы Advanced Grapher.
Построим график функции у = -cos 3x + 2.
- Построим график функции у = cos x .
- Отразим его относительно оси абсцисс.
- Этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс.
- Наконец, такой график надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2cos x-2
у = 5cos 0,5 x
y= -3sin(x+π).
2) Найди ошибку и исправь её.
V. Исторический материал. Сообщение об Эйлере.
Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.
Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?
К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.
На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.
VI. Повторение
Самостоятельная работа “Допиши формулу”.
VII. Итоги урока:
1) Что нового вы узнали сегодня на уроке?
2) Что еще вы хотите узнать?
3) Выставление оценок.
Урок 24. Преобразования графиков тригонометрических функций
09.07.2015 5528 0Цель: рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
sin х.
2. Найдите основной период функции:
3. Постройте график функции
Вариант 2
1. Основные свойства и график функции у = cos х.
2. Найдите основной период функции:
3. Постройте график функции
III. Изучение нового материала
Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе 1, являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
1. Для построения графика функции у = f (x ) + b надо перенести график функции на | b | единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при b < 0.
2. Для построения графика функции y = mf (x ) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f (x ) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в 1/ m раз.
3. Для построения графика функции у = f (x + a ) надо перенести график функции на | a | единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево при а > 0.
4. Для построения графика функции у = f (kx ) (где к > 0) надо сжать график функции у = f (x ) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/ k раз.
5. Для построения графика функции у = - f (x ) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай преобразования 2 для m = -1).
6. Для построения графика функции у = f (-х) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай преобразования 4 для k = -1).
Пример 1
Построим график функции у = - cos 3 x + 2.
В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.
Полезно также напомнить правила преобразования графиков с модулями.
1. Для построения графика функции y = | f (х)| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f (x ), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.
2. Для построения графика функции у = f (|х|) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.
3. Для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.
Пример 2
Построим график уравнения |у| = sin | x |.
Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс.
В более сложных случаях знаки модуля необходимо раскрывать.
Пример 3
Построим график сложной функции у = cos (2 x + |х|).
Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и получим: Для двух таких промежутков построим график функции y (x ). Учтем, что при х ≥ 0 график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3 раза вдоль оси абсцисс.
Пример 4
Построим график функции
Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо построить график функции у = 1 - cos х. Он получается из графика функции у = cos x отражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 - 1. Он получается из графика функции у = x 2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Правила преобразований графиков функций.
2. Преобразования графиков с модулями.
V. Задание на уроке
§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).
VI. Задание на дом
§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).
VII. Творческое задание
Постройте график функции, уравнения, неравенства:
VIII. Подведение итогов урока
АЛГЕБРА
Уроки для 10 классов
Тема. Построение графиков тригонометрических функций
Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x , у = tg х, у = ctg x.
Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b ), у = Acos (kx + b ), у = Atg (kx + b ), у = Actg (kx + b ).
И. Проверка домашнего задания
1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).
2. Фронтальная беседа:
1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.
2) Дайте определение периодической функции.
3) Если функция у = f (x ) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T ...? Ответ обоснуйте.
4) Найдите наименьший положительный период функций:
a ) y = cos ; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .
5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.
II. Построение графика функции у = sin х
Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.
На ось ОХ нанесем точки ; π ; ; 2 π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке .
За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2 π , то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2 π , 4 π , 6 π ... единиц влево и вправо (рис. 58).
Кривая, которая является графиком функции у = sin x , называют синусоидой.
Выполнение упражнений______________________________
1. Постройте графики функций.
а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2 sin х; г) у = sin (-x).
Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.
III . Построение графика функции у = cos x
Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin - одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .
Выполнение упражнений________________________________
1. Постройте графики функций:
a ) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = | cos x |.
Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.
IV. Построение графика функции у = tg x
График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.
На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .
За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π , 2 π , 3 π , 4 π ... единиц влево и вправо (рис. 69).
График функции у = tg x называется тангенсоїдою.
Выполнение упражнений
1. Постройте график функций
а) у = tg 2х; б) у = t gx ; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).
Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.
V. Построение графика функции у = ctg x
График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .
IV. Домашнее задание
Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).
V. Итог урока
Т Е М А : Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем.
Ц Е Л Ь : Рассмотрение получения графиков тригонометрических функций вида
y = f(|x|) ; y = | f (x )| .
Развивать математическую логику и внимание.
Х О Д У Р О К А:
Орг. момент: Объявление темы, целей и задач урока.
Учитель : Сегодня мы должны научиться строить графики функций y = sin |x|; y = cos|x|
Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| используя наши знания о преобразованиях трансцендентных функций вида y = f(|x|) и y = |f(x)| . Вы спросите «Для чего это нужно?» Дело в том что свойства функций в этом случае изменяются, а вот как, это лучше всего прослеживается, как вы знаете, на графике.
Давайте вспомним как запишутся данные функции с использованием определения
Дети: f(|x|) =
|f(x)| =
Учитель : Итак, чтобы построить график функции у = f (|x|), если известен график функции
у = f { x ), нужно оставить на месте ту часть графика функции у = f (x ), которая
соответствует неотрицательной части области определения функции у = f (x ). Отразив эту
часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую
отрицательной части области определения.
Т. е. на графике это выглядит следующим образом: y = f (x)
(Данные графики строятся на доске. Дети в тетрадях)
Теперь исходя из этого построим график функций y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|
Рис 1. Y = sin x
Рис 2. Y = sin |x|
Теперь построим графики функций Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|
Чтобы построить график функции у = \ f (x )\, если известен график функции у = f (x ), нужно оставить на месте ту его часть, где f (x ) > О, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где f (x ) < 0.
Построение графиков тригонометрических функций в 11классе
Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань
Спиридонова Л.В.
- Тригонометрические функции числового аргумента
- y=sin(x)+m и y=cos(x)+m
- Построение графиков функций вида y=sin(x+t) и y=cos(x+t)
- Построение графиков функций вида y=A · sin(x) и y=A · cos(x)
- Примеры
Тригонометрические функции числового аргумента.
y=sin(x)
y=cos(x)
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Свойства функции у = sin ( x ) .
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .
3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x
- π .
sin (x + 2 π ) = sin(x).
5. Функция непрерывная
Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] .
6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] .
+
+
+
-
-
-
Построение графика функции y = cos x .
График функции у = cos x получается переносом
графика функции у = sin x влево на π /2.
Свойства функции у = со s ( x ) .
1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] .
3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)
- Функция периодическая, с главным периодом 2 π .
cos ( х + 2 π ) = cos (х) .
5. Функция непрерывная
Убывает: [ 0 ; π ] .
6. Возрастает: [ π ; 2 π ] .
+
+
+
+
-
-
-
Построение
графиков функций вида
у = sin ( x ) + m
и
у = cos (х) + m.
0 , или вниз, если m ." width="640"
Параллельный перенос графика вдоль оси Оу
График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 ,
или вниз, если m .
0 y m 1 x" width="640"
Преобразование: y= sin ( x ) +m
Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0
m
0 y m 1 x" width="640"
Преобразование: y= cos ( x ) +m
Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0
m
Преобразование: y=sin ( x ) +m
Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0
m
Преобразование: y= cos ( x ) + m
Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0
m
Построение
графиков функций вида
у = sin ( x + t )
и
у = cos ( х + t )
0 и вправо, если t 0." width="640"
Параллельный перенос графика вдоль оси Ох
График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0
и вправо , если t 0.
0 y 1 x t" width="640"
Преобразование: y = sin(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0
t
0 y 1 x t" width="640"
Преобразование: y= cos(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0
t
Преобразование: y= sin(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0
t
Преобразование: y= cos(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0
t
0
1 и 0 а 1" width="640"
Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1
1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"
Сжатие и растяжение вдоль оси Ох
График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А .
1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"
Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1
пусть а=1,5
1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"
Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1
пусть а=1,5
Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0
пусть а=0,5
Преобразование: y = a·cos ( x ), 0
пусть а=0,5
sin (
y
x
y=sin(x) → y=sin(x- π )
x
sin (
y
y
sin (
x
y
x
- 1
y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3
x
x
x
y
y
sin
y
sin
sin
sin
y
x
y
x
- 1
y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2
y
x
- 1
y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1
y
y
y
cos
y
cos x + 2
x
cos x + 2
cos x
y
x
- 1
y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2
y
x
- 1
y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →