Главная » 2 класс » Найти определитель и ранг матрицы. Понятие о ранге матрицы. Нахождение ранга матрицы по определению

Найти определитель и ранг матрицы. Понятие о ранге матрицы. Нахождение ранга матрицы по определению

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородная система уравнений

Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений

всегда является совместной.

Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .

Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда

Так как , то -- решение.

Пусть -- произвольное число, . Тогда

Так как , то -- решение.

Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15 . 5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений , если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Определение 15 . 6 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда выражение

где -- произвольные числа, будем называть общим решением системы .

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)" .

Теорема 15 . 3 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда , где -- число неизвестных в системе.

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть - решения однородной системы (1), - произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Определение 1

Минор k -ого порядка матрицы - определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0 0 1 1 = 0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

C p k × C n k , г д е С p k = p ! k ! (p - k) ! и C n k = n ! k ! (n - k) ! - число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Определение 2

Ранг матрицы - наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Обозначение 1

Rank (A), Rg (A), Rang (A).

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Определение 3

Метод перебора миноров - метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров :

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p × n . При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю ).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

А = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С 3 3 × С 5 3 = 1 5 ! 3 ! (5 - 3) ! = 10 штук.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - (- 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - (- 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Ответ : Rank (A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Определение 3

Метод окаймляющих миноров - метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор - минор M o k (k + 1) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору M o k , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M o k , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Пример 3

Найти ранг матрицы:

А = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М = 2 - 1 4 1

Записываем все окаймляющие миноры:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Теорема 1

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Алгоритм действий :

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Пример 4

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как решить?

Поскольку элемент а 11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2 0 4 1 .

Осуществим перебор окаймляющих миноров - (их (4 - 2) × (5 - 2) =6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Ответ : Rank(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

Элементарные преобразования :

путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Определение 5

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса - метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований : привести матрицу,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Для чего?

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

для квадратных матриц А порядка n на n:

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k < n

Пример 5

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как решить?

Поскольку элемент а 11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1 а 11 = 1 2:

А = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

~ А (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ А (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Элемент а 22 (2) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А (2) н а 1 а 22 (2) = - 2 3:

А (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ А (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки,которые умножены на 3 2 ;
к элементам 4-ой строки - элементы 2-ой строки, которые умножены на 9 2 ;
к элементам 5-ой строки - элементы 2-ой строки, которые умножены на 3 2 .

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что R a n k (A (4)) = 2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Замечание

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

Навигация по странице.

Определение ранга матрицы и необходимые дополнительные понятия.

Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Возьмем матрицу А порядка . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n , то есть, .

Определение.

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А , то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А .

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу .

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А , то нашему выбору соответствует минор первого порядка . Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А , а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А , то мы получим минор .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
и .

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
и .

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А . Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка

Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А .

Другим минором третьего порядка является

получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А .

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
и .

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как .

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как , где и - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n ?

Нам потребуется множество номеров строк матрицы и множество номеров столбцов . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k ). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k .

Разберем на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы .

Решение.

Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет .

Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А : 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 . Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 .

Возьмем первую и вторую строки матрицы А . Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры

Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем

Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:

Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.

Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.

Определение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы А обозначают как Rank(A) . Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A) .

Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Нахождение ранга матрицы по определению.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .

Пример.

Найдите ранг матрицы .

Решение.

Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их штук.

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2 .

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров .

Разберемся с понятием окаймляющего минора .

Говорят, что минор М ок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А , если матрица, соответствующая минору М ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M .

Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М , получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Для примера рассмотрим матрицу и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры:

Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).

Теорема.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n , равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка , находится по формуле . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А , не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А . Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.

Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А , отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2 . Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k , если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n) , если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1) .

Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.

Пример.

Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Так как элемент a 1 1 матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:

Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их штук):

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2 .

Пример.

Найдите ранг матрицы с помощью окаймляющих миноров.

Решение.

В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элемент a 1 1 = 1 матрицы А . Окаймляющий его минор второго порядка не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка
. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.

Ответ:

Rank(A) = 3 .

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;
прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .

Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B .

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B) .

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.
При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k . Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.
Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k , не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицу А .

Опишем алгоритм метода .

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка (p может быть равно n ).

Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (1) :

К элементам второй строки полученной матрицы А (1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (2) :

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую , равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А (2)

Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А (2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.

Под элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы понимают следующие действия:

Перемена мест двух строк (столбцов).
Умножение всех элементов строки (столбца) на некоторое число $a\neq 0$.
Суммирование всех элементов одной строки (столбца) с соответствующими элементами иной строки (столбца), умноженными на некое действительное число.

Если применить к строкам или столбцам матрицы $A$ некое элементарное преобразование, то получим новую матрицу $B$. В этом случае $\rang{A}=\rang{B}$, т.е. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Если $\rang A=\rang B$, то матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными . Тот факт, что матрица $A$ эквивалентна матрице $B$, записывают так: $A\sim B$.

Часто используется и такая запись: $A\rightarrow B$, которая означает, что матрица $B$ получена из матрицы $A$ применением некоего элементарного преобразования.

При нахождении ранга методом Гаусса работать можно как со строками, так и со столбцами. Удобнее работать со строками, поэтому в примерах на этой странице преобразования выполняются именно над строками матриц.

Отмечу, что транспонирование не изменяет ранг матрицы, т.е. $\rang{A}=\rang{A^T}$. Этим свойством в некоторых случаях удобно пользоваться (см. пример №3), так как при необходимости строки легко сделать столбцами и наоборот.

Краткое описание алгоритма

Введём несколько терминов. Нулевая строка - строка, все элементы которой равны нулю. Ненулевая строка - строка, хоть один элемент которой отличен от нуля. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Ранг любой нулевой матрицы равен 0, поэтому станем рассматривать матрицы, отличные от нулевых. Конечная цель преобразований матрицы - сделать её ступенчатой . Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Рассматриваемый метод нахождения ранга матрицы состоит из нескольких шагов. На первом шаге используется первая строка, на втором шаге - вторая и так далее. Когда под той строкой, которую мы используем на текущем шаге, остаются лишь нулевые строки, или же не остаётся строк вовсе, то алгоритм прекращается, так как полученная матрица будет ступенчатой.

Теперь обратимся к тем преобразованиям над строками, которые выполняются на каждом шаге алгоритма. Пусть под текущей строкой, которую нам нужно использовать на данном шаге, имеются ненулевые строки, причём $k$ - номер ведущего элемента текущей строки, а $k_{\min}$ - наименьший из номеров ведущих элементов тех строк, которые лежат ниже текущей строки.

Если $k\lt{k_{\min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма, т.е. к использованию следующей строки.
Если $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы. Затем переходим к следующему шагу алгоритма.
Если $k\gt{k_{\min}}$, то меняем местами текущую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. После этого производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Если таких строк нет, то переходим к следующему шагу алгоритма. Если появляются нулевые строки, то переносим их в низ матрицы.

Как конкретно происходит обнуление ведущих элементов, рассмотрим на практике. Буквами $r$ (от слова "row") станем обозначать строки: $r_1$ - первая строка, $r_2$ - вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова "column") станем обозначать столбцы: $c_1$ - первый столбец, $c_2$ - второй столбец и так далее.

В примерах на данной странице буквой $k$ я стану обозначать номер ведущего элемента текущей строки, а запись $k_{\min}$ будет использована для обозначения наименьшего из номеров ведущих элементов строк, лежащих под текущей строкой.

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4, 1, 1 и 1. Наименьшим из этих номеров есть $k_{\min}=1$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы третьей, четвёртой и пятой строк.

В принципе, можно приступать к обнулению указанных выше элементов, однако для тех преобразований, которые выполняются для обнуления, удобно, когда ведущим элементом используемой строки является единица. Это не обязательно, но очень упрощает расчёты. У нас ведущим элементом первой строки есть число -2. Чтобы заменить "неудобное" число единицей (или числом (-1)) есть несколько вариантов. Можно, например, умножить первую строку на 2, а затем от первой строки вычесть пятую. А можно просто поменять местами первый и третий столбцы. После перестановки столбцов №1 и №3 получим новую матрицу, эквивалентную заданной матрице $A$:

Ведущим элементом первой строки стала единица. Номер ведущего элемента первой строки не поменялся: $k=1$. Номера ведущих элементов строк, расположенных ниже первой, таковы: 4, 1, 2, 1. Наименьший номер $k_{\min}=1$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и пятой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.

Чтобы обнулить нужные элементы, будем выполнять операции со строками матрицы. Запишу эти операции отдельно:

$$ \begin{aligned} &r_3-\frac{\normblue{-5}}{\boldred{1}}\cdot{r_1}=r_3+5r_1;\\ &r_5-\frac{\normgreen{1}}{\boldred{1}}\cdot{r_1}=r_5-r_1. \end{aligned} $$

Запись $r_3+5r_1$ означает, что к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место третьей строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$ r_3+5r_1 =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+5\cdot(1;\;3;\;-2;\;0;\;-4)=\\ =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+(5;\;15;\;-10;\;0;\;-20) =(0;\;4;\;-6;\;12;\;-2). $$

Действие $r_5-r_1$ выполняется аналогично. В результате преобразований строк получим такую матрицу:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+5r_1 \\ \phantom{0} \\ r_5-r_1 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) $$

На этом первый шаг можно считать законченным. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу. Единственный нюанс: в третьей строке полученной матрицы все элементы делятся нацело на 2. Чтобы уменьшить числа и упростить себе расчёты, умножим элементы третьей строки на $\frac{1}{2}$, а затем уже перейдём ко второму шагу:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ 1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) $$

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под второй строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 2, 2 и 2. Наименьшим из этих номеров есть $k_{\min}=2$. Так как $k\gt{k_{\min}}$, то нужно поменять местами текущую вторую строку с одной из тех строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Иными словами, надо поменять вторую строку с третьей, четвёртой или пятой. Я выберу пятую строку (это позволит избежать появления дробей), т.е. поменяю местами пятую и вторую строки:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_5}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \boldred{2} & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \normblue{2} & -3 & 6 & -1 \\ 0 & \normgreen{6} & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) $$

Опять обратимся ко второй строке. Теперь ведущим в ней является второй элемент (он выделен красным цветом), т.е. $k=2$. Наименьшим из номеров ведущих элементов нижележащих строк (т.е. из чисел 2, 2 и 4) будет $k_{\min}=2$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк. Эти элементы выделены синим и зелёным цветами.

Отмечу, что на предыдущем шаге ведущим элементом текущей строки с помощью перестановки столбцов была сделана единица. Это было выполнено, чтобы избежать работы с дробями. Здесь тоже можно поставить единицу на место ведущего элемента второй строки: например, поменяв местами второй и четвёртый столбцы. Однако делать это мы не станем, так как дробей и так не возникнет. Действия со строками будут такими:

$$ \begin{aligned} &r_3-\frac{\normblue{2}}{\boldred{2}}\cdot{r_2}=r_3-r_2;\\ &r_4-\frac{\normgreen{6}}{\boldred{2}}\cdot{r_2}=r_4-3r_2. \end{aligned} $$

Выполняя указанные операции, придём к такой матрице:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) $$

Второй шаг закончен. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то переходим к третьему шагу.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. В третьей строке матрицы ведущим является четвёртый элемент, т.е. номер ведущего элемента третьей строки $k=4$. Посмотрим на строки, расположенные под третьей строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номера 4 и 4, наименьший из которых $k_{\min}=4$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы четвёртой и пятой строк. Преобразования, которые выполняются с этой целью, полностью аналогичны тем, что осуществлялись ранее:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$

Под третьей строкой остались лишь нулевые строки. Это значит, что преобразования закончены. Мы привели матрицу к ступенчатому виду. Так как приведённая матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $\rang A=3$. Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\overset{c_1\leftrightarrow{c_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+5r_1 \\ \phantom{0} \\ r_5-r_1 \end{array}\sim $$ $$ \sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ 1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \end{array}\right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_5}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom{0} \end{array}\sim $$ $$ \sim\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$

Ответ : $\rang A=3$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right)$.

Данная матрица не является нулевой, а значит её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является первый элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=1$. Посмотрим на строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 1, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{\min}=1$. Так как $k=k_{\min}$, то нужно произвести обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Иными словами, нужно обнулить ведущие элементы второй, третьей и четвёртой строк.

Для удобства расчётов сделаем так, чтобы ведущим элементом первой строки стала единица. В предыдущем примере для этого мы меняли местами столбцы, однако с этой матрицей такое действие не пройдёт - в данной матрице нет элементов, равных единице. Выполним одно вспомогательное действие: $r_1-5r_2$. Тогда ведущий элемент первой строки станет равен 1.

Ведущим элементом первой строки стала единица. Обнулим ведущие элементы нижележащих строк:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end{array} \right) $$

Первый шаг закончен. Так как под первой строкой остались ненулевые строки, то нужно продолжать работу.

Второй шаг

На втором шаге работаем с второй строкой. Во второй строке матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=2$. Ведущие элементы в нижележащих строках имеют тот же номер 2, поэтому $k_{\min}=2$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущих элементов тех нижележащих строк, у которых номер ведущего элемента равен $k_{\min}$. Это значит, что нужно обнулить ведущие элементы третьей и четвёртой строк.

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end{array} \right) $$

Появилась нулевая строка. Опустим её в низ матрицы:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end{array} \right) \overset{r_3\leftrightarrow{r_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Второй шаг закончен. Заметьте, что мы уже получили ступенчатую матрицу. Впрочем, мы можем формально закончить наш алгоритм. Так как под второй строкой остались ненулевые строки, то следует перейти к третьему шагу и работать с третьей строкой, однако под третьей строкой ненулевых строк нет. Следовательно, преобразования завершены.

К слову, полученная нами матрица является трапециевидной . Трапециевидная матрица - это частный случай ступенчатой матрицы.

Так как данная матрица содержит три ненулевых строки, то её ранг равен 3. Следовательно, и ранг исходной матрицы равен трём, т.е. $\rang{A}=3$. Полное решение без пояснений таково:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-5r_2\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \end{array}\sim $$ $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \end{array}\right)\overset{r_3\leftrightarrow{r_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Ответ : $\rang A=3$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right)$.

Иногда в процессе решения удобно транспонировать матрицу. Так как ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы, то такая операция вполне допустима. В этом примере будет рассмотрен как раз такой случай. В ходе преобразований возникнут две одинаковые строки $(0;\;1;\;-2)$ (первая и четвёртая). В принципе, можно выполнить действие $r_4-r_1$, тогда четвёртая строка обнулится, однако это лишь удлинит решение на одну запись, поэтому выполнять обнуление четвёртой строки не станем.

$$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} 1/2\cdot{r_1}\\ \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ 1/5\cdot{r_4} \\\phantom{0} \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim $$ $$ \sim\left(\begin{array}{ccccc} 0&-1&3&0&2\\ 1&-4&1&1&3\\ -2&5&7&-2&0 \end{array} \right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ -2&5&7&-2&0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3+2r_1 \end{array}\sim $$ $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&-3&9&0&6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-3r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{ccccc} 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right) $$

Ранг преобразованной матрицы равен 2, поэтому и ранг исходной матрицы $\rang{A}=2$. В принципе, можно было найти ранг и без транспонирования матрицы: поменять местами первую строку с второй, третьей или пятой и продолжить обычные преобразования со строками. Метод сведения матрицы к ступенчатому виду допускает вариации процесса решения.

Ответ : $\rang A=2$.

Пример №4

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end{array} \right)$.

Данная матрица не является нулевой, т.е. её ранг больше нуля. Перейдём к первому шагу алгоритма.

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. В первой строке заданной нам матрицы ведущим является второй элемент, т.е. номер ведущего элемента первой строки $k=2$. Рассмотрим строки, расположенные под первой строкой. Ведущие элементы в этих строках имеют номер 3, т.е. наименьший из номеров ведущих элементов нижележащих строк есть $k_{\min}=3$. Так как $k\lt{k_{\min}}$, то переходим к следующему шагу алгоритма.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Во второй строке ведущим является третий элемент, т.е. номер ведущего элемента второй строки $k=3$. Под второй строкой расположена лишь одна третья строка, номер ведущего элемента которой равен 3, поэтому $k_{\min}=3$. Так как $k=k_{\min}$, то производим обнуление ведущего элемента третьей строки:

$$ \left(\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_3-2r_2 \end{array}\sim \left(\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 0 & 0& -8&-5 \end{array} \right) $$

Получена ступенчатая матрица. Ранг преобразованной матрицы, а следовательно и ранг исходной матрицы, равен 3.

Ответ : $\rang A=3$.

Пример №5

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5. \end{array} \right)$.

Иногда можно свести матрицу к ступенчатой с помощью одних лишь перестановок строк или столбцов. Это бывает, разумеется, крайне редко, однако удачная перестановка позволяет существенно упростить решение.

$$ \left(\begin{array}{ccccc} 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5 \end{array} \right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 5&2&0&0&-5\\ 9&0&0&0&-11\\ 0&0&0&0&6 \end{array} \right) \overset{с_1\leftrightarrow{с_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccccc} 0&2&0&5&-5\\ 0&0&0&9&-11\\ 0&0&0&0&6 \end{array} \right) $$

Матрица приведена к ступенчатой, $\rang{A}=3$.

Ответ : $\rang A=3$.

Ранг матрицы

Определение 1

Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.

Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $ называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.

Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.

Ранг матрицы - это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.

Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных - ранг есть некоторое положительное число.
Ранг прямоугольной матрицы порядка $m\times n$ не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. $0\le rang\le \min (m,n)$.
Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.

Существует два способа нахождения ранга матрицы:

окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
посредством элементарных преобразований.

Алгоритм метода окантовки включает следующее:

В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка $k$ и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка $k+1$. Если все миноры порядка $k+1$ является равными нулю, то ранг матрицы равен $k$.

Как определить ранг матрицы: примеры

Пример 1

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.

Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, $M_{1} =\left|-2\right|=-2$. Рассмотрим миноры второго порядка.

$M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right|=-2\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Пример 2

Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {2} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {4} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$.

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).

Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, $M_{1} =\left|1\right|=1$. Рассмотрим миноры второго порядка.

$M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

$M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {2} \\ {2} & {3} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.

$M_{4} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

$M_{5} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.

Пример 3

Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$.

Решение:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)$

Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида

Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, $rang=3$.

Просмотров