Уравнение плоской волны для точки нахо. Уравнение плоской бегущей волны. При выполнении лабораторной работы

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, у, z. Периодичность по времени вытекает из того, что описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние К, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания иосят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от Пусть колебания точек, лежащих в плоскости (рис. 94.1), имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х= 0 до этой плоскости, волне требуется время - скорость распространения волны).

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости т. е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны а определяется выбором начал отсчета При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы а была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись нулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (94.2), положив

(94.3)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающеё из него значение дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (94.3), получим

Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (94.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

Согласно (94.4) . Следовательно, уравнение (94.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

Действительно, приравняв константе фазу волны (94.5) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

из которого следует, что волна (94.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину

которая называется волновым числом. Умиожив числитель и знаменатель выражения (94.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде

(см. формулу (93.2)). Раскрыв в (94.2) круглые скобки и приняв во внимание (94.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (94.8) только знаком при члене

При выводе формулы (94.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волиы не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны С удалением от источника колебаний постепенно уменьшается - наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: с убыванием во времени амплитуды затухающих колебаний; см. формулу (58.7) 1-го тома). Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:

Амплитуда в точках плоскости

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

Указание по мерам безопасности

При выполнении лабораторной работы

Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.

Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.

К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.

Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:

Усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;

Ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;

Проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;

Проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;

В случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;

Получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.

Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:

Не оставлять без присмотра включенные приборы;

Не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;

При работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.

замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.

Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру

По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.

Лабораторная работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Цель работы:

ознакомиться с основными характеристиками волновых процессов;

изучить условия образования и особенности стоячей волны.

Задачи работы

определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны;

определить для воздуха отношение изобарической теплоемкости к изохорической.

Понятие о волнах.

Тело, совершающее механические колебания, передает в окружающую среду за счет сил трения или сопротивления теплоту, что усиливает беспорядочное движение частиц среды. Однако во многих случаях за счет энергии колебательной системы возникает упорядоченное движение соседних частиц окружающей среды – они начинают совершать вынужденные колебания относительно своего исходного положения под действием упругих сил, связывающих частицы друг с другом. Объем пространства, в котором происходят эти колебания, возрастает с течением времени. Такой процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто в о л н о й.
В общем случае наличие упругих свойств в среде не является обязательным для распространения в ней волн. Например, электромагнитные и гравитационные волны распространяются и в вакууме. Поэтому в физике в о л н а м и называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Под возмущением понимают отклонение физических величин от их равновесных состояний.

В твердых телах под возмущением понимают периодически изменяющуюся деформацию, порожденную действием периодической силы и вызывающую отклонение частиц среды от положения равновесия – их вынужденные колебания. При рассмотрении процессов распространения волн в телах обычно отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают тела как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент объема среды, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний. Вследствие действия упругих сил деформация будет распространяться в среде с определенной скоростью, называемой скоростью волны.

Важно отметить, что частицы среды не увлекаются движущейся волной. Скорость их колебательного движения отличается от скорости волны. Траектория частиц представляет собой замкнутую кривую, а их суммарное отклонение за период равно нулю. Поэтому распространение волн не вызывает переноса вещества, хотя при этом переносится энергия от источника колебаний в окружающее пространство.

В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания частиц, говорят о волнах продольной или поперечной поляризации.

Волны называются продольными, если смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например, при периодическом упругом сжатии или растяжении тонкого стержня вдоль его оси). Продольные волны распространяются в средах, в которых силы упругости возникают при сжатии или растяжении (т. е. в твердых, жидких и газообразных).

Если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волны называются поперечными. Они распространяются только в средах, в которых возможна деформация сдвига (только в твердых телах). Кроме того, поперечные волны распространяются на свободной поверхности жидкости (например, волны на поверхности воды) или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (например, на границе пресной и соленой воды).

В газовой среде волны представляют собой чередующиеся области более высокого и более низкого давления и плотности. Они возникают в результате вынужденных колебаний частиц газа, происходящих с различной фазой в различных точках. Под действием изменяющегося давления барабанная перепонка уха совершает вынужденные колебания, которые через уникальную сложную систему слухового аппарата вызывают биотоки, протекающие к мозгу.

Уравнение плоской волны. Фазовая скорость

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых в данный момент времени доходят колебания. Фронт волны разделяет области пространства, уже вовлеченную в волновой процесс и еще не вовлеченную. Волновых поверхностей существует бесконечное множество и они неподвижны, а фронт волны один и он перемещается с течением времени.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0 , начинают в момент t =0 совершать колебания по гармоническому закону относительно исходного положения равновесия. Это значит, что смещение частиц от их исходного положения f изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:

где f - смещение данных частиц от их исходного положения равновесия в момент времени t , А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.

Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x >0). Пусть волна распространяется в направлении возрастания координаты х . Чтобы пройти путь от плоскости x =0 до указанной плоскости, волне требуется время

где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).

Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х , начнутся в момент t = τ и будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с отставанием по времени на величину τ , а именно:

(3)

Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t =0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х =0, но в более ранний момент времени

t 1 = (4)

С учетом (4), выражение (3) преобразуется:

(5)

Уравнение (5) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х . Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Уравнение (5) соответствует случаю, когда частицам в начальный момент была сообщена начальная скорость. Если же в начальный момент частицам сообщено отклонение от положения равновесия без сообщения скорости, в (5) вместо синуса нужно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (5) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х , меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х =0, на величину, равную .

Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (5) преобразуется к виду:

(6)

Учитывая, что

запишем (6) в виде:

(8)

где Т - периодколебания, ν - частота.

Расстояние λ, на которое волна распространяется за период Т , называется длиной волны.

Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π (рис.1).

Как отмечено выше, упругие волны в газах представляют собой чередующиеся области с более высоким и более низким давлением и плотностью. Это иллюстрируется рис 1, на котором представлены для некоторого момента времени смещение частиц (а), их скорости (б), давление или плотность (в) в различных точках пространства. Частицы среды движутся со скоростью (не путать с фазовой скоростью v ). Слева и справа от точек A 1 , A 3 , A 5 и др. скорости частиц направлены к этим точкам. Поэтому в данных точках образуются максимумы плотности (давления). Справа и слева от точек A 2 , A 4 , A 6 и др. скорости частиц направлены от данных точек и в них образуются минимумы плотности (давления).

Смещение частиц среды при распространении в ней бегущей волны в различные моменты времени представлены на рис. 2. Как видно, имеется аналогия с волнами на поверхности жидкости. Максимумы и минимумы отклонений от положения равновесия перемещаются в пространстве с течением времени с фазовой скоростью v . С такой же скоростью перемещаются максимумы и минимумы плотности (давления).

Фазовая скорость волны зависит от упругих свойств и плотности среды. Предположим, что имеется длинный упругий стержень (рис. 3) с площадью поперечного сечения, равной S , в котором распространяется продольное возмущение вдоль оси х с плоским волновым фронтом Пусть за промежуток времени от t 0 до t 0 +Δt фронт переместится от точки А до точки В на расстояние АВ = v Δt , где v – фазовая скорость упругой волны. Длительность промежутка Δt возьмем настолько малой, что скорость движения частиц во всем объеме (т.е. между сечениями, проходящими перпендикулярно оси х через точки А и В ) будет одинаковой и равной u . Частицы из точки А за указанный промежуток времени переместятся на расстояние u Δt . Частицы же, расположенные в точке В , в момент t 0 +Δt только начнут движение и их перемещение к данному моменту времени будет равно нулю. Пусть первоначальная длина участка АВ равна l . К моменту t 0 +Δt она изменится на величину u Δt , которая и будет величиной деформации Δl . Масса участка стержня между точками А и В равна Δm = ρSvΔt. Изменение импульса этой массы за промежуток времени от t 0 до t 0 +Δt равно

Δр = ρSvuΔt (10).

Силу, действующую на массу Δm , можно определить из закона Гука:

По второму закону Ньютона , или . Приравни

вая правые части последнего выражения и выражения (10), получим:

откуда следует:

Скорость распространения поперечной волны

где G - модуль сдвига.

Звуковые волны в воздухе являются продольными. Для жидкостей и газов вместо модуля Юнга в формулу (1) входит отношение отклонения давления ΔΡ к относительному изменению объема

(13)

Знак минус означает, что увеличению давления (процессу сжатия среды) соответствует уменьшение объема и наоборот. Полагаяизменения объема и давления бесконечно малыми, можно записать

(14)

При распространении волн в газах давление и плотность периодически повышаются и понижаются (соответственно, при сжатии и разрежении), в результате чего происходит изменение температуры различных участков среды. Сжатие и разрежение происходят так быстро, что смежные участки не успевают обменяться энергией. Процессы, происходящие в системе без теплообмена с окружающей средой, называются адиабатическими. При адиабатическом процессе изменение состояния газа описывается уравнением Пуассона

(15)

Параметр γ называют показателем адиабаты. Он равен отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении C p и постоянном объеме C v:

Взяв дифференциал от обеих частей равенства (15), получаем

,

откуда следует:

Подставив (6) в (4), получим для модуля упругости газа

Подставив (7) в (1), найдем скорость упругих волн в газах:

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить плотность газа

, (19)

где - молярная масса.

Подставляя (9) в (8), получим конечную формулу для нахождения скорости звука в газе:

где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа.

Измерение скорости звука - один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.

Преобразуя формулу (10), получим:

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.

В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (19 и 20), уравнение бегущей волны можно представить в виде:

(22)

где - волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π метров.

Для бегущей волны, распространяющейся против положительного направления оси х, получим:

(23)

Особую роль играют гармоническиеволны (см., например, уравнения (5, 6, 22, 23)). Это связано с тем,чтолюбое распространяющееся колебание, какова бы ни была его форма, всегда можно рассматривать как результат суперпозиции (сложения) гармонических волн с соответственно подобранными частотами, амплитудами и фазами.

Стоячие волны.

Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна.

Пусть падающая волна описывается уравнением (22), а отраженная – уравнением (23). По принципу суперпозиции суммарное смещение равно сумме смещений, создаваемых обеими волнами. Сложение выражений (22) и (23) дает

Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:

, (25)

где множитель

(26)

является амплитудой стоячей волны. Как видноиз выражения (26), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).

Из (27) и (28) следует, что расстояние между соседними узлами, как и расстояние между соседними пучностями равно , а расстояние между соседними узлом и пучностью равно .

Из уравнения (25) следует, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. В частности, они достигают максимального отклонения в один и тот же момент времени. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между стоячими и бегущими волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180 о.

Смещение от положения равновесия для различных моментов времени в стоячей волне приведено на рис. 4. За начальный момент времени принят момент, когда частицы среды максимально отклонены от исходного положения равновесия (кривая 1).

И , представленные кривыми 6, 7, 8 и 9, совпадают с отклонениями в соответствующие моменты первого полупериода (т. е. кривая 6 совпадает с кривой 4 и т.д.). Как видно, с момента смещение частиц снова изменяет знак.

При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину , где . – плотность среды, - скорость упругих волн в среде. Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел (рис. 5). В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.

В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне никакого переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.

В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Установим связь между смещением колеблющейся частицы среды (точки) от положения равновесия и временем, отсчитанным от момента начала колебания источника, который находится на расстоянии х от «нашей» частицы в начале координат.

Пусть колебания источника S гармонические, т.е. описываются уравнением ξ (t ) = A sinωt . С течением времени все частицы среды также будут совершать синусоидальные колебания с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет гармоническая бегущая волна.

Частица среды, находящаяся на оси ОХ на расстоянии х от источника S (рис. 1.2), начнёт колебаться позже, чем источник, на время, необходимое, чтобы волна, распространяющаяся от источника со скоростью V , преодолела расстояние х до частицы. Очевидно, что если источник колеблется уже в течение времени t , то частица среды колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от источника до частицы.

Тогда уравнение колебания для этой частицы будет

ξ (x,t ) =A sinω(t- τ),

но t =x /V , где V – модуль cкорости распространения волны. Тогда

ξ (x,t ) =A sinω(t-x/V )

– уравнение волны.

С учётом того, что и , уравнению можно придать вид

ξ (x,t )=A sin2 (t/T-x/λ ) = A sin2 (νt -x/λ ) = A sin (ωt -2πx/λ ) = A sin (ωt -kx ),(1.1)

где k = 2p/l – волновое число.Здесь (1.1) – уравнение плоской гармонической монохроматической волны (рис. 1.3), распространяющейся в направлении оси ОХ . График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны.

График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени. График волны – смещение всех частиц среды в данный момент времени на всем расстоянии от источника колебаний до волнового фронта. График волны является как бы моментальной фотографией волны.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид:

ξ (x,y,z,t ) = A sin = A sin(ωt – k x x – k y y – k z z ), (1.2)

где ξ – мгновенное смещение колеблющегося элемента среды (точки) с координатами x, y, z ; А – амплитуда смещения; ω – круговая частота колебаний;

– волновой вектор, равный ( – единичный вектор, указывающий направление распространения волны); ; - орты;

λ – длинна волны (рис. 1.3), т.е. расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды; – радиус-вектор, проведённый в рассматриваемую точку, ;

– фаза волны, где .

Здесь – углы, составленные волновым вектором с соответствующими осями координат.

Если волна распространяется в среде, не поглащающей энергию, то амплитуда волны не изменяется, т.е. А = const.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы волны (фазовая скорость). В однородной среде скорость волны постоянна. Если фазовая скорость волны в среде зависит от частоты, то такое явление называется дисперсией волн, а среда – дисперсирующей средой.

При переходе из одной среды в другую может меняться скорость распространения волн, так как меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что припереходе из одной среды в другую будет меняться длина волны l.

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, называется фронтом волны.

Таким образом, фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать, используя принцип Гюйгенса , сущность которого в следующем.

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1 (рис. 1.4). Требуется найти его положение через промежуток времени Dt .

В соответствии с принципом Гюйгенса, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение принципа Гюйгенса).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом Dx = V Dt , где V – скорость волны. На рис. 1.4 показаны такие сферы. Здесь кружочки – сечения сферических поверхностей плоскостью чертежа.

Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса), то есть, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта (штриховая линия). Положения 1 и 2 волнового фронта

− в нашем случае плоскости.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а, следовательно, и Dх неодинаковы в различных направлениях.

Так как прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию и импульс. Перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется интенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии W , переносимой волною сквозь площадь S ┴ , перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади:

I = W/ (∆t∙S ┴),

откуда численно I=W , если ∆t =1 и S ┴ =1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт /м 2 ).

Получим выражение для интенсивности волны. При концентрации n 0 частиц среды, каждая из которых имеет массу m , объемная плотность w 0 энергии складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии, являющейся энергией деформированного объема. Объемная плотность энергии определяется выражением:

w 0 = n 0 mw 2 A 2 / 2 = rw 2 A 2 / 2,

где r =n 0 m . Подробный вывод выражения для объемной плотности энергии упругих волн приведен в учебном пособии . Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 м 2 переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 м 2 и высотой, численно равной скорости V (рис. 1.5), следовательно интенсивность волны

I = w 0 V = rVw 2 A 2 / 2. (1.3)

Таким образом, интенсивность волны пропорциональна плотности среды, скорости, квадрату круговой частоты и квадратуамплитуды волны .

Вектор , модуль которого равен интенсивности волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), определяется выражением.

Прежде чем рассматривать волновой процесс, дадим определение колебательного движения. Колебание – это периодически повторяющийся процесс. Примеры колебательных движений весьма разнообразны: смена сезонов года, колебание сердца, дыхание, заряд на обкладках конденсатора и другие.

Уравнение колебания в общем виде записывается как

где - амплитуда колебаний,
- циклическая частота,- время,- начальная фаза. Часто начальную фазу можно принять равной нулю.

От колебательного движения можно перейти к рассмотрению волнового движения. Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Так как колебания распространяются в пространстве с течением времени, то в уравнении волны необходимо учесть и пространственные координаты, и время. Уравнение волны имеет вид

где А 0 – амплитуда,  - частота, t – время,  - волновое число, z – координата.

Физическая природа волн весьма многообразна. Известны звуковые, электромагнитные, гравитационные, акустические волны.

По типу колебаний все волны можно классифицировать на продольные и поперечные. Продольные волны – это волны, у которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (рис. 3.1а). Примером продольной волны является звуковая волна.

Поперечные волны – это волны, у которых частицы среды колеблются в поперечном направлении относительно направления распространения (рис. 3.1б).

Электромагнитные волны относятся к поперечным волнам. Следует учесть, что в электромагнитных волнах происходит колебание поля, и никакого колебания частиц среды не происходит. Если в пространстве происходит распространение волны с одной частотой , то такая волна называется монохроматической .

Для описания распространения волновых процессов вводятся следующие характеристики. Аргумент косинуса (см. формулу (3.2)), т.е. выражение
, называетсяфазой волны .

Схематически распространение волны вдоль одной координаты показано на рис. 3.2, в данном случае распространение происходит вдоль оси z.

Период – время одного полного колебания. Период обозначается буквой Т и измеряется в секундах (с). Величина обратная периоду, называется линейной частотой и обозначается f , измеряется в герцах (=Гц). Линейная частота связана с круговой частотой. Связь выражается формулой

(3.3)

Если зафиксировать время t, то из рис. 3.2 видно, что существуют точки, например А и В, которые колеблются одинаково, т.е. в фазе (синфазно). Расстояние между ближайшими двумя точками, колеблющимися в фазе, называется длиной волны . Обозначается длина волны  и измеряется в метрах (м).

Волновое число  и длина волны  связаны между собой формулой

(3.4)

Волновое число  иначе называют фазовой постоянной или постоянной распространения. Из формулы (3.4) видно, что постоянная распространения измеряется в (). Физический смысл заключается в том, что она показывает, на сколько радиан изменяется фаза волны при прохождении одного метра пути.

Для описания волнового процесса вводится понятие фронт волны. Фронт волны – это геометрическое место воображаемых точек поверхности, до которых дошло возбуждение. Фронт волны иначе называют волновой фронт.

Уравнение, описывающее волновой фронт плоской волны, можно получить из уравнения (3.2), в виде

(3.5)

Формула (3.5) представляет собой уравнение волнового фронта плоской волны. Уравнение (3.4) показывает, что волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перемещающиеся в пространстве перпендикулярно оси z.

Скорость перемещения фазового фронта называется фазовой скоростью . Фазовая скорость обозначается V ф и определяется формулой

(3.6)

Первоначально уравнение (3.2) содержит фазу с двумя знаками – отрицательным и положительным. Отрицательный знак, т.е.
, указывает, что фронт волны распространяется вдоль положительного направления распространения осиz. Такая волна называется бегущей, или падающей.

Положительный знак фазы волны указывает на движение фронта волны в обратном направлении, т.е. противоположном направлению оси z. Такая волна называется отраженной.

В дальнейшем будем рассматривать бегущие волны.

Если волна распространяется в реальной среде, то из-за происходящих тепловых потерь, неизбежно происходит уменьшение амплитуды. Рассмотрим простой пример. Пусть волна распространяется вдоль оси z и первоначальное значение амплитуды волны соответствует 100%, т.е. A 0 =100. Допустим при прохождении одного метра пути амплитуда волны уменьшается на 10%. Тогда будем иметь следующие значения амплитуд волн

Общая закономерность изменения амплитуды имеет вид

Такими свойствами обладает показательная функция. Графически процесс можно показать в виде рис. 3.3.

В общем виде соотношение пропорциональности запишем как

, (3.7)

где  - постоянная затухания волны.

Фазовую постоянную  и постоянную затухания  можно объединить с помощью введения комплексной постоянной распространения , т.е.

, (3.8)

где  - фазовая постоянная,  - постоянная затухания волны.

В зависимости от вида волнового фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические.

Плоская волна – это волна, имеющая плоский фронт волны. Плоской волне также можно дать следующее определение. Волна называется плоской однородной, если векторное поле ив любой точке плоскости перпендикулярны направлению распространения и не изменяются по фазе и амплитуде.

Уравнение плоской волны

Если источник, порождающий волну, является точечным, то фронт волны, распространяющийся в неограниченном однородном пространстве, представляет собой сферу.Сферическая волна – это волна, имеющая сферический фронт волны. Уравнение сферической волны имеет вид

, (3.10)

где r – радиус-вектор, проведенный из начала координат, совпадающего с положением точечного источника, в конкретную точку пространства, расположенной на расстоянии r.

Волны могут возбуждаться с помощью бесконечной нити источников, расположенных вдоль оси z. В этом случае такая нить будет порождать волны, фазовый фронт которых представляет собой цилиндрическую поверхность.

Цилиндрическая волна – это волна, имеющая фазовый фронт в виде цилиндрической поверхности. Уравнение цилиндрической волны имеет вид

, (3.11)

Формулы (3.2), (3.10, 3.11) указывают на различную зависимость амплитуды от расстояния между источником волны и конкретной точкой пространства, до которой дошла волна.

Уравнения Гельмгольца

Максвелл получил один из важнейших результатов электродинамики, доказав, что распространение электромагнитных процессов в пространстве с течением времени происходит в виде волны. Рассмотрим доказательство этого положения, т.е. докажем волновой характер электромагнитного поля.

Запишем первые два уравнения Максвелла в комплексной форме в виде

(3.12)

Возьмем второе уравнение системы (3.12) и применим к нему операцию ротора к левой и правой частям. В результате получим

Обозначим
, которая представляет собой постоянную распространения. Таким образом

(3.14)

С другой стороны, на основе известного тождества в векторном анализе можно записать

, (3.15)

где
является оператором Лапласа, который в декартовой системе координат выражается тождеством

(3.16)

Учитывая закон Гаусса, т.е.
, уравнение (3.15) запишется в более простом виде

, или

(3.17)

Аналогично, пользуясь симметрией уравнений Максвелла, можно получить уравнение относительно вектора, т.е.

(3.18)

Уравнения вида (3.17, 3.18) называются уравнениями Гельмгольца. В математике доказано, что если какой-либо процесс описывается в виде уравнений Гельмгольца, то это означает, что процесс является волновым процессом. В нашем случае делаем заключение: переменные во времени электрическое и магнитное поле неизбежно приводит к распространению в пространстве электромагнитных волн.

В координатной форме уравнение Гельмгольца (3.17) записываются в виде

где ,,- единичные векторы вдоль соответствующих осей координат

,

,

.(3.20)

Свойства плоских волн при распространении в непоглощающих средах

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z, тогда распространение волны описывается системой дифференциальных уравнений

(3.21)

где и- комплексные амплитуды поля,

(3.22)

Решение системы (3.21) имеет вид

(3.23)

Если волна распространяется только в одном направлении вдоль оси z, и вектор направлен вдоль осиx, то решение системы уравнений целесообразно записать в виде

(3.24)

где и- единичные орты вдоль осиx,y.

Если в среде отсутствуют потери, т.е. параметры среды  а и  а, и
являются действительными величинами.

Перечислим свойства плоских электромагнитных волн

Для среды вводится понятие волнового сопротивления среды

(3.25)

где ,
- амплитудные значения напряженностей поля. Волновое сопротивление для среды без потерь также является действительной величиной.

Для воздуха волновое сопротивление составляет

(3.26)

Из уравнения (3.24) видно, что магнитное и электрическое поле совпадает по фазе. Поле плоской волны представляет собой бегущую волну, которую записывается в виде

(3.27)

На рис. 3.4 векторы поля иизменяются синфазно, как следует из формулы (3.27).

Вектор Пойнтинга в любой момент времени совпадает с направлением распространения волны

(3.28)

Модуль вектора Пойнтинга определяет плотность потока мощности и измеряется в
.

Средняя плотность потока мощности определяется

(3.29)

, (3.30)

где
- действующие значения напряженностей поля.

Энергия поля, заключенная в единице объема, называется плотностью энергии. Электромагнитное поле изменяется с течением времени, т.е. является переменным. Значение плотности энергии в данный момент времени называется мгновенной плотностью энергии. Для электрической и магнитной составляющих электромагнитного поля мгновенные плотности энергии соответственно равны

Учитывая, что
, из соотношений (3.31) и (3.32) видно, что
.

Полная плотность электромагнитной энергии определяется выражением

(3.33)

Фазовая скорость распространения электромагнитной волны определяется формулой

(3.34)

Длина волны определяется

(3.35)

где - длина волны в вакууме (воздухе), с – скорость света в воздухе, - относительная диэлектрическая проницаемость,  - относительная магнитная проницаемость, f – линейная частота,  - циклическая частота, V ф – фазовая скорость,  - постоянная распространения.

Скорость перемещения энергии (групповая скорость) можно определить из формулы

(3.36)

где - вектор Пойнтинга, - плотность энергии.

Если расписать и в соответствие с формулами (3.28), (3.33), то получим

(3.37)

Таким образом, получим

(3.38)

При распространении электромагнитной монохроматической волны в среде без потерь выполняется равенство фазовой и групповой скорости.

Между фазовой и групповой скоростью существует связь, выраженная формулой

(3.39)

Рассмотрим пример распространения электромагнитной волны во фторопласте, имеющем параметры  =2, =1. Пусть напряженность электрического поля соответствует

(3.40)

Скорость распространения волны в такой среде будет равна

Волновое сопротивление фторопласта соответствует значению

Ом (3.42)

Амплитудные значения напряженности магнитного поля принимают значения

, (3.43)

Плотность потока энергии, соответственно, равна

Длина волны на частоте
имеет значение

(3.45)

Теорема Умова – Пойнтинга

Электромагнитное поле характеризуется собственной энергией поля, причем, полная энергия определяется суммой энергий электрического и магнитного полей. Пусть электромагнитное поле занимает замкнутый объем V, тогда можно записать

(3.46)

Энергия электромагнитного поля, в принципе, не может оставаться постоянной величиной. Возникает вопрос: Какие факторы влияют на изменение энергии? Установлено, что на изменение энергии внутри замкнутого объема влияют следующие факторы:

часть энергии электромагнитного поля может превратиться в другие виды энергии, например, механическую;

внутри замкнутого объема могут действовать сторонние силы, которые могут увеличивать или уменьшать энергию электромагнитного поля, заключенную в рассматриваемом объеме;

рассматриваемый замкнутый объем V может обмениваться энергией с окружающими телами за счет процесса излучения энергии.

Интенсивность излучения характеризуется вектором Пойнтинга. ОбъемV имеет замкнутую поверхность S. Изменение энергии электромагнитного поля можно рассматривать как поток вектора Пойнтинга сквозь замкнутую поверхность S (рис. 3.5), т.е.
, причем возможны варианты
>0 ,
<0 ,
=0 . Отметим, что нормаль, проведенная к поверхности
,всегда является внешней.

Напомним, что
, где
-это мгновенные значения напряженности поля.

Переход от интеграла по поверхности
к интегралу по объему V осуществлен на основе теоремы Остроградского-Гаусса.

Зная, что

подставим эти выражения в формулу (3.47). После преобразования, получим выражение в виде:

Из формулы (3.48) видно, что левая часть выражается суммой, состоящей из трех слагаемых, каждое из которых рассмотрим в отдельности.

Слагаемое
выражаетмгновенную мощность потерь , обусловленную в рассматриваемом замкнутом объеме токами проводимости. Иными словами, слагаемое выражает тепловые потери энергии поля, заключенного в замкнутом объеме.

Второе слагаемое
выражает работу сторонних сил, произведенную в единицу времени, т.е. мощность сторонних сил. Для такой мощности возможны значения
>0,
<0.

Если
>0, т.е. в объеме V добавляется энергия, тогда сторонние силы можно рассматривать в качестве генератора. Если
<0 , т.е. в объеме V происходит уменьшение энергии, то сторонние силы играют роль нагрузки.

Последнее слагаемое для линейной среды можно представить в виде:

(3.49)

Формула (3.49) выражает скорость изменения энергии электромагнитного поля, заключенного внутри объема V.

После рассмотрения всех слагаемых можно формулу (3.48) записать в виде:

Формула (3.50) выражает собой теорему Пойнтинга. Теорема Пойнтинга выражает баланс энергии внутри произвольной области, в которой существует электромагнитное поле.

Запаздывающие потенциалы

Уравнения Максвелла в комплексной форме, как известно, имеют вид:

(3.51)

Пусть в однородной среде существуют сторонние токи. Попробуем преобразовать уравнения Максвелла для такой среды и получить более простое уравнение, описывающее электромагнитное поле в такой среде.

Возьмем уравнение
.Зная, что характеристики и связаны междусобой
,то можно записать
Учтем, что напряженность магнитного поля можно выразить с помощью векторного электродинамического потенциала , который вводится соотношением
, тогда

(3.52)

Возьмем второе уравнение системы Максвелла (3.51) и выполним преобразования:

(3.53)

Формула (3.53) выражает второе уравнение Максвелла через векторный потенциал . Формулу (3.53) можно записать в виде

(3.54)

В электростатике, как известно, выполняется соотношение:

(3.55)

где -вектор напряженности поля,
- скалярный электростатический потенциал. Знак минус указывает, что вектор направлен из точки, имеющей более высокий потенциал, в точку с более низким потенциалом.

Выражение в скобках (3.54) по аналогии с формулой (3.55) можно записать в виде

(3.56)

где
- скалярный электродинамический потенциал.

Возьмем первое уравнение Максвелла и запишем его с помощью электродинамических потенциалов

В векторной алгебре доказано тождество:

Используя тождество (3.58) можно первое уравнение Максвелла, записанное в виде (3.57), представить в виде

Приведем подобные

Умножим левую и правую части на множитель (-1):

можно задать произвольным образом, поэтому можно положить, что

Выражение (3.60) называется лоренцевой калибровкой .

Если w =0 , то получим кулонову калибровку
=0.

Сучетом калибровок уравнение (3.59) можно записать

(3.61)

Уравнение (3.61) выражает собой неоднородное волновое уравнение для векторного электродинамического потенциала.

Аналогичным путем, исходя из третьего уравнения Максвелла
,можно получить неоднородное уравнение для скалярного электродинамического потенциала в виде:

(3.62)

Полученные неоднородные уравнения для электродинамических потенциалов имеют свои решения

, (3.63)

гдеМ – произвольная точка М, -объемная плотность заряда, γ – постоянная распространения, r

(3.64)

где V – объем, занимаемый сторонними токами, r – текущее расстояние от каждого элемента объема источника до точки М.

Решение для векторного электродинамического потенциала (3.63), (3.64) называется интегралом Кирхгофа для запаздывающих потенциалов .

Множитель
можно выразить с учетом
в виде

Этот множитель соответствует конечной скорости распространения волны от источника, причем
Т.к. скорость распространения волны является конечной величиной, то воздействие источника, порождающего волны, до произвольной точки М доходит с запаздыванием во времени. Значение времени запаздывания определяется:
На рис. 3.6 показан точечный источникU , который излучает сферические волны, распространяющиеся со скоростью v в окружающем однородном пространстве, а также произвольная точка М, расположенная на расстоянии r , до которой доходит волна.

В момент времени t векторный потенциал
в точке М является функцией токов, протекающих в источнике U в более раннее время
Иными словами,
зависит от токов источника, которые протекали в ней в более ранний момент

Из формулы (3.64) видно, что векторный электродинамический потенциал параллелен (сонаправлен) с плотностью тока сторонних сил; его амплитуда убывает по закону ; на больших расстояниях по сравнению с размерами излучателя волна имеет сферический фронт волны.

Учитывая
и первое уравнение Максвелла, можно определить напряженность электрического поля:

Полученные соотношения определяют электромагнитное поле в пространстве, созданном заданным распределением сторонних токов

Распространение плоских электромагнитных волн в хорошо проводящих средах

Рассмотрим распространение электромагнитной волны в проводящей среде. Такие среды также называются металлоподобными. Реальная среда является проводящей, если плотность токов проводимости значительно превосходит плотность токов смещения, т.е.
и
, причем
, или

(3.66)

Формула (3.66) выражает условие, при котором реальную среду можно считать проводящей. Иными словами, мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости должна превосходить действительную часть. Формула (3.66) также показывает зависимость от частоты, причем, чем ниже частота, тем в среде более ярко выражены свойства проводника. Рассмотрим это положение на примере.

Так, на частоте f = 1МГц = 10 6 Гц сухая почва имеет параметры =4, =0,01,. Сравним между собойи, т.еи
. Из полученных значений видно, что 1,610 -19 >> 3,5610 -11 , поэтому сухую почву при распространении волны с частотой 1 МГц следует считать проводящей.

Для реальной среды запишем комплексную диэлектрическую проницаемость

(3.67)

т.к. в нашем случае
, то для проводящей среды можно записать

, (3.68)

где  - удельная проводимость,  - циклическая частота.

Постоянная распространения , как известно, определяется из уравнений Гельмгольца

Таким образом, получим формулу для постоянной распространения

(3.69)

Известно, что

(3.70)

Учитывая тождество (3.49), формулу (3.50) можно записать в виде

(3.71)

Постоянная распространения выражается в виде

(3.72)

Сравнение действительных и мнимых частей в формулах (3.71), (3.72) приводит к равенству значений фазовой постоянной  и постоянной затухания , т.е.

(3.73)

Из формулы (3.73) выпишем длину волны, которую приобретает поле при распространении в хорошо проводящей среде

(3.74)

где - длина волны в металле.

Из полученной формулы (3.74) видно, что длина электромагнитной волны, распространяющейся в металле, значительно сокращается по сравнению с длиной волны в пространстве.

Выше сказано, что амплитуда волны при распространении в среде с потерями уменьшается по закону
. Для характеристики процесса распространения волны в проводящей среде вводится понятиеглубина поверхностного слоя или глубина проникновения .

Глубина поверхностного слоя - это расстояние d, на котором амплитуда поверхностной волны уменьшается в е раз по сравнению с ее начальным уровнем.

(3.75)

где - длина волны в металле.

Глубину поверхностного слоя можно также определить из формулы

, (3.76)

где  - циклическая частота,  а – абсолютная магнитная проницаемость среды,  - удельная проводимость среды.

Из формулы (3.76) видно, что с повышением частоты и удельной проводимости, глубина поверхностного слоя уменьшается.

Приведем пример. Медь с удельной проводимостью
на частотеf = 10 ГГц ( = 3см) имеет глубину поверхностного слоя d =
. Отсюда можно сделать важный для практики вывод: нанесение на непроводящее покрытие слоя хорошо проводящего вещества позволит выполнить элементы устройств с малыми тепловыми потерями.

Отражение и преломление плоской волны на границе раздела сред

При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве, представляющем собой области с различными значениями параметров
и границей раздела в виде плоскости, возникают отраженные и преломленные волны. Интенсивности этих волн определяются через коэффициенты отражения и преломления.

Коэффициентом отражения волны называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля отраженной к падающей волн на границе раздела и определяется формулой:

(3.77)

Коэффициентом прохождения волны во вторую среду из первой называется отношение комплексных значений напряженностей электрического поля преломленной к падающей волн и определяется формулой

(3.78)

Если вектор Пойнтинга падающей волны перпендикулярен границе раздела, то

(3.79)

где Z 1 ,Z 2 – характеристическое сопротивление для соответствующих сред.

Характеристическое сопротивление определяется по формуле:

где
(3.80)

.

При наклонном падении направление распространения волны по отношению к границе раздела задается углом падения. Угол падения – угол между нормалью к поверхности и направлением распространения луча.

Плоскость падения – это плоскость, которая содержит падающий луч и нормаль, восстановленную в точку падения.

Из граничных условий следует, что углы падения и преломления связаны законом Снелля:

(3.81)

где n 1 , n 2 - показатели преломления соответствующих сред.

Электромагнитные волны характеризуются поляризацией. различают эллиптическую, круговую и линейную поляризации. В линейной поляризации выделяют горизонтальную и вертикальную поляризацию.

Горизонтальная поляризация – поляризация, при которой вектор колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.

Пусть на границу раздела двух сред падает плоская электромагнитная волна с горизонтальной поляризацией как показано на рис. 3.7. Вектор Пойнтинга падающей волны обозначен . Т.к. волна имеет горизонтальную поляризацию, т.е. вектор напряженности электрического поля колеблется в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, то он обозначени на рис. 3.7 показан в виде кружочка с крестиком (направлен от нас). Соответственно вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости падения волны и обозначен. Векторы,,образуют правую тройку векторов.

Для отраженной волны соответствующие векторы поля снабжены индексом «отр», для преломленной индексом - «пр».

При горизонтальной (перпендикулярной) поляризации нахождение коэффициентов отражения и прохождения проводятся следующим образом (рис. 3.7).

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия, т.е.

В нашем случае мы должны выявить тангенциальные проекции векторов, т.е. можно записать

Линии напряженности магнитного поля направлены для падающей, отраженной и преломленной волны перпендикулярную плоскость падения. Поэтому следует записать

Исходя из этого, можем составить на основании граничных условий систему

Также известно, что напряженности электрического и магнитного полей связаны между собой через волновое сопротивление среды Z

Тогда второе уравнение системы можно записать в виде

Итак, система уравнений приобрела вид

Разделим оба уравнения этой системы на амплитуду падающей волны
и,учитывая определения коэффициентов преломления (3.77) и прохождения (3.78), можно записать систему в виде

Система имеет два решения и две неизвестные величины. Такая система, как известно, разрешима.

Вертикальная поляризация – поляризация, при которой вектор колеблется в плоскости падения.

При вертикальной (параллельной) поляризации коэффициенты отражения и прохождения выражаются следующим образом (рис. 3.8).

Для вертикальной поляризации записывается аналогичная система уравнений как и для горизонтальной поляризации, но с учетом направления векторов электромагнитного поля

Такую систему уравнений аналогичным образом можно привести к виду

Решением системы являются выражения для коэффициентов отражения и прохождения

При падении плоских электромагнитных волн с параллельной поляризацией на границу раздела двух сред коэффициент отражения может обращаться в ноль. Угол падения, при котором падающая волна полностью, без отражения, проникает из одной среды в другую, называется углом Брюстера и обозначается как
.

(3.84)

(3.85)

Подчеркнем, что угол Брюстера при падении плоской электромагнитной волны на немагнитный диэлектрик может существовать лишь при параллельной поляризации.

Если плоская электромагнитная волна падает под произвольным углом на границу раздела двух сред с потерями, то отраженную и преломленную волны следует считать неоднородными, так как плоскость равных амплитуд должна совпадать с границей раздела. Для реальных металлов угол между фазовым фронтом и плоскостью равных амплитуд мал, поэтому можно полагать, что угол преломления равен 0.

Приближенные граничные условия Щукина-Леонтовича

Данные граничные условия применимы в случае, когда одна из сред является хорошим проводником. Предположим, что плоская электромагнитная волна падает из воздуха под углом  на плоскую границу раздела с хорошо проводящей средой, которая описывается комплексным показателем преломления

(3.86)

Из определения понятия хорошо проводящей среды следует, что
. Применив закон Снелля, можно отметить, что угол преломления будет очень малым. Из этого можно считать, что преломленная волна входит внутрь хорошо проводящей среды практически по направлению нормали при любом значении угла падения.

Используя граничные условия Леонтовича нужно знать касательную составляющую магнитного вектора . Обычно приближенно полагают, что эта величина совпадает с аналогичной составляющей, вычисленной для поверхности идеального проводника. Ошибка, возникающая при таком приближении, будет очень мала, так как коэффициент отражения от поверхности металлов, как правило, близок к нулю.

Излучение электромагнитных волн в свободное пространство

Выясним, в чем заключаются условия излучения электромагнитной энергии в свободное пространство. Для этого рассмотрим точечный монохроматический излучатель электромагнитных волн, который помещен в начало сферической системы координат. Как известно, сферическая система координат задается (r, Θ, φ), где r – радиус вектор, проведенный из начала системы в точку наблюдения; Θ – меридиональный угол, отсчитываемый от оси Z (зенита) до радиус-вектора, проведенного в точку М; φ – азимутальный угол, отсчитываемый от оси Х до проекции радиус-вектора, проведенной из начала координат до точки М′ (М′ - это проекция точки М на плоскость XOY). (Рис.3.9).

Точечный излучатель находится в однородной среде, обладающей параметрами

Точечный излучатель излучает электромагнитные волны во все направления и любая составляющая электромагнитного поля подчиняется уравнению Гельмгольца, кроме точки r =0 . Можно ввести комплексную скалярную функцию Ψ, под которой понимается любая произвольно взятая составляющая поля. Тогда уравнение Гельмгольца для функции Ψ имеет вид:

(3.87)

где
- волновое число (постоянная распространения).

(3.88)

Положим, что функция Ψ обладает сферической симметрией, тогда уравнение Гельмгольца можно записать в виде:

(3.89)

Уравнение (3.89) можно записать также в виде:

(3.90)

Уравнения (3.89) и (3.90) являются тождественными между собой. Уравнение (3.90) известно в физике как уравнение колебаний. Такое уравнение имеет два решения, которые при равенстве амплитуд имеют вид:

(3.91)

(3.92)

Как видно из (3.91), (3.92) решение уравнения отличается только знаками. Причем, указывает набегущую от источника волну, т.е. волна распространяется от источника в бесконечность. Вторая волна указывает, что волна приходит к источнику из бесконечности. Физически один и тот же источник не может порождать одновременно две волны: бегущую и приходящую из бесконечности. Поэтому необходимо учесть, что волна физически не существует.

Рассматриваемый пример достаточно прост. Но в случае излучения энергии системой источников выбрать правильное решение весьма сложно. Поэтому требуется аналитическое выражение, являющееся критерием выбора правильного решения. Нужен общий критерий в аналитическом виде, позволяющий выбрать однозначное физически обусловленное решение.

Иными словами, нужен такой критерий, который отличает функцию, выражающую собой бегущую волну от источника в бесконечность, от функции, описывающей волну, приходящую из бесконечности в источник излучения.

Такая задача решена А. Зоммерфельдом. Он показал, что для бегущей волны, описываемой функцией ,выполняется соотношение:

(3.93)

Эта формула называется условием излучения или условием Зоммерфельда .

Рассмотрим элементарный электрический излучатель в виде диполя. Электрический диполь представляет собой отрезок провода малой длины l по сравнению с длинной волны  (l << ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l << , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Нетрудно показать, что изменение электрического поля в пространстве окружающем провод, носит волновой характер. Для наглядности рассмотрим предельно упрощенную модель процесса образования и изменения электрической составляющей электромагнитного поля, которое излучает провод. На рис. 3.11 показана модель процесса излучения электрического поля электромагнитной волны в течении времени, равного одному периоду

Как известно, электрический ток обусловлен движением электрических зарядов, а именно

или

В дальнейшем будем рассматривать только изменение положения на проводе положительного и отрицательного зарядов. Силовая линия напряженности электрического поля начинается на положительном заряде и оканчивается на отрицательном. На рис. 3.11 силовая линия показана пунктиром. Стоит помнить, что электрическое поле создается во всем пространстве, окружающем проводник, хотя на рис. 3.11 показана одна силовая линия.

Чтобы по проводнику протекал переменный ток, необходим источник переменной ЭДС. Такой источник включен в середину провода. Состояние процесса излучения электрического поля показано цифрами от 1 до 13. Каждая цифра соответствует определенному моменту времени, связанному состоянием процесса. Момент t=1 соответствует началу процесса, т.е. ЭДС = 0. В момент t=2 появляется переменная ЭДС, которая вызывает движение зарядов, как показано на рис. 3.11. с появлением движущихся зарядов в проводе возникает электрическое поле в пространстве. с течением времени (t = 3÷5) заряды движутся к концам проводника и силовая линия охватывает все большую часть пространства. силовая линия расширяется со скоростью света в направлении, перпендикулярном проводу. В момент времени t = 6 – 8 ЭДС, пройдя через максимальное значение, уменьшается. Заряды движутся к середине провода.

В момент времени t = 9 заканчивается полупериод изменения ЭДС, она уменьшается до нуля. При этом происходит слияние зарядов, они компенсируют друг друга. электрическое поле в этом случае отсутствует. Силовая линия напряженности излученного электрического поля замыкается и продолжает удаляться от провода.

Далее наступает второй полупериод изменения ЭДС, процессы повторяются с учетом изменения полярности. На рис. 3.11 в моменты t = 10÷13 показана картина протекания процесса с учетом силовой линии напряженности электрического поля.

Мы рассмотрели процесс образования замкнутых силовых линий вихревого электрического поля. Но стоит помнить, что излучение электромагнитных волн является единым процессом. Электрическое и магнитное поле являются неразрывными взаимообусловленными составляющими электромагнитного поля.

Процесс излучения, показанный на рис. 3.11 аналогичен излучению электромагнитного поля симметричным электрическим вибратором и широко применяется в технике радиосвязи. Необходимо помнить, что плоскость колебаний вектора напряженности электрического поля является взаимно перпендикулярной плоскости колебаний вектора напряженности магнитного поля.

Излучение электромагнитных волн обусловлено переменным процессом. Поэтому в формуле для заряда можно положить постоянную С=0. Для комплексной величины заряда можно записать.

(3.94)

По аналогии с электростатикой можно ввести понятие момента электрического диполя с переменным током

(3.95)

Из формулы (3.95) следует, что векторы момента электрического диполя и направленного отрезка провода являются сонаправленными.

Следует заметить, что реальные антенны имеют длину проводов обычно сравнимую с длиной волны. Чтобы определить излучательные характеристики таких антенн, провод обычно мысленно разбивают на отдельные малые участки, каждый из которых рассматривают как элементарный электрический диполь. результирующее поле антенны находят путем суммирования излучаемых векторных полей, порожденных отдельными диполями.

Для большинства задач, связанных с волнами, важно знать состояние колебаний различных точек среды в тот или иной момент времени. Состояния точек среды будут определены, если известны амплитуды и фазы их колебаний. Для поперечных волн необходимо еше знать характер поляризации. Для плоской линейно-поляризованной волны достаточно иметь выражение, позволяющее определить смещение с(х, t) из положения равновесия любой точки среды с координатой х, в любой момент времени t. Такое выражение называется уравнением волны.

Рис. 2.21.

Рассмотрим так называемую бегущую волну, т.е. волну с плоским волновым фронтом, распространяющуюся в каком-либо одном определенном направлении (например, вдоль оси х). Пусть частицы среды, непосредственно примыкающие к источнику плоских волн, совершают колебания по гармоническому закону; %(0, /) = = ЛсобсоГ (рис. 2.21). На рисунке 2.21, а через ^(0, t) обозначено смещение частиц среды, лежащих в перпендикулярной рисунку плоскости и имеющих в выбранной системе координат координату х = 0 в момент времени t. Начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний, определенных через косинусоидальную функцию, была равна нулю. Ось х совместим с лучом, т.е. с направлением распространения колебаний. В этом случае фронт волны перпендикулярен оси х, так что частицы, лежащие в этой плоскости, будут совершать колебания в одной фазе. Сам фронт волны в данной среде перемещается вдоль оси х со скоростью и распространения волны в данной среде.

Найдем выражение?(х, t) смещения частиц среды, удаленных от источника на расстояние х. Это расстояние фронт волны проходит

за время Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, удаленной от источника на расстояние х, будут отставать по времени на величину т от колебаний частиц, непосредственно примыкающих к источнику. Эти частицы (с координатой х) также будут совершать гармонические колебания. В отсутствие затухания амплитуда А колебаний (в случае плоской волны) не будет зависеть от координаты х, т.е.

Это и есть искомое уравнение тоской бегущей волны (не путать с волновым уравнением, рассматриваемым ниже!). Уравнение, как уже отмечалось, позволяет определить смещение % частицы среды с координатой х в момент времени t. Фаза колебаний зависит

от двух переменных: от координаты х частицы и времени t. В данный фиксированный момент времени фазы колебаний различных частиц будут, вообще говоря, различны, но можно выделить такие частицы, колебания которых будут происходить в одинаковой фазе (синфазно). Можно также считать, что разность фаз колебаний этих частиц равна 2пт (где т = 1, 2, 3,...). Кратчайшее расстояние между двумя частицами бегущей волны, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны X.

Найдем связь длины волны X с другими величинами, характеризующими распространение колебаний в среде. В соответствии с введенным определением длины волны можно написать

или после сокращений Так как , то

Это выражение позволяет дать иное определение длины волны: длина волны есть расстояние, на которое успевают распространиться колебания частиц среды за время, равное периоду колебаний.

Уравнение волны обнаруживает двойную периодичность: по координате и по времени: ^(х, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = Цх + пХ, ml), где пит - любые целые числа. Можно, например, фиксировать координаты частиц (положить х = const) и рассматривать смещение их как функцию времени. Или, наоборот, фиксировать момент времени (принять t = const) и рассматривать смещение частиц как функцию координат (мгновенное состояние смещений - мгновенная фотография волны). Так, находясь на пристани можно с помощью фотоаппарата в момент времени t сфотографировать морскую поверхность, но можно, бросив щепку в море (т.е. зафиксировав координату х), следить за ее колебаниями во времени. Оба эти случая приведены в виде графиков на рис. 2.21, а-в.

Уравнение волны (2.125) можно переписать иначе

Отношение обозначается к и называется волновым числом

Так как , то

Волновое число, таким образом, показывает, какое число длин волн укладывается в отрезке 2л единиц длины. Введя волновое число в уравнение волны, получим уравнение бегущей в положительном направлении Ох волны в наиболее часто употребляемом виде

Найдем выражение, связывающее разность фаз Дер колебаний двух частиц, принадлежащих разным волновым поверхностям Х и х 2 . Воспользовавшись уравнением волны (2.131), запишем:

Если обозначить или согласно (2.130)

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в произвольном направлении, описывается в общем случае уравнением

где г -радиус-вектор, проведенный из начала координат к частице, лежащей на волновой поверхности; к - волновой вектор, равный по модулю волновому числу (2.130) и совпадающий по направлению с нормалью к волновой поверхности в направлении распространении волны.

Возможна также комплексная форма записи уравнения волны. Так, например, в случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси х

а в общем случае плоской волны произвольного направления

Уравнение волны в любой из перечисленных форм записи может быть получено как решение дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Если мы знаем решение этого уравнения в форме (2.128) или (2.135) - уравнение бегущей волны, то найти само волновое уравнение не составляет труда. Продифференцируем 4(х, t) = % из (2.135) дважды по координате и дважды времени и получим

выражая?, через полученные производные и сравнивая результаты, получим

Имея в виду соотношение (2.129), запишем

Это и есть волновое уравнение для одномерного случая.

В общем виде для?, = с(х, у, z, /) волновое уравнение в декартовых координатах выглядит так

или в более компактном виде:

где Д - дифференциальный оператор Лапласа

Фазовой скоростью называется скорость распространения точек волны, колеблющихся в одинаковой фазе. Иными словами - это скорость перемещения «гребня», «впадины», либо любой другой точки волны, фаза которой фиксирована. Как уже отмечалось ранее, фронт волны (а следовательно, и любая волновая поверхность) перемещается вдоль оси Ох со скоростью и. Следовательно, скорость распространения колебаний в среде совпадает со скоростью перемещения данной фазы колебаний. Поэтому скорость и, определяемую соотношением (2.129), т.е.

принято называть фазовой скоростью.

Тот же результат можно получить, найдя скорость точек среды, удовлетворяющих условию постоянства фазы со/ - fee = const. Отсюда находится зависимость координаты от времени(со/ - const) и скорость перемещения данной фазы

что совпадает с (2.142).

Плоская бегущая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ох, описывается уравнением

Действительно, в этом случае фазовая скорость отрицательна

Фазовая скорость в данной среде может зависеть от частоты колебаний источника. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, а среды, в которых имеет место эта зависимость, называются диспергирующими средами. Не следует думать, однако, что выражение (2.142) и есть указанная зависимость. Дело в том, что в отсутствие дисперсии волновое число к прямо пропорционально

со и поэтому . Дисперсия имеет место лишь в том случае, когда со зависит от к нелинейно).

Бегущая плоская волна называется монохроматической (имеющей одну частоту), если колебания в источнике гармонические. Монохроматическим волнам отвечает уравнение вида (2.131).

Для монохроматической волны угловая частота со и амплитуда А не зависят от времени. Это значит, что монохроматическая волна безгранична в пространстве и бесконечна во времени, т.е. представляет собой идеализированную модель. Всякая реальная волна, как бы тщательно ни поддерживалось постоянство частоты и амплитуды, монохроматической не является. Реальная волна не длится бесконечно долго, а начинается и кончается в определенные моменты времени в определенном месте, и, следовательно, амплитуда такой волны есть функция времени и координаты этого места. Однако чем длиннее интервал времени, в течение которого поддерживаются постоянными амплитуда и частота колебаний, тем ближе к монохроматической данная волна. Часто в практике монохроматической волной называют достаточно большой отрезок волны, в пределах которого частота и амплитуда не изменяются, подобно тому, как изображают на рисунке отрезок синусоиды, и называют его синусоидой.