Линейное уравнение с одной переменной (7 класс). план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему. Решение линейных уравнений с одной переменной Формулирование цели и задач урока

План урока по алгебре в 7В классе.

Линейное уравнение с одной переменной.

(04.10.2012г.)

Цель урока . Формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным, сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.

Тип урока : комбинированный.

Задачи урока :

1) образовательная:

Познакомить учащихся с видом линейного уравнения и способом его решения, добиться усвоения правила решения линейных, его понимания и умения пользоваться им при решении;

2) развивающая:

продолжить формирование математических знаний и приемов умственной деятельности (умение анализировать ситуацию и ориентироваться в действиях, научиться выполнять новое действие, довести его до автоматизации). Формировать элементы математической логики.

3) воспитательная:

формирование навыка пошаговой работы под руководством учителя (объяснение нового материала, первоначальное закрепление), восприятия информации на слух (карточки), формирования самооценки (рефлексия).

Ход урока

I. Проверка домашней работы фронтально.

II. Устная работа (на карточках)

Цель устной работы : диагностика формирования навыков решения линейных уравнений с одной переменной.

1. Вместо (*) поставить знак «+» или «-», а вместо точек – числа:

а) (*5)+(*7)=2;

б) (*8)-(*8)=(*4)-12;

в) (*9)+(*4)=-5;

г) (-15)-(*…)=0;

д) (*8)+(*…)=-12;

е (*10)-(*…)=12.

2. Составить уравнения, равносильные уравнению:

а) х-7=5;

б) 2х-4=0;

в) х-11=х-7;

г) 2(х-12)=2х-24.

III . Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению.

Коллективная работа с классом.

Форма коллективной работы: фронтальная

Решим уравнение

12 - (4х-18)=(36+5х)+(28 – 6х). (1)

Для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобках. Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобках:

12 - 4х+18=36+5х+28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны.

2. Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесём известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.

Например, перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение

4х-5х+6х=36+28-18, (3)

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

3. Приведём подобные слагаемые:

3х=46. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и уравнению (1).

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном. Полученное уравнение х=46/-3 или -15 1/3 будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1).

Поэтому корнем уравнения (1) будет число -15 1/3.

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

1. Раскрыть скобки.

2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.

3. Привести подобные слагаемые.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Примечание: следует отметить, что приведённая схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

7(х-2)=42.

IV . Тренировочные упражнения.

№№ 132(а, г), 133 (а, г), 136 (в), 138 (г) – с записью на доске.

№132. Найдите корень уравнения:

а) (13х-15)-(9+6х)=-3х

Раскроем скобки:

13х-15-9-6х=-3х.

Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:

13х-6х+3х=15+9.

Приведём подобные слагаемые.

10х=24.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

х=2,4

Ответ: 2,4

г) (0,5х+1.2)-(3.6-4,5х)=(4.8-0,3х)+(10,5х+0,6);

0,5х+1,2-3,6+4,5х=4.8-0,3х+10,5х+0,6;

0,5х+4,5х+0,3х-10,5х=4,8+0,6-1,2+3,6;

5,2х=7,8;

х=-1,5

Ответ: -1,5

№133 Найдите корень уравнения:

а) 5(3х+1,2) + х = 6,8,

15х + 6 + х = 6,8,

15х + х = 6,8 – 6,

16х = 0,8,

х = 0,8: 16,

х = 0,05,

Ответ: 0,05

г) 5,6 - 7у = - 4(2у – 0,9) + 2, 4,

5,6 – 7у = - 8у + 3, 6 + 2,4,

8у – 7у = 3,6 + 2.4 – 5,6,

у = 0,4,

Ответ: 0,4

№ 136. Решите уравнение:

в) 0,8х – (0,7х + 0,36) = 7,1,

0,8х – 0,7х – 0,36 = 7,1,

0,1х = 0,36 + 7,1,

0,1х = 7,46,

х = 7,46: 0,1,

х = 74,6

Ответ: 74,6.

№ 138. Найдите корень уравнения:

г) -3(у + 2.5) = 6,9 – 4,2у,

3у – 7,5 = 6,9 – 4,2у,

4,2у – 3у = 6,9 + 7,5,

1,2у = 14,4,

у = 14,4: 1,2,

у = 12,

Ответ: 12

V . Самостоятельная работа с учетом индивидуальных способностей учащихся.

I . Вариант.

1. Чтобы решить уравнение 5х = -40, надо -40 разделить на 5. Чему равен корень этого уравнения?

2. Подчеркните коэффициент при х и решите уравнения:

а) 7х = 49;

6) - Зх = 111;

в) 12х = 1.

3. Решая уравнение 12х = -744, Коля нашел, что х = -62. Подставив вместо х число - 62, проверьте, правильно ли найден корень уравнения.

4. Решите уравнения.

а) 6х = 24;

б) 13х = -39;

в) 8х = 4;

г) 6х = 7,5; д)7х = 63;

е)- 4х = 12;

ж) 9х = - 3;

з) 9х = 0,36.

5. При каком значении х:

а) значение выражения 8х равно -64;

б) значение выражения 7х равно 1;

в) значение выражения -х равно 11?

6. Перенесите слагаемые, содержащие х в левую часть уравнения, а остальные в правую, изменив при этом их знаки на противоположные:

а) 2х - 3 = 5х + 8; в) -2х - 5 = 6х - 8;

б) 4х - 12 = -Зх + 3; г) -4х - 2 = -13х + 21.

7. Доведите решение уравнения до конца:

а) 2х - 4 = -8х + 12; б) Зх - 2 = 7х - 14;

в) 2х + 8х = 12 + 4 г)Зх - 7х = -14 + 2

8. Решите уравнение:

а) Зх + 8 = х - 12;

б) х + 4 = 3 - 2х;

в) 5у = 2у + 16;

г) -2х + 9 - 8= х - 1.

9. Решите уравнение:

а) 1,2х = -4,8; г) Зх - 4 = 11; ж) 2х - 1 = Зх + 6;

б) -6х = 7,2; д) 5 - 2х = 0; з) х - 8 = 4х - 9;

В)-Х = -0,6; е)-12 - х = 3; и) 5 - 6х = 0,3 - 5х.

10. При каком значении а

а) значение выражения 3 + 2а равно 43,

б) значение выражения 12 - а равно 100;

в) значения выражений 13а+17 и 5а + 9 равны;

г) значения выражений 5а + 14 и 2а + 7 являются противо положными числами?

II . Вариант

1. Для каждого уравнения вида ах = в запишите, чему равно а и чему равно в:

а) 2,3х = 6,9;

б) –х = -1;

в) - х = 6;

г) 1,2х = 0.

2. а) Закончите запись: чтобы решить уравнение ах = в, в котором а = 0, надо...

б) Решите уравнение 12х = -60 и выполните проверку.

3. Решите уравнение:

1) а) 2х = 12; б) -5х = 15; в) - х = 32; г) -11х = 0;

2) а) 3х = 5; б) - 6х = -15; в) 29х = - 27; г) 16х = - 1;

3) а) 5х = 1/3|; б)4х = - 2/7; в) 1/3х = 6; г) -2/7х = 14.

4) а) 0,01х = 6,5; б)- 1.4х = 0,42; в) 0,Зх = 10; г)-0,6x = - 0,5.

4. При каком значении х:

а) значение выражения 5х равно - 1;

б) значение выражения -0,1х равно 0,5;

в) значение выражения 16х равно 0?

5. На доске было записано решение уравнения вида ах = в, но правую часть уравнения стерли. Восстановите ее:

а) 5х = ... б) Зх = ... в) 4х = ...

х = -12; х=1/6; х = 0,8.

6. Найдите такое значение а, при котором уравнение ах = 114 имеет корень 6.

7. Решите уравнение:

а) Зх-4 = 20

б) 54 - 5х ~ -6;

в) 1,2 - 0.Зх = 0;

г)16-7х = 0;

д) 5/6-х = 1/6

8. Решите уравнение:

а) 5х-11 = 2х+8; г) 0,8х-4 = 0,5-7;

б) 6-7х = 11- 6х; д) 2,6х+8 = 2-х;

в) 3 - х = х+13; е) 12 + 1/3x = 15 - 1/6x

9. При каком значении а:

а) значение выражения 5-За равно 17;

б) значение выражений 3-2а и 5а+10 равны;

в) значение выражения 5 - 9а на 4 больше значения выражения а+1;

г) значение выражения 7+8а на 5 меньше значения выраже­ния 2а+1?

10. Решите уравнение:

а) 15(х+2) = 40; в) 5(2х+1) = 3(2-х);

б) - 2(1-х) = х; г) -6(2-х)-5(1+х).

11. Решите уравнение:

а) 43+4х+(11-5х) = 7; г) 6(х+11)-7х = 73+х;

б) 12-4х – (2+х) = 5х; д) 8(3-х)- 12+6х = 25-х;

в) 5х+12-3(х+16) = - 20; е) 6-х-3(2-5х) - 12+8х.

Для самоконтроля: после раскрытия скобок получается уравнение:

а) 43+4х+11-5х = 7; г) 6х+66-7х = 73+х;

б) 12-4х-2-х = 5х; д) 24-8х-12+6х - 25-х;

в) 5х+12-Зх-48 = -20; е) 6-х-6+15х = 12+8х.

III . Вариант

1. Решите уравнение:

а) 6х = 36; в) -х = 18; д) 49х = 0; ж) 21х = - 3;

б) 5х=5/7; г)11х = -1/3; в) 1/3х = 0; д) -3/7х = - 1;

2. Решите уравнение и выполните проверку:

а) 0,08х - 1; в) – 0,1х = 1; д) 0,6х = - 5; ж) – 0,3х = - 1,1;

б) 0.Зх = 1/3; г) – 1/7х = 0; е) 0,2х = 1/7 з) - 3,6х - - 6.

3. Составьте какое-либо уравнение вида ах = в, которое

а) имеет корнем число 3;

б) имеет корнем число 0;

в) не имеет корней;

г) имеет бесконечно много корней.

4. При каких значениях х

А) значение выражения 1/3х равно 3;

б) значение выражения - 0,8х равно 0;

в) значение выражения 0,01х равно 30;

г) значение выражения -15х равно – 0,1.

5. Решив уравнение вида ах = в, ученик стер коэффициент а. Восстановите его, если это возможно:

а) …х = 1/8 б) …х = -4 в) …х = 0

х=4 х= - 1 х = 0

6 . При каких целых значениях а корнем уравнения ах = 8 является целое число?

8. Даны выражения За+2 и а-5. При каких значения а

а) значения этих выражений равны;

б) значение первого выражения на 12 больше значения второго;

в) значение первого выражения на 7 меньше значения второго;

г) значение первого выражения в 5 раз больше значения вто-

рого?

9. Решите уравнение:

а) - (2х+1) = 41; г) 5(х-1) - 3(2х+2) = - 1;

б) 5(12-х) = 27; д) 12(1-х) - 4 = 2(4х+6);

в) 1,2(2х-1) = 3,6; е) 0,5(2х-1) - х = 6,5.

10. Для уравнения ах-11 = Зх+1 найдите

а) значения а, при которых корнем этого уравнения число 6;

б) значения а, при которых это уравнение не имеет корней;

в) натуральные значения а, при которых корнем уравнения является натуральное число.

11. Решите уравнение:

а) 5(х - 18) - 7х = 21+х; г) 6(х - 1)+12(3 - 2х) = 45 - 17х;

б) Зх+6(1 - х) = - 2(2+х); д) 15(3 - х) - 5(х+11) = 1 - 19х;

в) 1,7 - 8(х - 1) = 3,7+2х; е) - (5 - х) - 8(6+х) = 11,8+х.

VI . Итог урока. Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.

VII . Домашнее задание : п. 3, №№ 128, 129, 131.

Проверка показала, что учащиеся выполнили эти задания, т. е усвоили данную тему.

Самоанализ урока

1. В классе обучаются 25 учащихся. Пять человек могут учиться на 4-5, 8 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения нового материала и способов закрепления полученных знаний.

2. Это второй урок по теме «Уравнения с одной переменной». В этом учебном году данный материал изучался, в начале урока была проведена актуализация знаний в виде напоминания учителем нужных сведений. Данный урок важен для последующего изучения темы «Линейная функция» в курсе алгебры. Специфика - много понятий, моделей, знаний, которые лучше систематизировать и оформить в виде конспекта. Тип урока - комбинированный урок.

3. На уроке решались следующие задачи:

Дидактическая цель урока: Способствовать осознанию и осмыслению новой учебной информации о геометрической и аналитической моделях линейного уравнения с одной переменной.

Образовательная цель: Сформировать понятие линейного уравнения и методов его решения и добиться понимания сути его названия, обозначения и алгебраической записи.

Развивающая цель : Способствовать развитию умения моделировать ситуацию и систематизировать знания в виде таблицы.

Воспитательная цель: Формирование чувства собственного достоинства, уважения к интеллектуальному труду.

Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока.

4. Данная структура урока продиктована невозможностью учащимися долго и сосредоточенно воспринимать однообразно излагаемый материал. Поэтому более плотнен и динамичен урок в первой половине. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний и закрепления новых. Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит три номера, выполнить учащиеся могут то количество, которое пожелают: на 3-один номер, на 4-два, на 5-три.

5. Главный акцент делался на понятиях: линейное уравнение, корень уравнения. Выбраны главные понятия темы, отрабатывается навыки обозначать, называть, записывать алгебраическую модель числового промежутка.

6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.

7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.

8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся, так как изучался новый материал.

9. Использовались средства обучения: Учебник Ю.Н.Макарычев и др.-2009 год, карточки для устной и индивидуальной работы, активно использовалась доска.

10. Задачи реализованы полностью.

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями . Решить уравнение , значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения .

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения:

Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.

При «х= -2»:

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4 \) - равенство верное, значит (-2) - корень нашего уравнения

При «х= -1»

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - равенство неверное, поэтому (-1) - не является корнем уравнения

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения

\(2^2=10-3 \cdot 2 \)

\(4=4 \) - равенство верное, значит 2 - корень нашего уравнения

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения

Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения \(x^2=10-3x \) являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной - это уравнения вида ax = b, где x - переменная, а a и b - некоторые числа.

Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!

Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x

Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:

4х + 28 = 3 - х

Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:

4х + х = 3 - 28

Теперь вычитаем значение слева и справа:

Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):

Ответ х = -5

Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - уравнение решено верно!

Решить теперь что-нибудь по-сложнее:

Пример №3 Найти корни уравнения: \((y+4)-(y-4)=6y \)

В первую очередь, также избавимся от скобок:

Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:

\(y=\frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)

Ответ: y = \(1\frac{1}{3} \)

Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.

Пример №4 \((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

\(x=\frac{7,8}{-5,2}=\frac{3}{-2} =-1,5 \)

Ответ: x = -1,5

Если что-то не понятно по ходу решения пишите в комментариях

Решение задач с помощью уравнений

Зная что такое уравнения и научившись их вычислять - вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х - 10, а значит, в ящике стало - (2х + 10) яблок.

Теперь можно составить уравнение:

5(х-10) - в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.

Приравняем первое значение и второе:

2x+10 = 5(x-10) и решаем:

2х + 10 = 5х - 50

2х - 5х = -50 - 10

х = -60/-3 = 20 (яблок) - в корзине

Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике - так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:

2*20 = 40 (яблок) - в ящике

Ответ: в ящике - 40 яблок, а в корзине - 20 яблок.

Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы - задавайте их в комментариях.

Под конец еще несколько примеров на решения уравнений

Пример №6 \(2x - 0,7x = 0 \)

Пример №7 \(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Пример №8 \(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y \)

\(6y-y-5y=4-1 \)

\(0y=3 \) - корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в комментариях.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Линейное уравнение с одной переменной

Контрольная работа № 1

Цель:

Показать навыки усвоения темы «Линейное уравнение с одной переменной» Уметь составлять выражение с переменными по условию задачи. Выполнять преобразования выражений: приводить подобные слагаемые, раскрывать скобки. Находить значение выражения с переменными при заданных значениях переменных.

Задание № 1

• Решите уравнение:

• 1 вариант

• а) 6х- 15 = 4х + 11;
• б) 9 – 7(х+3) = 5 – 4х.

• 2 вариант

• а) 9х – 8=4х + 12;
• б) 6 – 8 (х+2) = 3 – 2х.

Задание № 2

• 1 вариант

В первом ящике было в 5 раз больше яблок, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 7кг яблок, а во второй добавили 5кг, то в ящиках яблок стало поровну. Сколько кг. Яблок было в каждом ящике сначала?

• 2 вариант

В первой корзине лежало в 4 раза больше грибов, чем во второй. Когда в первую корзину положили еще 4 гриба, а во вторую -31 гриб, то в корзинах грибов стало поровну. Сколько грибов было в каждой корзине сначала?

Задание № 3

• Решите уравнение:

• 1 вариант

а) (8у – 16) · (2,1 + 0,3у) = 0;

б) 7х – (4х + 3) = 3х + 2.

• 2 вариант

а) (12у + 30) · (1,4 – 0,7у) = 0;

б) 9х – (5х – 4) = 4х + 4.

Задание № 4

• 1 вариант

В первый магазин завезли 100 кг конфет, а во второй-240кг. Первый магазин продавал ежедневно по 12 кг конфет, а второй- по 46кг. Через сколько дней во втором магазине останется в 4 раза меньше конфет, чем в первом?

• 2 вариант

На первом складе было 300т угля, а на втором- 178 т. С первого склада ежедневно вывозили 15 т угля, а со второго- 18т. Через сколько дней на первом складе останется в 3 раза больше тонн угля, чем на втором?

Задание № 5

• 1 вариант

При каком значении а уравнение (а + 3)х = 12

а) имеет корень, равный 6;

б) не имеет корней?

• 2 вариант

При каком значении а уравнение (а -2)х = 35

а) имеет корень, равный 5;

Уравнение – это равенство, в котором присутствует одна или несколько переменных.
Мы рассмотрим случай, когда в уравнении одна переменная, то есть одно неизвестное число. По сути, уравнение – это вид математической модели . Поэтому в первую очередь уравнения необходимы нам для решения задач.

Вспомним, как составляется математическая модель для решения задачи.
Например, в новом учебном году количество учащихся в школе №5 увеличилось вдвое. После того, как 20 учеников перешли в другую школу, в общей сложности в школе №5 стало учиться 720 учеников. Сколько учащихся было в прошлом году?

Нам нужно выразить то, что сказано в условии математическим языком . Пусть количество учащихся в прошлом году будет X. Тогда согласно условию задачи,
2X – 20 = 720. У нас получилась математическая модель, которая представляет собой уравнение с одной переменной . Если точнее, то это уравнение первой степени с одной переменной. Осталось найти его корень.

Что такое корень уравнения?

То значение переменной, при котором наше уравнение обратится в верное равенство, называется корнем уравнения. Бывают такие уравнения, у которых много корней. Например, в уравнении 2*X = (5-3)*X любое значение X является корнем. А уравнение X = X +5 вообще не имеет корней, так как какое бы мы не подставили значение X, у нас не получится верное равенство. Решить уравнение означает найти все его корни, или определить, что оно не имеет корней. Таким образом, чтобы ответить на наш вопрос, нам нужно решить уравнение 2X – 20 = 720.

Как решать уравнения с одной переменной?

Для начала запишем базовые определения. Каждое уравнение имеет правую и левую части. В нашем случае, (2X – 20) – левая часть уравнения (она стоит слева от знака равенства), а 720 – правая часть уравнения. Слагаемые правой и левой части уравнения называются членами уравнения. У нас членами уравнения являются 2X, -20 и 720.

Сразу скажем про 2 свойства уравнений:

1. Любой член уравнения можно переносить из правой части уравнения в левую, и наоборот. При этом надо изменить знак этого члена уравнения на противоположный. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X равносильны.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Это число не должно быть равно нулю. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 также равносильны.

Воспользуемся этими свойствами для решения нашего уравнения.

Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком. Получим:

2X = 720 + 20. Сложим то, что у нас в правой части. Получим, что 2X = 740.

Теперь разделим левую и правую части уравнения на 2.

2X:2 = 740:2 или X = 370. Мы нашли корень нашего уравнения и заодно нашли ответ на вопрос нашей задачи. В прошлом году в школе №5 было 370 учеников.

Проверим, действительно ли наш корень обращает уравнение в верное равенство. Подставим вместо X число 370 в уравнение 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Все верно.

Итак, чтобы решить уравнение с одной переменной его нужно привести к так называемому линейному уравнению вида ax = b, где a и b – некоторые числа. Затем левую и правую часть разделить на число a. Получим, что x = b:a.

Что означает привести уравнение к линейному уравнению?

Рассмотрим такое уравнение:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X +3X.

Это также уравнение с одной неизвестной переменной X. Наша задача привести это уравнение к виду ax = b.

Для этого сначала соберем все слагаемые, имеющие в качестве множителя X в левой части уравнения, а остальные слагаемые - в правой части. Слагаемые, имеющие в качестве множителя одну и ту же букву, называют подобными слагаемыми.

5X - 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Согласно распределительному свойству умножения мы можем вынести одинаковый множитель за скобки, а коэффициенты (множители при переменной x) сложить. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Мы привели уравнение к виду ax = b, где a = 7, b = 49.

А как мы написали выше, корнем уравнения вида ax = b будет x = b:a.

То есть X = 49:7 = 7.

Алгоритм нахождения корней уравнения с одной переменной.

1. Собрать подобные слагаемые в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой части уравнения.
2. Привести подобные слагаемые.
3. Привести уравнение к виду ax = b.
4. Найти корни по формуле x = b:a.

Примечание . В данной статье мы не рассматривали те случаи, когда переменная возводится в какую-нибдуь степень. Иначе говоря мы рассматривали уравнения первой степени с одной переменной.

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Что такое линейное уравнение

Определение 1

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a · x = b , где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Пример 1

Примерами линейных уравнений будут:

3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );

− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y , где а = - 3 , 1 и b = 0);

x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и - 1 соответственно. Для первого уравнения b = - 4 ; для второго - b = 5 , 37 ) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.

А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Определение 2

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Пример 2

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 - уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Определение 3

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:

• при a ≠ 0 линейное уравнение имеет единственный корень x = - b a ;
• при a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение не имеет корней;
• при a = 0 и b = 0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

• перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
• умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = - b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = - b a , в котором очевиден корень - b a .

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня - b a как x 1 . Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 . И конечно: x 2 ≠ x 1 , а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 . С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0 и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0 , отсюда: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 и далее a · (x 1 − x 2) = 0 . Равенство a · (x 1 − x 2) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .

Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x , подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.

Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

• по виду записи определяем значения коэффициентов a и b и анализируем их;
• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
• при a = 0 и b ≠ 0
• при a , отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

1. перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a · x = − b ;
2. обе части полученного равенства делим на число a , что даст нам искомый корень заданного уравнения: x = - b a .

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:

• при a = 0 и b = 0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
• при a = 0 и b ≠ 0 заданное уравнение не будет иметь корней;
• при a , не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a , что дает возможность найти единственный корень, который равен b a .

Примеры решения линейных уравнений

Пример 3

Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.

Пример 4

Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0 · x + 2 , 7 = 0 .

Решение

По записи определяем, что а = 0 , b = 2 , 7 . Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.

Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.

Пример 5

Задано линейное уравнение 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 . Необходимо решить его.

Решение

По записи уравнения определяем, что а = 0 , 3 ; b = - 0 , 027 , что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.

Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0 , 3 · x = 0 , 027 . Далее разделим обе части полученного равенства на а = 0 , 3 , тогда: x = 0 , 027 0 , 3 .

Осуществим деление десятичных дробей:

0 , 027 0 , 3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0 , 09

Полученный результат есть корень заданного уравнения.

Кратко решение запишем так:

0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .

Ответ: x = 0 , 09 .

Для наглядности приведем решение уравнения записи a · x = b .

Пример N

Заданы уравнения: 1) 0 · x = 0 ; 2) 0 · x = − 9 ; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Необходимо решить их.

Решение

Все заданные уравнения отвечают записи a · x = b . Рассмотрим по очереди.

В уравнении 0 · x = 0 , a = 0 и b = 0 , что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.

Во втором уравнении 0 · x = − 9: a = 0 и b = − 9 , таким образом, это уравнение не будет иметь корней.

По виду последнего уравнения - 3 8 · x = - 3 3 4 запишем коэффициенты: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a , получим в результате: x = - 3 3 4 - 3 8 . Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10

Кратко решение запишем так:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x = 10 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter