Найти значение эмпирической функции распределения. Эмпирическая функция распределения, свойства. Эмпирическая функция распределения

Определение эмпирической функции распределения

Пусть $X$ -- случайная величина. $F(x)$ - функция распределения данной случайной величины. Будем проводить в одних и тех же независимых друг от друга условий $n$ опытов над данной случайной величиной. При этом получим последовательность значений $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, которая и называется выборкой.

Определение 1

Каждое значение $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) называется вариантой.

Одной из оценок теоретической функции распределения является эмпирическая функция распределения.

Определение 3

Эмпирической функцией распределения $F_n(x)$ называется функция, которая определяет для каждого значения $x$ относительную частоту события $X \

где $n_x$ - число вариант, меньших $x$, $n$ -- объем выборки.

Отличие эмпирической функции от теоретической состоит том, что теоретическая функция определяет вероятность события $X

Свойства эмпирической функции распределения

Рассмотрим теперь несколько основных свойств функции распределения.

Область значений функции $F_n\left(x\right)$ -- отрезок $$.

$F_n\left(x\right)$ неубывающая функция.

$F_n\left(x\right)$ непрерывная слева функция.

$F_n\left(x\right)$ кусочно-постоянная функция и возрастает только в точках значений случайной величины $X$

Пусть $X_1$ -- наименьшая, а $X_n$ -- наибольшая варианта. Тогда $F_n\left(x\right)=0$ при ${x\le X}_1$и $F_n\left(x\right)=1$ при $x\ge X_n$.

Введем теорему, которая связывает между собой теоретическую и эмпирическую функции.

Теорема 1

Пусть $F_n\left(x\right)$ -- эмпирическая функция распределения, а $F\left(x\right)$ -- теоретическая функция распределения генеральной выборки. Тогда выполняется равенство:

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } {|F}_n\left(x\right)-F\left(x\right)|=0\ }\]

Примеры задач на нахождение эмпирической функции распределения

Пример 1

Пусть распределение выборки имеет следующие данные, записанные с помощью таблицы:

Рисунок 1.

Найти объем выборки, составить эмпирическую функцию распределения и построить её график.

Объем выборки: $n=5+10+15+20=50$.

По свойству 5, имеем, что при $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значение $x

Значение $x

Значение $x

Таким образом, получаем:

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Пример 2

Из городов центральной части России случайным образом выбрано 20 городов, для которых получены следующие данные по стоимости проезда в общественном транспорте: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Составить эмпирическую функцию распределения данной выборки и построить её график.

Запишем значения выборки в порядке возрастания и посчитаем частоту каждого значения. Получаем следующую таблицу:

Рисунок 4.

Объем выборки: $n=20$.

По свойству 5, имеем, что при $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, а при $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

Значение $x

Значение $x

Значение $x

Таким образом, получаем:

Рисунок 5.

Построим график эмпирического распределения:

Рисунок 6.

Оригинальность: $92,12\%$.

Пусть X 1 , X 2 , ..., X n -- выборка объема п из генеральной совокупности с функцией распределения F (x ). Если расположить выборочные данные в порядке неубывания, то полученный ряд называется вариационным рядом: X (1) , X (2) , ..., X (n )

Пример 1. Если выборка объема 4 следующая: 4, -2, 3, 1, то вариационный ряд выглядит так: -2, 1, 3, 4.

Определение 1. Эмпирической называется функция распределения F (x ) дискретной случайной величины, у которой таблица распределения имеет следующий вид:

Как показано в 2.2.1 функция распределения дискретной случайной величины

имеет следующий вид:

Другими словами F n (x ) = v/n, где v --число тех выборочных значений X i , которые меньше х.

Как видно из графика, функция F n (x ) ступенчатая и имеет разрывы в точках X (i) и величина скачка равна 1/n , если совпадающих друг с другом значений X i , нет. Если же k значений X (i) совпадают, то величина скачка в этой точке равна k/n .

Представляет интерес предельное поведение F n (x ) при п .

Теорема 1. Пусть X 1 , X 2 , ..., X n -- выборка объема п из генеральной совокупности функцией распределения F (x ). Тогда при п со для любого х 1 справедливо

F n (x ) P F (x ),

или, другими словами, для любого > 0,

Доказательство. Пусть

такие дискретные случайные величины, что Р(i == 0) = q и P(i = 1) = р, i = 1. 2..... п. Легко видеть, что

Тогда по закону больших чисел (см. 2.7.2) для эмпирической функции распределения F n (x ) = 1/n n i=1 i при п получим

F n (x ) P F (x ),

Прежде чем сформулировать еще одну теорему, приведем следующее определение.

Определение 2. Последовательность случайных величин 1 , 2 , …, n , … сходится к с вероятностью 1 {единица) {или почти наверное), если выполняется следующее равенство

Теперь сформулируем (без доказательства, его можно найти в ) следующую теорему.

Теорема 2 (Гливенко - Кантелли). В условиях предыдущей теоремы справедливо

Эти результаты показывают, что при больших п эмпирическая функция распределения дает хорошее приближение для теоретической функции распределения F (x ).

Выборки объема п из генеральной совокупности с непрерывным распределением F (x ) на практике часто подвергаются группировке. В этом случае указываются не выборочные значения, а число выборочных значений, попавших в интервалы некоторого определенного разбиения генеральной совокупности (разбиения множества возможных значений случайной величины, имеющей функцию распределения F (x ) ). Как правило, интервалы берутся одинаковой длины, скажем h. Если обозначить через n i число выборочных значений, попавших в i - интервал, то этот интервал принимается за основание прямоугольника высоты n i /nh. Получающаяся при этом фигура называется гистограммой выборки. Площадь каждого прямоугольника гистограммы равна частоте n i /n соответствующей группы. При больших п эта площадь будет приблизительно равна вероятности попасть в соответствующий интервал, т.е. будет приблизительно равна интегралу от плотности распределения р(t ), вычисленному по данному интервалу. Таким образом, верхняя часть контура гистограммы дает хорошее приближение для плотности распределения.

Пример 2. Испытывалась чувствительность 1-го канала п = 40 телевизоров. Данные испытаний указаны в следующей таблице, где в первой строке даны интервалы чувствительности в микровольтах, во второй - число телевизоров, чувствительность которых оказалась данном интервале:

Здесь длина интервала h = 50. Построим гистограмму.

Методы обработки ЭД опираются на базовые понятия теории вероятностей и математической статистики. К их числу относятся понятия генеральной совокупности, выборки, эмпирической функции распределения .

Под генеральной совокупностью понимают все возможные значения параметра, которые могут быть зарегистрированы в ходе неограниченного по времени наблюдения за объектом. Такая совокупность состоит из бесконечного множества элементов. В результате наблюдения за объектом формируется ограниченная по объему совокупность значений параметра x 1 , x 2 , …, x n . С формальной точки зрения такие данные представляют собой выборку из генеральной совокупности .

Будем считать, что выборка содержит полные наработки до системных событий (цензурирование отсутствует). Наблюдаемые значения x i называют вариантами , а их количество – объемом выборки n . Для того чтобы по результатам наблюдения можно было делать какие-либо выводы, выборка должна быть репрезентативной (представительной), т. е. правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование выполняется, если объем выборки достаточно велик, а каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.

Пусть в полученной выборке значение x 1 параметра наблюдалось n 1 раз, значение x 2 – n 2 раз, значение x k – n k раз, n 1 +n 2 + … +n k =n .

Совокупность значений, записанных в порядке их возрастания, называют вариационным рядом , величины n i – частотами , а их отношения к объему выборки n i =n i /n – относительными частотами (частостями). Очевидно, что сумма относительных частот равна единице.

Под распределением понимают соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или частостями. Пусть n x – количество наблюдений, при которых случайные значения параметра Х меньше x. Частость события Xравна n x /n . Это отношение является функцией от x и от объема выборки: F n (x )=n x /n . Величина F n (x ) обладает всеми свойствами функции: