Что такое грань прямоугольного параллелепипеда. Определения параллелепипеда. Основные свойства и формулы. Урок: Прямоугольный параллелепипед

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А 1 B 1 C 1 D 1 , которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 или АD 1 (рис. 1.).

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 10, 11, 12 стр. 50

2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки:

а) А, С, В1

б) В1, D1 и середину ребра АА1.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?

В переводе с греческого языка параллелограмм означает плоскость. Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм. Существуют пять типов параллелограмма: наклонный, прямой и прямоугольный параллелепипед. Куб и ромбоэдр также относятся к параллелепипеду и являются его разновидностью.

Перед тем как перейти к основным понятиям, дадим некоторые определения:

• Диагональю параллелепипеда является отрезок, который объединяет вершины параллелепипеда, находящиеся напротив друг друга.
• Если две грани имеют общее ребро, то можно назвать их смежными ребрами. Если же общего ребра нет, то грани именуются противоположными.
• Две вершины, не лежащие на одной грани, именуются противоположными.

Какие свойства имеет параллелепипед?

1. Лежащие на противоположных сторонах грани параллелепипеда параллельны друг другу и равны между собой.
2. Если провести диагонали из одной вершины в другую, то точка пересечения этих диагоналей разделит их пополам.
3. Стороны параллелепипеда лежащие под одним и тем же углом к основанию будут равны. Другими словами, углы сонаправленных сторон будут равны между собой.

Какие виды параллелепипеда бывают?

Теперь разберёмся в том, какие параллелепипеды бывают. Как уже упомянуто выше, существует несколько типов этой фигуры: прямой, прямоугольный, наклонный параллелепипед, а также куб и ромбоэдр. Чем же они отличаются между собой? Все дело в образующих их плоскостях и углах, которые они образуют.

Разберемся более подробно с каждым из перечисленных видов параллелепипеда.

• Как уже понятно из названия, наклонный параллелепипед имеет наклонные грани, а именно такие грани, которые находятся по отношению к основанию не под углом 90 градусов.
• А вот у прямого параллелепипеда угол между основанием и гранью как раз составляет девяносто градусов. Именно по этой причине этот вид параллелепипеда имеет такое название.
• Если же все грани параллелепипеда – это одинаковые квадраты, то можно считать эту фигуру кубом.
• Прямоугольный параллелепипед получил такое название из-за образующих его плоскостей. Если все они являются прямоугольниками (и основание в том числе), то это прямоугольный параллелепипед. Такой вид параллелепипеда встречается не так часто. В переводе с греческого ромбоэдр означает грань или основание. Так называют трехмерную фигуру, у которой гранями являются ромбы.

Основные формулы для параллелепипеда

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на его высоту, перпендикулярную основанию.

Площадь боковой поверхности будет равна произведению периметра основания на высоту.
Зная основные определения и формулы можно вычислить площадь основания и объём. Основание можно выбрать по своему усмотрению. Однако, как правило, в качестве основания используется прямоугольник.

Параллелепипед – это геометрическая фигура, все 6 граней которой представляют собой параллелограммы.

В зависимости от вида этих параллелограммов различают следующие виды параллелепипеда:

• прямой;
• наклонный;
• прямоугольный.

Прямым параллелепипедом называют четырехугольную призму, ребра которой составляют с плоскостью основания угол 90 °.

Прямоугольным параллелепипедом называют четырехугольную призму, все грани которой являются прямоугольниками. Куб есть разновидность четырехугольной призмы, у которой все грани и ребра равны между собой.

Особенности фигуры предопределяют ее свойства. К ним относят 4 следующих утверждений:

Запомнить все приведенные свойства просто, они легки для понимания и выводятся логически исходя из вида и особенностей геометрического тела. Однако, незамысловатые утверждения могут быть невероятно полезны при решении типовых заданий ЕГЭ и позволят сэкономить время необходимое для прохождения теста.

Формулы параллелепипеда

Для поиска ответов на поставленную задачу недостаточно знать только свойства фигуры. Также могут понадобиться и некоторые формулы для нахождения площади и объема геометрического тела.

Площадь оснований находится также как и соответствующий показатель параллелограмма или прямоугольника. Выбирать основание параллелограмма можно самостоятельно. Как правило, при решении задач проще работать с призмой, в основании которой лежит прямоугольник.

Формула нахождения боковой поверхности параллелепипеда, также может понадобиться в тестовых заданиях.

Примеры решения типовых заданий ЕГЭ

Задание 1.

Дано : прямоугольный параллелепипед с измерениями 3, 4 и 12 см.
Необходимо найти длину одной из главных диагоналей фигуры.
Решение : Любое решение геометрической задачи должно начинаться с построения правильного и четкого чертежа, на котором будет обозначено «дано» и искомая величина. На рисунке ниже приведен пример правильного оформления условий задания.

Рассмотрев сделанный рисунок и вспомнив все свойства геометрического тела, приходим к единственно верному способу решения. Применив 4 свойство параллелепипеда, получим следующее выражение:

После несложных вычислений получим выражение b2=169, следовательно, b=13. Ответ задания найден, на его поиск и чертеж необходимо потратить не более 5 минут.

Задание 2.

Дано : наклонный параллелепипед с боковым ребром 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см, являющийся сечением фигуры параллельным указанному ребру.
Необходимо найти площадь боковой поверхности четырехугольной призмы.
Решение : Сначала необходимо зарисовать дано.

Для решения данного задания необходимо применить смекалку. Из рисунка видно, что стороны KL и AD – неравны, как и пара ML и DC. Однако, периметры данных параллелограммов очевидно равны.

Следовательно, боковая площадь фигуры будет равна площади сечения помноженной на ребро AA1, так как по условию ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см2.

Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Так, грани (рис.) BB 1 С 1 С и AA 1 D 1 D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB 1 и B 1 С 1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA 1 и A 1 D 1 другой. Эти грани и равны, так как B 1 С 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1 .

Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС 1 и DB 1 , и проведем прямые AB 1 и DС 1 .

Так как ребра AD и B 1 С 1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

Вследствие этого фигура ADС 1 B 1 есть параллелограмм, в котором С 1 A и DB 1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

Поэтому диагональ AC 1 пересекается с BD 1 пополам, диагональ BD 1 с A 1 С пополам.

Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть (рис.) AC 1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Проведя AC, получим два треугольника: AC 1 С и ACB. Оба они прямоугольные:

первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию,

второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

Из этих треугольников находим:

AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 и AC 2 = AB 2 + BC 2

Следовательно, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны .

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

Достаточно посмотреть вокруг себя, и мы увидим, что окружающие нас предметы имеют форму похожую на параллелепипед. Они могут отличать по цвету, иметь массу дополнительных деталей, но если эти тонкости отбросить, то можно сказать, что например шкаф, коробка и т.д., имеют приблизительно одинаковую форму.

С понятием прямоугольного параллелепипеда мы сталкиваемся практически каждый день! Оглянитесь вокруг и скажите, где вы видите прямоугольные параллелепипеды? Посмотрите на книгу, ведь она как раз такой формы! Эту же форму имеют кирпич, спичечный коробок, деревянный брусок, и даже прямо сейчас вы находитесь внутри прямоугольного параллелепипеда, ведь классная комната – это ярчайшая интерпретация этой геометрической фигуры.

Задание: А какие примеры параллелепипеда вы можете назвать?

Давайте более тщательно рассмотрим прямоугольный параллелепипед. И что мы видим?

Во-первых, мы видим, что эта фигура образована из шести прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда;

Во-вторых, прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин и двенадцать ребер. Ребра прямоугольного параллелепипеда – это стороны его граней, а вершины параллелепипеда являются вершинами граней.

Задание:

1. Какое название носит каждая из граней прямоугольного параллелепипеда? 2. Благодаря каким параметрам можно измерить параллелограмм? 3. Дайте определение противоположных граней.

Виды параллелепипедов

Но параллелепипеды бывают не только прямоугольными, но также они могут¬¬ быть прямыми и наклонными, а прямые как раз таки и делятся на прямоугольные, непрямоугольные и кубы.

Задание: Посмотрите на картинку и скажите, какие параллелепипеды на ней изображены. Чем прямоугольный параллелепипед отличается от куба?

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладаем рядом важнейших свойств:

Во-первых, квадрат диагонали этой геометрической фигуры равняется сумме квадратов трех его основных параметров: высоты, ширины и длины.

Во-вторых, все его четыре диагонали абсолютно идентичны.

В-третьих, если все три параметра параллелепипеда одинаковы, то есть длина, ширина и высота равны, то такой параллелепипед называют кубом, и все его грани будут равны одному и тому же квадрату.

Задание

1. Имеет ли прямоугольный параллелепипед равные грани? Если таковы имеются, то покажите их на рисунке. 2. Из каких геометрических форм состоят грани прямоугольного параллелепипеда? 3. Какое расположение имеют равные грани по отношению друг к другу? 4. Назовите количество пар равных граней данной фигуры. 5. Найдите в прямоугольном параллелепипеде ребра, которые обозначают его длину, ширину, высоту. Сколько вы их насчитали?

Задача

Чтобы красиво оформить подарок на день Рождения маме, Таня взяла коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Размер данной коробки 25см*35см*45см. Чтобы сделать эту упаковку красивой, Таня решила, оклеит ее красивой бумагой, стоимость которой 3 гривны за 1 дм2. Сколько нужно потратить денег на упаковочную бумагу?

А вы знаете, что известный иллюзионист Девид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В свое добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку и матрас и носовые платки.