Rădăcinile raționale ale unui polinom cu teorema coeficienților întregi. Teorema rădăcinilor raționale ale unui polinom. Găsirea rădăcinilor unui polinom

Problema găsirii rădăcinilor raționale ale unui polinom f(X)Q[X] (cu coeficienți raționali) se reduce la problema găsirii rădăcinilor raționale ale polinoamelor k ∙ f(X)Z[X] (cu coeficienți întregi). Iată numărul k este cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților unui polinom dat.

Condițiile necesare, dar nu suficiente, pentru existența rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi sunt date de următoarea teoremă.

Teorema 6.1 (despre rădăcinile raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi). Dacă – rădăcina rațională a unui polinomf(X) = A n  X n + + …+ A 1  X + A 0 Cu întreg coeficienți și(p, q) = 1, apoi numărătorul fracțieipeste un divizor al termenului liber a 0 , și numitorulqeste un divizor al coeficientului principal a 0 .

Teorema 6.2.Dacă Q ( Unde (p, q) = 1) este rădăcina rațională a polinomului f(X) cu coeficienți întregi, atunci
–numere întregi.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile raționale ale polinomului

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Prin teorema 6.1: dacă – rădăcina rațională a unui polinom f(X), ( Unde( p, q) = 1), Acea A 0 = 1 p, A n = 6 q. De aceea p { 1}, q (1, 2, 3, 6), ceea ce înseamnă

.

2. Se știe că (Corolarul 5.3) numărul A este rădăcina polinomului f(X) dacă și numai dacă f(X) impartit de ( x – a).

Prin urmare, pentru a verifica dacă numerele 1 și –1 sunt rădăcini ale unui polinom f(X) puteți folosi schema lui Horner:

f(1) = 60,f(–1) = 120, deci 1 și –1 nu sunt rădăcini ale polinomului f(X).

3. Pentru a elimina unele dintre numerele rămase
, să folosim teorema 6.2. Dacă expresiile sau
acceptă valori întregi pentru valorile corespunzătoare numărătorului pși numitorul q, apoi în celulele corespunzătoare ale tabelului (a se vedea mai jos) vom scrie litera „ts”, în caz contrar - „dr”.

=
=

4. Utilizând schema lui Horner, verificăm dacă numerele rămase după cernere vor fi
rădăcini f(X). Mai întâi să împărțim f(X) pe ( X – ).

Ca rezultat avem: f(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) și – rădăcină f(X). Privat q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X -împărțiți 2 la ( X + ).

Deoarece q (–) = 30, atunci (–) nu este o rădăcină a polinomului q(X), și de aici polinomul f(X).

În cele din urmă, împărțim polinomul q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 pe ( X – ).

A primit: q () = 0, adică – rădăcină q(X), și prin urmare este rădăcina f (X). Deci polinomul f (X) are două rădăcini raţionale: şi.

Eliberarea de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții

La cursul școlar, la rezolvarea anumitor tipuri de probleme pentru a scăpa de iraționalitatea la numitorul unei fracții, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul conjugat la numitor.

Exemple. 1.t =
.

Aici funcționează formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) la numitor, ceea ce vă permite să vă eliberați de iraționalitate în numitor.

2. Eliberează-te de iraționalitate în numitorul fracției

t =
. Expresie – pătrat incomplet al diferenței de numere A=
Și b= 1. Folosind formula de înmulțire prescurtată A 3 – b 3 = (un +b) · ( A 2 – ab + b 2 ), putem determina multiplicatorul m = (un +b) =
+ 1, cu care trebuie înmulțit numărătorul și numitorul fracției t pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul fracției t. Prin urmare,

În situațiile în care formulele de înmulțire prescurtate nu funcționează, se pot folosi și alte tehnici. Mai jos vom formula o teoremă, a cărei demonstrație, în special, ne permite să găsim un algoritm pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții în situații mai complexe.

Definiție 6.1. Număr z numit algebric asupra câmpului F, dacă există un polinom f(X) F[X], a cărui rădăcină este z, altfel numărul z numit transcendentală asupra câmpuluiF.

Definiție 6.2.Gradul de algebric asupra câmpului F numere z se numește gradul unui ireductibil asupra unui câmp F polinom p(X)F[X], a cărui rădăcină este numărul z.

Exemplu. Să arătăm că numărul z =
este algebrică asupra câmpului Qși găsiți-i gradul.

Să găsim un ireductibil peste teren Q polinom p(X), a cărui rădăcină este X =
. Să ridicăm ambele părți ale egalității X =
la a patra putere, ajungem X 4 = 2 sau X 4 – 2 = 0. Deci, p(X) = X 4 – 2 și puterea numărului z egal cu deg p(X) = 4.

Teorema 6.3 (privind eliberarea de iraţionalitatea algebrică în numitorul unei fracţii).Lăsaz– număr algebric peste un câmpFgraden. Exprimarea formeit = ,Unde f(X), (X)F[X], (z) 0

poate fi reprezentat numai sub forma:

t = Cu n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Vom demonstra algoritmul pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții folosind un exemplu specific.

Exemplu. Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții:

t =

1. Numitorul fracției este valoarea polinomului (X) = X 2 – X+1 când X =
. Exemplul anterior arată că
– număr algebric peste un câmp Q gradul 4, deoarece este rădăcina unui peste ireductibil Q polinom p(X) = X 4 – 2.

2. Să găsim expansiunea liniară a GCD ( (X), p(X)) folosind algoritmul euclidian.

_X 4 – 2 | X 2 -X + 1

X 4 -X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 -X 2 – 2

X 3 -X 2 +x

X 2 -X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Deci, GCD ( (X), p(X)) = r 2 = 7. Să găsim expansiunea sa liniară.

Să scriem șirul euclidian folosind notația polinomială.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

Problema găsirii rădăcinilor raționale ale unui polinom f(X)Q[X] (cu coeficienți raționali) se reduce la problema găsirii rădăcinilor raționale ale polinoamelor k ∙ f(X)Z[X] (cu coeficienți întregi). Iată numărul k este cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților unui polinom dat.

Condițiile necesare, dar nu suficiente, pentru existența rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi sunt date de următoarea teoremă.

Teorema 6.1 (despre rădăcinile raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi). Dacă – rădăcina rațională a unui polinomf(X) = A n  X n + + …+ A 1  X + A 0 Cu întreg coeficienți și(p, q) = 1, apoi numărătorul fracțieipeste un divizor al termenului liber a 0 , și numitorulqeste un divizor al coeficientului principal a 0 .

Teorema 6.2.Dacă Q ( Unde (p, q) = 1) este rădăcina rațională a polinomului f(X) cu coeficienți întregi, atunci
–numere întregi.

Exemplu. Găsiți toate rădăcinile raționale ale polinomului

f(X) = 6 X 4 + X 3 + 2 X 2 – 4 x+ 1.

1. Prin teorema 6.1: dacă – rădăcina rațională a unui polinom f(X), ( Unde( p, q) = 1), Acea A 0 = 1 p, A n = 6 q. De aceea p { 1}, q (1, 2, 3, 6), ceea ce înseamnă

.

2. Se știe că (Corolarul 5.3) numărul A este rădăcina polinomului f(X) dacă și numai dacă f(X) impartit de ( x – a).

Prin urmare, pentru a verifica dacă numerele 1 și –1 sunt rădăcini ale unui polinom f(X) puteți folosi schema lui Horner:

f(1) = 60,f(–1) = 120, deci 1 și –1 nu sunt rădăcini ale polinomului f(X).

3. Pentru a elimina unele dintre numerele rămase
, să folosim teorema 6.2. Dacă expresiile sau
acceptă valori întregi pentru valorile corespunzătoare numărătorului pși numitorul q, apoi în celulele corespunzătoare ale tabelului (a se vedea mai jos) vom scrie litera „ts”, în caz contrar - „dr”.

=
=

4. Utilizând schema lui Horner, verificăm dacă numerele rămase după cernere vor fi
rădăcini f(X). Mai întâi să împărțim f(X) pe ( X – ).

Ca rezultat avem: f(X) = (X – )(6 X 3 + 4 X 2 + 4 X - 2) și – rădăcină f(X). Privat q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + 4 X -împărțiți 2 la ( X + ).

Deoarece q (–) = 30, atunci (–) nu este o rădăcină a polinomului q(X), și de aici polinomul f(X).

În cele din urmă, împărțim polinomul q(X) = 6 X 3 + 4 X 2 + + 4 X - 2 pe ( X – ).

A primit: q () = 0, adică – rădăcină q(X), și prin urmare este rădăcina f (X). Deci polinomul f (X) are două rădăcini raţionale: şi.

Eliberarea de iraționalitatea algebrică în numitorul unei fracții

La cursul școlar, la rezolvarea anumitor tipuri de probleme pentru a scăpa de iraționalitatea la numitorul unei fracții, este suficient să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu numărul conjugat la numitor.

Exemple. 1.t =
.

Aici funcționează formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) la numitor, ceea ce vă permite să vă eliberați de iraționalitate în numitor.

2. Eliberează-te de iraționalitate în numitorul fracției

t =
. Expresie – pătrat incomplet al diferenței de numere A=
Și b= 1. Folosind formula de înmulțire prescurtată A 3 – b 3 = (un +b) · ( A 2 – ab + b 2 ), putem determina multiplicatorul m = (un +b) =
+ 1, cu care trebuie înmulțit numărătorul și numitorul fracției t pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul fracției t. Prin urmare,

În situațiile în care formulele de înmulțire prescurtate nu funcționează, se pot folosi și alte tehnici. Mai jos vom formula o teoremă, a cărei demonstrație, în special, ne permite să găsim un algoritm pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții în situații mai complexe.

Definiție 6.1. Număr z numit algebric asupra câmpului F, dacă există un polinom f(X) F[X], a cărui rădăcină este z, altfel numărul z numit transcendentală asupra câmpuluiF.

Definiție 6.2.Gradul de algebric asupra câmpului F numere z se numește gradul unui ireductibil asupra unui câmp F polinom p(X)F[X], a cărui rădăcină este numărul z.

Exemplu. Să arătăm că numărul z =
este algebrică asupra câmpului Qși găsiți-i gradul.

Să găsim un ireductibil peste teren Q polinom p(X), a cărui rădăcină este X =
. Să ridicăm ambele părți ale egalității X =
la a patra putere, ajungem X 4 = 2 sau X 4 – 2 = 0. Deci, p(X) = X 4 – 2 și puterea numărului z egal cu deg p(X) = 4.

Teorema 6.3 (privind eliberarea de iraţionalitatea algebrică în numitorul unei fracţii).Lăsaz– număr algebric peste un câmpFgraden. Exprimarea formeit = ,Unde f(X), (X)F[X], (z) 0

poate fi reprezentat numai sub forma:

t = Cu n -1 z n -1 + c n -2 z n -2 + … + c 1 z + c 0 , c i F.

Vom demonstra algoritmul pentru a scăpa de iraționalitate în numitorul unei fracții folosind un exemplu specific.

Exemplu. Eliberați-vă de iraționalitate în numitorul unei fracții:

t =

1. Numitorul fracției este valoarea polinomului (X) = X 2 – X+1 când X =
. Exemplul anterior arată că
– număr algebric peste un câmp Q gradul 4, deoarece este rădăcina unui peste ireductibil Q polinom p(X) = X 4 – 2.

2. Să găsim expansiunea liniară a GCD ( (X), p(X)) folosind algoritmul euclidian.

_X 4 – 2 | X 2 -X + 1

X 4 -X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (X)

_ X 3 -X 2 – 2

X 3 -X 2 +x

X 2 -X + 1 | – X –2 = r 1 (X )

X 2 + 2 X – x + 3 = q 2 (X)

_–3X+ 1

–3 X – 6

_ – X –2 |7 = r 2

– X –2 -X - =q 3 (X)

Deci, GCD ( (X), p(X)) = r 2 = 7. Să găsim expansiunea sa liniară.

Să scriem șirul euclidian folosind notația polinomială.

p(X) = (X) · q 1 (X) + r 1 (X)
r 1 (X) =p(X) – (X) · q 1 (X)

(X) = r 1 (X) · q 2 (X) + r 2 (X)
r 2 (X) = (X) – r 1 (X) · q 2 (X)

r 1 (X) = r 2 (X) · q 2 (X).

Să înlocuim 7= în egalitate r 2 (X) = (X) – r 1 (X) · q 2 (X) valoarea restului r 1 (X) = p(X) – (X) · q 1 (X), după transformări obținem o expansiune liniară a GCD( (X), p(X)): 7 = p(X) · (– q 2 (X)) + (X) · . Dacă substituim polinoamele corespunzătoare în ultima egalitate în loc de notații și ținem cont de faptul că p(
) = 0, atunci avem:

(1 –
+
) · (–
+ 2
+ 3
+ 1)] = 7 (1)

3. Din egalitatea (1) rezultă că dacă numitorul fracţiei tînmulțiți cu număr m= , atunci obținem 7. Astfel,

t =
=.

METODA 16. Subiectul lecției: Forma standard a unui polinom

Tipul de lecție: testarea lecției și monitorizarea cunoștințelor și abilităților

Obiectivele lecției:

Testați-vă capacitatea de a reduce un polinom la forma standard

Dezvoltați gândirea logică și atenția elevilor

Promovează independența

Structura lecției:

Organizarea timpului

Briefing

Muncă independentă.

1. Completați propozițiile:

a) O expresie care conține suma monomiilor se numește ... (polinom).

b) Un polinom format din monomii standard și care nu conține termeni similari se numește ... (polinom standard).

c) Cea mai mare dintre puterile monomiilor incluse într-un polinom de forma standard se numește ... (gradul polinomului).

d) Înainte de a determina gradul unui polinom, trebuie să... (aduceți-l la forma standard).

e) Pentru a afla valoarea unui polinom, trebuie să faceți primul... (prezentați polinomul în formă standard), al doilea... (înlocuiți valoarea variabilei în această expresie).

2. Aflați valoarea polinomului:

A) 2 A 4 - ab+2 b 2 la A=-1, b=-0,5

b) X 2 +2 X y+ y 2 la X=1,2, y=-1,2

3. Reduceți polinomul la forma standard:

A) -5 ah 2 + 7a 2 x + 2a 2 x + 9ax 2 – 4 Ah 2 – 8a 2 X;

b) (5x 2 – 7x – 13) – (3x 2 – 8x + 17);

V) 2a – (1,4av + 2a 2 – 1) + (3a + 6.4av);

G) (2s 2 – 1,6 s + 4) – ((10,6 s 2 + 4,4 s – 0,3) – (3,6 s 2 – 7s – 0,7));

4. Aduceți polinomul la forma standard și aflați la ce valori X valoarea sa este 1:

A) 2 X 2 -3 X- X 2 -5+2 X- X 2 +10;

b) 0,3 X 3 - X 2 + X- X 3 +3 X 2 +0,7 X 3 -2 X 2 +0,07

Biletul numărul 17.Divizibilitatea numerelor întregi

În acest articol vom începe să explorăm numere rationale. Aici vom da definiții numerelor raționale, vom oferi explicațiile necesare și vom da exemple de numere raționale. După aceasta, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă un anumit număr este rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și fracții, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

• Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
• Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie ca fracție pozitivă, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1, .
• Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
• Orice număr mixt. Într-adevăr, puteți reprezenta întotdeauna un număr mixt ca o fracție improprie. De exemplu, și.
• Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3.

De asemenea, este clar că orice fracție zecimală infinită neperiodică NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție comună.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58, −72, 0, −833.333.333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile comune 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții ca un semn de împărțire, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi, urmează validitatea următoarelor egalități și. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5, 0, 3 și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5, 0, -13 sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 și -7, (18).

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

• numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

În paragraful anterior, am aflat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție obișnuită, orice număr mixt, orice fracție zecimală finită, precum și orice fracție zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale dintr-un set de numere scrise.

Dar dacă numărul este dat sub forma unor , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebarea dacă acest număr este rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții de gândire.

Dacă un număr este dat ca expresie numerică care conține numai numere raționale și semne aritmetice (+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numere raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem numărul rațional 18.

Uneori, după ce am simplificat expresiile și le-am făcut mai complexe, devine posibil să se determine dacă un anumit număr este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Rezultă că nu, nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a VIII-a, enumerat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când sub rădăcină există un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81 = 9 2 și 1 024 = 32 2, iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte ale numerelor naturale.

Numărul este rațional sau nu? În acest caz, este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? S-a dovedit că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda prin contradicție permite să se demonstreze că logaritmii unor numere nu sunt numere raționale din anumite motive. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să spunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Atunci dăm următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece în partea stângă există numar impar 5 n, iar în partea dreaptă este numărul par 2 m. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, este de remarcat în special faptul că atunci când se determină raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la a face concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmați imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional; acest lucru este „aparent evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi un produs un număr rațional?” Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional: .

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere iraționale a căror putere irațională este un număr rațional. Pentru ilustrare, prezentăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Bibliografie.

• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Un polinom din variabila x este o expresie de forma: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, unde n este un număr natural; an, an-1,. . . , a 1, a 0 - orice numere numite coeficienți ai acestui polinom. Expresii anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 se numesc termenii polinomului, iar 0 este termenul liber. an este coeficientul lui xn, an-1 este coeficientul lui xn-1 etc. Un polinom în care toți coeficienții sunt egali cu zero se numește zero. de exemplu, polinomul 0 x2+0 x+0 este zero. Din notarea unui polinom este clar că este format din mai mulți membri. De aici provine termenul ‹‹polinom›› (mulți termeni). Uneori un polinom este numit polinom. Acest termen provine din cuvintele grecești πολι - mulți și νομχ - membru.

Un polinom dintr-o variabilă x se notează: . f (x), g (x), h (x), etc. de exemplu, dacă primul dintre polinoamele de mai sus se notează f (x), atunci putem scrie: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Polinomul h(x) se numește cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) dacă împarte f(x), g (x) și fiecare dintre divizoarele lor comune. 2. Un polinom f(x) cu coeficienți din câmpul P de gradul n se spune a fi reductibil peste câmpul P dacă există polinoame h(x), g(x) О P[x] de grad mai mic decât n astfel. că f(x) = h(x)g(x).

Dacă există un polinom f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 și an≠ 0, atunci numărul n se numește gradul polinomului f (x) (sau se spune: f (x) - gradul al n-lea) și scrie art. f(x)=n. În acest caz, an se numește coeficient de conducere, iar anxn este termenul de conducere al acestui polinom. De exemplu, dacă f (x) =5 x 4 -2 x+3, atunci art. f (x) =4, coeficient principal - 5, termen principal - 5 x4. Gradul unui polinom este cel mai mare număr diferit de zero al coeficienților săi. Polinoamele de grad zero sunt alte numere decât zero. , polinomul zero nu are grad; polinomul f (x) =a, unde a este un număr diferit de zero și are gradul 0; gradul oricărui alt polinom este egal cu cel mai mare exponent al variabilei x, al cărui coeficient este egal cu zero.

Egalitatea polinoamelor. Două polinoame f (x) și g (x) sunt considerate egale dacă coeficienții lor pentru aceleași puteri ale variabilei x și termenii liberi sunt egali (coeficienții lor corespunzători sunt egali). f (x) =g (x). De exemplu, polinoamele f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 și g(x) =2 x 23 x+1 nu sunt egale, primul dintre ele având un coeficient de x3 egal cu 1, iar al doilea are zero ( conform convențiilor acceptate se poate scrie: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. În acest caz: f (x) ≠g (x). Polinoamele nu sunt egale: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, deoarece coeficienții lor pentru x sunt diferiți.

Dar polinoamele f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 și g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 sunt egale dacă și numai dacă a = 3, a b = -2. Fie dat polinomul f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 și un număr c. Numărul f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 se numește valoarea polinomului f (x) la x=c. Astfel, pentru a găsi f (c), trebuie să înlocuiți c în polinom în loc de x și să efectuați calculele necesare. De exemplu, dacă f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, atunci f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Un polinom poate lua diferite valori pentru diferite valori ale variabilei x. Numărul c se numește rădăcina polinomului f (x) dacă f (c) =0.

Să fim atenți la diferența dintre două afirmații: „polinomul f (x) este egal cu zero (sau, ceea ce este același, polinomul f (x) este zero)” și „valoarea polinomului f (x) ) la x = c este egal cu zero.” De exemplu, polinomul f (x) =x 2 -1 nu este egal cu zero, are coeficienți nenuli, iar valoarea lui la x=1 este zero. f (x) ≠ 0 și f (1) =0. Există o relație strânsă între conceptele de egalitate a polinoamelor și valoarea unui polinom. Dacă sunt date două polinoame egale f (x) și g (x), atunci coeficienții lor corespunzători sunt egali, ceea ce înseamnă f (c) = g (c) pentru fiecare număr c.

Operații pe polinoame Polinoamele pot fi adunate, scăzute și înmulțite folosind regulile obișnuite de deschidere a parantezelor și de a aduce termeni similari. Rezultatul este din nou un polinom. Aceste operații au proprietăți cunoscute: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

Să fie date două polinoame f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0 și g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Este clar că art. f(x)=n, iar art. g(x)=m. Dacă înmulțim aceste două polinoame, obținem un polinom de forma f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Deoarece an≠ 0 și bn≠ 0, atunci anbm≠ 0, ceea ce înseamnă st. (f(x)g(x))=m+n. De aici rezultă o afirmație importantă.

Gradul produsului a două polinoame nenule este egal cu suma gradelor factorilor, art. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). Termenul (coeficientul) conducător al produsului a două polinoame nenule este egal cu produsul termenilor (coeficienților) conducători ai factorilor. Termenul liber al produsului a două polinoame este egal cu produsul termenilor liberi ai factorilor. Puterile polinoamelor f (x), g (x) si f (x) ±g (x) sunt legate prin urmatoarea relatie: art. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Suprapunerea polinoamelor f (x) și g (x) se numește. un polinom notat f (g (x)), care se obține dacă în polinomul f (x) înlocuim polinomul g (x) în loc de x. De exemplu, dacă f(x)=x 2+2 x-1 și g(x) =2 x+3, atunci f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. Se poate observa că f (g (x)) ≠g (f (x)), adică suprapunerea polinoamelor f (x), g (x) și suprapunerea polinoamelor g (x), f ( x) sunt diferite. Astfel, operația de suprapunere nu are proprietatea comutativă.

, Algoritm de împărțire cu rest Pentru orice f(x), g(x), există q(x) (cot) și r(x) (restul) astfel încât f(x)=g(x)q(x)+ r(x) și gradul r(x)

Divizori ai unui polinom Divizorul unui polinom f(x) este un polinom g(x), astfel încât f(x)=g(x)q(x). Cel mai mare divizor comun a două polinoame Cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) este divizorul lor comun d(x), care este divizibil cu oricare dintre ceilalți divizori comuni ai lor.

Algoritm euclidian (algoritm de diviziune secvențială) pentru găsirea celui mai mare divizor comun al polinoamelor f(x) și g(x) Atunci este cel mai mare divizor comun al lui f(x) și g(x).

Reduceți fracția Soluție: Aflați mcd-ul acestor polinoame folosind algoritmul euclidian 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Prin urmare, polinomul (– x2 – 3 x – 2) este mcd-ul numărătorului și numitorul unei fracții date. Rezultatul împărțirii numitorului la acest polinom este cunoscut.

Să găsim rezultatul împărțirii numărătorului. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Astfel, Răspundeți:

Schema lui Horner Împărțirea unui polinom f(x) cu un rest la un polinom diferit de zero g(x) înseamnă reprezentarea f(x) sub forma f(x)=g(x) s(x)+r(x), unde s (x) și r(x) sunt polinoame și fie r(x)=0, fie st. r(x)

Polinoamele din stânga și din dreapta acestei relații sunt egale, ceea ce înseamnă că coeficienții lor corespunzători sunt egali. Să le echivalăm deschizând mai întâi parantezele și aducând termeni similari în partea dreaptă a acestei egalități. Se obține: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Reamintim că trebuie să găsim coeficientul incomplet, adică coeficienții săi și restul. Să le exprimăm din egalitățile obținute: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Am găsit formule care pot fi folosite pentru a calcula coeficienții câtului parțial s (x) și restul r. În acest caz, calculele sunt prezentate sub forma următorului tabel; se numeşte schema Horner.

Tabelul 1. Coeficienți f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coeficienți s (x) rest În primul rând al acestui tabel, scrieți toți coeficienții polinomului f (x) într-un rând, lăsând prima celulă liberă. În a doua linie, în prima celulă, scrieți numărul c. Celulele rămase ale acestei linii se completează calculând unul câte unul coeficienții coeficientului incomplet s (x) și restul r. În a doua celulă, scrieți coeficientul bn-1, care, după cum am stabilit, este egal cu an.

Coeficienții din fiecare celulă ulterioară se calculează după următoarea regulă: numărul c este înmulțit cu numărul din celula anterioară, iar la rezultat se adaugă numărul de deasupra celulei care se completează. Pentru a vă aminti, de exemplu, a cincea celulă, adică pentru a găsi coeficientul din ea, trebuie să înmulțiți c cu numărul din a patra celulă și să adăugați numărul de deasupra celei de a cincea celule la rezultat. Să împărțim, de exemplu, polinomul f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 la x-2 cu rest, folosind schema lui Horner. Când completăm prima linie a acestei diagrame, nu trebuie să uităm de coeficienții zero ai polinomului. Deci, coeficienții f (x) sunt numerele 3, 0, - 5, 3, - 1. Și ar trebui să rețineți că gradul unui coeficient incomplet este cu unul mai mic decât gradul polinomului f (x).

Deci, efectuăm împărțirea după schema lui Horner: Tabelul 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Obținem coeficientul parțial s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 iar restul r=33. Rețineți că în același timp am calculat și valoarea polinomului f (2) =33. Să împărțim acum același polinom f (x) la x+2 cu un rest. În acest caz c=-2. obţinem: Tabelul 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Ca rezultat, avem f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21.

Rădăcinile polinoamelor Fie c1, c2, …, cm rădăcini diferite ale polinoamului f (x). Atunci f (x) este împărțit la x-c1, adică f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Să punem x=c2 în această egalitate. Se obține f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) și, deci f (c 2) =0, atunci (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Dar с2≠с1, adică с2 -с1≠ 0, ceea ce înseamnă s 1 (c 2) =0. Astfel, c2 este rădăcina polinomului s 1 (x). Rezultă că s 1 (x) este divizibil cu x-c2, adică s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Să substituim expresia rezultată pentru s 1 (x) în egalitatea f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Avem f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). Punând x=c3 în ultima egalitate, ținând cont de faptul că f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, obținem că c3 este rădăcina polinomului s 2 (x). Aceasta înseamnă s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), și apoi f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etc. Continuând acest raționament pentru rădăcinile rămase c4, c5, ..., cm, obținem în final f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), adică se dovedește afirmația formulată mai jos.

Dacă с1, с2, …, сm sunt rădăcini diferite ale polinomului f (x), atunci f (x) poate fi reprezentat ca f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). De aici rezultă un corolar important. Dacă c1, c2, ..., cm sunt rădăcini diferite ale polinomului f(x), atunci f(x) se împarte la polinomul (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Numărul de rădăcini diferite ale unui polinom diferit de zero f (x) nu este mai mare decât gradul său. Într-adevăr, dacă f(x) nu are rădăcini, atunci este clar că teorema este adevărată, deoarece art. f(x) ≥ 0. Fie că f(x) are m rădăcini с1, с2, …, сm și toate sunt diferite. Apoi, după ceea ce tocmai s-a dovedit, f (x) se împarte în (x-c1) (x -c2)…(x-cm). În acest caz, art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, adică art. f(x)≥m, iar m este numărul de rădăcini ale polinomului în cauză. Dar polinomul zero are infinit de rădăcini, deoarece valoarea lui pentru orice x este egală cu 0. În special, din acest motiv nu este prescris niciun grad specific. Următoarea afirmație decurge din teorema tocmai demonstrată.

Dacă un polinom f(x) nu este un polinom de grad mai mare decât n și are mai mult de n rădăcini, atunci f(x) este un polinom zero. De fapt, din condițiile acestei afirmații rezultă că fie f (x) este un polinom zero, fie art. f (x) ≤n. Dacă presupunem că polinomul f (x) nu este zero, atunci art. f (x) ≤n, și atunci f (x) are cel mult n rădăcini. Ajungem la o contradicție. Aceasta înseamnă că f(x) este un polinom diferit de zero. Fie f (x) și g (x) polinoame nenule de gradul cel mult n. Dacă aceste polinoame iau aceleași valori pentru n+1 valori ale variabilei x, atunci f (x) =g (x).

Pentru a demonstra acest lucru, considerăm polinomul h (x) =f (x) - g (x). Este clar că fie h (x) =0, fie st. h (x) ≤n, adică h (x) nu este un polinom de grad mai mare decât n. Acum să fie numărul c astfel încât f (c) = g (c). Atunci h (c) = f (c) - g (c) = 0, adică c este rădăcina polinomului h (x). Prin urmare, polinomul h (x) are n+1 rădăcini și când, așa cum tocmai s-a demonstrat, h (x) =0, adică f (x) =g (x). Dacă f (x) și g (x) iau aceleași valori pentru toate valorile variabilei x, atunci aceste polinoame sunt egale

Rădăcini multiple ale unui polinom Dacă un număr c este o rădăcină a unui polinom f (x), se știe că acest polinom este divizibil cu x-c. Se poate întâmpla ca f (x) să fie și divizibil cu o putere a polinomului x-c, adică prin (x-c) k, k>1. În acest caz, c se numește rădăcină multiplă. Să formulăm definiția mai clar. Un număr c se numește rădăcină a multiplicității k (rădăcină k-fold) a unui polinom f (x) dacă polinomul este divizibil cu (x - c) k, k>1 (k este un număr natural), dar nu este divizibil prin (x - c) k+ 1. Dacă k=1, atunci c se numește rădăcină simplă, iar dacă k>1, atunci se numește rădăcină multiplă a polinomului f (x).

Dacă polinomul f(x) este reprezentat ca f(x)=(x-c)mg(x), m este un număr natural, atunci este divizibil cu (x-c) m+1 dacă și numai dacă g(x) este divizibil pe x-s. De fapt, dacă g(x) este divizibil cu x-c, adică g(x)=(x-c)s(x), atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x), și asta înseamnă f(x ) este divizibil cu (x-c) m+1. În schimb, dacă f(x) este divizibil cu (x-c) m+1, atunci f(x)=(x-c) m+1 s(x). Atunci (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) și după reducerea cu (x-c)m obținem g(x)=(x-c)s(x). Rezultă că g(x) este divizibil cu x-c.

Să aflăm, de exemplu, dacă numărul 2 este rădăcina polinomului f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, iar dacă da, găsim multiplicitatea acestuia. Pentru a răspunde la prima întrebare, să verificăm folosind circuitul lui Horner dacă f (x) este divizibil cu x-2. avem: Tabelul 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 După cum puteți vedea, restul la împărțirea f(x) la x-2 este egal cu 0, adică este împărțit la x-2. Aceasta înseamnă că 2 este rădăcina acestui polinom. În plus, am obținut că f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Acum să aflăm dacă f(x) este pe (x-2) 2. Aceasta depinde, așa cum tocmai am demonstrat, de divizibilitatea polinomului g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 cu x-2.

Să folosim din nou schema lui Horner: Tabelul 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Am constatat că g(x) este divizibil cu x-2 și g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). Atunci f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Deci f(x) este divizibil cu (x-2)2, acum trebuie să aflăm dacă f(x) este divizibil cu (x-2)3. Pentru a face acest lucru, să verificăm dacă h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 este divizibil cu x-2: Tabelul 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 Constatăm că h(x ) este divizibil cu x-2, ceea ce înseamnă că f(x) este împărțit la (x-2) 3 și f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Apoi, verificăm în mod similar dacă f(x) este divizibil cu (x-2)4, adică dacă s(x)=x 2+x-3 este divizibil cu x-2: Tabelul 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Constatăm că restul la împărțirea lui s(x) la x-2 este egal cu 3, adică s(x) nu este divizibil cu x-2. Aceasta înseamnă că f(x) nu este divizibil cu (x-2)4. Astfel, f(x) este divizibil cu (x-2)3, dar nu este divizibil cu (x-2)4. Prin urmare, numărul 2 este o rădăcină a multiplicității 3 a polinomului f(x).

De obicei, verificarea multiplicității rădăcinii se realizează într-un singur tabel. Pentru acest exemplu, acest tabel arată astfel: Tabelul 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Cu alte cuvinte, conform schemei împărțirea lui Horner a polinomului f (x) la x-2, în a doua linie obținem coeficienții polinomului g (x). Apoi considerăm că această a doua linie este prima linie a noului sistem Horner și împărțim g (x) la x-2, etc. Continuăm calculele până când obținem un rest care este diferit de zero. În acest caz, multiplicitatea rădăcinii este egală cu numărul de reziduuri zero obținute. Linia care conține ultimul rest diferit de zero conține și coeficienții coeficientului la împărțirea f (x) la (x-2) 3.

Acum, folosind schema tocmai propusă pentru verificarea multiplicității rădăcinii, vom rezolva următoarea problemă. Pentru ce a și b polinomul f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 are numărul - 2 ca rădăcină a multiplui 2? Deoarece multiplicitatea rădăcinii - 2 ar trebui să fie egală cu 2, atunci, atunci când împărțim la x+2 conform schemei propuse, ar trebui să obținem un rest de 0 de două ori, iar a treia oară - un rest diferit de zero. Avem: Tabelul 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

Astfel, numărul - 2 este o rădăcină a multiplicității 2 a polinomului original dacă și numai dacă

Rădăcini raționale ale unui polinom Dacă fracția ireductibilă l/m (l, m sunt numere întregi) este rădăcina unui polinom f (x) cu coeficienți întregi, atunci coeficientul principal al acestui polinom se împarte la m, iar termenul liber este împărțit la 1. Într-adevăr, dacă f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, unde an, an-1, . . . , a 1, a 0 sunt numere întregi, atunci f(l/m) =0, adică un (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Să înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu mn. Obținem anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Aceasta implică anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).

Vedem că întregul anln este divizibil cu m. Dar l/m este o fracție ireductibilă, adică numerele l și m sunt între prime și apoi, după cum se știe din teoria divizibilității numerelor întregi, numerele ln și m sunt, de asemenea, coprime. Deci, anln este divizibil cu m și m este coprim cu ln, ceea ce înseamnă că an este divizibil cu m. Să aflăm rădăcinile raționale ale polinomului f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Conform teoremei, rădăcinile raționale ale acestui polinom se numără printre fracțiile ireductibile de forma l/m, unde l este divizorul termenului liber a 0=8, iar m este divizorul coeficientului conducător a 4=6 . Mai mult, dacă fracția l/m este negativă, atunci semnul „-” va fi atribuit numărătorului. De exemplu, - (1/3) = (-1) /3. Deci putem spune că l este un divizor al numărului 8, iar m este un divizor pozitiv al numărului 6.

Deoarece divizorii numărului 8 sunt ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, iar divizorii pozitivi ai numărului 6 sunt 1, 2, 3, 6, atunci rădăcinile raționale ale polinomului în cauză se numără printre numere. ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Să ne amintim că am scris doar fracții ireductibile. Astfel, avem douăzeci de numere - „candidați” pentru rădăcini. Tot ce rămâne este să le verifici pe fiecare și să le selectezi pe cele care sunt cu adevărat rădăcini. următoarea teoremă simplifică această lucrare. Dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina unui polinom f (x) cu coeficienți întregi, atunci f (k) este divizibil cu l-km pentru orice număr întreg k, cu condiția ca l-km≠ 0.

Pentru a demonstra această teoremă, împărțiți f(x) la x-k cu rest. Se obține f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Deoarece f(x) este un polinom cu coeficienți întregi, la fel este și polinomul s(x), iar f(k) este un număr întreg. Fie s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Atunci f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Să punem 1 x=l/m în această egalitate. Având în vedere că f(l/m)=0, obținem f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Să înmulțim ambele părți ale ultimei egalități cu mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Rezultă că întregul mnf (k) este divizibil cu l-km. Dar, deoarece l și m sunt între prime, atunci mn și l-km sunt, de asemenea, între prime, ceea ce înseamnă că f(k) este divizibil cu l-km. Teorema a fost demonstrată.

Să revenim la exemplul nostru și, folosind teorema dovedită, vom restrânge și mai mult cercul căutărilor pentru rădăcini raționale. Să aplicăm această teoremă pentru k=1 și k=-1, adică dacă fracția ireductibilă l/m este rădăcina polinomului f(x), atunci f(1)/(l-m) și f(-1) /(l +m). Găsim cu ușurință că în cazul nostru f(1)=-5 și f(-1)= -15. Rețineți că, în același timp, am exclus din considerare ± 1. Deci, rădăcinile raționale ale polinomului nostru ar trebui căutate printre numerele ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Se consideră l/m=1/2. Atunci l-m=-1 și f (1) =-5 se împarte la acest număr. În plus, l+m=3 și f (1) =-15 este, de asemenea, divizibil cu 3. Aceasta înseamnă că fracția 1/2 rămâne printre „candidații” pentru rădăcini.

Fie acum lm=-(1/2)=(-1)/2. În acest caz, l-m=-3 și f (1) =-5 nu este divizibil cu - 3. Aceasta înseamnă că fracția -1/2 nu poate fi rădăcina acestui polinom și o excludem de la analiza ulterioară. Să verificăm fiecare dintre fracțiile scrise mai sus și să aflăm că rădăcinile necesare sunt printre numerele 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Astfel, folosind o tehnică destul de simplă, am restrâns semnificativ aria de căutare pentru rațional. rădăcinile polinomului în cauză. Ei bine, pentru a verifica numerele rămase, vom folosi schema lui Horner: Tabelul 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Vedem că 1/2 este rădăcina polinomului f(x) și f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Este clar că toate celelalte rădăcini ale polinomului f (x) coincid cu rădăcinile polinomului g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, ceea ce înseamnă că verificarea ulterioară a „candidaților” pentru rădăcini poate fi realizat pentru acest polinom. Găsim: Tabelul 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Am constatat că restul la împărțirea g(x) la x-2/3 este egal cu - 80/9, adică 2/3 nu este o rădăcină a polinomului g(x) și, prin urmare, nici f(x). În continuare aflăm că - 2/3 este rădăcina polinomului g(x) și g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).

Atunci f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). O verificare suplimentară poate fi efectuată pentru polinomul x 2+2 x-4, care, desigur, este mai simplu decât pentru g (x) sau, cu atât mai mult, pentru f (x). Ca rezultat, constatăm că numerele 2 și - 4 nu sunt rădăcini. Deci, polinomul f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 are două rădăcini raționale: 1/2 și - 2/3. Această metodă face posibilă găsirea numai a rădăcinilor raționale ale unui polinom cu coeficienți întregi. Între timp, un polinom poate avea și rădăcini iraționale. Deci, de exemplu, polinomul considerat în exemplu mai are două rădăcini: - 1±√ 5 (acestea sunt rădăcinile polinomului x2+2 x-4). un polinom poate să nu aibă deloc rădăcini raționale.

Când se testează rădăcinile „candidate” ale polinomului f(x) utilizând cea de-a doua dintre teoremele demonstrate mai sus, aceasta din urmă este de obicei folosită pentru cazurile k = ± 1. Cu alte cuvinte, dacă l/m este o rădăcină „candidată”, atunci verificați dacă f( 1) și f (-1) prin l-m și, respectiv, l+m. Dar se poate întâmpla ca, de exemplu, f(1) =0, adică 1 este o rădăcină, iar apoi f(1) să fie divizibil cu orice număr, iar verificarea noastră devine lipsită de sens. În acest caz, ar trebui să împărțiți f(x) la x-1, adică să obțineți f(x)=(x-1)s(x) și să testați polinomul s(x). În același timp, nu trebuie să uităm că am găsit deja o rădăcină a polinomului f(x)-x 1=1. Dacă verificăm „candidații” pentru rădăcinile rămase după folosirea celei de-a doua teoreme pe rădăcini raționale, folosind schema lui Horner, aflăm că, de exemplu, l/m este o rădăcină, atunci trebuie găsită multiplicitatea acesteia. Dacă este egal cu, să zicem, k, atunci f(x)=(x-l/m) ks (x) și se pot face teste suplimentare pe s(x), ceea ce reduce calculul.

Soluţie. După ce am înlocuit variabila y=2 x, trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, înmulțiți mai întâi expresia cu 4. Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea se numără printre divizorii termenului liber. Să le scriem: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60

Să calculăm secvențial valorile funcției g(y) în aceste puncte până ajungem la zero. Adică, y=-5 este o rădăcină și, prin urmare, este rădăcina funcției originale. Să împărțim polinomul la un binom folosind o coloană (colț)

Nu este recomandabil să continuați verificarea divizorilor rămași, deoarece este mai ușor să factorizați trinomul pătratic rezultat.

Folosirea formulelor de înmulțire abreviate și a binomului lui Newton pentru a factoriza un polinom Uneori, apariția unui polinom sugerează o modalitate de factorizare a acestuia. De exemplu, după transformări simple, coeficienții sunt aliniați într-o linie din triunghiul lui Pascal pentru coeficienții binomului lui Newton. Exemplu. Factorizați polinomul.

Soluţie. Să transformăm expresia în forma: Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze indică clar că aceasta este Prin urmare, Acum aplicăm formula diferenței de pătrate: Expresia din a doua paranteză nu are rădăcini reale, iar pentru polinomul din paranteze prima paranteză aplicăm din nou formula diferenței de pătrate

Formule Vieta care exprimă coeficienții unui polinom prin rădăcinile sale. Aceste formule sunt convenabile de utilizat pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru alcătuirea unui polinom pe baza rădăcinilor sale date. Formulare Dacă sunt rădăcinile unui polinom, atunci coeficienții se exprimă sub formă de polinoame simetrice ale rădăcinilor și anume

Cu alte cuvinte, ak este egal cu suma tuturor produselor posibile ale k rădăcinilor. Dacă coeficientul principal este un polinom, atunci pentru a aplica formula Vieta este necesar să împărțiți mai întâi toți coeficienții cu un 0. În acest caz, formulele Vieta dau o expresie pentru raportul dintre toți coeficienții la cel principal. Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că, dacă rădăcinile unui polinom sunt întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului său liber, care este de asemenea întreg. Demonstrarea se realizează considerând egalitatea obţinută prin extinderea polinomului prin rădăcini, ţinând cont că a 0 = 1 Echivalând coeficienţii la aceleaşi puteri ale lui x, se obţine formulele Vieta.

Rezolvați ecuația x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Soluție. Să notăm y = x 3, atunci ecuația inițială ia forma y 2 – 5 y + 4 = 0, rezolvând care se obține Y 1 = 1; Y 2 = 4. Astfel, ecuația inițială este echivalentă cu o mulțime de ecuații: x 3 = 1 sau x 3 = 4, adică X 1 = 1 sau X 2 = Răspuns: 1;

Teorema lui Bezout Definiție 1. Un element se numește rădăcină a unui polinom dacă f(c)=0. teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului Pn(x) la binomul (x-a) este egal cu valoarea acestui polinom la x = a. Dovada. În virtutea algoritmului de împărțire, f(x)=(xc)q(x)+r(x), unde fie r(x)=0, fie și prin urmare. Deci f(x)=(x-c)q(x)+r, deci f(c)=(c-c)q(c)+r=r, și deci f(x)=(xc)q(x) +f (c).

Corolarul 1: Restul împărțirii polinomului Pn (x) la binomul ax+b este egal cu valoarea acestui polinom la x = -b/a, adică R=Pn (-b/a). Corolarul 2: Dacă numărul a este rădăcina polinomului P (x), atunci acest polinom este divizibil cu (x-a) fără rest. Corolarul 3: Dacă polinomul P(x) are rădăcini distincte perechi a 1 , a 2 , ... , an, atunci se împarte la produsul (x-a 1) ... (x-an) fără rest. Corolarul 4: Un polinom de grad n are cel mult n rădăcini diferite. Corolarul 5: Pentru orice polinom P(x) și număr a, diferența (P(x)-P(a)) este divizibilă cu binomul (x-a) fără rest. Corolarul 6: Un număr a este o rădăcină a unui polinom P(x) de grad cel puțin mai întâi dacă și numai dacă P(x) este divizibil cu (x-a) fără rest.

Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple Să arătăm că orice fracție rațională proprie poate fi descompusă într-o sumă de fracții simple. Să fie dată o fracție rațională proprie (1).

Teorema 1. Fie x=a rădăcina numitorului conciziei k, adică unde f(a)≠ 0, atunci această fracție proprie poate fi reprezentată ca suma a altor două fracții proprii, după cum urmează: (2) , unde A este o constantă diferită de zero, iar F 1(x) este un polinom al cărui grad este mai mic decât gradul numitorului

unde este un polinom al cărui grad este mai mic decât gradul numitorului. Și similar cu formula anterioară, puteți obține: (5)