Основы математических моделей. Что такое математическая модель? Какие математические модели относятся к наиболее простым

Проследить динамику развития объекта, внутреннюю сущность соотношений его элементов и различные со­стояния в процессе проектирования можно только с по­мощью моделей, использующих принцип динамической аналогии, т. е. с помощью математических моделей.

Математическая модель - это система математиче­ских соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для составления математической модели мож­но использовать любые математические средства - тео­рию множеств, математическую логику, язык дифферен­циальных или интегральных уравнений. Процесс состав­ления математической модели называется математическим моделированием . Как и другие виды моделей, ма­тематическая модель представляет задачу в упрощен­ном виде и описывает только свойства и закономер­ности, которые наиболее важны для данного объекта или процесса. Математическая модель позволяет осуществ­лять многосторонний количественный анализ. Изменяя исходные данные, критерии, ограничения, каждый раз можно получать оптимальное по заданным условиям ре­шение и определять дальнейшее направление поиска.

Создание математических моделей требует от их раз­работчиков, кроме знания формально-логических мето­дов, тщательного анализа изучаемого объекта с целью строгого формулирования основных идей и правил, а также с целью выявления достаточного объема досто­верных фактических, статистических и нормативных данных.

Следует отметить, что все используемые в настоя­щее время математические модели относятся к предпи­сывающим . Цель разработки предписывающих моде­лей - указание направления поиска решения, в то время как цель разработки описывающих моделей - отражение действительных процессов мышления человека.

Достаточно широко распространена точка зрения, что с помощью математики можно получить только некото­рые числовые данные по изучаемому объекту или про­цессу. «Разумеется, многие математические дисциплины направлены на получение конечного численного резуль­тата. Но сводить математические методы только к зада­че получения числа - значит бесконечно обеднять мате­матику, обеднять возможность того могучего оружия, которое сегодня есть в руках исследователей…

Математическая модель, записанная на том или ином частном языке (например, дифференциальные уравне­ния), отражает определенные свойства реальных физиче­ских процессов. В результате анализа математических моделей мы получаем, прежде всего, качественные пред­ставления об особенностях изучаемых процессов, уста­навливаем закономерности, определяющие динамический ряд последовательных состояний, получаем возможность предсказать течение процесса и определять его количе­ственные характеристики».

Математические модели используются во многих известных способах моделирования. Среди них можно назвать разработку моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, оптимизационные модели.

Примером математических моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, могут служить различные методы традиционных расчетов конструкций. Процесс расчета, представленный в виде последовательности математических операций (алгоритм), позволяет сказать, что составлена математическая модель для расчета определенной конструкции.

В оптимизационных моделях присутствуют три элемента:

Целевая функция, отражающая принятый критерий качества;

Регулируемые параметры;

Налагаемые ограничения.

Все эти элементы должны быть описаны математически в виде уравнений, логических условий и т.д. Решение оптимизационной задачи представляет собой процесс поиска минимального (максимального) значения целевой функции при соблюдении заданных ограничений. Результат решения считается оптимальным, если функция цели достигает своего экстремального значения.

Пример оптимизационной модели – математическое описание критерия «длина связи» в методике вариантного проектирования промышленных зданий.

Целевая функция отражает общую взвешенную протяженность всех функциональных связей, которая должны стремиться к минимуму:

где – весовое значение связи элемента с ;

– длина связи между и элементами;

– общее число размещаемых элементов.

Поскольку площади размещаемых элементов помещений во всех вариантах проектного решения равны, то варианты отличаются один от другого только различными расстояниями между элементами и их расположением относительно друг друга. Следовательно, регулируемыми параметрами служат в данном случае координаты элементов, размещаемых на планах этажей.

Налагаемые ограничения на расположение элементов (в заранее фиксированном месте плана, у наружного периметра, друг над другом и т.д.) и на длину связей (значения длины связей между и ым элементами заданы жестко, заданы минимальные или максимальные пределы значений, заданы границы изменения значений) записываются формально.

Вариант считается оптимальным (по данному критерию), если значение функции цели, вычисленной для этого варианта, будет минимальным.

Разновидность математических моделей – экономико-математическая модель – представляет собой модель связи экономических характеристик и параметров системы.

Примером экономико-математических моделей служит математическое описание критериев затрат в упомянутой выше методике вариантного проектирования промышленных зданий. В математических моделях, полученных на основе использования методов математической статистики, отражена зависимость стоимости каркаса, фундаментов, земляных работ одноэтажных и многоэтажных промышленных зданий и их высоты, пролета и шага несущих конструкций.

По способу учета влияния случайных факторов на принятие решения математические модели подразделяются на детерминированные и вероятностные. Детерминированная модель не учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на аналитическом представлении закономерностей функционирования. Вероятностная (стохастическая) модель учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на статистической, т.е. количественной оценке массовых явлений, позволяющей принимать в расчет их нелинейность, динамику, случайные возмущения, описываемые разными законами распределения.

Используя приведенные выше примеры, можно сказать, что математическая модель, описывающая критерий «длина связей», относится к детерминированным, а математические модели, описывающие группу критериев «затраты», - к вероятностным моделям.

Лингвистические, семантические и информационные модели

Математические модели имеют очевидные достоинства, так как количественная оценка аспектов задачи дает ясное представление о приоритетах целей. Немаловажно, что специалист всегда может обосновать принятие того или иного решения, представив соответствующие численные данные. Однако полное математическое описание проектной деятельности невозможно, поэтому большинство задач, решаемых на начальной стадии архитектурно-строительного проектирования, относится к слабоструктурированным .

Одна из особенностей слабоструктурированных задач - словесное описание используемых в них критериев. Введение критериев, описанных на естественном языке (такие критерии называют лингвистическими ), позволяет использовать менее сложные методы для поиска оптимальных проектных решений. При наличии таких критериев проектировщик принимает решение на основании привычных, не вызывающих сомнения выражениях целей.

Содержательное описание всех аспектов задачи вносит систематизацию в процесс ее решения, с одной стороны, а с другой, значительно облегчает работу специалистов, которые без изучения соответствующих разделов математики могут более рационально решать свои профессиональные задачи. На рис. 5.2 приведена лингвистическая модель , описывающая возможности создания условий для естественной вентиляции в различных вариантах планировочных решений хлебозавода.

Другие преимущества содержательного описания проблем заключаются в следующем:

Возможность описания всех критериев, которыми определяется эффективность проектного решения. При этом важно, что в описание могут быть введены слож­ные понятия и в поле зрения специалиста наряду с ко­личественными, измеряемыми факторами попадут и ка­чественные, не измеряемые. Таким образом, на момент принятия решения будет использована вся субъективная и объективная информация;

Рис. 5.2 Описание содержания критерия «вентиляция» в виде лингвистической модели

Возможность однозначной оценки степени достижения цели в вариантах по данному признаку на основе фор­мулировок, принятых специалистами, что обеспечивает достоверность полученной информации;

Возможность учета неопределенности, связанной с не­полным знанием всех последствий принимаемых реше­ний, а так же информации прогнозного характера.

К моделям, которые используют естественный язык для описания объекта исследования, относятся и семан­тические модели.

Семантическая модель - есть такое представление объекта, при котором отражается степень взаимосвязан­ности (близости) между различными составными частя­ми, аспектами, свойствами объекта. Под взаимосвязан­ностью понимается не относительное пространственное расположение, а связь по смыслу.

Так, в семантическом смысле связь между коэффи­циентом естественной освещенности и площадью света прозрачных ограждений будет представлена как более близкая, чем связь между оконными проемами и смеж­ными с ними глухими участками стены.

Совокупность отношений связанности показывает, что представляет собой каждый выделяемый в объекте эле­мент и объект в целом. В то же время семантическая модель отображает помимо степени связанности различ­ных сторон в объекте также содержание понятий. Элементарными моделями служат понятия, выраженные естественным языком.

Построение семантических моделей основывается на принципах, в соответствии с которыми понятия и связи не изменяются в течение всего времени использования модели; содержание одного понятия не переходит в дру­гое; связи между двумя понятиями имеют равное по отношению к ним и неориентированное взаимодействие.

Каждый анализ модели направлен на выбор элемен­тов модели, имеющих общее определенное качество. Это дает основание для построения алгоритма, учитывающе­го только непосредственные связи. При преобразовании модели в неориентированный граф ищется путь между двумя элементами, который прослеживает движение из одного элемента в другой, с использованием каждого элемента только один раз. Порядок следования элемен­тов называется последовательностью этих двух элемен­тов. Последовательности могут иметь разную длину. Самые короткие из них называются отношениями эле­ментов. Последовательность двух элементов существует и в том случае, если между ними существует непосред­ственная связь, но в таком случае не существует от­ношения.

В качестве примера семантической модели приведем описание планировки квартиры вместе с коммуникацион­ными связями. Понятие - это помещения квартиры. Не­посредственная связь означает функциональное соедине­ние двух помещений, например дверью (см. табл. 5.1).

Преобразование модели в форму неориентированного графа позволяет получить последовательность элементов (рис. 5.3).

Примеры последовательности, образованной между элементом 2 (ванная) и элементом 6 (кладовая), приведены в табл. 5.2. Как видно из таблицы, последовательность 3 пред­ставляет отношение этих двух элементов.

Таблица 5.1

Описание планировки квартиры

Рис. 5.3 Описание планировочного решения в виде неориентирован­ного графа

По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: "Уравнение , выражающее идею . "

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Содержательные и формальные модели

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель . Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель , умозрительная модель или предмодель . При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики , биология , экономика , социология , психология , и большинство других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман :

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы …)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира , проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым )

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности )

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F = − k x ) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона , чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения :

где означает вторую производную от x по времени: .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификация эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.~д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, - некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания . Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда ни различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Англии обрушился металлический мост через реку Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения экперимента (активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

Дополнительные примеры

где x s - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению x s , причем такое поведение структурно устойчиво.

Эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора . Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым : малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения . Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать . Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. . - 2-е изд., испр.. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: mathematical model
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния.» Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
11. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, черным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. «Очевидный, но важнейший начальный этап построения или выбора математической модели - это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэффективным или даже потраченным впустую из-за недостаточного внимания к этой стороне дела.» Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
14. «Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель М в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в) принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реальных процессов при построении модели.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.
15. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г. , Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: УРСС, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект -заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.

Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.

Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели .

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит , языки программирования, упорядоченная запись , топологическая запись , сетевое представление .

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью , более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях и по отношению к каким объектам познания реализуется способность моде­лей отображать действительность, возникает их большое разнообразие, а вместе с ним - классификации. Путем обобщения существующих клас­сификаций выделим базовые модели по применяемому математическому аппарату, на основе которых получают раз­витие специальные модели (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 - Формальная классификация моделей

Математические модели отображают изучаемые объекты (процессы, системы) в виде явных функциональных соотношений: алгебраических равенств и неравенств, интегральных и дифферен­циальных, конечно-разностных и других математических выражений (закон распределения случайной величины, регрессионные модели и т.д.), а также отношений математической логики.

В зависимости от двух фундаментальных признаков построения математической модели - вида описания причинно-следственных связей и изменений их во вре­мени - различают детерминистические и стохастические, статические и динамические модели (рисунок 8.2).

Цель схемы, представленной на рисунке, - отобразить следующие особенности:

1) математические модели могут быть и детерминистическими, и стохастическими;

2) детерминистические и стохастические модели могут быть и статическими, и динамическими.

Математическая модель называется детерминистической (детерминированной) , если все ее параметры и переменные являются однозначно определяемыми ве­личинами, а также выполняется условие полной определенности ин формации. В противном случае, в условиях неопределенности инфор­мации, когда параметры и переменные модели - случайные величи­ны, модель называется стохастической (вероятностной) .

Рисунок 8.2 – Классы математических моделей

Модель называется динами­ческой , если как минимум одна переменная изменяется по периодам времени, и статической , если принимается гипотеза, что переменные не изменяются по периодам времени.

В простейшем случае балансовые модели выступают в виде уравнения баланса, где в левой части располагается сумма каких-либо поступлений, а в правой - расходная часть также в виде суммы. Например, в таком виде представляется годовой бюджет организации.

На основе статистических данных могут строиться не только балан­совые, но и корреляционно-регрессионные модели.

Если функция Y зависит не только от переменных х 1 , х 2 , … х n , но и от других факторов, связь между Y и х 1 , х 2 , … х n является неточной или корреляционной в отличие от точной или функциональной связи. Корреляционными, например, в большинстве случаев являются связи, наблюда­ющиеся между выходными параметрами ОПС и факторами ее внутренней и внешней среды (см. тему 5).

Корреляционно-регрессионные модели получают при исследовании влияния целого комплекса факторов на величину того или иного признака путем примене­ния статистического аппарата. При этом ставится задача не только установить корреляционную связь, но и выразить эту связь аналитически, то есть подобрать уравнения, описываю­щие данную корреляционную зависимость (уравнение регрессии).

Для нахождения численного значения параметров уравне­ния регрессии пользуются методом наименьших квадратов. Суть этого метода состоит в том, чтобы выбрать такую линию, при которой сумма квадратов отклонений от нее ординат Y отдель­ных точек была бы наименьшей.

Корреляционно-регрессионные модели часто используются при исследовании явлений, когда возникает необходимость установить зависимость между соответствующими характеристиками в двух и более рядах. При этом преимущественно используется парная и множественная линейная регрессия вида

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b .

В результате применения метода наименьших квадратов ус­танавливаются значения параметров a или a 1 , a 2 , …, a n и b, а затем выполняются оценки точности аппроксимации и значимости полученного уравнения регрессии.

В особую группу выделяют графоаналитиче­ские модели . Они используют различные графические изображения и поэтому обладают хорошей наглядностью.

Теория графов - одна из теорий дискретной математики, изучает графы, под которыми понимается совокупность точек и линий их соединяющих. Граф - это самостоятельный математи­ческий объект (впервые ввел Кёниг Д.). На основе теории гра­фов наиболее часто строят древовидные и сетевые модели.

Древовидная модель (дерево) - это неориентированный связ­ный граф, не содержащий петель и циклов. Примером такой модели является дерево целей.

Сетевые модели нашли широкое применение в управлении производством работ. Сетевые модели (графики) отражают последовательность выполнения работ и продолжи­тельность каждой работы (рисунок 8.3).

Рисунок 8.3 - Сетевая модель производства работ

Каждая линия сетевого графика - это некоторая работа. Цифра рядом с ней означает продолжительность ее выполнения.

Сетевые модели позволяют найти так называемый критический путь и оптимизировать график производства работ по времени при ограничениях на другие ресурсы.

Сетевые модели могут быть детерминированными и стоха­стическими. В последнем случае продолжительности выполнения работ задаются законами распределения случайных величин.

Оптимизационные модели служат для определения оптимальной траектории достижения системой поставленной цели при наложении некоторых ограничений на управление ее поведениям и движением. В этом случае оптимизационные модели описывают различного рода задачи нахождения экстремума некоторой целевой функции (критерия оптимизации).

Для выявления оптимального способа достижения цели управления в условиях ограниченных ресурсов – технических, материальных, трудовых и финансовых – применяют методы исследования операций. К ним относятся методы математическо­го программирования (линейное и нелинейное, целочисленное, ди­намическое и стохастическое программирование), аналитические и вероятностно-статистические методы, сетевые методы, методы тео­рии массового обслуживания, теории игр (теории конфликтных си­туаций) и др.

Оптимизационные модели применяются для объемного и календар­ного планирования, управления запасами, распределения ресурсов и работ, замены, параметризации и стандартизации оборудования, рас­пределения потоков товарных поставок на транспортной сети и дру­гих задач управления.

Одним из основных достижений теории исследования операций считается типизация моделей управления и методов решения задач. Например, для решения транспортной задачи, в зависимости от ее раз­мерности, разработаны типовые методы - метод Фогеля, метод по­тенциалов, симплекс-метод. Также при решении задачи управления запасами, в зависимости от ее постановки, могут использоваться ана­литические и вероятностно-статистические методы, методы динами­ческого и стохастического программирования.

В управлении особое значение придается сетевым методам плани­рования. Эти методы позволили найти новый и весьма удобный язык для описания, моделирования и анализа сложных многоэтапных работ и проектов. В исследовании операций значительное место отво­дится совершенствованию управления сложными системами с при­менением методов теории массового обслуживания (см. раздел8.3) и аппарата марков­ских процессов.

Модели марковских случайных процессов - система дифференци­альных уравнений, описывающих функционирование системы или ее процессов в виде множества упорядоченных состояний на некоторой траектории поведения системы. Этот класс моделей широко исполь­зуется при математическом моделировании функционирования слож­ных систем.

Модели теории игр служат для выбора оптимальной стратегии в ус­ловиях ограниченной случайной информации или полной неопреде­ленности.

Игра - математическая модель реальной конфликтной си­туации, разрешение которой ведется по определенным правилам, алгоритмам, описывающим некоторую стратегию поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности.

Различают «игры с природой» и «игры с противником». Исходя из ситуации опре­деляются методы и критерии оценки принятия решений. Так, при «играх с природой» применяют критерии: Лапласа, максиминный (кри­терий Вальда) и минимаксный, Гурвица и Сэвиджа и ряд других алго­ритмических правил. При «играх с противником» для принятия реше­ний используются платежные матрицы, максиминный и минимаксный критерии, а также специальные математические преобразования в свя­зи с тем, что лицу, принимающему решение, противостоит недобро­желательный противник.

Рассмотренные типы математических моделей не охватыва­ют всего их возможного многообразия, а лишь характеризуют отдельные виды в зависимости от принятого аспекта классифи­кации. В.А.Кардашем была предпринята попытка создания сис­темы классификации моделей по четырем аспектам детализации (рисунок 8.4).

А - модели без пространственной дифференциации параметров;

В - модели с пространственной дифференци­ацией параметров

Рисунок 8.4 - Классификация моделей по четырем аспектам детализации

С развитием вычислительных средств одним из распространенных методов принятия решений выступает деловая игра, представляющая собой численный эксперимент с активным участием человека. Существуют сотни деловых игр. Они применяются для изу­чения целого ряда проблем управления, экономики, теории организа­ции, психологии, финансов и торговли.

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

• специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
• еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
• моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

• по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
• по динамике (статические и динамические);
• по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
• по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

1. Питание должно быть полезным.
2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

• модель динамики численности микроорганизмов;
• модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

• через пять дней женская особь откладывает яйца;
• через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность	Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта
Адекватность	Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели
Точность	Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта
Экономичность	Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих части модели.
2. Исследование математических задач.
3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

• формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
• максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

• задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
• задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

• таблицы;
• блок-схемы;
• диаграммы;
• графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

• 8 рыб - обитатели северных морей;
• 20% улова - обитатели южных морей;
• из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.