Колебания нелинейных систем. Парадигма и идеология: опыт философской реконструкции истории теории нелинейных колебаний. Метод точечных преобразований

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - .

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, (5) содержит лишь , т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы .

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в .

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений , Колебаний теория.

Лит. : Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

В. М. Старжинский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ" в других словарях:

нелинейные колебания - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN nonlinear oscillations … Справочник технического переводчика

нелинейные колебания - netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non linear oscillations; non linear vibrations vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. нелинейные колебания, n pranc. oscillations non linéaires, f … Fizikos terminų žodynas

Термин, который иногда употребляют, подразумевая колебания в нелинейных системах (См. Нелинейные системы) … Большая советская энциклопедия

Нелинейные колебания Нелінійні коливання Специализация … Википедия

Процессы в колебат. и волновых системах, не удовлетворяющие суперпозиции принципу. Нелинейные колебания или волны в общем случае взаимодействуют между собой, а их характеристики (частота, форма колебаний, скорость распространения, вид профиля… … Физическая энциклопедия

Колебательные системы, св ва к рых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными ур ниями. Нелинейными явл.: механич. системы, где модули упругости тел зависят от деформаций последних или коэфф. трения… … Физическая энциклопедия

Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример – это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид

Если затухание отсутствует и , имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика (рисунок 1.54).

Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рисунке.

Рисунок 1.54 - Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила (a и b определяются в уравнении)

При постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.

Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания.

Если вынуждающая сила имеет вид , то субгармонические колебания могут иметь вид плюс более высокие гармоники ( –целое число).

Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.

Самовозбуждающиеся колебания – другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил (рисунок 1.55).

Рисунок 1.55 - Примеры самовозбуждающихся колебаний: а – сухое трение между массой и движущимся ремнем;

б – аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло

В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня.

Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых, стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске.

В этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления (уравнение Ван дер Поля):

Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.

При анализе уравнения Ван дер Поля, удобно перейти к безразмерным переменным, нормировав пространственную переменную на , а время – на , так что уравнение принимает вид

,

При решении уравнения его представляют в виде ситемы уравнений первого порядка

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рисунке 1.56 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (где ).

Рисунок 1.56 - Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости

При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?

При малых , предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е. , где через + ... обозначены гармоники третьего и более высоких порядков.

При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рисунке 1.57 с безразмерным периодом около 1.61 при .

Рисунок 1.57 Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля

Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:

Поскольку система нелинейная, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда она близка к частоте предельного цикла.

При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (см. рисунок). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.

При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление – комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями, вида

Когда частоты и несоизмеримы, т. е. – иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где – частота предельного цикла свободных колебаний (рисунок 1.58).

Рисунок 1.58 - Амплитудные кривые для вынужденного

движения осциллятора Ван дер Поля

Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но, поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье решения состоит из двух пиков при , )

Когда , и несоизмеримы, фазовый портрет решения представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического представления квазипериодических функций используется другой способ.

Делается стробоскопическая выборка с интервалом ; положим и обозначим , .

Тогда соотношение сводится к

1. Использованная выше в линейном анализе гипотеза о бесконечно малой величине возмущений не позволяет рассмотреть развитие действительных возму­щений. В линейной теории, как видно, амплитуда возмущений либо вообще не определена (на границе устойчивости), либо растет беспредельно (в зоне неус­тойчивости), что получается как следствие ее исходных положений. На самом деле при некоторой амплитуде возмущений становятся существенными нелиней­ные эффекты, которые предотвращают бесконечное увеличение амплитуды и при­водят к предельному циклу колебаний.

Нелинейность начинает проявляться лишь для возмущений с определенной (критической) амплитудой: при меньшей амплитуде согласно нелинейной теории колебания затухают, при большей - имеет место так называемая нелинейная неустойчивость (неустойчивость в большом, импульсная неустойчивость). Нелиней­ности колебательного процесса в РДТТ определяются нелинейностью процесса горения и волнового движения в камере, проявляющегося в росте кривизны волн давления, дисперсии возмущений и в возникновении ударных волн.

Несмотря на то, что линейные теории обеспечивают довольно полное пони­мание проблемы неустойчивости РДТТ, они не могут решить чрезвычайно важ­ного для практики вопроса о наиболее опасных для двигателя и для всего ЛА колебаниях большой амплитуды. Поэтому изучению таких нелинейных колебаний уделяется все большее и большее внимание. В настоящее время можно указать узкий круг уже решенных нелинейных задач.

2. Исходные уравнения . Рассмотрим в следующей постановке зада­чу о нелинейных акустических колебаниях для одномерного течения. Система не­линейных дифференциальных уравнений для такого случая может быть представ­лена в следующем виде:

уравнение сохранения массы газа

уравнение сохранения массы частиц

; (5.85)

уравне­ние сохранения количества движения

; (5.86)

уравне­ние сохранения энергии

где индекс «l » означает массовый расход на единицу длины; v - на единицу объема; остальные индексы и величины прежние.

3. Основные допущения . Для решения этих уравнений сделаем сле­дующие допущения:

Отсутствует догорание, т. Е = 0; Q = 0;

Обмен энергией представлен теплообменом между частицами и газом в КС;

Сечение канала заряда неизменно, т. е. F = const;

При z = 0 скорости газа и частиц раины нулю;

Для двухфазного потока в сопле предполагается постоянное отставание тя­желой фракции;

Режим работы сопла квазистационарный;

Характеристики переходного горения определяются функцией чувствительно­сти в виде

. (5.88)

следовательно, характеристика горения предполагает линейность;

Учитывается связь скорости горения с давлением, в отдельных случаях - со скоростью потока;

Частицы рассматривают только одного размера, причем с использованием линейного и нелинейного коэффициента сопротивления.

4. Результаты численного решения . Численные методы решения нелинейных задач устойчивости включают метод характеристик, метод «дискре­тизации» и др. В последнем случае решение задачи аппроксимируется в предпо­ложении удовлетворения нелинейности в конечном числе дискретных точек. Сис­тема представленных уравнений (5.84) ... (5.87) может решаться, например, методом характеристик. Такое решение, полученное Ф. Куликом, дает зависимость амплитуды возмущений от времени. Примеры результатов численных расчетов Ф. Кулика показаны на рис.7. Начальные условия задавались в виде стоячей волны основной частоты камеры. Начальное возмущение составляло равную часть первой и второй моды, но после трех циклов давление почти не содержало второй гармоники. Влияние связи с переходным горением в этом случае, очевид­но, играет решающую роль; функция чувствительности при принятых А и В по­казывает это в сильной степени для основной частоты и в слабой - для второй моды. Можно отметить также, что амплитуда давления начинает возрастать не сразу; более того наблюдается даже некоторое ее затухание после одного цикла. Это можно объяснить тем, что скорость горения только после нескольких циклов достигает значения, соответствующего возникшим возмущениям давления.

Профессор, д. ф.м. н.

1. Введение

Переменные состояния. Оператор эволюции. Динамические системы (ДС). ДС с сосредоточенными и распределенными параметрами (ДССП и ДСРП). Математическая модель ДССП. Число степеней свободы. Обобщенные координаты и скорости. Фазовые пространства. Интегральные кривые и фазовые траектории. Классификация динамических систем. Методы теории нелинейных колебаний (классификация).

2. Колебания в линейных системах

Линейные автономные динамические системы с одной степенью свободы (линейный осциллятор). Фазовые портреты таких систем. Модели Ломки и Вольтерра. Плоскость параметров системы. Бифуркационные кривые. Неавтономные системы. Резонанс. Нормальные координаты. Колебания в линейных системах с двумя степенями свободы (связанные осцилляторы). Коэффициенты распределения, связанности и связи, графики Вина, внутренний резонанс. Вынужденные колебания в таких системах. Обобщение на n степеней свободы. Колебания в нормальных координатах. Параметрические колебания. Модели Хилла и Матье. Теорема Флоке.

3. Теория устойчивости ДС.

Понятие устойчивости по Ляпунову. Устойчивость равновесного состояния. Устойчивость периодического движения. Прямой метод Ляпунова. Метод первого приближения. Устойчивость линейных систем. Критерии устойчивости Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста. Устойчивость неавтономных систем.

4. Аналитические методы

Особенности аналитических методов. Метод малого параметра Пуанкаре. Нерезонансные вынужденные колебания. Задача Дюффинга. Колебания при резонансе на основной гармонике и на субгармониках. Модель Дюффинга и нелинейный резонанс. Нелинейные фазовые колебания в циклических накопителях электронов. Собственные периодические колебания нелинейных систем. Вариационные методы. Метод Галеркина. Метод вариации параметров. Асимптотические методы. U-метод для автономных систем. Модель Ван-дер-Поля. Триодный генератор. Вращающаяся фазовая плоскость. Асимптотический метод для неавтономных систем. Эквивалентная линеаризация нелинейных систем. Метод усреднения. Перемещение Ван-дер-Поля. Нелинейный резонанс. Перекрытие нелинейных резонансов. Автоколебания в многочастотных системах. Вынужденная синхронизация. Конкуренция. Взаимная синхронизация мод.

5. Качественные методы

5.1. Фазовые портреты консервативных систем. Построение фазовых траекторий на основе энергетического баланса. Фазовые траектории в окрестности равновесного состояния. Типы движений в консервативных системах. Орбитная устойчивость. Неизохронность и ангармоничность нелинейных колебаний. Одночастичные движения в магнитной ловушке (электрон в продольном поле). Модель Вольтерра. Ансамбль нелинейных осцилляторов. Фазовый портрет перекрытия нелинейных резонансов.

5.2. Периодические автоколебания. Предельные циклы на фазовой плоскости. Зависимость формы автоколебаний от параметров системы. Релаксационные автоколебания. "Быстрые" и "медленные" движения. Качественные исследования разрывных колебаний. Модель релаксационного генератора.

5.3. Фазовые портреты равновесных диссипативных систем. Грубость динамической системы. Законы совместного существования особых точек. Основные бифуркации на плоскости. Индексы Пуанкаре. Обобщенная электронная схема с нелинейным элементом. Криотронные схемы. Триггерные ячейки памяти. Колебания в сверхпроводящих соленоидах.

6. Метод точечных преобразований.

Метод точечных преобразований при исследовании автоколебательных систем. Криотронный генератор. Гармонический осциллятор с нелинейным затуханием.

7. Применение качественных методов к исследованию неавтономных систем.

Синхронная многолистная фазовая плоскость. Субгармонические колебания в ферромагнитной пленке. Параметрическая неустойчивость. Бетатронные колебания в ускорителях с жесткой фокусировкой. Принцип автофазировки и синхротронные колебания в электронных ускорителях и накопителях.

8. Стохастическая динамика простых систем.

Точечные отображения. Бифуркация периодических движений. Гомоклинические структуры. Случайность в динамической системе. Стохастическая динамика одномерных отображений. Генератор шума, его статистическое описание. Пути возникновения странных аттракторов.

Литература

1. Мандельштам по колебаниям. М.: Наука, 1972.

2. , Хайкин колебаний. М.: Наука, 1964.

3. Стрелков в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.

4. , Митропольский методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

5. Фомель теории нелинейных колебаний. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1970.

6. Гольдин ускорителей. М.: Наука, 1983.

7. , Трубецков в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - .

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы .

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в .

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория.

Лит. : Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

• - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени...

  Физическая энциклопедия

• - тензорные коэффициенты, связывающие нелинейную часть поляризации Р = Р л + Р нл единичного объёма среды, возникающую под действием сильных электрических полей, с величинами...

  Физическая энциклопедия

• - изменения сигнала S вых, приводящие к искажению передаваемого сообщения S вх, обусловленные нелинейностью оператора тракта передачи L: S вых = LS вх...

  Физическая энциклопедия

• - процессы в колебат. и волновых системах, не удовлетворяющие суперпозиции принципу...

  Физическая энциклопедия

• - колебательные системы, св-ва к-рых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными ур-ниями. Нелинейными явл.: механич...

  Физическая энциклопедия

• - ур-ния, не обладающие свойством линейности...

  Физическая энциклопедия

• - возникают в результате взаимодействия волн, полей и частиц, при к-рых не выполняется принцип суперпозиции волн и к-рые описываются с учётом нелинейных слагаемых в ур-ниях кинетики или...

  Физическая энциклопедия

• - нелинейные оптич...

  Физическая энциклопедия

• - колебат. и волновые системы, свойства к-рых зависят от происходящих в них процессов; описываются нелинейными диффсренц. ур-ниями. Одна из наиб. характерных особенностей Н.с.- нарушение принципа суперпозиции...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - системы, свойства и характеристики которых зависят от их состояния. Среди них могут быть механические и электрические колебательные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями...

  Начала современного Естествознания

• - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени - трептения - kmitání; kmity - Schwingungen - rezgés - хэлбэлзэл - wahania; drgania - oscilaţii - oscilacije - oscilaciones - oscillations; vibrations - oscillations...

  Строительный словарь

• - Статьиволокно...

  Энциклопедический словарь нанотехнологий

• - термин, который иногда употребляют, подразумевая колебания в нелинейных системах...
• - Колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов...

  Большая Советская энциклопедия

«КОЛЕБАНИЯ» ОПРЕДЕЛЕНИЙ

Из книги Как говорить правильно: Заметки о культуре русской речи автора Головин Борис Николаевич

«КОЛЕБАНИЯ» ОПРЕДЕЛЕНИЙ На уроке учащимся было задано упражнение: ввести определение в словосочетание пять рабочих. Ученики быстро предложили свои примеры: пять молодых рабочих, пять старых рабочих, пять квалифицированных рабочих... Затруднений никаких не возникло.

§ 1 Экономические колебания

Из книги Основы экономики автора Борисов Евгений Филиппович

§ 1 Экономические колебания При поиске истины мы наталкиваемся на парадокс (неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям).Как выглядит волнообразное движение экономикиЧтобы убедиться в том, что происходит в действительности, давайте посмотрим на

Китайгородский Александр Исаакович

V. Колебания Равновесие В некоторых случаях равновесие очень трудно поддержать – попробуйте пройтись по натянутому канату. В то же время никто не награждает аплодисментами сидящего в кресле-качалке. А ведь он тоже поддерживает свое равновесие.В чем же разница в этих

Колебания

Из книги Курс русской истории (Лекции XXXIII-LXI) автора Ключевский Василий Осипович

Колебания Отвечая на этот вопрос, мы переберем все наиболее видные явления нашей внутренней жизни. Они очень сложны, идут различными, часто пересекающимися и иногда встречными течениями. Но можно разглядеть их общий