Расширение множества натуральных чисел. Историческая и логическая последовательность изучения числовых мн-ств. Общий принцип расширения числовых мн-ств. Вопросы к коллоквиуму

Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности : натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные чисел и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике:N Q + Q R (историческая схема развития понятия числа ). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность: N Z Q R (логическая схема развития понятия числа ). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. Приверженность школьного курса исторической схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа.

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 – знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль? Разделить – значит найти . Два случая: 1) , следовательно, надо найти . Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти . Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

• необходимость новых чисел;
• введение новых чисел;
• сравнение (геометрическая интерпретация);
• действия над числами;
• законы.

Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел – числовое поле.

Поле (П) – множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции – умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого и для каждого противоположного . Существует единичный элемент: . (Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем .) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел. Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5–6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N , 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N , 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N , 0 Десятичные дроби Отрицательные числа Обыкновенные дроби Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)

N , 0 Целые числа Десятичные дроби (положительные) Обыкновенные дроби (положительные) Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

У П.М. Эрдниева в «Математике 5-6»:

N , 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отрицательных чисел)

Лекция 49. Положительные рациональные числа

1. Рациональные числа. Понятие дроби.

2. Рациональное число как класс эквивалентных дробей.

3. Арифметические действия над рациональными числами. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел. Законы сложения и умножения.

4. Свойства отношения «меньше» на множестве рациональных чисел.

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, про­должается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как пра­вило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расши­ряется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств ра­циональных и действительных чисел с множеством натуральных чи­сел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказа­тельств; более подробно будет изложен материал, связанный с рацио­нальными числами.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q+ положи­тельных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.

Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 128). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е , и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом.

I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I

Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е . И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ∙Е , где Е - длина единичного отрезка е , а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде ∙ Е, где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 128, где показано, что четвертая часть отрезка уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е , которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е , тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью 28/8. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е , тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью 56/16.

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единич­ном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где к - натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = пр .

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение . Две дроби m/n и p/q называются равными, если mq= n p.

Если дроби равны, то пишут m/n = p/q .

Например, 17/3 = 119/21, так как 17∙21 = 119∙3 = 357, а 17/19 23/27, потому что 17∙27 = 459, 19∙23 = 437 и 459 ¹ 437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, сим­метрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство

m/n = m/n справедливо для любых натуральных чисел т и п. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из тq= пр следует, что рп = qт (т, п, р, qÎN ).

Лекция 49. Положительные рациональные числа

1. Рациональные числа. Понятие дроби.

2. Рациональное число как класс эквивалентных дробей.

3. Арифметические действия над рациональными числами. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел. Законы сложения и умножения.

4. Свойства отношения «меньше» на множестве рациональных чисел.

Действительные числа - не последние в ряду различных чисел. Процесс, начавшийся с расширения множества натуральных чисел, про­должается и сегодня - этого требует развитие различных наук и самой математики.

Знакомство учащихся с дробными числами происходит, как пра­вило, в начальных классах. Затем понятие дроби уточняется и расши­ряется в средней школе. В связи с этим учителю необходимо владеть понятием дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над рациональными числами, свойства этих действий. Все это нужно не только для того, чтобы математически грамотно ввести понятие дроби и обучать младших школьников выполнять с ними действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множеств ра­циональных и действительных чисел с множеством натуральных чи­сел. Без их понимания нельзя решить проблему преемственности в обучении математике в начальных и последующих классах школы.

Отметим особенность изложения материала данного параграфа, которая обусловлена как небольшим объемом курса математики для учителей начальных классов, так и его назначением: материал будет представлен во многом конспективно, часто без строгих доказа­тельств; более подробно будет изложен материал, связанный с рацио­нальными числами.

Расширение множества N натуральных чисел будет происходить в такой последовательности: сначала строится множество Q+ положи­тельных рациональных чисел, затем показывается, как его можно расширить до множества R+ положительных действительных чисел, и, наконец, очень кратко описывается расширение множества R+ до множества R всех действительных чисел.

Понятие дроби

Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 128). При измерении оказалось, что отрезок х состоит из трех отрезков, равных е , и отрезка, который короче отрезка е. В этом случае длина отрезка х не может быть выражена натуральным числом.

I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I-I

Однако если отрезок е разбить на 4 равные части, то отрезок х окажется состоящим из 14 отрезков, равных четвертой части отрезка е . И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому условились длину отрезка х записывать в виде ∙Е , где Е - длина единичного отрезка е , а символ называть дробью.

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных п-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде ∙ Е, где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вернемся к рисунку 128, где показано, что четвертая часть отрезка уложилась в отрезке х точно 14 раз. Очевидно, это не единственный вариант выбора такой части отрезка е , которая укладывается в отрезке х целое число раз. Можно взять восьмую часть отрезка е , тогда отрезок х будет состоять из 28 таких частей и его длина будет выражаться дробью 28/8. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е , тогда отрезок х будет состоять из 56 таких частей и его длина будет выражаться дробью 56/16.

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единич­ном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где к - натуральное число.

Теорема. Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = пр .

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение . Две дроби m/n и p/q называются равными, если mq= n p.

Если дроби равны, то пишут m/n = p/q .

Например, 17/3 = 119/21, так как 17∙21 = 119∙3 = 357, а 17/19 23/27, потому что 17∙27 = 459, 19∙23 = 437 и 459 ¹ 437.

Из сформулированных выше теоремы и определения следует, что две дроби равны тогда и только тогда, когда они выражают длину одного и того же отрезка.

Нам известно, что отношение равенства дробей рефлексивно, сим­метрично и транзитивно, т.е. является отношением эквивалентности. Теперь, используя определение равных дробей, это можно доказать.

Теорема. Равенство дробей является отношением эквивалентности.

Доказательство. Действительно, равенство дробей рефлексивно: = , так как равенство

m/n = m/n справедливо для любых натуральных чисел т и п. Равенство дробей симметрично: если = , то = , так как из тq= пр следует, что рп = qт (т, п, р, qÎN ).основное свойство дроби. Напомним его.

Отношения между множествами.

1) множества не имеют общих элементов

2) два множества имеют общие элементы

3) одно множество является подмножеством другого. Множество называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Также говорят, что множество В включено в множество А

4) два множества равны. Множества называются равными или совпадающими. Если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Объединение множеств и его свойства. Пересечение множеств и его свойства.

1. а) объединение двух множеств . Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В. Объединение определяется штриховкой и обозначается

А В В А В А В

1) А U В=С, 2) 3) АU В=А, 4) АUВ=А=В.

б) свойства операции объединения множеств:

· коммутативное свойство: АUВ=ВUА

· ассоциативное свойство: АU (ВUС)=(АUВ) UС

· закон поглощения: АUА=А; АUØ=А; АUУ=У.

2. а) пересечение двух множеств . Пересечением двух множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству В одновременно.

А В А В А В

1) А∩В= Ø, 2) 3) А∩В=В 4) А∩В=А=В.

б) свойства пересечения:

· коммутативное свойство: А∩В= В∩А

· ассоциативное свойство: А∩(В∩С)=(А∩В)∩С

· закон поглощения: А∩А=А, А∩ Ø= Ø, А∩У=А

Дистрибутивные свойства, связывающие операции объединения и пересечения.

Их можно доказать на кругах Эйлера.

1). АU (В∩С)=(АUВ)∩(АUС)

2). А∩(ВUС)=(А∩В) U (А∩С)

Доказательство. Обозначим левую часть равенства М, а правую – Н. Чтобы доказать верность данного равенства, докажем, что множество М включено в Н, а Н в М.

Пусть 1). (произвольно выбранный элемент).

Принцип расширения числового множества. Множества целых и рациональных чисел, их свойства.

1. Расширяемое множество является подмножеством расширенного множества (натуральные числа являются подмножеством целых) N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел.

2. Операция арифметических действий в расширяемом R

Множестве, являющаяся алгебраической, выполняется

Точно также и в расширенном множестве. Если в Q

Расширяемом множестве арифметические действия Z

не выполняются, т.е. операция не является N

алгебраической, то в расширенном множестве эта

операция становится алгебраической.

Н-р: вычитание во множестве натуральных чисел

неалгебраическая операция, а во множестве целых чисел – алгебраическая. Деление во множестве целых чисел неалгебраическая, а во множестве рациональных чисел – алгебраическая.

Множество целых чисел (Z) включает в себя множество натуральных чисел, число 0 и числа противоположные натуральным. Множество целых чисел можно расположить на числовой прямой так, что каждому целому числу будет соответствовать одна и только одна точка на числовой прямой. Обратное утверждение не верно, любой точке не всегда будет соответствовать целое число.

Целые числа расположены на числовой прямой на одинаковом расстоянии от 0. Число 0 называется нейтральным элементом. Число, находящееся от заданного числа на таком же расстоянии левее 0, называется противоположным. Сумма двух противоположных чисел равна 0.

Z – является линейно упорядоченным, т.е. для любых чисел А и В, взятых из Z, справедливо одно из следующих отношений А=В, А<В, А>В. Z является счетным множеством. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. можно установить соответствия между заданным множеством и множеством N.

Покажем, что Z является счетным, т.е. каждому натуральному числу взаимно однозначно (единственным образом) соответствует целое число. Для того, чтобы установить такое соответствие поставим каждому нечетному натуральному числу в соответствие отрицательное целое число. А каждому четному натуральному числу поставим соответствие положительное число. Установив такое соответствие можно показать, что оно будет взаимно однозначным, а значит множество Z является счетным.

Z является дискретным. Множество дискретно, если оно упорядочено и между любыми двумя элементами этого множества находится конечное число элементов данного множества.

Множество рациональных чисел (Q). К рассмотрению дробных чисел привела необходимость измерения различных величин. Впервые дроби появились в ДР. Египте, но рассматривались только как доли 1, т.е. рассматривались только дроби вида 1\н. Дроби появились на геометрической основе при измерении длин отрезков. Н-р. пусть дан отрезок А, чтобы измерить этот отрезок, выбирается в качестве единицы длины другой отрезок Е и укладывается в заданном. если оказывается, что отрезок Е уложится равное число раз, то длина отрезка А выражается натуральным числом. Но часто оказывалось, что отрезок Е укладывался неравное число раз. Тогда его разбивали на более мелкие части и получали отрезок Е 1 и уже этот отрезок укладывали в заданном отрезке А. Тогда длина отрезка А измерялась парой натуральных чисел. Первое число показывало, сколько раз в отрезке А уложился отрезок Е. Второе число показывало, сколько раз уложился отрезок Е 1 в остатке отрезка А после измерения отрезка Е. Эта пара чисел и определяла дробь. Запись вида м\н называется дробью, где м и н натуральные числа. Две дроби называют эквивалентными (равносильными), если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.

Свойства множества рациональных чисел . 1). Q является линейно упорядоченным, т.е.для любых рациональных чисел А и В выполняется одно из отношений А=В, А>В, А<В. Рациональное число , если a*d>b*c . Докажем, что Q линейно упорядоченное и отношение является отношением строгого порядка.

Докажем антисимметричность . Из того, что , из того, что дробь . Т.К. во множестве натуральных чисел отношение «больше» антисимметрично, можно записать .

Докажем транзитивность отношения «больше».

Если , то

Так как произведение (bc)n=(cn)b и отношение «больше» в множестве натуральных чисел транзитивно → (ad)n>(dm)b | сократим на d

Так как выполняются свойства антисимметричности и транзитивности, то отношение «больше» является отношением строгого порядка.

2). Любому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку числовой прямой. Обратное утверждение неверно.

3). Q является множеством всюду плотным. Числовое множество называется всюду плотным, если оно линейно упорядочено и между любыми двумя его элементами находится бесконечное количество элементов заданного множества. Для доказательства этого выберем на числовой прямой два рациональных числа к 1 , к 2 . докажем. Что между ними находится бесконечно много рациональных чисел. Используем операцию нахождения среднего арифметического

К 1 к 4 к 3 к 5 к 2

Число к – рациональное, так как операция сложения и деления на 2 определены. Процесс нахождения среднеарифметического всегда выполним и бесконечен, т.е. между к и к находится бесконечно много рациональных чисел.

4). Q – счетное множество, так как оно равномощно множеству натуральных чисел.

3 . Разность между множествами, дополнение одного множества до другого. Свойства разности и дополнения. Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Если множество В является подмножеством множества А, то разность между множествами А и В называется дополнением множества В до множества А.

А В \ - разность А В

А={a 1, a 2 , a 3 ...a k } n(A)=k

B={b 1 , b 2 , b 3 ,…b t } n(B)=t

Докажем, что n(AUB)=k+t

AUB={a 1 , a 2 , a 3 ,…a k , b k+1 , b k+2 ,…b k+t }

A∩B=Ø n(AUB)=k+t

n(AUB)=n(A)+n(B).

2. Если множества пересекаются. Число элементов объединения двух конечных пересекающихся множеств равно разности между суммой численности этих множеств и численности пересечения данных множеств. Доказательство.

A={a 1 , a 2 , a 3 ,…a s, a s+1, a s+2…… a s+t } n(A)=s+t

B={a 1 , a 2 , a 3 , …a s , b s+1 , b s + 2 , b s + 3 ,…s+k } n(B)=s+k

A∩B={a 1 , a 2 , a 3 ,…a s } n(A∩B)=s

AUB={a 1 , a 2 ,…a s …a s+t , b s+1 , b s + 2 , b s + 3 …b s + k }

n(AUB=s+t+k=s+t+k+s-s=(s+t)+(s+k)-s, тогда

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B);

3. Число элементов дополнения конечного множества А до конечного множества В равно разности численности этих множеств. Доказательство.

B={b 1 , b 2 , b 3 …b k }

А={b 1 , b 2 , b 3 ,……b m } m

(B\A)={b m+1 , b m+2 ,…b k } n(B\A)=k-m Þ

Чтобы множество Q+ положительных рациональных чисел являлось расширением множества N натуральных чисел, необходимо выполнение ряда условий.

Первое условие - это существование между N и Q+ отношения включения. Докажем, что N Q+.

Пусть длина отрезка х при единичном отрезке е выражается натуральным числом т. Разобьем единичный отрезок на п равных частей. Тогда n -ая часть единичного отрезка будет укладываться в отрезке х точно раз, т. е. длина отрезка х будет выражена дробью. Значит, длина отрезка х выражается и натуральным числом т, и положительным рациональным числом. Но это должно п быть одно и то же число.

Так, например, натуральное число 6 можно представить в виде следующих дробей: , и т. д.

Отношение между множествами N и Q+ представлено на рисунке 28.

Числа, которые дополняют множество натуральных чисел до множества положительных рациональных, называются дробными.

Второе условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел, - это согласованность операций, т. е. результаты арифметических действий, произведенных по правилам, существующим для натуральных чисел, должны совпадать с результатами действий над ними, но выполненных по правилам, сформулированным для положительных рациональных чисел. Нетрудно убедиться в том, что и это условие выполняется.

Пусть а и b - натуральные числа, - их сумма, полученная по правилам сложения в N. Вычислим сумму чисел а и b по правилу сложения в Q+.

Так как, то

Третье условие, которое должно быть выполнено при расширении множества натуральных чисел - это выполнимость в Q+ операции, не всегда осуществимой в N. И это условие соблюдено: деление, которое не всегда выполняется в множестве N, в множестве Q+ выполняется всегда.

Сделаем еще несколько дополнений, раскрывающих взаимосвязи между натуральными и положительными рациональными числами.

1. Черту в записи дроби можно рассматривать как знак деления.

Действительно, возьмем два натуральных числа т и п и найдем их частное по правилу (4) деления положительных рациональных чисел:

Обратно, если дана дробь, то ее можно рассматривать как частное натуральных чисел т и п .

2. Любую неправильную дробь можно представить либо в виде натурального числа, либо в виде смешанной дроби.

Пусть - неправильная дробь. Тогда т > п. Если т кратно п, то в этом случае дробь является записью натурального числа. Если число т не кратно п, то разделим т на п с остатком: , где. Подставим вместо т в запись и применим правило (1) сложения положительных рациональных чисел:

Так как , то дробь - правильная. Следовательно, неправильная дробь оказалась представленной в виде суммы натурального числа q и правильной дроби. Это действие называется выделением целой части из неправильной дроби. Например,.

Сумму натурального числа и правильной дроби принято записывать без знака сложения: т. е. вместо пишут и называют такую запись смешанной дробью.

Справедливо также утверждение: всякую смешанную дробь можно записать в виде неправильной дроби. Например:

Основными математическими объектами с незапамятных времен являются числа, множества и элементы множества, их свойства. Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры . Современная математика оперирует несколько другими математическими понятиями. Если внимательно проанализировать их суть, то они, в общем-то, являются эквивалентными или изоморфными понятиям «число», «множество», «отображение», «свойство».

В теоретико-множественном смысле числа являются классом множеств с определенными свойствами. Эти свойства выражаются через тип упорядоченности, размерность, топологические и метрические свойства основанных на них множеств. Основное свойство чисел - это их мощность, которая может быть конечной, счетной или континуальной. Соответственно, числа могут быть представителями любого класса множеств с подходящей мощностью. Даже множества с мощностью больше континуума можно представить как множество всех функций, определенных на числовом множестве. В этом проявляется универсальность понятия «число».

Другое важное свойство чисел - это ее размерность. Есть несколько классов чисел с различающимися свойствами. Есть линейные (одномерные) числа - это натуральные N, положительные N + , целые Z, рациональные R и вещественные Q числа. Есть составные многомерные или гиперкомплексные числа - это комплексные числа C, кватернионы H, бикватернионы B , невырожденные квадратные матрицы M, числа Клиффорда K и другие. Тензор (в том числе и вектор) в обычном понимании не является числом.

Интересным видом чисел являются гипердействительные числа. Они появляются в нестандартном анализе, использующем понятия «бесконечно малые» и «бесконечно большие» чисел как расширение множества действительных до этих «бесконечных» чисел.

Попробуем определить, что такое «число». Точнее, виды чисел.

Самыми простыми числами являются целые, рациональные, вещественные и комплексные числа. Они коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны.

Основными видами чисел, обладающими похожими свойствами, являются четыре вида чисел. Это действительные числа, комплексные, кватернионы и октавы. Коммутативность умножения для последних двух видов чисел не выполняется. Но они все обладают алгебрами без делителей нуля.

Дальнейшие расширения чисел могут не иметь и свойство ассоциативности. Дистрибутивность соблюдается.

Основные виды чисел

Натуральные числа , получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается N. Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть N = {0, 1, 2, 3, …}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z = {-2, -1, 0, 1, 2, …}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа - числа, представленные в виде дроби m /n (n ? 0), где m - целое число, а n - натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа ) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи нормы , являющейся обычной абсолютной величиной . Кроме рациональных чисел, R включает множествоиррациональных чисел , не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные . При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число - алгебраическим.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy , где i - т. н. мнимая единица , для которой выполняется равенство i 2 = -1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики , гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: N ? Z ? Q ? R ? C.

Гипердействительные числа - это числа вида:

1) a + ?, где a - обычное число, a - бесконечно малое число;

2) ? = 1/? - бесконечно большое число.

Гипердействительные числа не являются числами в обычном понимании. Они применяются во многих разделах математики , особенно в дифференциальном и интегральном исчислениях, а также везде, где используются предельные числовые последовательности, даже при определении вещественных чисел.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа a = m /n знаменатель n = 1, то a = m является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Во-первых, кажется, что рациональных чисел больше чем целых, на самом же деле и тех и других счётное число . Во-вторых, возникает предположение, что такими числами можно измерить абсолютно точно любое расстояние в пространстве. На самом деле, для этого используются вещественные числа , рациональных же чисел для этого недостаточно.

Виды дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной.

Например, дроби 3/5, 7/8 и 1/2 - правильные дроби, в то время как 8/3, 9/5, 2/1и 1/1 - неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Несмотря на то, что рациональных чисел бесконечное множество и то, что мы можем записать только не бесконечно большие числа, можно считать, что мы можем записать любое рациональное число указанным выше способом, потому что любое рациональное число явно не бесконечное и запись ее будет содержать конечное число символов.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби - то модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа - это модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби (-15/6) равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

Как следствие, множество рациональных чисел является счетным множеством. Дробь рациональное число нерациональное число

Это множество обладает свойством непрерывности. Это означает, что между любыми неравными между собой числами можно найти третье число, не равное предыдущему. Более того, сечение рациональных чисел на две половинки может быть открытым по одной или обеим границам этого сечения.

Множество рациональных чисел является абелевой группой по операциям «сложение» и «умножение» по отдельности.

Множество рациональных чисел является полем по операциям «сложение» и «умножение».

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар {(m , n ) | m ? Z, n ? N} по отношению эквивалентности (m , n ) ~ (m ", n "), если m n " = m " n . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• (m 1 , n 1) + (m 2 , n 2) = (m 1 , n 2 + m 2 , n 1 , n 1 n 2),
• (m 1 , n 1) (m 2 , n 2) = (m 1 m 2 , n 1 n 2).

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа удовлетворяют шестнадцати основным свойствам , которые легко могут быть получены из свойств целых чисел .

• 1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «
• ?a , b ? Q: a b ? b a ? a = b
• 2. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c если a меньше b и b меньше c, то a меньше c, а если a равно b и b равно c, то a равно c.
• ?x , y , z ? Q: (x y) ? (y z)> x z (транзитивность порядка);
• 3. Операция сложения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается (a + b), а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: (m1/n1) + (m2/n2) = (m1 n2 + m2 n1)/(n1 n2).
• ?a , b ? Q: ?(a + b ) ? Q
• 4. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
• (?x , y ? Q): (x + y ) = (y + x )
• 5. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
• (?x , y , z ? Q): (x + y ) + z = x + (y + z )
• 6. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
• (?0? Q) (?x ? Q) : (x + 0 = x )
• 7. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
• (?x , y ? Q) ?(-x ? Q): (x + (-x ) = 0).
• 8. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
• ?x , y , z ? Q: (x y) > (x + z ) y + z
• 9. Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается (a · b), а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид:ma/na · mb/nb = ma · mb / na · na.
• ?a , b ?Q: ?(a · b ) ? Q
• 10. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
• ?x , y ? Q: (x y ) = (y x );
• 11. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
• ?x , y , z ? Q: (x y ) z = x (y z );
• 12. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
• ?1? Q{0}: ?x ? Q: x 1 = x ;
• 13. Наличие обратных чисел. Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
• ?x ? Q{0}:?x - 1: x x - 1 = 1.
• 14. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
• ?x , y , z ? Q: (x y) ? (z > 0) > y z x z
• 15. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
  • (?x , y , z ? Q: (x + y ) z = x z + y z
• 16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

?a ? Q ?n ? N: > a

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Второе отношение порядка «>» также транзитивно.

?x , y , z ? Q: (x > y ) ? (y > z )> x > z (транзитивность порядка);

Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

?x ? Q: x · 0 = 0;

Отсутствие делителей нуля.

Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

?a , b , c , d ? Q: a > b ? c > d > a + c > b + d

Множество рациональных чисел Q является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел Z) относительно операций сложения и умножения дробей.

Каждое рациональное число является алгебраическим .

Математика в силу своей специфики предоставляет большие возможности для учителя в плане развития мышления детей. Развивать мышление учащихся можно при изучении, практически, любой математической темы. Мы остановились на рассмотрении долей и дробей, и именно это обусловило выбор темы нашего исследования: «Развитие мышления младших школьников в процессе пропедевтической работы по изучению дробей».