Cum sunt proiecțiile punctelor concurente. Poziția reciprocă a liniilor drepte. Metoda concurenței punctelor. Desenarea oricărei linii într-un plan

Răspunsuri la examenul de la cursul Inginerie și grafică pe computer.

Aparat proiecție include razele proiectate, planul pe care se face proiecția și obiectul proiectat. Toate razele care proiectează un obiect provin dintr-un punct S, numit centru de proiecție

Metode de proiecție: Central(), paralel (un caz special al centralului. Se determină poziția planului și direcția de proiecție, dacă linia este paralelă cu direcția de proiecție, atunci se proiectează la un punct), Ortogonală.

Proiecția ortogonală - dreptunghiulară este un caz special de proiecție paralelă. La care direcția de proiecție S este perpendiculară pe planul de proiecție.

Proprietăți de proiecție ortografică:

Lungimea unui segment este egală cu lungimea proiecției sale împărțită la cosinusul unghiului de înclinare a segmentului față de planul de proiecție.

În plus, pentru proiecția ortogonală, teorema proiecției în unghi drept:

Dacă cel puțin o latură a unui unghi drept este paralelă cu planul proiecțiilor, iar a doua nu este perpendiculară pe acesta, atunci unghiul este proiectat pe acest plan în dimensiune completă.

2) Metoda proiecției paralele pe 2 plane reciproc perpendiculare a fost conturată de geometrul francez Gaspard Monge și numită Monge Plot P1-orizontal P2-frontal P3 - profil

3) Sistemul de coordonate dreptunghiulare se mai numește și coordonate carteziene după matematicianul francez Descartes. Aici, trei plane reciproc perpendiculare sunt numite planuri de coordonate. Liniile de-a lungul cărora planele se intersectează se numesc axe de coordonate. puteți găsi coordonatele unui punct având în vedere proiecțiile sale. Coordonatele unui punct sunt distanțele tăiate de linii de comunicație pe axele de coordonate. Cele trei coordonate ale unui punct definesc poziția acestuia în spațiu.

Origine DESPRE se va deplasa de-a lungul bisectoarei unghiului X 21 DESPREZ 23 , Care e numit desen drept permanent. Poate fi setat în mod arbitrar sau poate construi mai întâi o a treia proiecție A 3 , apoi desenați bisectoarea unghiului A 1 A 0 A 3 .

4) Liniile de-a lungul cărora planurile de coordonate se intersectează se numesc axe de coordonate ( X, Y, Z). Punctul de intersecție al axelor de coordonate se numește origine și este notat cu literă DESPRE. Planurile de coordonate în intersecția lor formează 8 unghiuri triedrice, împărțind spațiul în 8 părți - octanți (din latină octo- opt).

Semne după număr octant

coordonatele I II III IV V VI VII VIII

0X + + + + - - - -

0Y + - - + + - - +

0Z + + - - + + - -

Punct general- un punct situat în spațiul octantului.

Punct de poziție privat- un punct situat fie pe axa de proiecție, fie pe planul de proiecție.

Puncte concurente- puncte situate pe aceeași rază proeminentă. Aceasta înseamnă că unul dintre ele o acoperă pe celălalt, cele două coordonate ale acestor puncte cu același nume sunt egale, iar proiecțiile corespunzătoare ale acestor puncte coincid.

Puncte simetrice- puncte situate pe laturi diferite la aceeași distanță de axa de proiecție. În același timp, ele diferă în semnele coordonatelor corespunzătoare.

Puncte concurente pe orizontală- puncte situate astfel încât proiecțiile lor să coincidă (adică concurează pe planul Π 1).

Puncte concurente frontale- puncte ale căror proiecţii pe planul Π 2 coincid.

Profilul punctelor concurente- puncte cu proiecţii concurente pe planul Π 3 .

Determinarea vizibilității punctelor concurente într-o proiecție- reprezentarea spaţială a poziţiei relative a punctelor concurente şi anume: care dintre puncte este mai sus sau mai aproape de observator; care dintre puncte, atunci când este proiectat pe planul corespunzător, va „închide” un alt punct concurent, adică. proiecții ale căror puncte vor fi vizibile sau invizibile. De exemplu, punctele concurente pe orizontală îl vor vedea pe cel cu înălțimea mai mare.

Vizibilitatea punctelor concurente într-un desen- notarea condiționată a desemnării punctelor și a simbolului competiției în desenul secvenței de proiecție a punctelor concurente pe planul de proiecție, atunci când proiecțiile coincid. Desemnarea proiecției vizibile este pusă pe primul loc. Desemnarea invizibilului - pe a doua (sau luată între paranteze)

5) Proiecția unei drepte este determinată de puncte

Să presupunem că ni se oferă proiecții frontale și orizontale ale punctelor AȘi ÎN(Figura 10). Trasând drepte prin proiecțiile cu același nume ale acestor puncte, obținem proiecțiile segmentului AB- frontal ( A 2 ÎN 2) și orizontal ( A 1 ÎN 1). puncte AȘi ÎN sunt la distanțe diferite față de fiecare dintre planurile π 1, π 2, π 3, adică. Drept AB nici paralele, nici perpendiculare pe niciuna dintre ele. O astfel de linie dreaptă se numește linie dreaptă în poziție generală. Aici, fiecare dintre proiecții este mai mică decât segmentul în sine. A 1 ÎN 1 <AB, A 2 ÎN 2 <AB, A 3 ÎN 3 <AB.

O linie dreaptă poate ocupa poziții speciale (private) față de planuri. Să le luăm în considerare.

Liniile drepte paralele cu planurile proiecțiilor ocupă o anumită poziție în spațiu și sunt numite nivel drept . În funcție de planul de proiecție cu care este paralelă linia dată, există:

1. Linia este paralelă cu planul π 1 (Figura 11). În acest caz, proiecția frontală a dreptei este paralelă cu axa de proiecție, iar proiecția orizontală este egală cu segmentul însuși ( A 2 ÎN 2 ║OH, A 1 ÎN 1 =│AB│). O astfel de linie dreaptă se numește linie orizontală și se notează cu litera „ h”.

2. Linia este paralelă cu planul π 2 (Figura 12). În acest caz, proiecția sa orizontală este paralelă cu axa de proiecție ( CU 1 D 1 ║OH), iar proiecția frontală este egală cu segmentul însuși ( CU 2 D 2 =│CD│). O astfel de linie dreaptă se numește frontală și se notează cu litera „ f”.

3. Linia este paralelă cu planul π 3 (Figura 13). În acest caz, proiecțiile orizontale și frontale ale liniei drepte sunt situate pe aceeași perpendiculară pe axa de proiecție. OH, iar proiecția sa de profil este egală cu segmentul în sine, adică. E 1 LA 1┴ OH, E 2 LA 2 ┴ OH, E 3 LA 3┴ EC. O astfel de linie dreaptă se numește linie de profil și este notă cu litera „ p”.

Liniile de nivel paralele cu două planuri de proiecție vor fi perpendiculare pe cel de-al treilea plan de proiecție. Astfel de linii se numesc proiectare. Există trei linii principale de proiectare: linii orizontale, frontale și de profil.

4. Linia este paralelă cu două plane - π 1 și π 2. Apoi va fi perpendicular pe planul π 3 (Figura 14). Proiectia unei drepte pe planul π 3 va fi un punct ( A 3 ≡ÎN 3), iar proiecțiile pe planele π 1 și π 2 vor fi paralele cu axa OH (A 1 ÎN 1 ║OH, A 2 ÎN 2 ║OH).

Figura 13

5. Linie paralelă cu planele π 1 și π 3 , adică. este perpendicular pe planul π 2 (Figura 15). Proiecția unei drepte pe planul π 2 va fi un punct ( CU 2 ≡D 2), iar proiecțiile pe planele π 1 și π 3 vor fi paralele cu axele LaȘi La, adică perpendicular pe axele XȘi Z, (C 1 D 1┴ BOU, C 3 D 3┴ Z).

6. Linia este paralelă cu planele π 2 și π 3, adică. este perpendicular pe planul π 1 (Figura 16). Aici proiecția unei drepte pe planul π 1 va fi un punct ( E 1 ≡LA 1), iar proiecțiile pe planele π 2 și π 3 vor fi perpendiculare pe axa OHȘi OU respectiv ( E 2 LA 2┴ OH, E 3 LA 3┴ OU).

Orizontală este egală cu segmentul - proiecția frontală a dreptei este paralelă cu axa de proiecție

Frontul este egal cu segmentul - proiecția orizontală este paralelă cu axa de proiecție

Valoarea adevărată este atunci când linia este paralelă cu planul.

Teorema lui Thales- unul dintre teoreme planimetrie.

Enunțul teoremei:

Doua perechiparalel linii drepte, tăiate la o secanta egalăsegmente , tăiați pe orice alte secante, de asemenea, segmente egale.

Conform teoremei Thales (vezi figura), dacă A 1 A 2 = A 2 A 3, atunci B 1 B 2 = B 2 B 3 .

Liniile paralele taie segmente proporționale la secante:

Dacă un punct aparține unei drepte, atunci proiecțiile acestui punct se află pe proiecțiile corespunzătoare ale dreptei. Una dintre proprietățile proiecției paralele este că raportul segmentelor de linie dreaptă este egal cu raportul proiecțiilor lor (Figura 17). Din moment ce drept AA 1 , SS 1 , BB 1 sunt paralele între ele, atunci
.

E apoi rezultă din teorema Falles

Deoarece raportul segmentelor unei linii drepte este

raportul proiecțiilor lor, apoi împărțiți segmentul în acest sens

linie dreaptă pe diagramă înseamnă a împărți în același sens oricare dintre ei

proiecție.

6) Urmele unei drepte se numesc

Punctele de intersecție ale dreptei cu planele de proiecție se numesc urme ale dreptei (Figura 19). Proiecția orizontală a urmei orizontale (punctul M 1) coincide cu urma însăși și proiecția frontală a acestei urme M 2 se află pe axa de proiecție X. Proiecția frontală a urmei frontale N Urme 2 meciuri N, și proiecția sa orizontală N 1 se află pe aceeași axă de proiecție X. Prin urmare, pentru a găsi o urmă orizontală, trebuie continuată proiecția frontală A 2 ÎN 2 până la intersecția cu axa X iar prin punct M 2 trageți perpendicular pe ax X până la intersecţia cu continuarea proiecţiei orizontale A 1 ÎN 1 . Punct M≡M 1 - urmă orizontală a unei linii drepte AB. În mod similar, găsim urma frontală N≡N 2 .

O linie dreaptă nu are urmă pe planul de proiecție atunci când este paralelă cu acel plan.

7) Pe proiecția orizontală A1B1, ca și pe picior, construim un triunghi dreptunghic. Al doilea catet al acestui triunghi este egal cu diferența dintre distanțe ale capetelor segmentului față de planul orizontal de proiecție. În desen, această diferență este determinată de valoarea zb-za / Ca urmare, obținem un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este egală cu lungimea segmentului AB și unghiul dintre acesta și catetul mare este unghiul a segmentului AB dat la planul orizontal de proiecție

8) Două linii în spațiu pot fi paralele, intersectându-se sau încrucișate.

Dacă două drepte din spațiu sunt paralele între ele, atunci proiecțiile lor pe plan sunt, de asemenea, paralele între ele (Figura 20). Afirmația inversă nu este întotdeauna adevărată. Dacă liniile drepte se intersectează, atunci proiecțiile lor cu același nume se intersectează într-un punct care este proiecția punctului de intersecție al acestor linii.

Dreptele sunt paralele dacă: punctele de intersecție sunt proiecția dreptelor care leagă capetele segmentelor date, sunt proiecțiile punctului de intersecție a acestor drepte.

Liniile de traversare nu se intersectează și nu sunt paralele între ele

După cum se vede din această figură, un punct cu proiecții LA 2 și LA 1 aparține liniei AB, și punctul cu proiecții L 2 și L 1 aparține liniei CUD. Aceste puncte sunt la fel de îndepărtate de planul π 2, dar distanțele lor față de planul π 1 sunt diferite: punctul L situat mai sus decât punctul LA.

9) Semne de perpendicularitate a două drepte, o dreaptă și un plan, două plane sunt considerate în stereometrie. Amintiți-vă câteva dintre ele: 1) două drepte se numesc reciproc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este egal cu 90 o ; 2) dacă o dreaptă este perpendiculară pe fiecare dintre cele două drepte care se intersectează aparținând unui plan, atunci această dreaptă și planul sunt reciproc perpendiculare; 3) dacă o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă aparținând acestui plan 4) dacă un plan trece printr-o perpendiculară pe un alt plan, atunci este perpendicular pe acest plan

10) Orice unghi liniar (acut, obtuz, drept) este proiectat pe planul de proiecție în valoare adevărată dacă laturile sale sunt paralele cu acest plan. În acest caz, a doua proiecție a unghiului degenerează într-o linie dreaptă perpendiculară pe liniile de legătură. În plus, un unghi drept este proiectat la valoarea adevărată chiar și atunci când doar una dintre laturile sale este paralelă cu planul de proiecție. Teorema 1. Dacă o parte a unghiului drept este paralelă cu planul proiecțiilor, iar cealaltă este o linie dreaptă în poziție generală, atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan de proiecții fără distorsiuni, adică în unghiul drept.

Dacă niciuna dintre laturi nu este paralelă cu planul de proiecție Unghiul drept DBC pe planul P 2 este proiectat într-o valoare distorsionată

Dacă avionul γ , în care este situat un unghi ABC, perpendicular pe planul de proiecție (π 1), apoi este proiectat pe acest plan de proiecție sub forma unei linii drepte

2. Dacă proiecția unghiului reprezintă un unghi de 90 0, atunci unghiul proiectat va fi corect numai dacă una dintre laturile acestui unghi este paralelă cu planul de proiecție (Fig. 3.26 ).

3. Dacă ambele laturi ale oricărui unghi sunt paralele cu planul de proiecție, atunci proiecția sa este egală ca mărime cu unghiul proiectat.

4. Dacă laturile unghiului sunt paralele cu planul proiecțiilor sau egal înclinate față de acesta, atunci împărțirea în jumătate a proiecției unghiului pe acest plan corespunde împărțirii în jumătate a unghiului însuși în spațiu.

5. Dacă laturile unghiului nu sunt paralele cu planul de proiecție, atunci unghiul este proiectat pe acest plan cu distorsiune

Dacă unghiul nu este drept și o parte a acestuia este paralelă cu planul proiecțiilor, atunci un unghi ascuțit este proiectat și pe acest plan sub forma unui unghi ascuțit de o magnitudine mai mică, un unghi obtuz - sub forma unui unghi. unghi obtuz de o magnitudine mai mare.

11) Planul din desen poate fi setat:

a) proiecțiile a trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă

b) proiecţiile unei drepte şi ale unui punct luate în afara dreptei

c) proiecţiile a două drepte care se intersectează

d) proiecţiile a două drepte paralele

e) proiecțiile oricărei figuri plate - un triunghi, un poligon, un cerc etc.

f) un plan poate fi reprezentat mai clar cu ajutorul urmelor - linii de intersecție cu planurile de proiecție

Dacă un plan nu este nici paralel, nici perpendicular pe niciunul dintre planurile de proiecție, atunci se numește plan generic.

Dacă planul este paralel cu planul π 1, atunci un astfel de plan se numește orizontal.

Dacă planul este paralel cu planul π 2, atunci un astfel de plan se numește frontal

Dacă planul este paralel cu planul π 3, atunci un astfel de plan se numește plan de profil

Dacă planul este perpendicular pe planul π 1 (dar nu paralel cu planul π 2), atunci un astfel de plan se numește proiectat orizontal

Dacă planul este perpendicular pe planul π 2 (dar nu paralel cu planul π 1), atunci un astfel de plan se numește proiectat frontal

Dacă planul este perpendicular pe planul π 3 (dar nu perpendicular pe planurile π 1 și π 2), atunci un astfel de plan se numește proiectare de profil

Linia de intersecție a planului cu planul de proiecție se numește urmă

12-13) Verificarea dacă un punct aparține unui plan.

Pentru a verifica dacă un punct aparține unui plan, se folosește o linie auxiliară aparținând planului. Deci în fig. 3.14 planul Q este dat de proiecțiile a 1 b 1 , a 2 b 2 și c 1 d 1 , c 2 d 2 drepte paralele, punctul sunt proiecțiile e 1 , e 2 . Se trasează proiecțiile dreptei auxiliare astfel încât aceasta să treacă prin unul dintre planurile punctului. De exemplu, proiecția frontală 1 2 2 2 a liniei auxiliare trece prin proiecția e 2. După ce am construit proiecția orizontală 1 1 2 1 a dreptei auxiliare, se poate observa că punctul E nu aparține planului Q .

Desenarea oricărei linii într-un plan.

Pentru a face acest lucru, este suficient (Fig. 3.10) pe proiecțiile planului să luați proiecțiile a două puncte arbitrare, de exemplu, a 1, a 2 și 1 1, 1 2, și prin ele să desenați proiecții a 1 1 1, a 2 1 2 a dreptei A-1. Pe fig. 3.11 proiecțiile b 1 1 1 , b 2 1 2 ale dreptei B-1 sunt trasate paralel cu proiecțiile a 2 c 2 , a 1 din 1 latură AC a triunghiului dată de proiecțiile a 1 b 1 c 1 , a 2 b 2 c 2 . Linia B-1 aparține planului triunghiului ABC.

Construcție în planul unui punct.

Pentru a construi un punct în plan, în el este trasată o linie auxiliară și este marcat un punct pe el. În desenul (Fig. 3.12) al planului dat de proiecțiile a 1, a 2 puncte, b 1 c 1, b 2 c 2 drepte, proiecțiile a 1 1 1 și 2 1 2 ale dreptei auxiliare aparținând avion sunt desenate. Pe acesta sunt marcate proiecțiile d 1 , d 2 ale punctului D aparținând planului.

Construirea proiecției punctului lipsă.

În figura 3.13, planul este dat de proiecțiile a 1 b 1 c 1 și 2 b 2 c 2 ale triunghiului. Punctul D aparținând acestui plan este dat de proiecția d 2 . Este necesară finalizarea proiecției orizontale a punctului D. Este construită folosind o dreaptă auxiliară aparținând planului și care trece prin punctul D. Pentru a face acest lucru, de exemplu, se realizează o proiecție frontală b 2 1 2 d 2, proiecția sa orizontală b 1 1 1 este construită și marcată pe ea proiecție orizontală d 1 punct.

14) Sarcinile poziționale se numesc sarcini în care se determină poziția relativă a diferitelor forme geometrice unele față de altele (vezi paragraful 5)

15)Intersecția unei drepte în poziție generală cu un plan în poziție generală

Algoritm pentru construirea unui punct de intersecție:

Determinați vizibilitatea liniei A prin utilizarea metoda punctelor concurente.(Puncte cu proiecții pe P 1 P 1 , și punctele ale căror proiecții pe P 2 coincid, se numesc concurente în raport cu planul P 2 .)

16) O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe oricare două drepte care se intersectează ale acestui plan. Două plane sunt reciproc perpendiculare dacă unul dintre planuri are o linie dreaptă perpendiculară pe acel plan

Pentru a construi o dreaptă perpendiculară pe plan în proiecții, este necesar să folosiți teorema proiecției în unghi drept.

O linie dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă proiecțiile sale sunt perpendiculare pe proiecțiile cu același nume ale direcțiilor orizontale și frontale ale planului

Perpendicularitatea reciprocă a două linii

Punctul poate fi în oricare dintre cei opt octanți. De asemenea, un punct poate fi situat pe orice plan de proiecție (aparține acestuia) sau pe orice axă de coordonate. Pe fig. 15 arată puncte situate în diferite sferturi de spațiu. Punct ÎN este în primul octant. Este îndepărtat din planul proiecțiilor P 1 , la o distanta egala cu distanta fata de proiectia sa frontala ÎN spre axa de proiecție și din plan P 2 la o distanță egală cu distanța de la proiecția sa orizontală la axa de proiecție. Când convertiți un aspect spațial, planul orizontal al proiecțiilor P 1 se desfășoară în direcția indicată de săgeată și, odată cu aceasta, se desfășoară proiecția orizontală a punctului ÎN , proiecția frontală rămâne pe loc.

Punct A este în al doilea octant. Când planurile de proiecție sunt rotite, ambele proiecții ale acestui punct (orizontală și frontală) de pe diagramă vor fi situate pe aceeași linie de comunicație deasupra axei de proiecție X . Prin proiecții, se poate determina că punctul A situate putin mai aproape de planul de proiectie P 2 decât la avion P 1 , deoarece proiecția sa frontală este mai mare decât cea orizontală.

Punct CU este în al patrulea octant. Aici sunt proiecțiile orizontale și frontale ale punctului CU situat sub axa de proiecție. Din moment ce proiecția orizontală a punctului CU mai aproape de axa de proiecţie decât de cea frontală, apoi de punct CU este situat mai aproape de planul frontal al proiecțiilor, similar proiecțiilor punctului A pe planul proiecției frontale.

Astfel, prin locația proiecțiilor punctelor față de axa proiecțiilor, se poate judeca poziția punctelor în spațiu, adică se poate stabili în ce colțuri ale spațiului sunt situate și la ce distanțe sunt separate de proiecție. avioane etc.

Pe fig. 16 mai arată puncte care ocupă unele private (poziții speciale). Punct E aparține planului orizontal P 1 ; proiecție frontală E 2 acest punct se află pe axa de proiecție, iar proiecția orizontală E 1 coincide cu punctul.

Punct F aparține planului frontal P 2 ; proiecție orizontală F 1 acest punct se află pe axa proiecțiilor, iar proiecția frontală F 2 se potrivește cu ea. Punct G aparține axei de proiecție. Ambele proiecții ale acestui punct sunt pe axa de coordonate.

Dacă un punct aparține planului de proiecție, atunci una dintre proiecțiile sale se află pe axă, iar cealaltă coincide cu punctul.

Distanța unui punct față de planul de proiecție frontală se numește adâncime puncte, din profil - lăţimeși din planul orizontal de proiecție - înalt. Acești parametri pot fi determinați de segmentele liniilor de comunicație de pe diagramă. De exemplu, în fig. adâncime de 13 puncte A egal cu segmentul A X A 1 , lăţime 0A x sau A 2 A z , înălțime - segmente A X A 2 sau A la A 3 . De asemenea, adâncimea unui punct poate fi determinată de dimensiunea segmentului A z A 3, deoarece este întotdeauna egală cu segmentul A X A 1.

Pe fig. 17 arată câteva puncte. După cum puteți vedea din această figură, una dintre proiecțiile punctului CU , în acest caz frontal, aparține, adică este situat, pe ax X . Dacă scriem coordonatele unui punct CU , atunci vor arăta astfel: CU (x, y, 0). Din aceasta concluzionam, din moment ce coordonata punctului CU de-a lungul axei Z (înălțimea) este zero, atunci punctul însuși se află pe planul de proiecție orizontal în locul proiecției sale orizontale.

Coordonatele punctului de înregistrare A după cum urmează: A (0, 0, z). Coordonata punctului A de-a lungul axei X este egal cu zero, deci punctul A nu poate fi situat pe planurile de proiecție frontală sau orizontală. Coordonata punctului A și de-a lungul axei y este, de asemenea, egal cu zero, prin urmare, punctul nu poate fi situat pe planul de profil al proiecțiilor. De aici tragem concluzia că ideea A situat pe ax z , care este linia de intersecție a planurilor frontale și de profil ale proiecțiilor.

Proiecția frontală a unui punct LA în fig. 17 este situat sub axă X , prin urmare punctul însuși este situat sub planul orizontal de proiecție. Sub planul orizontal sunt octanții III și IV (vezi Fig. 12). Și încă de la proiecție K 1 situat pe diagrama de sub axă y , apoi tragem concluzia că punctul în sine LA situat în al patrulea octant al spațiului.

Punct ÎN este situat în primul octant al spațiului, iar după locația proiecțiilor putem judeca că punctul ÎN nu aparține planurilor de proiecție sau axelor de coordonate.

Un loc special în geometria descriptivă este acordat punctelor concurente. Concurente se numesc puncte ale căror proiecţii coincid pe orice plan de proiecţie. Metoda punctelor concurente este folosită pentru a rezolva diverse probleme, în special, pentru a determina vizibilitatea obiectelor. Pe fig. 18 arată două perechi de puncte concurente: B - T Și A - E . puncte B - T sunt concurente pe orizontală, deoarece proiecțiile lor coincid pe planul de proiecție orizontal și punctele A - E – concurente frontal, deoarece proiecțiile lor coincid pe planul frontal al proiecțiilor.

Conform fig. 18, se poate determina că un punct va fi vizibil pe planul orizontal de proiecție ÎN , deoarece în spațiu este situat deasupra punctului T . Pe diagramă, vizibilitatea a două puncte concurente orizontal pe planul orizontal al proiecțiilor este determinată prin compararea înălțimii proiecțiilor frontale ale acestor puncte: înălțimea punctului ÎN mai mare decât înălțimea punctului T , prin urmare, un punct va fi vizibil pe planul orizontal de proiecție ÎN , deoarece pe planul frontal al proiecțiilor proiecția sa este situată deasupra proiecției punctului T .

În mod similar, se determină vizibilitatea a două puncte concurente frontal, doar în acest caz se compară locația proiecțiilor a două puncte pe planul orizontal de proiecție. Pe fig. 18 se poate observa că punctul A situat în spațiu mai aproape de observator decât de un punct E , la punctul A distanta pe axa y mai mult decât punct E . Pe diagramă, proiecția punctului A – A 1 situat mai jos decât punctul de proiecție E – E 1 , prin urmare, un punct va fi vizibil pe planul de proiecție frontală A .

Vizibilitatea punctelor care concurează profil este determinată prin compararea locației proiecțiilor de-a lungul axei X . Un punct cu o coordonată a axei X mai mult, va fi vizibil pe planul de proiecție a profilului.

Folosind o diagramă într-un desen complex, având anumite cunoștințe și abilități, este ușor să determinați locația unui punct în spațiu în raport cu planurile de proiecție, axele de coordonate sau orice alte obiecte. Știind să recunoaștem poziția unui punct dintr-o diagramă, se poate determina și poziția oricărui alt obiect în spațiu, deoarece orice obiect geometric poate fi reprezentat ca un set de puncte situate într-un anumit mod.

a B C

Pe fig. 19, A se vede că punctul A situat mai departe de punct ÎN de la observator în spațiu și ambele sunt situate la aceeași înălțime. Pe desenul complex (Fig. 19, b) proiecțiile frontale ale ambelor puncte sunt situate la o distanță egală de axă X ,proiecția orizontală a unui punct A mai aproape de axă X decât proiecția punctului ÎN . Deoarece poziția unei drepte în spațiu este dată de două puncte, prin legarea punctelor A Și ÎN linie dreaptă, obținem imaginea liniei de pe desen. Dacă proiecțiile frontale a două puncte ale unei linii drepte sunt situate la aceeași distanță de planul de proiecție orizontal, prin urmare, linia dreaptă este paralelă cu acest plan (Fig. 19, V).

Liniile care se intersectează. Dacă liniile se intersectează, atunci punctul de intersecție a acestora de pe diagramă va fi situat pe aceeași linie de comunicație

Linii drepte paralele. Proiecțiile dreptelor paralele pe plan sunt paralele.
- Liniile încrucișate. Dacă liniile nu se intersectează și nu sunt paralele, atunci se intersectează. Punctele de intersecție ale proiecțiilor lor nu se află pe aceeași linie a conexiunii de proiecție

- drepte reciproc perpendiculare

Pentru ca un unghi drept să fie proiectat la dimensiunea maximă, este necesar și suficient ca una dintre laturile sale să fie paralelă, iar cealaltă să nu fie perpendiculară pe planul de proiecție.

Uneori, punctele din spațiu pot fi localizate în așa fel încât proiecțiile lor pe plan să coincidă. Aceste puncte se numesc concurente.


Figura a - puncte concurente pe orizontală. Vizibil este cel care este mai sus pe proiecția frontală.
Figura b - puncte concurente frontal. Vizibil este cel de dedesubt pe plan orizontal.
Figura c prezintă punctele concurente din profil. Cel care este mai departe de axa y este vizibil

Sunt numite puncte situate în spațiu pe aceeași linie proiectantă concurând. Ele sunt proiectate pe planul de proiecție corespunzător într-un punct, în conformitate cu figura 1.2.15. Asa de, AȘi ÎN sunt puncte concurente pe orizontală; C și D sunt puncte concurente frontal; EȘi F sunt puncte concurente de profil.

Pentru a crește vizibilitatea desenului, se recurge la o oarecare vizibilitate condiționată. Poate fi determinat folosind punctele concurente. Vom presupune că direcția razelor vizuale coincide cu direcția liniilor de proiectare. Întrebare privind vizibilitatea punctului AȘi ÎN pe o proiecție orizontală se rezolvă astfel: acel punct este vizibil, a cărui înălțime este mai mare.

Figura 1.2.15 - Puncte concurente

Figura 1.2.16 - Desenul complex al punctelor concurente

În conformitate cu figura 1.2.16, proiecția frontală arată că punctul A situat mai sus decât punctul ÎN. Același criteriu de vizibilitate se aplică punctelor CUȘi D, și la puncte EȘi F. Da, puncte CUȘi D comparate în profunzime, și punctele EȘi F- după latitudine.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Când studiați geometria descriptivă, trebuie urmate liniile directoare generale.

Geometria descriptivă, studiată de studenții cursurilor prin corespondență în primul semestru, este prima parte a disciplinei de grafică inginerească și e.. acest material didactic este dedicat acestei părți specifice a disciplinei.

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

Toate subiectele din această secțiune:

Prin disciplină
„Inginerie grafică” Geometria descriptivă este știința imaginilor grafice. Diverse structuri de inginerie, proiectele lor individuale, arhitecturale

Denumiri de bază
- Punctele din spațiu sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin A, B, C, D ... sau cifre arabe 1, 2, 3, 4, 5 ... - linii drepte sau curbe în spațiu - cu

Metode de proiecție
Cu ajutorul desenelor, adică cu ajutorul imaginilor pe un plan, se studiază formele spațiale ale obiectelor și modelele geometrice corespunzătoare. Dezvoltarea metodelor pentru

proiecție centrală
Lăsa

Proiecție paralelă
Vizibilitatea este o proprietate valoroasă a imaginilor de proiecție centrală. Cu toate acestea, în practică, alte calități ale desenelor de proiecție sunt, de asemenea, de mare importanță, în special, ușurința de construcție și reversibilitatea.

Proiecție ortografică
Proiecția paralelă se numește ortogonală (dreptunghiulară) dacă direcția de proiecție s este perpendiculară pe planul de proiecție П′ (s^П'). În aproximativ

Imagine a unei linii drepte pe un desen multiplu
Proiecția unei linii drepte ca un set de proiecții ale tuturor punctelor sale este o linie dreaptă. În consecință, linia spațială este determinată pe un desen complex cu două imagini de o pereche de proiecții ale acesteia.

Furnizare privată directă
După cum sa menționat deja, liniile directe ale poziției private includ liniile drepte ale nivelului, adică. paralele cu planurile de proiecție (conform figurii 1.3.1, acestea sunt drepte h, f, p) și proiectante

Urme în linie dreaptă
Punctele de intersecție ale unei drepte cu planele de proiecție se numesc urme ale unei drepte. Punctul de intersecție al unei drepte cu un plan orizontal de proiecție se numește linie orizontală.

traseu frontal
Proiecția orizontală a traseului frontal F1 este punctul de intersecție al proiecției orizontale a dreptei cu axa x12. Proiecția frontală a frontalului s

Determinarea dimensiunii naturale a unui segment de linie dreaptă
Determinarea dimensiunii naturale a unui segment de dreaptă în poziție generală și a unghiurilor sale de înclinare față de planurile de proiecție se realizează prin metoda unui triunghi dreptunghic. După cum se vede din r

Poziția reciprocă a două linii drepte
Două linii în spațiu se pot intersecta, fi paralele sau încrucișate. Dacă liniile a și b se intersectează într-un punct K, atunci pe baza

Teorema proiecției în unghi drept
Dacă o parte a unghiului drept este paralelă cu planul de proiecție, iar cealaltă parte nu este perpendiculară pe acesta, atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan de proiecție fără distorsiuni. Dovada (Figura

Imaginea avionului pe desenul complex
Planul poate fi definit: - prin trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă; - o linie și un punct care nu se află pe această linie; - două drepte care se intersectează; -doua perechi

Liniile principale ale avionului
Liniile care ocupă o poziție specială într-un plan dat includ: 1) Orizontale h - drepte situate într-un plan dat și paralele cu planul orizontal al proiecțiilor. pe set

Apartenența reciprocă (incident) a unui punct și a unui plan
Dacă un punct aparține unui plan în spațiu, atunci proiecțiile acestui punct aparțin proiecțiilor corespunzătoare ale oricărei drepte situate în acest plan (în conformitate cu figura 1.3.16, linia

Urme de avion
Urma unui plan este linia de intersecție a acestuia cu planul de proiecție. În figura 1.3.17, planul W este dat de urmele lui l și m: l=W ∩П2 și

Avioane de poziție private
S-a remarcat mai sus că planurile cu o anumită poziție includ planuri de nivel (paralel cu planurile de proiecție) și planuri de proiectare (perpendiculare pe planurile de proiecție). In primul caz

Paralelismul unei drepte și al unui plan
O linie este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu orice dreaptă din acel plan. Deci, dreapta l este paralelă cu dreapta b, situată în planul Q

Paralelism plan
Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan. Deci, linii de intersectare cu și d planuri

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan
Din geometria elementară se știe că o dreaptă f2 este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte situate în acest plan. Pe un plan dat ca

Intersecția unei drepte cu un plan
Aceasta este o problemă de poziție, pentru că definește un element de date comun al obiectelor geometrice, i.e. punctul lor de intersecție, care corespunde cu figura 1.3.24. Algoritm pentru rezolvarea problemei

Intersecția a două planuri
În această problemă de poziție, un element de date comun al obiectelor geometrice este o linie dreaptă. Poate fi construit în două moduri: cu ajutorul planurilor intermediare de poziție privată, în același timp

linii curbe
O linie curbată poate fi privită ca urma unui punct în mișcare. Acest punct poate fi un singur punct sau un punct aparținând unei linii sau suprafețe care se deplasează prin spațiu. Linii curbe mo

Proprietățile de proiecție ale curbelor plane
Să presupunem că curba dată l se află într-un plan W. Să proiectăm curba l pe planul de proiecție П¢ de-a lungul direcției s în conformitate cu figura 1.2.27.

Proiecția ortografică a unui cerc
După cum știți, o proiecție paralelă a unui cerc este o curbă numită elipsă. Deoarece proiecția ortogonală este un caz special al celei paralele, este evident că proiecția ortogonală

Suprafețe riglate
O suprafață riglată este o suprafață care poate fi formată prin mișcarea unei linii drepte în spațiu. În funcţie de natura mişcării generatricei

Suprafețe de revoluție
O suprafață de revoluție este o suprafață care este descrisă de o generatoare atunci când se rotește în jurul unei axe fixe. Generatorul poate fi atât plat, cât și

Suprafețe de revoluție de ordinul doi
Când o curbă de ordinul doi este rotită în jurul axei sale, se formează o suprafață de revoluție de ordinul doi. Sunt luate în considerare următoarele tipuri de suprafețe de ordinul doi:

Intersecția unei suprafețe cu un plan
Aceasta este o sarcină pozițională pentru a determina pentru aceste obiecte geometrice elementul lor comun, care este o linie curbă. Pentru construcția sa, se folosesc avioane auxiliare - de-a lungul

Secțiuni conice
Liniile care se obțin atunci când suprafața unui con de ordinul doi se intersectează cu un plan se numesc secțiuni conice. Aceste linii includ următoarele:

Algoritm general pentru rezolvarea problemei
Să fie date două suprafețe arbitrare Ф și Q. Este necesar să se construiască o linie a intersecției lor, adică. construiți punctele care aparțin acestei drepte (Figura 1.3.52). joi

Cazuri speciale de intersecție a suprafețelor de ordinul doi
Deoarece suprafețele de ordinul doi sunt algebrice, linia de intersecție a acestora este, de asemenea, o curbă algebrică. Deoarece ordinea dreptei de intersecție este egală cu produsul ordinelor lui n

Conversie de desene multiple
Rezolvarea multor probleme spațiale (poziționale și metrice) într-un desen complex este adesea complicată din cauza faptului că obiectele geometrice date sunt situate arbitrar în raport cu planul.

Cum se înlocuiesc avioanele de proiecție
O caracteristică distinctivă a metodei de înlocuire a planurilor de proiecție este trecerea de la un sistem dat de planuri, în care sunt date proiecții ale unui obiect, la un nou sistem de două plane reciproc perpendiculare.

Principalele sarcini rezolvate prin metoda înlocuirii planurilor de proiecție
Aplicarea metodei de înlocuire a planurilor de proiecție pentru rezolvarea diferitelor probleme (poziționale și metrice) se bazează pe patru probleme principale. Problema 1. Faceți o linie dreaptă l(l1

Mod de deplasare plan-paralel
Mișcarea plan-paralelă este mișcarea unui obiect în care toate punctele sale se mișcă în planuri paralele între ele. Cu mișcare plan-paralelă, relativul

Metoda de rotație
Această metodă este un caz special al metodei mișcării plan-paralel. Într-adevăr, dacă în metoda mișcării plan-paralel punctul figurii a descris o curbă plană

Metoda de rotație în jurul axei de proiectare
La rezolvarea problemelor prin rotație, poziția elementelor geometrice date este modificată prin rotirea lor în jurul unei anumite axe. Dacă axa de rotație este perpendiculară pe planul p

Principalele sarcini rezolvate prin metoda rotației
Sarcina numărul 1. Transformați linia dreaptă de poziție generală în linia dreaptă frontală a nivelului (Figura 1.4.14). Luați în considerare soluția problemei prin rotirea liniei AB în jurul liniei care se proiectează orizontal

Constructia maturarilor
O dezvoltare de suprafață este o figură plană formată prin combinarea succesivă a suprafeței cu planul fără rupturi și pliuri. Când desfășurați, luați în considerare suprafața

Desfăşurarea suprafeţei prismei
Există două moduri de a desfășura o prismă: metoda „secțiunii normale” și metoda „rulării”. Metoda „secțiunii normale” este utilizată pentru a dezvolta suprafețe

Dezvoltarea la suprafață a piramidei
Fețele laterale ale piramidei sunt triunghiuri, fiecare dintre acestea putând fi construit pe trei laturi. Prin urmare, pentru a obține o dezvoltare a piramidei, este suficient să se determine valorile naturale ale marginilor sale laterale și

Dezvoltarea unei suprafețe cilindrice
Suprafețele cilindrice sunt dezvoltate în același mod ca și cele prismatice. O prismă n-gonală este înscrisă preliminar într-un cilindru dat, iar apoi se determină măturarea

Dezvoltarea unei suprafețe conice
Dezvoltarea unei suprafețe conice se realizează în mod similar cu dezvoltarea unei piramide în următoarea ordine. În primul rând, o piramidă n-gonală este înscrisă într-un con dat (numărul n din masă

Proiecții axonometrice
Metoda de obținere a unui desen reversibil cu o singură proiecție se numește axonometrică. Oferă o reprezentare mai vizuală a obiectului. Desenul axonometric este format numai din

Sisteme axonometrice standard
Dintre tipurile private de proiecții axonometrice prevăzute de standardul de stat, cel mai des sunt utilizate izometria ortogonală și dimetria ortogonală.

Proiecția axonometrică a unui cerc
Proiecția axonometrică a unui cerc este o elipsă. Construcția elipselor înfățișând cercuri situate în planuri coordonate sau în planuri paralele cu acestea, cca

De-a lungul liniilor care se încrucișează

Două puncte ale căror proiecții orizontale coincid vor fi numite concurente pe orizontală. Proiecțiile frontale ale unor astfel de puncte (vezi punctele A și B din Fig. 41) nu se acoperă între ele, în timp ce cele orizontale concurează, adică. nu este clar care punct este vizibil și care este închis.

Dintre cele două puncte concurente pe orizontală din spațiu, cel mai sus este vizibil; pe diagramă, proiecția sa frontală este mai mare. Deci, din două puncte A și B din Fig. 41 punctul A de pe planul orizontal de proiecție este vizibil, iar punctul B este închis (nu este vizibil).

Două puncte ale căror proiecții frontale coincid vor fi numite concurente frontal (vezi punctele C și D din Fig. 41). Dintre cele două puncte concurente frontal, cel care este mai aproape este vizibil, proiecția sa orizontală pe diagramă este mai mică.

Avem perechi similare de puncte concurente 1, 2 și 3, 4 în Fig. 42 pe liniile care se intersectează m și n. Punctele 3 și 4 concurează frontal, punctul 3 nu este vizibil din ele ca fiind cel mai îndepărtat. Acest punct aparține dreptei n (aceasta se vede pe proiecția orizontală), ceea ce înseamnă că în vecinătatea punctelor 3 și 4 de pe proiecția frontală, linia n se află în spatele liniei m.

Punctele 1 și 2 concurează pe orizontală. Conform proiecțiilor lor frontale, stabilim că punctul 1 este situat deasupra punctului 2 și aparține dreptei m. Prin urmare, pe proiecția orizontală din vecinătatea punctelor 1 și 2, linia n se află sub ea, i.e. nu este vizibil.

În acest fel se determină vizibilitatea planurilor poliedrelor și suprafețelor liniare, întrucât punctele concurente sunt uşor identificate pe linii de intersectare: muchii şi corpuri generatrice.

Orez. 42

Proiecții în unghi drept

Dacă planul unghiului drept este paralel cu orice plan de proiecție, de exemplu P 1 (Fig. 43, Fig. 44), atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan fără distorsiuni. În acest caz, ambele laturi ale unghiului sunt paralele cu planul P 1. Dacă ambele laturi ale unui unghi drept nu sunt paralele cu niciunul dintre planuri, atunci unghiul drept este proiectat cu distorsiune pe toate planurile de proiecție.

Dacă o parte a unghiului drept este paralelă cu orice plan de proiecție, atunci unghiul drept este proiectat pe acest plan de proiecție în dimensiune completă (Fig. 45, Fig. 46).

Să demonstrăm această poziție.

Fie latura BC a unghiului ABC paralelă cu planul П 1 . В 1 С 1 - proiecția sa orizontală; B 1 C 1 ║BC. A 1 este proiecția orizontală a punctului A. Planul A 1 AB, proiectând dreapta AB pe planul P 1, este perpendicular pe BC (deoarece BC AB și BC BB 1). Și de când BC║B 1 C 1, apoi planul AB B 1 C 1. În acest caz, A 1 B 1 B 1 C 1. Deci A 1 B 1 C 1 este un unghi drept. Luați în considerare cum arată diagrama ABC dreaptă, a cărei latură BC este paralelă cu planul P 1.

Orez. 43 Fig. 44

Orez. 45 Fig. 46

Un raționament similar poate fi efectuat cu privire la proiecția unui unghi drept, a cărui latură este paralelă cu planul П 2 . Pe fig. 47 prezintă o imagine vizuală și grafice ale unui unghi drept.