Acasă » clasa a 6-a » Transformarea graficului funcției trigonometrice y = sin x prin compresie și extindere GBPU „Colegiul de Cultură Tradițională Rusă” Popova L.A. Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice cu modulul Reprezentarea grafică a funcțiilor trigonometrice

Transformarea graficului funcției trigonometrice y = sin x prin compresie și extindere GBPU „Colegiul de Cultură Tradițională Rusă” Popova L.A. Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice cu modulul Reprezentarea grafică a funcțiilor trigonometrice

Rezumatul lecției de algebră și începutul analizei în clasa a X-a

pe tema: „Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice”

Scopul lecției: sistematizarea cunoștințelor pe tema „Proprietăți și grafice ale funcțiilor trigonometrice y=sin (x), y=cos (x)”.

Obiectivele lecției:

repetați proprietățile funcțiilor trigonometrice y=sin (x), y=cos (x);
formule de reducere repetate;
conversia graficelor de funcții trigonometrice;
dezvoltă atenția, memoria, gândirea logică; intensificarea activității mentale, capacitatea de a analiza, generaliza și raționa;
încurajarea muncii asidue, a diligenței în atingerea obiectivelor, a interesului pentru subiect.

Echipament pentru lecție: TIC

Tipul de lecție: învățarea de lucruri noi

În timpul orelor

Înainte de lecție, 2 elevi desenează pe tablă grafice din temele lor.

Timp de organizare:

Buna baieti!

Astăzi în lecție vom transforma graficele funcțiilor trigonometrice y=sin (x), y=cos (x).

Lucrare orala:

Verificarea temelor.

rezolvarea puzzle-urilor.

Învățarea de materiale noi

Toate transformările graficelor de funcții sunt universale - sunt potrivite pentru toate funcțiile, inclusiv pentru cele trigonometrice. Aici ne vom limita la o scurtă reamintire a principalelor transformări ale graficelor.

Transformarea graficelor de funcții.

Este dată funcția y = f (x). Începem să construim toate graficele din graficul acestei funcții, apoi facem acțiuni cu aceasta.

Funcţie

Ce să faci cu programul

y = f(x) + a

Ridicam toate punctele primului grafic cu o unitate in sus.

y = f(x) – a

Coborâm toate punctele primului grafic în unități.

y = f(x + a)

Deplasăm toate punctele primului grafic cu o unitate spre stânga.

y = f (x – a)

Deplasăm toate punctele primului grafic cu o unitate spre dreapta.

y = a*f (x),a>1

Fixăm zerourile la locul lor, mutăm punctele superioare mai sus de o dată, iar pe cele inferioare le coborâm mai jos de o dată.

Graficul se va „întinde” în sus și în jos, zerourile rămân pe loc.

y = a*f(x), a<1

Fixăm zerourile, punctele superioare vor coborî de câteva ori, cele inferioare se vor ridica de câteva ori. Graficul se va „micșora” spre axa x.

y = -f(x)

Oglindiți primul grafic despre axa x.

y = f (ax), a<1

Fixați un punct pe axa ordonatelor. Fiecare segment de pe axa absciselor este mărit de un ori. Graficul se va întinde de pe axa ordonatelor în direcții diferite.

y = f (ax), a >1

Fixați un punct pe axa ordonatelor, reduceți fiecare segment de pe axa absciselor cu un factor. Graficul se va „micșora” spre axa y pe ambele părți.

y = | f(x)|

Părțile graficului situate sub axa absciselor sunt oglindite. Întregul grafic va fi localizat în semiplanul superior.

Scheme de soluții.

1)y = sin x + 2.

Construim un grafic y = sin x. Ridicam fiecare punct al graficului in sus cu 2 unitati (de asemenea, zerouri).

2)y = cos x – 3.

Construim un grafic y = cos x. Coborâm fiecare punct al graficului cu 3 unități.

3)y = cos (x - /2)

Construim un grafic y = cos x. Deplasăm toate punctele cu p/2 la dreapta.

4)y = 2 sinx.

Construim un grafic y = sin x. Lăsăm zerourile pe loc, ridicăm punctele superioare de 2 ori și coborâm pe cele inferioare cu aceeași cantitate.

LUCRĂRI PRACTICE Trasarea graficelor de funcții trigonometrice folosind programul Advanced Grapher.

Să reprezentăm grafic funcția y = -cos 3x + 2.

Să reprezentăm grafic funcția y = cos x.
Să o reflectăm în raport cu axa absciselor.
Acest grafic trebuie comprimat de trei ori de-a lungul axei x.
În cele din urmă, un astfel de grafic trebuie să fie ridicat cu trei unități de-a lungul axei y.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

y = 5cos 0 .5 x

y= -3sin(x+π).

2) Găsiți greșeala și remediați-o.

V. Material istoric. Un mesaj despre Euler.

Leonhard Euler este cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. Născut în Elveția. Mulți ani a trăit și a lucrat în Rusia, membru al Academiei din Sankt Petersburg.

De ce ar trebui să știm și să ne amintim numele acestui om de știință?

La începutul secolului al XVIII-lea, trigonometria nu era încă suficient de dezvoltată: nu existau simboluri, formulele erau scrise în cuvinte, era dificil să le înveți, problema semnelor funcțiilor trigonometrice în diferite sferturi de cerc era neclară, iar argumentul unei funcții trigonometrice însemna doar unghiuri sau arce. Numai în lucrările lui Euler trigonometria și-a primit forma modernă. El a fost cel care a început să ia în considerare funcția trigonometrică a unui număr, adică. Argumentul a început să fie înțeles nu numai ca arce sau grade, ci și ca numere. Euler a derivat toate formulele trigonometrice din mai multe formule de bază și a simplificat problema semnelor funcției trigonometrice în diferite sferturi de cerc. Pentru a desemna funcții trigonometrice, a introdus simbolismul: sin x, cos x, tan x, ctg x.

În pragul secolului al XVIII-lea a apărut o nouă direcție în dezvoltarea trigonometriei – analitică. Dacă înainte de aceasta scopul principal al trigonometriei era considerat a fi soluția triunghiurilor, atunci Euler a considerat trigonometria ca știința funcțiilor trigonometrice. Prima parte: doctrina funcțiilor face parte din doctrina generală a funcțiilor, care este studiată în analiza matematică. Partea a doua: rezolvarea triunghiurilor - capitolul geometrie. Astfel de inovații au fost făcute de Euler.

VI. Repetiţie

Lucrare independentă „Adăugați formula”.

VII. Rezumatul lecției:

1) Ce nou ați învățat în clasă astăzi?

2) Ce altceva vrei să știi?

3) Notare.

Lecția 24. Transformări de grafice ale funcțiilor trigonometrice

09.07.2015 5528 0

Ţintă: luați în considerare cele mai comune transformări ale graficelor funcțiilor trigonometrice.

I. Comunicarea temei și a scopului lecției

II. Repetarea și consolidarea materialului acoperit

1. Răspunsuri la întrebări despre teme (analiza problemelor nerezolvate).

2. Monitorizarea asimilării materialului (sondaj scris).

Opțiunea 1

sin x.

2. Găsiți perioada principală a funcției:

3. Reprezentați grafic funcția

Opțiunea 2

1. Proprietățile de bază și graficul funcției y = cos x.

2. Găsiți perioada principală a funcției:

3. Reprezentați grafic funcția

III. Învățarea de materiale noi

Toate transformările graficelor de funcții, descrise în detaliu în Capitolul 1, sunt universale - sunt potrivite pentru toate funcțiile, inclusiv pentru cele trigonometrice. Prin urmare, vă recomandăm să repetați acest subiect. Aici ne vom limita la o scurtă reamintire a principalelor transformări ale graficelor.

1. Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(x) + b este necesar să transferăm graficul funcției în | b | unități de-a lungul ordonatei - sus la b > 0 și în jos la b< 0.

2. Pentru a reprezenta graficul unei funcții y = mf(x) (unde m > 0) trebuie să întindem graficul funcției y = f(x) la m ori de-a lungul axei ordonatelor. Si pentru m > 1 există de fapt întindere de m ori, pentru 0< m < 1 - сжатие в 1/ m раз.

3. Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(x+a ) trebuie să transferați graficul funcției în | A | unități de-a lungul axei x - la dreapta la a< 0 и влево при а > 0.

4. Pentru a reprezenta grafic funcția y = f(kx ) (unde k > 0) este necesar să comprimați graficul funcției y = f(x) la k ori de-a lungul axei x. Si pentru k > 1 există de fapt o compresie de k ori, pentru 0< k < 1 – растяжение в 1/ k ori.

5. Pentru a reprezenta grafic funcția y = - f(x ) aveți nevoie de un grafic al funcției y = f(x ) reflectă în raport cu axa x (această transformare este un caz special al transformării 2 pentru m = -1).

6. Pentru a reprezenta grafic funcția y = f (-x) aveți nevoie de un grafic al funcției y = f(x ) reflectă în raport cu axa ordonatelor (această transformare este un caz special al transformării 4 pentru k = -1).

Exemplul 1

Să construim un grafic al funcției y = - cos 3 x + 2.

În conformitate cu regula 5, aveți nevoie de un grafic al funcției y = cos x reflectă în raport cu axa x. Conform regulii 3, acest grafic trebuie comprimat de trei ori de-a lungul axei x. În cele din urmă, conform Regulii 1, un astfel de grafic trebuie să fie ridicat cu trei unități de-a lungul axei ordonatelor.

De asemenea, este util să reamintiți regulile de conversie a graficelor cu module.

1. Pentru a reprezenta grafic o funcție y = | f (x)| trebuie să salvăm o parte din graficul funcției y = f(x ), pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului y = f(x ), pentru care< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2. Pentru a reprezenta grafic funcția y = f (|x|) este necesar să salvați o parte din graficul funcției y = f(x ), pentru care x ≥ 0. În plus, această parte trebuie reflectată simetric la stânga față de ordonată.

3. Pentru a reprezenta grafic ecuația |y| = f (x) este necesar să se salveze o parte din graficul funcției y = f(x ), pentru care y ≥ 0. În plus, această parte trebuie reflectată simetric în jos față de axa x.

Exemplul 2

Să reprezentăm grafic ecuația |y| = păcat | x |.

Să construim un grafic al funcției y = sin x pentru x ≥ 0. Acest grafic, conform regulii 2, va fi reflectat la stânga în raport cu axa ordonatelor. Să salvăm părțile unui astfel de grafic pentru care y ≥ 0. Conform regulii 3, vom reflecta simetric aceste părți în jos față de axa x.

În cazuri mai complexe, semnele modulului trebuie extinse.

Exemplul 3

Să construim un grafic al funcției complexe y = cos (2 x + |x|).

Amintiți-vă că argumentul funcției cosinus este o funcție a variabilei x și, prin urmare, funcția este complexă. Să extindem semnul modulului și să obținem:Pentru două astfel de intervale vom reprezenta grafic funcția y(x ). Să luăm în considerare că pentru x ≥ 0 graficul funcției y = cos 3 x obtinut din graficul functiei y = cos x compresie de 3 ori de-a lungul axei absciselor.

Exemplul 4

Să diagramăm funcția

Folosind formula diferenței pătrate, scriem funcția sub formaGraficul unei funcții este format din două părți. Pentru x > 0, trebuie să reprezentați grafic funcția y = 1 - cos X. Se obține din graficul funcției y = cos x reflexia relativă la axa absciselor și o deplasare de 1 unitate în sus de-a lungul axei ordonatelor.

Pentru x ≥ 0 graficăm funcția y = ( X -1)2 - 1. Se obtine din graficul functiei y = x 2 o deplasare de 1 unitate la dreapta de-a lungul axei x și de 1 unitate în sus de-a lungul axei y.

IV. Întrebări de control (sondaj frontal)

1. Reguli pentru transformarea graficelor de funcții.

2. Transformări de grafice cu module.

V. Atribuirea lecției

§ 13, nr. 2 (a, b); 3; 5; 7 (c, d); 8 (a, b); 9(a); 10 (b); 11 (a, b); 13 (c, d); 14; 17 (a, b); 19 (b); 20 (a, c).

VI. Temă pentru acasă

§ 13, nr. 2 (c, d); 4; 6; 7 (a, b); 8 (c, d); 9 (b); 10(a); 11 (c, d); 13 (a, b); 15; 17 (c, d); 19(a); 20 (b, d).

VII. Sarcina creativă

Trasează graficul unei funcții, ecuații, inegalități:

VIII. Rezumând lecția

ALGEBRĂ
Lecții pentru clasa a X-a

Subiect.Reprezentarea grafică a funcțiilor trigonometrice

Obiectivul lectiei: trasarea functiilor y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Formarea deprinderilor de a construi grafice de funcții: y = Asin (kx + b), y = Acos (kx + b), y = Atg (kx + b), y = Actg (kx + b).

I. Verificarea temelor

1. Un elev reproduce soluția exercițiului nr. 24 (1-3).

2. Conversație frontală:

1) Numiți fenomene din natură care se repetă periodic.

2) Dați definiția unei funcții periodice.

3) Dacă funcția y = f (x) are o perioadă a numărului T, atunci perioada acestei funcție va fi numărul 2T, 3T ...? Justificati raspunsul.

4) Aflați cea mai mică perioadă pozitivă a funcțiilor:

a) y = cos; b) y = sin; c) y = tg; d) y = .

5) funcția periodică y = C? Dacă da, atunci indicați perioada acestei funcții.

II. Trasarea funcției y = sin x

Pentru a reprezenta grafic funcția y = sin x, vom folosi cercul unitar. Să construim un cerc unitar cu o rază de 1 cm (2 celule). În dreapta vom construi un sistem de coordonate, ca în Fig. 57.

Să trasăm punctele pe axa OX; π; ; 2 π (respectiv 3 celule, 6 celule, 9 celule, 12 celule). Să împărțim primul sfert al cercului unitar în trei părți egale și segmentul axei absciselor în același număr de părți. Să transferăm valoarea sinusului în punctele corespunzătoare ale axei OX. Obținem punctele care trebuie conectate cu o linie netedă. Apoi împărțim al doilea, al treilea și al patrulea sfert al cercului unitar în trei părți egale și transferăm valoarea sinusului în punctul corespunzător de pe axa OX. Conectând în mod consecvent toate punctele obținute, obținem un grafic al funcției y = sin x pe interval.

Deoarece funcția y = sin x este periodică cu o perioadă de 2 π, atunci pentru a construi un grafic al funcției y = sin x pe întreaga linie OX, este suficient să mutați paralel graficul construit de-a lungul axei OX cu 2 π , 4 π, 6 π ... unități la stânga și la dreapta (Fig. 58).

O curbă care este un grafic al funcției y = sin x se numește undă sinusoidală.

Efectuarea exercițiilor ______________________________

1. Construiți grafice de funcții.

a) y = sin; b) y = sin 2x; c) y = 2 sin x; d) y = sin (-x).

Răspunsuri: a) fig. 59; b) fig. 60; c) fig. 61; d) orez. 62.

III. Trasarea funcției y = cos x

După cum știți, cos x = sin, prin urmare y = cos x și y = sin sunt aceleași funcții. Pentru a construi un grafic al funcției y = sin, vom folosi transformări geometrice ale graficelor: mai întâi construim (Fig. 63) un grafic al funcției y = sin x, apoi y = sin (-x) și în final y = sin .

Efectuarea exercițiilor________________________________

1. Reprezentați grafic funcțiile:

a) y = cos; b) y = cos; c) y = cos x; d) y = | cos x |.

Răspuns: a) fig. 64; b) fig. 65; c) fig. 66; d) orez. 67.

IV. Trasarea unui grafic al funcției y = tg x

Construim un grafic al funcției y = tan x folosind o linie de tangente pe un interval a cărui lungime este egală cu perioada π a acestei funcții. Să construim un cerc unitar cu o rază de 2 cm (4 celule) și să desenăm o linie de tangente. În dreapta vom construi un sistem de coordonate, ca în Fig. 68.

Să trasăm punctele pe axa OX; (6 celule). Împărțiți primul și al patrulea sfert de cerc în 3 părți egale și fiecare dintre segmente și în același număr de părți. Să găsim valorile tangentelor numerelor; ; 0; ; folosind linia tangentă (coordonatele punctelor ; ; ; ; linia tangentă). Să transferăm valorile tangentei în punctele corespunzătoare ale axei OX. Conectând în mod consecvent toate punctele obținute, obținem un grafic al funcției y = tan x pe interval.

Deoarece funcția y = tg x este periodică cu perioada π, pentru a construi un grafic al funcției y = tg x pe întreaga linie dreaptă OX, este suficient să mutați paralel graficul construit de-a lungul axei OX cu π, 2 π, 3 π, 4 π ... unități la stânga și la dreapta (Fig. 69).

Graficul funcției y = tan x se numește tangentă.

Făcând exerciții

1. Reprezentați grafic funcțiile

a) y = tan 2x; b) y = t gx ; c) y = tan x + 2; d) y = tan (-x).

Răspunsuri: a) fig. 70; b) fig. 71; c) fig. 72; d) orez. 73.

V. Reprezentarea grafică a funcției y = cot x

Graficul funcției y = ctg x poate fi ușor obținut folosind formula ctg x = tg și două transformări geometrice (Fig. 74): simetrie față de axa ΟΥ, translație paralelă de-a lungul axei OX pe.

IV. Teme pentru acasă

Secțiunea I § 6. Întrebări și sarcini pentru repetarea secțiunii I Nr. 50-51. Exercițiile nr. 28 (a-d).

V. Rezumatul lecției

SUBIECT: Transformări de grafice ale funcțiilor trigonometrice cu modul.

ŢINTĂ: Considerarea obţinerii graficelor funcţiilor trigonometrice de forma

y= f(|x|) ;y = | f(X)| .

Dezvoltați logica și atenția matematică.

ÎN CURILE:

Org. moment: Anunțarea temei, scopurilor și obiectivelor lecției.

Profesor: Astăzi trebuie să învățăm cum să graficăm funcțiile y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| folosind cunoștințele noastre despre transformările funcțiilor transcendentale de forma y = f(|x|) și y = |f(x)| . Puteți întreba: „Pentru ce este asta?” Faptul este că proprietățile funcțiilor se modifică în acest caz, dar acest lucru se vede cel mai bine, după cum știți, pe grafic.

Să ne amintim cum sunt scrise aceste funcții folosind definiția

Copii: f(|x|) =

|f(x)| =

Profesor: Asa de, pentru a reprezenta grafic funcția y =f(|x|), dacă se cunoaşte graficul funcţiei

y =f{ X), trebuie să lăsați acea parte a graficului funcției y = pe locf(X), care

corespunde părții nenegative din domeniul de definire a funcției y =f(X). Reflectând acest lucru

parte este simetrică față de axa y, obținem o altă parte a graficului corespunzătoare

parte negativă a domeniului definiției.

Adică, pe grafic arată astfel: y = f (x)

(Aceste grafice sunt desenate pe tablă. Copii în caiete)

Acum, pe baza acestui lucru, vom construi un grafic al funcțiilor y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Fig 1. Y = sin x

Figura 2. Y = sin |x|

Acum să reprezentăm grafic funcțiile Y = |sin x | și Y = |2 sin x + 2|

Pentru a reprezenta grafic funcția y = \f(X)\, dacă se cunoaşte graficul funcţiei y =f(X), trebuie să lăsați pe loc acea parte în caref(X) > DESPRE, și afișați simetric cealaltă parte a acesteia în raport cu axa x, undef(X) < 0.

Reprezentarea grafică a funcțiilor trigonometrice în clasa a XI-a

Profesor de matematică la categoria I de calificare, MAOU „Gimnaziul Nr. 37”, Kazan

Spiridonova L.V.

Funcții trigonometrice ale argumentului numeric
y=sin(x)+m Și y=cos(x)+m
Trasarea graficelor de funcții de formă y=sin(x+t) Și y=cos(x+t)
Trasarea graficelor de funcții de formă y=A · sin(x) Și y=A · cos(x)
Exemple

Funcții trigonometrice argument numeric.

y=sin(x)

y=cos(x)

Reprezentarea grafică a unei funcții y = sin x .

Proprietățile funcției y = păcat ( X ) .

toate numerele reale ( R )

2. Zona de modificări (Zona de valori) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funcția y = păcat ( X) ciudat, pentru că sin(-x ) = - sin x

π .

sin(x+2 π ) = sin(x).

5. Funcție continuă

Descendentă: [ π /2; 3 π /2 ] .

6. Crescând: [ - π /2; π /2 ] .

Reprezentarea grafică a unei funcții y = cos x .

Graficul funcției y = cos x obtinut prin transfer

graficul funcției y = sin x rămas pe π /2.

Proprietățile funcției y = co s ( X ) .

1. Domeniul de definire al unei funcții este mulțimea

toate numerele reale ( R )

2. Aria de schimbare (Aria valorilor), E(y)= [ - 1; 1 ] .

3. Funcția y = cos (X) chiar, pentru că cos(- X ) = cos (X)

Funcția este periodică, cu perioada principală 2 π .

cos( X + 2 π ) = cos (X) .

5. Funcție continuă

Descendentă: [ 0 ; π ] .

6. Crescând: [ π ; 2 π ] .

Constructie

grafice funcţiile formei

y = păcat ( X ) +m

Și

y = cos (X) + m.

0 sau în jos dacă m " width="640"

Transferul paralel al graficului de-a lungul axei Oy

Graficul unei funcții y=f(x) + m obţinut prin transfer paralel al graficului funcţiei y=f(x) , peste m unități dacă m 0 ,

sau în jos dacă m .

0 y m 1 x" width="640"

Conversie: y= păcat ( X ) +m

Schimb y= păcat ( X ) de-a lungul axei y sus dacă m 0

0 y m 1 x" width="640"

Conversie: y= cos ( X ) +m

Schimb y= cos ( X ) de-a lungul axei y sus , Dacă m 0

Conversie: y=sin ( X ) +m

Schimb y= păcat ( X ) de-a lungul axei y jos, Dacă m 0

Conversie: y=cos ( X ) +m

Schimb y= cos ( X ) de-a lungul axei y jos dacă m 0

Constructie

grafice funcţiile formei

y = păcat ( X + t )

Și

y = cos ( X +t )

0 și la dreapta dacă t 0." width="640"

Transferul paralel al graficului de-a lungul axei Ox

Graficul unei funcții y = f(x + t) obţinut prin transfer paralel al graficului funcţiei y=f(x) de-a lungul axei X pe |t| unități de scară stânga, Dacă t 0

Și dreapta , Dacă t 0.

0 y 1 x t" width="640"

Conversie: y = sin(x + t)

schimb y= f(x) de-a lungul axei X stânga, Dacă t 0

0 y 1 x t" width="640"

Conversie: y= cos(x + t)

schimb y= f(x) de-a lungul axei X stânga, Dacă t 0

Conversie: y=sin(x+t)

schimb y= f(x) de-a lungul axei X dreapta, Dacă t 0

Conversie: y= cos(x + t)

schimb y= f(x) de-a lungul axei X dreapta, Dacă t 0

1 și 0 și 1" width="640"

Trasarea graficelor de funcții de formă y = A · păcat ( X ) Și y = A · cos ( X ) , la o 1 și 0 A 1

1 și compresie pe axa Ox cu un coeficient de 0 A." width="640"

Compresiune și întindere de-a lungul axei Ox

Graficul unei funcții y=A · f(x ) obţinem prin întinderea graficului funcţiei y= f(x) cu coeficient A de-a lungul axei Ox, dacă A 1 Și compresie pe axa Ox cu un coeficient de 0 A .