Ce este un logaritm zecimal? Ce este un logaritm Care este diferența dintre log și lg

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai ușor. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea \(2\) care trebuie ridicată pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:		\(\log_(5)(25)=2\)		deoarece \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		deoarece \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul logaritmului este scris de obicei la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritmul lui douăzeci și cinci la baza lui cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: în ce măsură ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Și ce grad face orice număr o unitate? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul - orice număr din primul grad este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională și, prin urmare, rădăcina pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția logaritmului: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce legături leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga, folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cel mai ingenios va spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum anume trebuie scris acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, au venit cu logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez faptul că \(\log_(3)(8)\), precum și orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi reduse la aceeași bază. Așa că aici nu puteți face fără logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Întoarceți ecuația astfel încât x să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Înaintea noastră. Deplasați \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aici este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar răspunsul nu este ales.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția logaritmului, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

Acesta este, \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

Acesta este, \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem cum a apărut exact această formulă.

Reamintim scurta definiție a logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\) . S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi restul proprietăților logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi puteți scrie \(\log_(2)(4)\) în loc de două.

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), deci puteți scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . În mod similar cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, le putem scrie pe cele două ca un logaritm cu orice bază oriunde (chiar și într-o ecuație, chiar și într-o expresie, chiar și într-o inegalitate) - scriem doar baza pătrată ca argument.

Este același lucru cu un triplu - poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \) ... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți valoarea unei expresii \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)

DEFINIȚIE

Logaritm zecimal se numește logaritm la baza 10:

Title="Redată de QuickLaTeX.com">!}

Acest logaritm este soluția ecuației exponențiale. Uneori (mai ales în literatura străină) logaritmul zecimal este de asemenea notat ca, deși primele două denumiri sunt, de asemenea, inerente logaritmului natural.

Primele tabele de logaritmi zecimali au fost publicate de matematicianul englez Henry Briggs (1561-1630) în 1617 (de aceea oamenii de știință străini numesc adesea logaritmii zecimali încă Briggs), dar aceste tabele conțineau erori. Pe baza tabelelor (1783) ale matematicianului sloven și austriac Georg Bartalomej Vega (Yuri Veha sau Vehovets, 1754-1802), în 1857 astronomul și topografia german Karl Bremiker (1804-1877) a publicat prima ediție infailibilă. Cu participarea matematicianului și profesorului rus Leonty Filippovici Magnitsky (Telyatin sau Telyashin, 1669-1739), în 1703, au fost publicate primele tabele de logaritmi în Rusia. Logaritmii zecimali au fost folosiți pe scară largă pentru calcule.

Proprietățile logaritmilor zecimali

Acest logaritm are toate proprietățile unui logaritm la o bază arbitrară:

1. Identitatea logaritmică de bază:

5. .

7. Tranziția la o nouă bază:

Funcția logaritm zecimal este o funcție. Graficul acestei curbe este adesea denumit logaritmică.

Proprietățile funcției y=lg x

1) Domeniul de definire: .

2) Set de valori: .

3) Funcția generală.

4) Funcția este neperiodică.

5) Graficul funcției se intersectează cu axa x în punctul .

6) Lacune de consecvență: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} că pentru .

Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului, graficul logaritmului, domeniul de definiție, setul de valori, formulele de bază, creșterea și scăderea. Se ia în considerare găsirea derivatei logaritmului. La fel ca integrală, extinderea seriei de putere și reprezentarea prin intermediul numerelor complexe.

Conţinut

Domeniu, set de valori, crescător, descendent

Logaritmul este o funcție monotonă, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului sunt prezentate în tabel.

Domeniu	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Gama de valori	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	crește monoton	scade monoton
Zerouri, y= 0	x= 1	x= 1
Puncte de intersecție cu axa y, x = 0	Nu	Nu
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valori private

Se numește logaritmul de bază 10 logaritm zecimal si este marcat astfel:

logaritm de bază e numit logaritmul natural:

Formule logaritmice de bază

Proprietățile logaritmului care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Logaritmul este operația matematică de luare a unui logaritm. Când se ia un logaritm, produsele factorilor sunt convertite în sume de termeni.
Potențiarea este operația matematică inversă logaritmului. La potențare, baza dată este ridicată la puterea expresiei pe care se realizează potențarea. În acest caz, sumele termenilor sunt convertite în produse de factori.

Dovada formulelor de bază pentru logaritmi

Formulele legate de logaritmi decurg din formulele pentru funcții exponențiale și din definiția unei funcții inverse.

Luați în considerare proprietatea funcției exponențiale
.
Apoi
.
Aplicați proprietatea funcției exponențiale
:
.

Să demonstrăm formula schimbării bazei.
;
.
Punând c = b , avem:

Funcție inversă

Reciproca bazei a logaritmului este funcția exponențială cu exponentul a.

Daca atunci

Daca atunci

Derivată a logaritmului

Derivată a logaritmului modulo x :
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Pentru a găsi derivata unui logaritm, aceasta trebuie redusă la bază e.
;
.

Integral

Integrala logaritmului se calculează prin integrarea pe părți : .
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Luați în considerare funcția număr complex z:
.
Să exprimăm un număr complex z prin modul rși argument φ :
.
Apoi, folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau

Cu toate acestea, argumentul φ nu este clar definit. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru diferit n.

Prin urmare, logaritmul, ca funcție a unei variabile complexe, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Vezi si:

Din programa liceului se știe că

orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca număr 10 într-o oarecare măsură.

Cu toate acestea, acest lucru este simplu atunci când numărul este un multiplu de 10.
Exemplu :

• număr100 este 10x10 sau 102
• numărul 1000 este 10x10x10 sau 103
• Șietc.

Cum să fii în cazul în care, de exemplu, este necesar să exprimăm numărul 8299 ca număr 10 într-o oarecare măsură? Cum să găsiți acest număr cu un anumit grad de precizie, care în acest caz este 3.919 ...?

Ieșirea este logaritmică și tabele logaritmice

Cunoașterea logaritmilor și capacitatea de a utiliza tabele logaritmice pot simplifica foarte mult multe operații aritmetice complexe.Logaritmii zecimali sunt convenabil pentru utilizare practică.

Referință istorică.
Principiul care stă la baza oricărui sistem de logaritmi este cunoscut de foarte mult timp și poate fi urmărit până la matematica antică babiloniană (circa 2000 î.Hr.). Cu toate acestea, primele tabele de logaritmi au fost compilate independent de matematicianul scoțian HUJ. Napier (1550-1617) și elvețianul I. Burgi (1552-1632). Primele tabele de logaritmi zecimali au fost întocmite și publicate de matematicianul englez G. Briggs (1561-1630).

Invităm cititorul, fără a pătrunde adânc în esența matematică a problemei, să rețină sau să restabilească în memorie câteva definiții, concluzii și formule simple:

• Definiţia logarithmA.

Logaritmul unui număr dat este exponentul la care trebuie ridicat un alt număr, numit baza logaritmului (A ) pentru a obține numărul dat.

• Pentru fiecare bază, logaritmul unității este zero:

a0 = 1

• Numerele negative nu au logaritmi
• Fiecare număr pozitiv are un logaritm
• Cu o bază mai mare decât 1, logaritmii numerelor mai mici decât 1 sunt negativi, iar logaritmii numerelor mai mari decât 1 sunt pozitivi
• Logaritmul de bază este 1
• Numărul mai mare corespunde unui logaritm mai mare
• Pe măsură ce numărul crește de la 0 la 1, logaritmul său crește de la-∞ la 0; cu numărul crescând de la 1 la+∞ logaritmul său crește de la 1 la+∞ (unde, ±∞ - un semn adoptat în matematică pentru a desemna infinitate negativă sau pozitivă de numere)
• Pentru utilizare practică, logaritmii sunt convenabil, a căror bază este numărul 10

Acești logaritmi se numesc logaritmi zecimali și se noteazălg . De exemplu:

• logaritmul numărului 10 la baza 10 este 1. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la prima putere pentru a obține numărul 10 (101 = 10), adică.log10 = 1
• logaritmul de la 100 la baza 10 este 2. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie să fie pătrat pentru a obține numărul 100 (102 = 100), adică. lg100 = 2

U Concluzia #1 U : logaritmul unui număr întreg reprezentat de o unitate cu zerouri este un întreg pozitiv care conține atâtea câte zerouri există în reprezentarea numărului

• logaritmul de bază 10 de 0,1 este -1. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la prima putere minus pentru a obține numărul 0,1 (10-1 = 0,1), adică.log0,1 = -1
• Logaritmul în baza 10 de 0,01 este -2. Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la puterea minus secundă pentru a obține numărul 0,1 (10-2 = 0,01), adică.lg0,01 = -2

U Concluzia #2 U : logaritmul unei fracții zecimale reprezentată de o unitate cu zerouri înainte este un întreg negativ care conține atâtea unități negative câte zerouri există în imaginea fracției, numărând, printre altele, 0 numere întregi

• în conformitate cu definiția nr. 1 (a se vedea mai sus):

lg1 = 0

• logaritmul numărului 8300 la baza 10 este 3,9191 ... Cu alte cuvinte, numărul 10 trebuie ridicat la puterea de 3,9191 ... pentru a obține numărul 8300 (103,9191 ... = 8300), adică. lg8300 =3,9191...

U Concluzia #3 U : logaritmul unui număr neexprimat printr-o unitate cu zerouri este un număr irațional și, prin urmare, nu poate fi exprimat exact în termeni de numere.
De obicei, logaritmii iraționali sunt exprimați aproximativ ca o fracție zecimală cu mai multe zecimale. Numărul întreg al acestei fracții (chiar dacă era „0 numere întregi”) este numit caracteristică, iar partea fracțională este mantisa logaritm. Dacă, de exemplu, logaritmul este 1,5441 , atunci caracteristica sa este 1 , iar mantisa este 0,5441 .

• Principalele proprietăți ale logaritmilor, incl. zecimal:
• logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor:lg( A. b)= lga + lgb
• logaritmul coeficientului este egal cu logaritmul dividendului fără logaritmul divizorului, adică. Logaritmul unei fracții este egal cu logaritmul numărătorului fără logaritmul numitorului:

• logaritmii a două numere reciproce din aceeași bază diferă unul de celălalt doar prin semn

• logaritmul gradului este egal cu produsul exponentului și logaritmul bazei acestuia, i.e. Logaritmul unei puteri este egal cu exponentul acelei puteri înmulțit cu logaritmul numărului ridicat la putere:

lg( bk)= k. lg b

Pentru a înțelege în sfârșit care este logaritmul zecimal al unui număr arbitrar, să ne uităm la câteva exemple în detaliu.

U Exemplul #2.1.1 U.
Să luăm un număr întreg, cum ar fi 623, și un număr mixt, cum ar fi 623,57.
Știm că logaritmul unui număr constă dintr-o caracteristică și o mantise.
Să numărăm câte cifre sunt într-un număr întreg dat sau în partea întreagă a unui număr mixt. În exemplele noastre, aceste numere sunt 3.
Prin urmare, fiecare dintre numerele 623 și 623,57 este mai mare decât 100, dar mai mic decât 1000.
Astfel, putem concluziona că logaritmul fiecăruia dintre aceste numere va fi mai mare de lg 100, adică mai mare de 2, dar mai mic de lg 1000, adică mai mic de 3 (reamintim că un număr mai mare are un logaritm mai mare).
Prin urmare:
lg 623 = 2,...
lg 623,57 = 2,...
(punctele înlocuiesc mantise necunoscute).

U Concluzia #4 U : logaritmii zecimali au avantajul că caracteristica lor poate fi găsită întotdeauna printr-un singur tip de număr .

Să presupunem că, în general, un număr întreg dat, sau o parte întreagă a unui număr mixt dat, conține m cifre. Deoarece cel mai mic număr întreg care conține m cifre este unul cu m-1 zerouri la sfârșit, atunci (notând acest număr N) putem scrie inegalitatea:

prin urmare,
m-1< lg N < m,
De aceea
lg N = (m-1) + fracție pozitivă.
Mijloace
Caracteristica lgN = m-1

U Concluzia #5 U : caracteristica logaritmului zecimal al unui număr întreg sau mixt conține atâtea pozitive câte cifre sunt în partea întreagă a numărului fără una.

U Exemplul #2.1.2.

Acum să luăm câteva zecimale, adică numere mai mici decât 1 (cu alte cuvinte având 0 numere întregi):
0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 etc.
Logaritmii fiecăruia dintre aceste numere vor fi între două numere întregi negative care diferă cu o unitate. Mai mult, fiecare dintre ele este egal cu cel mai mic dintre aceste numere negative, mărite cu o fracție pozitivă.
De exemplu,
lg0,0056= -3 + fracție pozitivă
În acest caz, fracția pozitivă va fi egală cu 0,7482.
Apoi:
log 0,0056 = -3 + 0,7482
U Note U:
Sume precum -3 + 0,7482, constând dintr-un număr întreg negativ și o fracție zecimală pozitivă, au convenit să fie scrise abreviate în calcule logaritmice, după cum urmează:
,7482
(se citește un astfel de număr: cu minus, 7482 zecemiimi), adică pun semn minus peste caracteristică pentru a arăta că se referă doar la această caracteristică, și nu la mantise, care rămâne pozitivă.

Deci numerele de mai sus pot fi scrise ca logaritmi zecimali
log 0,35 =, …
log 0,07 =, …
log 0,00008 =, …
În general, să fie numărul A o fracție zecimală, care are m zerouri înainte de prima cifră semnificativă α, numărând, printre altele, 0 numere întregi:

atunci este evident că

Prin urmare:

adică
-m< log A < -(m-1).
Deoarece din două numere întregi:
-m și -(m-1) mai puțin este -m
Acea
lg A \u003d -m + fracție pozitivă

U Concluzia nr. 6 U : caracteristică logaritmului unei fracții zecimale, adică numere mai mici decât 1, conține atâtea negative câte zerouri există în imaginea unei fracții zecimale înaintea primei cifre semnificative, numărând, printre altele, numere întregi zero; mantisa unui astfel de logaritm este pozitivă

Exemplul #2.1.3.

Să înmulțim un număr N (întreg sau fracționar - nu contează) cu 10, cu 100 cu 1000..., în general cu 1 cu zerouri, și să vedem cum se modifică lg N față de acesta.
Deoarece logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor factorilor, atunci
lg (N.10) = lg N + lg 10 = lg N + 1;
lg (N.100) = lg N + lg 100 = lg N + 2;
lg (N.1000) = lg N + lg 1000 = lg N + 3 etc.

Când adăugăm un număr întreg la lg N, acest număr este întotdeauna adăugat la caracteristică; mantisa rămâne întotdeauna neschimbată în aceste cazuri.

Exemplu
dacă log N = 2,7804, atunci 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 etc.;
sau dacă log N = 3,5649, atunci 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 - 2 = 1,5649 etc.

Concluzia nr. 7 : de la înmulțirea unui număr cu 10, 100, 1000, .., în general cu 1 cu zerouri, mantisa logaritmului nu se modifică, iar caracteristica crește cu atâtea unități câte zerouri sunt în factor.

În mod similar, ținând cont că logaritmul coeficientului este egal cu logaritmul dividendului fără logaritmul divizorului, obținem:
lg N/10 = lg N - lg 10 = lg N - 1;
log N/100 = log N - log 100 = log N - 2;
log N/1000 = log N - log 1000 = log N - 3 etc.
Când un număr întreg este scăzut din lg N din logaritm, acest număr întreg ar trebui să fie întotdeauna scăzut din caracteristică, iar mantisa trebuie lăsată neschimbată. atunci poti spune:

Concluzia nr. 8 : De la împărțirea unui număr la 1 cu zerouri, mantisa logaritmului nu se modifică, iar caracteristica scade cu atâtea unități câte zerouri sunt în divizor.

Concluzia nr. 9 : mantisa logaritmului unui număr zecimal nu se schimbă de la mutarea unei virgule în număr, deoarece mutarea unei virgule echivalează cu înmulțirea sau împărțirea cu 10, 100, 1000 etc.

Astfel, logaritmii numerelor:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
diferă doar în caracteristici, dar nu și în mantise (cu condiția ca toate mantisele să fie pozitive).

Concluzia nr. 9 : mantisele numerelor care au aceeași parte semnificativă, dar diferă doar prin zerouri la sfârșit, sunt aceleași: de exemplu, logaritmii numerelor: 23, 230, 2300, 23.000 diferă doar prin caracteristici.