Mecanica tehnică mecanica teoretică a dinamicii. Un scurt curs de mecanică teoretică. Targ S.M. Aplicarea staticii în dinamică

Ca parte a oricărui curriculum, studiul fizicii începe cu mecanica. Nu din teoretic, nu din aplicat și nu din calcul, ci din mecanică clasică veche. Această mecanică este numită și mecanică newtoniană. Potrivit legendei, omul de știință se plimba prin grădină, a văzut un măr căzând și tocmai acest fenomen l-a determinat să descopere legea gravitației universale. Desigur, legea a existat dintotdeauna, iar Newton i-a dat doar o formă pe înțelesul oamenilor, dar meritul lui este neprețuit. În acest articol, nu vom descrie legile mecanicii newtoniene cât mai detaliat posibil, dar vom schița elementele de bază, cunoștințele de bază, definițiile și formulele care vă pot juca întotdeauna.

Mecanica este o ramură a fizicii, o știință care studiază mișcarea corpurilor materiale și interacțiunile dintre ele.

Cuvântul în sine este de origine greacă și se traduce prin „arta de a construi mașini”. Dar înainte de a construi mașini, mai avem mult de parcurs, așa că haideți să călcăm pe urmele strămoșilor noștri și vom studia mișcarea pietrelor aruncate în unghi față de orizont și a merelor care cad pe capete de la o înălțime h.

De ce începe studiul fizicii cu mecanica? Pentru că este complet firesc, să nu o pornim de la echilibrul termodinamic?!

Mecanica este una dintre cele mai vechi științe, iar din punct de vedere istoric, studiul fizicii a început tocmai cu bazele mecanicii. Plasați în cadrul timpului și al spațiului, oamenii, de fapt, nu puteau pleca de la altceva, oricât și-ar fi dorit. Corpurile în mișcare sunt primul lucru la care acordăm atenție.

Ce este mișcarea?

Mișcarea mecanică este o modificare a poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt în timp.

După această definiție, ajungem în mod firesc la conceptul de cadru de referință. Schimbarea poziției corpurilor în spațiu unul față de celălalt. Cuvinte cheie aici: relativ unul față de celălalt . La urma urmei, un pasager într-o mașină se mișcă față de o persoană care stă pe marginea drumului cu o anumită viteză și se odihnește față de vecinul său pe un scaun din apropiere și se deplasează cu o altă viteză față de un pasager într-o mașină care îi depăşeşte.

De aceea, pentru a măsura în mod normal parametrii obiectelor în mișcare și a nu ne confunda, avem nevoie sistem de referință - corp de referință interconectat rigid, sistem de coordonate și ceas. De exemplu, pământul se mișcă în jurul soarelui într-un cadru de referință heliocentric. În viața de zi cu zi, efectuăm aproape toate măsurătorile într-un sistem de referință geocentric asociat cu Pământul. Pământul este un corp de referință în raport cu care se deplasează mașini, avioane, oameni, animale.

Mecanica, ca știință, are propria ei sarcină. Sarcina mecanicii este de a cunoaște în orice moment poziția corpului în spațiu. Cu alte cuvinte, mecanica construiește o descriere matematică a mișcării și găsește conexiuni între mărimile fizice care o caracterizează.

Pentru a merge mai departe, avem nevoie de noțiunea de „ punct material ". Ei spun că fizica este o știință exactă, dar fizicienii știu câte aproximări și presupuneri trebuie făcute pentru a fi de acord cu exactitatea aceasta. Nimeni nu a văzut vreodată un punct material sau a adulmecat un gaz ideal, dar ele există! Doar că sunt mult mai ușor de trăit cu ei.

Un punct material este un corp a cărui dimensiune și formă pot fi neglijate în contextul acestei probleme.

Secțiuni de mecanică clasică

Mecanica este formată din mai multe secțiuni

• Cinematică
• Dinamica
• Statică

Cinematică din punct de vedere fizic, studiază exact cum se mișcă corpul. Cu alte cuvinte, această secțiune tratează caracteristicile cantitative ale mișcării. Găsiți viteza, calea - sarcini tipice ale cinematicii

Dinamica rezolvă întrebarea de ce se mișcă așa cum o face. Adică ia în considerare forțele care acționează asupra corpului.

Statică studiază echilibrul corpurilor sub acțiunea forțelor, adică răspunde la întrebarea: de ce nu cade deloc?

Limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice

Mecanica clasică nu mai pretinde a fi o știință care explică totul (la începutul secolului trecut, totul era complet diferit) și are un domeniu clar de aplicabilitate. În general, legile mecanicii clasice sunt valabile pentru lumea cunoscută nouă în ceea ce privește dimensiunea (macroworld). Ele încetează să funcționeze în cazul lumii particulelor, când mecanica clasică este înlocuită cu mecanica cuantică. De asemenea, mecanica clasică este inaplicabilă cazurilor în care mișcarea corpurilor are loc la o viteză apropiată de viteza luminii. În astfel de cazuri, efectele relativiste devin pronunțate. Aproximativ vorbind, în cadrul mecanicii cuantice și relativiste - mecanica clasică, acesta este un caz special când dimensiunile corpului sunt mari și viteza este mică.

În general, efectele cuantice și relativiste nu dispar niciodată; ele au loc și în timpul mișcării obișnuite a corpurilor macroscopice la o viteză mult mai mică decât viteza luminii. Un alt lucru este că acțiunea acestor efecte este atât de mică încât nu depășește cele mai precise măsurători. Mecanica clasică nu își va pierde niciodată importanța fundamentală.

Vom continua să studiem bazele fizice ale mecanicii în articolele viitoare. Pentru o mai bună înțelegere a mecanicii, vă puteți referi oricând la autorii noștri, care aruncă în mod individual lumină asupra punctului întunecat al celei mai dificile sarcini.

Cursul acoperă: cinematica unui punct și a unui corp rigid (și din diferite puncte de vedere se propune să se ia în considerare problema orientării unui corp rigid), probleme clasice de dinamică a sistemelor mecanice și dinamica unui corp rigid, elemente de mecanică cerească, mișcarea sistemelor de compoziție variabilă, teoria impactului, ecuații diferențiale ale dinamicii analitice.

Cursul prezintă toate secțiunile tradiționale de mecanică teoretică, dar o atenție deosebită se acordă celor mai semnificative și valoroase secțiuni de teorie și aplicații ale dinamicii și metodelor mecanicii analitice; statica este studiată ca secțiune de dinamică, iar la secțiunea de cinematică sunt introduse în detaliu conceptele necesare secțiunii de dinamică și aparatul matematic.

Resurse informaționale

Gantmakher F.R. Prelegeri de mecanică analitică. - Ed. a 3-a. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Fundamentele mecanicii teoretice. - Ed. a II-a. - M.: Fizmatlit, 2001; a 3-a ed. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Mecanica teoretică. - Moscova - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2007.

Cerințe

Cursul este conceput pentru studenții care dețin aparatul de geometrie analitică și algebră liniară în cadrul programului de anul I al unei universități tehnice.

Programul cursului

1. Cinematica unui punct
1.1. Probleme de cinematică. Sistemul de coordonate carteziene. Descompunerea unui vector pe bază ortonormală. Coordonatele vectoriale și punctului de rază. Viteza punctuala si acceleratia. Traiectoria mișcării.
1.2. Triunghiular natural. Expansiunea vitezei și a accelerației în axele unui triedru natural (teorema lui Huygens).
1.3. Coordonatele punctului curbiliniu, exemple: sisteme de coordonate polare, cilindrice și sferice. Componentele vitezei și proiecțiile accelerației pe axele unui sistem de coordonate curbilinii.

2. Metode de precizare a orientării unui corp rigid
2.1. Solid. Sisteme de coordonate fixe și legate de corp.
2.2. Matrice de rotație ortogonală și proprietățile lor. Teorema turei finite a lui Euler.
2.3. Puncte de vedere active și pasive asupra transformării ortogonale. Adăugarea turelor.
2.4. Unghiuri finite de rotație: unghiuri Euler și unghiuri „avion”. Exprimarea unei matrice ortogonale în termeni de unghiuri finite de rotație.

3. Mișcarea spațială a unui corp rigid
3.1. Mișcarea de translație și rotație a unui corp rigid. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară.
3.2. Distribuția vitezelor (formula lui Euler) și a accelerațiilor (formula rivalilor) punctelor unui corp rigid.
3.3. Invarianții cinematici. Surub cinematic. Ax cu șurub instant.

4. Mișcare plan-paralelă
4.1. Conceptul de mișcare plan-paralelă a corpului. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară în cazul mișcării plan-paralele. Centru de viteză instantaneu.

5. Mișcarea complexă a unui punct și a unui corp rigid
5.1. Sisteme de coordonate fixe și mobile. Mișcarea absolută, relativă și figurativă a unui punct.
5.2. Teorema adunării vitezelor în cazul unei mișcări complexe a unui punct, viteze relative și figurative ale unui punct. Teorema Coriolis privind adăugarea accelerațiilor pentru o mișcare complexă a unui punct, accelerațiile relative, de translație și Coriolis ale unui punct.
5.3. Viteza unghiulară absolută, relativă și portabilă și accelerația unghiulară a unui corp.

6. Mișcarea unui corp rigid cu un punct fix (prezentare cuaternion)
6.1. Conceptul de numere complexe și hipercomplexe. Algebra cuaterniilor. Produs cuaternion. Conjugat și cuaternion invers, normă și modul.
6.2. Reprezentarea trigonometrică a cuaternionului unitar. Metoda cuaterniilor de specificare a rotației corpului. Teorema turei finite a lui Euler.
6.3. Relația dintre componentele cuaternionului în diferite baze. Adăugarea de ture. Parametrii Rodrigues-Hamilton.

7. Lucrări de examen

8. Concepte de bază ale dinamicii.
8.1 Moment, moment unghiular (moment cinetic), energie cinetică.
8.2 Puterea forțelor, munca forțelor, energia potențială și totală.
8.3 Centrul de masă (centrul de inerție) al sistemului. Momentul de inerție al sistemului față de axă.
8.4 Momente de inerție față de axele paralele; teorema Huygens-Steiner.
8.5 Tensorul și elipsoidul de inerție. Axele principale de inerție. Proprietățile momentelor axiale de inerție.
8.6 Calculul momentului unghiular și al energiei cinetice a corpului folosind tensorul de inerție.

9. Teoreme de bază ale dinamicii în cadre de referință inerțiale și neinerțiale.
9.1 Teoremă privind modificarea impulsului sistemului într-un cadru de referință inerțial. Teorema asupra mișcării centrului de masă.
9.2 Teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului într-un cadru de referință inerțial.
9.3 Teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului într-un cadru de referință inerțial.
9.4 Forțe potențiale, giroscopice și disipative.
9.5 Teoreme de bază ale dinamicii în cadre de referință neinerțiale.

10. Mișcarea unui corp rigid cu punct fix prin inerție.
10.1 Ecuații dinamice lui Euler.
10.2 Cazul Euler, primele integrale ale ecuațiilor dinamice; rotatii permanente.
10.3 Interpretări ale lui Poinsot și Macculag.
10.4 Precesia regulată în cazul simetriei dinamice a corpului.

11. Mișcarea unui corp rigid greu cu punct fix.
11.1 Formularea generală a problemei mișcării unui corp rigid greu în jur.
punct fix. Ecuații dinamice Euler și primele lor integrale.
11.2 Analiza calitativă a mișcării unui corp rigid în cazul lui Lagrange.
11.3 Precesia regulată forțată a unui corp rigid simetric dinamic.
11.4 Formula de bază a giroscopiei.
11.5 Conceptul teoriei elementare a giroscoapelor.

12. Dinamica unui punct din câmpul central.
12.1 Ecuația lui Binet.
12.2 Ecuația orbitei. legile lui Kepler.
12.3 Problema împrăștierii.
12.4 Problema a două corpuri. Ecuații de mișcare. Integrală zonă, integrală energetică, integrală Laplace.

13. Dinamica sistemelor de compoziție variabilă.
13.1 Concepte și teoreme de bază privind modificarea mărimilor dinamice de bază în sisteme de compoziție variabilă.
13.2 Mișcarea unui punct material de masă variabilă.
13.3 Ecuațiile mișcării unui corp de compoziție variabilă.

14. Teoria mișcărilor impulsive.
14.1 Concepte și axiome de bază ale teoriei mișcărilor impulsive.
14.2 Teoreme despre modificarea mărimilor dinamice de bază în timpul mișcării impulsive.
14.3 Mișcarea impulsivă a unui corp rigid.
14.4 Ciocnirea a două corpuri rigide.
14.5 Teoremele lui Carnot.

15. Munca de control

Rezultatele învăţării

Ca urmare a stăpânirii disciplinei, studentul trebuie:

• Știi:
  • concepte și teoreme de bază ale mecanicii și metodele de studiu a mișcării sistemelor mecanice care decurg din acestea;
• A fi capabil să:
  • formula corect probleme din punct de vedere al mecanicii teoretice;
  • să elaboreze modele mecanice și matematice care să reflecte în mod adecvat principalele proprietăți ale fenomenelor luate în considerare;
  • să aplice cunoștințele dobândite pentru a rezolva probleme specifice relevante;
• Deține:
  • abilități de rezolvare a problemelor clasice de mecanică teoretică și matematică;
  • abilitățile de a studia problemele de mecanică și de a construi modele mecanice și matematice care descriu în mod adecvat o varietate de fenomene mecanice;
  • abilități în utilizarea practică a metodelor și principiilor mecanicii teoretice în rezolvarea problemelor: calculul forțelor, determinarea caracteristicilor cinematice ale corpurilor cu diverse metode de punere în mișcare, determinarea legii de mișcare a corpurilor materiale și a sistemelor mecanice sub acțiunea forțelor;
  • abilități de a stăpâni independent informații noi în procesul de producție și activități științifice, folosind tehnologii educaționale și informaționale moderne;

Cinematica punctuală.

1. Subiectul de mecanică teoretică. Abstracții de bază.

Mecanica teoreticăeste o știință în care sunt studiate legile generale ale mișcării mecanice și ale interacțiunii mecanice ale corpurilor materiale.

Mișcare mecanicănumită mișcarea unui corp în raport cu un alt corp, care are loc în spațiu și timp.

Interacțiune mecanică se numește o astfel de interacțiune a corpurilor materiale, care schimbă natura mișcării lor mecanice.

Statică - Aceasta este o ramură a mecanicii teoretice, care studiază metodele de transformare a sistemelor de forțe în sisteme echivalente și stabilește condițiile pentru echilibrul forțelor aplicate unui corp solid.

Cinematică - este ramura mecanicii teoretice care se ocupă de mişcarea corpurilor materiale în spaţiu din punct de vedere geometric, indiferent de forţele care acţionează asupra lor.

Dinamica - Aceasta este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor materiale în spațiu, în funcție de forțele care acționează asupra lor.

Obiecte de studiu în mecanica teoretică:

punct material,

sistem de puncte materiale,

Corp absolut rigid.

Spațiul absolut și timpul absolut sunt independente unul de celălalt. Spațiu absolut - spatiu euclidian tridimensional, omogen, nemiscat. Timp absolut - curge din trecut in viitor continuu, este omogen, acelasi in toate punctele spatiului si nu depinde de miscarea materiei.

2. Subiectul cinematicii.

cinematica - aceasta este o ramură a mecanicii care studiază proprietățile geometrice ale mișcării corpurilor fără a lua în considerare inerția lor (adică masa) și forțele care acționează asupra lor.

Pentru a determina poziția unui corp (sau punct) în mișcare cu corpul în raport cu care se studiază mișcarea acestui corp, în mod rigid, se conectează un sistem de coordonate, care împreună cu corpul formează sistem de referință.

Sarcina principală a cinematicii este de a, cunoscând legea mișcării unui corp (punct) dat, să determine toate mărimile cinematice care caracterizează mișcarea acestuia (viteza și accelerația).

3. Metode de precizare a mișcării unui punct

· mod natural

Ar trebui cunoscut:

Traiectoria mișcării punctului;

Începutul și direcția numărării;

Legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii date în forma (1.1)

· Metoda coordonatelor

Ecuațiile (1.2) sunt ecuațiile de mișcare ale punctului M.

Ecuația pentru traiectoria punctului M poate fi obținută prin eliminarea parametrului timp « t » din ecuațiile (1.2)

· Mod vectorial

(1.3) Relația dintre metodele de coordonate și vectoriale pentru specificarea mișcării unui punct (1.4)

Legătura dintre coordonate și modurile naturale de specificare a mișcării unui punct

Determinați traiectoria punctului, excluzând timpul din ecuațiile (1.2);

-- găsiți legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii (utilizați expresia pentru diferența de arc)

După integrare, obținem legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii date:

Legătura dintre metodele coordonate și vectoriale de specificare a mișcării unui punct este determinată de ecuația (1.4)

4. Determinarea vitezei unui punct cu metoda vectoriala de precizare a miscarii.

Lasă pe momenttpozitia punctului este determinata de vectorul raza , iar in momentul de timpt 1 – rază-vector , apoi pentru o perioadă de timp punctul se va muta.

(1.5) viteza medie punctuala, direcția vectorului este aceeași cu a vectorului

Viteza unui punct la un moment dat

Pentru a obține viteza unui punct la un moment dat de timp, este necesar să faceți o trecere până la limită

(1.6)

(1.7)

Vectorul viteză al unui punct la un moment dat este egală cu prima derivată a vectorului rază în raport cu timpul și este direcționată tangențial la traiectoria într-un punct dat.

(unitate¾ m/s, km/h)

Vector de accelerație medie are aceeași direcție ca vectorulΔ v , adică îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

Vector de accelerație al unui punct la un moment dat este egală cu prima derivată a vectorului viteză sau cu derivata a doua a vectorului raza punctului în raport cu timpul.

(unitate - )

Cum este localizat vectorul în raport cu traiectoria punctului?

În mișcare rectilinie, vectorul este îndreptat de-a lungul liniei drepte de-a lungul căreia se mișcă punctul. Dacă traiectoria punctului este o curbă plată, atunci vectorul accelerație , precum și vectorul cp, se află în planul acestei curbe și este îndreptat către concavitatea acesteia. Dacă traiectoria nu este o curbă plană, atunci vectorul cp va fi îndreptat spre concavitatea traiectoriei și se va afla în planul care trece prin tangenta la traiectorie în punctulM și o dreaptă paralelă cu tangenta într-un punct adiacentM 1 . ÎN limită atunci când punctulM 1 tinde să M acest plan ocupă poziţia aşa-numitului plan contiguu. Prin urmare, în cazul general, vectorul de accelerație se află într-un plan contiguu și este îndreptat către concavitatea curbei.

Teoreme generale ale dinamicii unui sistem de corpuri. Teoreme asupra mișcării centrului de masă, asupra schimbării impulsului, asupra schimbării momentului principal al impulsului, asupra schimbării energiei cinetice. Principiile lui d'Alembert și posibilele deplasări. Ecuația generală a dinamicii. Ecuațiile lui Lagrange.

Conţinut

Munca făcută de forță, este egal cu produsul scalar al vectorilor de forță și deplasarea infinitezimală a punctului de aplicare:
,
adică produsul modulelor vectorilor F și ds și cosinusul unghiului dintre ei.

Munca făcută de momentul forței, este egal cu produsul scalar al vectorilor momentului și unghiului infinitezimal de rotație:
.

principiul d'Alembert

Esența principiului lui d'Alembert este de a reduce problemele de dinamică la problemele de statică. Pentru a face acest lucru, se presupune (sau se știe dinainte) că corpurile sistemului au anumite accelerații (unghiulare). În continuare, se introduc forțele de inerție și (sau) momentele de inerție, care sunt egale ca mărime și reciproce ca direcție cu forțele și momentele forțelor, care, conform legilor mecanicii, ar crea accelerații sau accelerații unghiulare date.

Luați în considerare un exemplu. Corpul face o mișcare de translație și asupra lui acționează forțele externe. În plus, presupunem că aceste forțe creează o accelerare a centrului de masă al sistemului. Conform teoremei privind mișcarea centrului de masă, centrul de masă al unui corp ar avea aceeași accelerație dacă asupra corpului ar acționa o forță. În continuare, introducem forța de inerție:
.
După aceea, sarcina dinamicii este:
.
;
.

Pentru mișcarea de rotație procedați în mod similar. Lăsați corpul să se rotească în jurul axei z și momentele exterioare ale forțelor M e zk să acționeze asupra acestuia. Presupunem că aceste momente creează o accelerație unghiulară ε z . În continuare, introducem momentul forțelor de inerție M И = - J z ε z . După aceea, sarcina dinamicii este:
.
Se transformă într-o sarcină statică:
;
.

Principiul mișcărilor posibile

Principiul deplasărilor posibile este utilizat pentru rezolvarea problemelor de statică. În unele probleme, oferă o soluție mai scurtă decât scrierea ecuațiilor de echilibru. Acest lucru este valabil mai ales pentru sistemele cu conexiuni (de exemplu, sisteme de corpuri conectate prin fire și blocuri), constând din mai multe corpuri

Principiul mișcărilor posibile.
Pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active care acționează asupra acestuia pentru orice posibilă deplasare a sistemului să fie egală cu zero.

Posibilă mutare a sistemului- aceasta este o deplasare mică, la care conexiunile impuse sistemului nu sunt rupte.

Conexiuni perfecte- acestea sunt obligațiuni care nu funcționează atunci când sistemul este mutat. Mai precis, suma muncii efectuate de legăturile în sine la mutarea sistemului este zero.

Ecuația generală a dinamicii (principiul d'Alembert - Lagrange)

Principiul d'Alembert-Lagrange este o combinaţie a principiului d'Alembert cu principiul posibilelor deplasări. Adică, atunci când rezolvăm problema dinamicii, introducem forțele de inerție și reducem problema la problema staticii, pe care o rezolvăm folosind principiul posibilelor deplasări.

principiul d'Alembert-Lagrange.
Când un sistem mecanic se mișcă cu constrângeri ideale în fiecare moment de timp, suma lucrărilor elementare a tuturor forțelor active aplicate și a tuturor forțelor de inerție pe orice deplasare posibilă a sistemului este egală cu zero:
.
Această ecuație se numește ecuația generală a dinamicii.

Ecuații Lagrange

Coordonatele generalizate q 1 , q 2 , ..., q n este un set de n valori care determină în mod unic poziția sistemului.

Numărul de coordonate generalizate n coincide cu numărul de grade de libertate ale sistemului.

Viteze generalizate sunt derivatele coordonatelor generalizate în raport cu timpul t.

Forțele generalizate Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Considerăm o posibilă deplasare a sistemului, în care coordonata q k va primi o deplasare δq k . Restul coordonatelor rămân neschimbate. Fie δA k munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de deplasări. Apoi
δA k = Q k δq k sau
.

Dacă, cu o posibilă deplasare a sistemului, toate coordonatele se schimbă, atunci munca efectuată de forțele externe în timpul unei astfel de deplasări are forma:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Atunci forțele generalizate sunt derivate parțiale ale lucrării de deplasare:
.

Pentru forțele potențiale cu potențial Π,
.

Ecuații Lagrange sunt ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic în coordonate generalizate:

Aici T este energia cinetică. Este o funcție de coordonate generalizate, viteze și, eventual, timp. Prin urmare, derivata sa parțială este, de asemenea, o funcție de coordonate generalizate, viteze și timp. În continuare, trebuie să țineți cont de faptul că coordonatele și vitezele sunt funcții ale timpului. Prin urmare, pentru a găsi derivata timpului total, trebuie să aplicați regula de diferențiere a unei funcții complexe:
.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt de mecanică teoretică, Școala Superioară, 2010.

Statica este o ramură a mecanicii teoretice care studiază condițiile de echilibru pentru corpurile materiale sub acțiunea forțelor, precum și metodele de transformare a forțelor în sisteme echivalente.

În starea de echilibru, în statică, se înțelege starea în care toate părțile sistemului mecanic sunt în repaus în raport cu un sistem de coordonate inerțial. Unul dintre obiectele de bază ale staticii sunt forțele și punctele de aplicare a acestora.

Forța care acționează asupra unui punct material cu un vector de rază din alte puncte este o măsură a influenței altor puncte asupra punctului în cauză, ca urmare a căreia primește accelerație față de cadrul de referință inerțial. Valoare putere este determinată de formula:
,
unde m este masa punctului - o valoare care depinde de proprietățile punctului însuși. Această formulă se numește a doua lege a lui Newton.

Aplicarea staticii în dinamică

O caracteristică importantă a ecuațiilor de mișcare a unui corp absolut rigid este că forțele pot fi convertite în sisteme echivalente. Cu o astfel de transformare, ecuațiile mișcării își păstrează forma, dar sistemul de forțe care acționează asupra corpului poate fi transformat într-un sistem mai simplu. Astfel, punctul de aplicare a forței poate fi deplasat de-a lungul liniei de acțiune a acesteia; forțele pot fi extinse conform regulii paralelogramului; forțele aplicate într-un punct pot fi înlocuite cu suma lor geometrică.

Un exemplu de astfel de transformări este gravitația. Acționează în toate punctele unui corp rigid. Dar legea de mișcare a corpului nu se va schimba dacă forța gravitațională distribuită peste toate punctele este înlocuită cu un singur vector aplicat la centrul de masă al corpului.

Rezultă că dacă la sistemul principal de forțe care acționează asupra corpului adăugăm un sistem echivalent, în care direcțiile forțelor sunt inversate, atunci corpul, sub acțiunea acestor sisteme, va fi în echilibru. Astfel, sarcina de a determina sisteme echivalente de forțe se reduce la problema echilibrului, adică la problema staticii.

Sarcina principală a staticii este stabilirea legilor pentru transformarea unui sistem de forţe în sisteme echivalente. Astfel, metodele staticii sunt folosite nu numai în studiul corpurilor aflate în echilibru, ci și în dinamica unui corp rigid, în transformarea forțelor în sisteme echivalente mai simple.

Statica punctului material

Luați în considerare un punct material care este în echilibru. Și să acționeze n forțe asupra ei, k = 1, 2, ..., n.

Dacă punctul material este în echilibru, atunci suma vectorială a forțelor care acționează asupra acestuia este egală cu zero:
(1) .

În echilibru, suma geometrică a forțelor care acționează asupra unui punct este zero.

Interpretare geometrică. Dacă începutul celui de-al doilea vector este plasat la sfârșitul primului vector, iar începutul celui de-al treilea este plasat la sfârșitul celui de-al doilea vector și apoi acest proces este continuat, atunci sfârșitul ultimului, al n-lea vector va fi combinat cu începutul primului vector. Adică, obținem o figură geometrică închisă, ale cărei lungimi ale laturilor sunt egale cu modulele vectorilor. Dacă toți vectorii se află în același plan, atunci obținem un poligon închis.

Este adesea convenabil să alegeți sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz. Atunci sumele proiecțiilor tuturor vectorilor de forță pe axele de coordonate sunt egale cu zero:

Dacă alegeți orice direcție definită de un vector, atunci suma proiecțiilor vectorilor de forță pe această direcție este egală cu zero:
.
Înmulțim scalar ecuația (1) cu vectorul:
.
Iată produsul scalar al vectorilor și .
Rețineți că proiecția unui vector pe direcția vectorului este determinată de formula:
.

Statica corpului rigid

Moment de forță în jurul unui punct

Determinarea momentului de forță

Moment de forță, aplicat corpului în punctul A, relativ la centrul fix O, se numește vector egal cu produsul vectorial al vectorilor și:
(2) .

Interpretare geometrică

Momentul forței este egal cu produsul dintre forța F și brațul OH.

Fie vectorii și să fie localizați în planul figurii. Conform proprietății produsului încrucișat, vectorul este perpendicular pe vectori și , adică perpendicular pe planul figurii. Direcția sa este determinată de regula corectă a șurubului. În figură, vectorul moment este îndreptat către noi. Valoarea absolută a momentului:
.
De atunci
(3) .

Folosind geometria, se poate da o altă interpretare a momentului de forță. Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă AH prin vectorul forță . Din centrul O coborâm perpendiculara OH pe această dreaptă. Lungimea acestei perpendiculare se numește umărul puterii. Apoi
(4) .
Deoarece , formulele (3) și (4) sunt echivalente.

Prin urmare, valoarea absolută a momentului de forță relativ la centrul O este produs al forței asupra umărului această forţă relativă la centrul ales O .

Când se calculează momentul, este adesea convenabil să se descompună forța în două componente:
,
Unde . Forța trece prin punctul O. Prin urmare, impulsul său este zero. Apoi
.
Valoarea absolută a momentului:
.

Componentele momentului în coordonate dreptunghiulare

Dacă alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz centrat în punctul O, atunci momentul forței va avea următoarele componente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Iată coordonatele punctului A din sistemul de coordonate selectat:
.
Componentele sunt valorile momentului de forță în jurul axelor, respectiv.

Proprietățile momentului de forță despre centru

Momentul în jurul centrului O, din forța care trece prin acest centru, este egal cu zero.

Dacă punctul de aplicare al forței este deplasat de-a lungul unei linii care trece prin vectorul forță, atunci momentul, în timpul unei astfel de mișcări, nu se va schimba.

Momentul din suma vectorială a forțelor aplicate unui punct al corpului este egal cu suma vectorială a momentelor din fiecare dintre forțele aplicate în același punct:
.

Același lucru se aplică forțelor ale căror linii de prelungire se intersectează într-un punct.

Dacă suma vectorială a forțelor este zero:
,
atunci suma momentelor din aceste forțe nu depinde de poziția centrului, raportat la care se calculează momentele:
.

Cuplu de putere

Cuplu de putere- sunt două forțe egale în valoare absolută și având direcții opuse, aplicate în puncte diferite ale corpului.

O pereche de forțe se caracterizează prin momentul în care se creează. Deoarece suma vectorială a forțelor incluse în pereche este zero, momentul creat de cuplu nu depinde de punctul relativ la care se calculează momentul. Din punctul de vedere al echilibrului static, natura forțelor din pereche este irelevantă. O pereche de forțe este folosită pentru a indica faptul că un moment de forțe acționează asupra corpului, având o anumită valoare.

Moment de forță în jurul unei axe date

Adesea există cazuri când nu trebuie să cunoaștem toate componentele momentului de forță despre un punct selectat, ci trebuie doar să cunoaștem momentul de forță despre o axă selectată.

Momentul de forță în jurul axei care trece prin punctul O este proiecția vectorului momentului de forță, în jurul punctului O, pe direcția axei.

Proprietățile momentului de forță față de o axă

Momentul în jurul axei de la forța care trece prin această axă este egal cu zero.

Momentul în jurul unei axe dintr-o forță paralelă cu această axă este zero.

Calculul momentului de forță în jurul unei axe

Fie ca o forță să acționeze asupra corpului în punctul A. Să găsim momentul acestei forțe în raport cu axa O′O′′.

Să construim un sistem de coordonate dreptunghiular. Lasă axa Oz să coincidă cu O′O′′ . Din punctul A aruncăm perpendiculara OH pe O′O′′ . Prin punctele O și A trasăm axa Ox. Desenăm axa Oy perpendiculară pe Ox și Oz. Descompunem forța în componente de-a lungul axelor sistemului de coordonate:
.
Forța traversează axa O′O′′. Prin urmare, impulsul său este zero. Forța este paralelă cu axa O′O′′. Prin urmare, momentul său este și zero. Prin formula (5.3) găsim:
.

Rețineți că componenta este îndreptată tangențial la cercul al cărui centru este punctul O . Direcția vectorului este determinată de regula șurubului drept.

Condiții de echilibru pentru un corp rigid

În echilibru, suma vectorială a tuturor forțelor care acționează asupra corpului este egală cu zero, iar suma vectorială a momentelor acestor forțe relativ la un centru fix arbitrar este egală cu zero:
(6.1) ;
(6.2) .

Subliniem că centrul O , raportat la care se calculează momentele forțelor, poate fi ales arbitrar. Punctul O poate aparține corpului sau poate fi în afara acestuia. De obicei, centrul O este ales pentru a ușura calculele.

Condițiile de echilibru pot fi formulate în alt mod.

În echilibru, suma proiecțiilor forțelor pe orice direcție dată de un vector arbitrar este egală cu zero:
.
Suma momentelor forțelor în jurul unei axe arbitrare O′O′′ este, de asemenea, egală cu zero:
.

Uneori, aceste condiții sunt mai convenabile. Sunt momente când, prin alegerea axelor, calculele pot fi simplificate.

Centrul de greutate al corpului

Luați în considerare una dintre cele mai importante forțe - gravitația. Aici, forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe volumul acestuia. Pentru fiecare parte a corpului cu un volum infinitezimal ∆V, acționează forța gravitațională. Aici ρ este densitatea substanței corpului, este accelerația căderii libere.

Fie masa unei părți infinit de mică a corpului. Și fie punctul A k definește poziția acestei secțiuni. Să găsim mărimile legate de forța gravitațională, care sunt incluse în ecuațiile de echilibru (6).

Să aflăm suma forțelor gravitaționale formate de toate părțile corpului:
,
unde este masa corpului. Astfel, suma forțelor gravitaționale ale părților infinitezimale individuale ale corpului poate fi înlocuită cu un vector gravitațional al întregului corp:
.

Să aflăm suma momentelor forțelor gravitaționale, raportate la centrul ales O într-un mod arbitrar:

.
Aici am introdus punctul C care se numește centrul de greutate corp. Poziția centrului de greutate, într-un sistem de coordonate centrat în punctul O, este determinată de formula:
(7) .

Deci, atunci când se determină echilibrul static, suma forțelor gravitaționale ale secțiunilor individuale ale corpului poate fi înlocuită cu rezultanta
,
aplicat pe centrul de masă al corpului C , a cărui poziţie este determinată de formula (7).

Poziția centrului de greutate pentru diferite forme geometrice poate fi găsită în cărțile de referință relevante. Dacă corpul are o axă sau un plan de simetrie, atunci centrul de greutate este situat pe această axă sau plan. Deci, centrele de greutate ale unei sfere, cerc sau cerc sunt situate în centrele cercurilor acestor figuri. Centrele de greutate ale unui paralelipiped dreptunghic, dreptunghi sau pătrat sunt, de asemenea, situate în centrele lor - în punctele de intersecție ale diagonalelor.

Sarcina distribuită uniform (A) și liniar (B).

Există și cazuri similare cu forța gravitațională, când forțele nu sunt aplicate în anumite puncte ale corpului, ci sunt distribuite continuu pe suprafața sau volumul acestuia. Astfel de forțe sunt numite forțe distribuite sau .

(Figura A). De asemenea, ca și în cazul gravitației, aceasta poate fi înlocuită cu forța rezultantă a mărimii , aplicată la centrul de greutate al diagramei. Deoarece diagrama din figura A este un dreptunghi, centrul de greutate al diagramei este în centrul său - punctul C: | AC | = | CB |.

(poza B). Poate fi înlocuit și cu rezultatul. Valoarea rezultantei este egală cu aria diagramei:
.
Punctul de aplicare este în centrul de greutate al parcelei. Centrul de greutate al unui triunghi, înălțimea h, se află la o distanță de bază. De aceea .

Forțele de frecare

Frecare de alunecare. Lăsați corpul să fie pe o suprafață plană. Și să fie o forță perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului (forța de presiune). Apoi forța de frecare de alunecare este paralelă cu suprafața și direcționată în lateral, împiedicând mișcarea corpului. Valoarea sa cea mai mare este:
,
unde f este coeficientul de frecare. Coeficientul de frecare este o mărime adimensională.

frecare de rulare. Lăsați corpul rotunjit să se rostogolească sau se poate rostogoli pe suprafață. Și să fie forța de presiune perpendiculară pe suprafața cu care suprafața acționează asupra corpului. Apoi asupra corpului, in punctul de contact cu suprafata, actioneaza momentul fortelor de frecare, care impiedica miscarea corpului. Cea mai mare valoare a momentului de frecare este:
,
unde δ este coeficientul de frecare la rulare. Are dimensiunea lungimii.

Referinte:
S. M. Targ, Curs scurt de mecanică teoretică, Școala Superioară, 2010.