Cum să găsești cel mai mic multiplu comun al două numere. Găsirea celui mai mic multiplu comun: metode, exemple de găsire a LCM Găsirea prin găsirea succesivă a LCM

Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare număr din grup. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. De asemenea, LCM poate fi calculat folosind o serie de alte metode care sunt aplicabile la grupuri de două sau mai multe numere.

Pași

O serie de multipli

Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mici de 10. Dacă sunt date numere mari, utilizați o metodă diferită.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că această metodă poate fi folosită.

1. Un multiplu al unui număr este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Numerele multiple pot fi găsite în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două rânduri de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi numărul total. Cel mai mic număr care apare în ambele serii de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr care apare în seria multiplilor lui 5 și 8 este 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

   factorizare primara

   1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere care sunt ambele mai mari decât 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că această metodă poate fi folosită.

   2. Factorizați primul număr. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime, atunci când sunt înmulțite, obțineți un număr dat. După ce ați găsit factorii primi, scrieți-i ca egalitate.

      Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor obține acest număr.

      Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce notați fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu descompunerea numerelor în factori primi).

      Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

   Găsirea divizorilor comuni

   Desenați o grilă așa cum ați face pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru va avea ca rezultat trei rânduri și trei coloane (grila seamănă mult cu semnul #). Scrieți primul număr în primul rând și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

   • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30. Scrieți 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți 30 în primul rând și a treia coloană.

   1. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți divizori primi, dar aceasta nu este o condiție prealabilă.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci divizorul lor comun este 2. Așa că scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

   2. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Scrieți fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere.

      Găsiți un divizor comun ambilor coeficienti. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, notați divizorul în al doilea rând și prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

   3. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

      Dacă este necesar, completați grila cu celule suplimentare. Repetați pașii de mai sus până când coeficientii au un divizor comun.

      Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele evidențiate ca operație de înmulțire.

   algoritmul lui Euclid

   Amintiți-vă terminologia asociată cu operațiunea de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Coeficientul este rezultatul împărțirii a două numere. Restul este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

   Scrieți o expresie care descrie operația de împărțire cu rest. Expresie: dividend = divizor × cot + rest (\displaystyle (\text(dividend))=(\text(divisor))\times (\text(quotient))+(\text(remainder))). Această expresie va fi folosită pentru a scrie algoritmul Euclid și pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere.

   Tratează cel mai mare dintre cele două numere drept dividend. Luați în considerare cel mai mic dintre cele două numere ca divizor. Pentru aceste numere, notați o expresie care descrie operația de împărțire cu un rest.

   Transformă primul divizor într-un nou dividend. Utilizați restul ca nou divizor. Pentru aceste numere, notați o expresie care descrie operația de împărțire cu un rest.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă între LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere după formula scrisă.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Ce este LCM(68, 34)?

Soluţie.

pentru că 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, mcd(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descrisă în secțiunea despre găsirea mcd folosind descompunerea numerelor în factori primi). ).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplu.

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . În acest fel, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Răspuns:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din extinderea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4 536 .

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, ak, cel mai mic multiplu comun mk dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , mk =LCM(mk−1 , ak) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a celor patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie.

Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . În plus față de factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Pentru a înțelege cum să calculați LCM, ar trebui mai întâi să determinați sensul termenului „multiplu”.

Un multiplu al lui A este un număr natural care este divizibil cu A fără rest. Astfel, 15, 20, 25 și așa mai departe pot fi considerați multipli ai lui 5.

Poate exista un număr limitat de divizori ai unui anumit număr, dar există un număr infinit de multipli.

Un multiplu comun al numerelor naturale este un număr care este divizibil cu ele fără rest.

Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor

Cel mai mic multiplu comun (MCM) de numere (două, trei sau mai multe) este cel mai mic număr natural care este divizibil egal cu toate aceste numere.

Pentru a găsi NOC, puteți utiliza mai multe metode.

Pentru numerele mici, este convenabil să scrieți într-o linie toți multiplii acestor numere până când se găsește unul comun printre ei. Multiplii sunt notați în înregistrare cu litera K majusculă.

De exemplu, multiplii lui 4 se pot scrie astfel:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Deci, puteți vedea că cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 și 6 este numărul 24. Această intrare se efectuează după cum urmează:

LCM(4, 6) = 24

Dacă numerele sunt mari, găsiți multiplu comun a trei sau mai multe numere, atunci este mai bine să utilizați o altă modalitate de a calcula LCM.

Pentru a finaliza sarcina, este necesar să descompuneți numerele propuse în factori primi.

Mai întâi trebuie să scrieți extinderea celui mai mare dintre numere dintr-o linie, iar sub ea - restul.

În extinderea fiecărui număr, poate exista un număr diferit de factori.

De exemplu, să factorăm numerele 50 și 20 în factori primi.

În descompunerea numărului mai mic, trebuie subliniați factorii care lipsesc în descompunerea primului număr cel mai mare și apoi adăugați-i la acesta. În exemplul prezentat, un deuce lipsește.

Acum putem calcula cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Astfel, produsul dintre factorii primi ai numărului mai mare și factorii numărului al doilea, care nu sunt incluși în descompunerea numărului mai mare, va fi cel mai mic multiplu comun.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, toate acestea ar trebui descompuse în factori primi, ca în cazul precedent.

De exemplu, puteți găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Deci, doar doi doi din descompunerea lui șaisprezece (unul este în descompunerea lui douăzeci și patru) nu au intrat în factorizarea unui număr mai mare.

Astfel, ele trebuie adăugate la descompunerea unui număr mai mare.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Există cazuri speciale de determinare a celui mai mic multiplu comun. Deci, dacă unul dintre numere poate fi împărțit fără rest la altul, atunci cel mai mare dintre aceste numere va fi cel mai mic multiplu comun.

De exemplu, NOC de doisprezece și douăzeci și patru ar fi douăzeci și patru.

Dacă este necesar să se găsească cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime care nu au aceiași divizori, atunci LCM-ul lor va fi egal cu produsul lor.

De exemplu, LCM(10, 11) = 110.

Luați în considerare trei moduri de a găsi cel mai mic multiplu comun.

Găsirea prin factorizare

Prima modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor date în factori primi.

Să presupunem că trebuie să găsim LCM a numerelor: 99, 30 și 28. Pentru a face acest lucru, descompunem fiecare dintre aceste numere în factori primi:

Pentru ca numărul dorit să fie divizibil cu 99, 30 și 28, este necesar și suficient ca acesta să cuprindă toți factorii primi ai acestor divizori. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm toți factorii primi ai acestor numere la cea mai mare putere care apare și să-i înmulțim împreună:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Deci LCM (99, 30, 28) = 13 860. Niciun alt număr mai mic de 13 860 nu este divizibil egal cu 99, 30 sau 28.

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor date, trebuie să le descompuneți în factori primi, apoi să luați fiecare factor prim cu cel mai mare exponent cu care apare și să înmulțiți acești factori împreună.

Deoarece numerele coprime nu au factori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, trei numere: 20, 49 și 33 sunt coprime. De aceea

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Același lucru ar trebui făcut atunci când se caută cel mai mic multiplu comun al diferitelor numere prime. De exemplu, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Găsirea prin selecție

A doua modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin potrivire.

Exemplul 1. Când cel mai mare dintre numerele date este divizibil egal cu alte numere date, atunci LCM-ul acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, având în vedere patru numere: 60, 30, 10 și 6. Fiecare dintre ele este divizibil cu 60, prin urmare:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

În alte cazuri, pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, se utilizează următoarea procedură:

1. Determinați cel mai mare număr din numerele date.
2. Apoi, găsiți numere care sunt multiple cel mai mare număr, înmulțindu-l cu numere naturale în ordine crescătoare și verificând dacă numerele date rămase sunt divizibile cu produsul rezultat.

Exemplul 2. Având în vedere trei numere 24, 3 și 18. Determinați cel mai mare dintre ele - acesta este numărul 24. Apoi, găsiți numerele care sunt multipli ai lui 24, verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18 și cu 3:

24 1 = 24 este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 18.

24 2 = 48 - divizibil cu 3 dar nu divizibil cu 18.

24 3 \u003d 72 - divizibil cu 3 și 18.

Deci LCM(24, 3, 18) = 72.

Găsire prin căutare secvențială LCM

A treia modalitate este de a găsi cel mai mic multiplu comun prin găsirea succesivă a LCM.

LCM a două numere date este egal cu produsul acestor numere împărțit la cel mai mare divizor comun al lor.

Exemplul 1. Aflați LCM a două numere date: 12 și 8. Determinați cel mai mare divizor comun al acestora: MCD (12, 8) = 4. Înmulțiți aceste numere:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8) = 24.

Pentru a găsi LCM a trei sau mai multe numere, se utilizează următoarea procedură:

1. În primul rând, se găsește LCM a oricăror două dintre numerele date.
2. Apoi, LCM al celui mai mic multiplu comun găsit și al treilea număr dat.
3. Apoi, LCM-ul cel mai mic multiplu comun rezultat și al patrulea număr și așa mai departe.
4. Astfel, căutarea LCM continuă atâta timp cât există numere.

Exemplul 2. Să găsim LCM a trei numere date: 12, 8 și 9. Am găsit deja LCM al numerelor 12 și 8 în exemplul anterior (acesta este numărul 24). Rămâne să găsim cel mai mic multiplu comun al lui 24 și al treilea număr dat - 9. Determinați cel mai mare divizor comun al lor: mcd (24, 9) = 3. Înmulțiți LCM cu numărul 9:

Împărțim produsul în GCD-ul lor:

Deci LCM(12, 8, 9) = 72.