Cum să găsiți aria unui paralelogram? Cum să găsiți aria unui paralelogram, triunghi, trapez Aria unui paralelogram dacă diagonala este cunoscută
Paralelogram - o figură geometrică, des întâlnită în sarcinile cursului de geometrie (secțiunea planimetrie). Caracteristicile cheie ale acestui patrulater sunt egalitatea unghiurilor opuse și prezența a două perechi de laturi opuse paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt un romb, un dreptunghi, un pătrat.
Calculul ariei acestui tip de poligon se poate face în mai multe moduri. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.
Aflați aria unui paralelogram dacă se cunosc latura și înălțimea
Pentru a calcula aria unui paralelogram, puteți utiliza valorile laturii sale, precum și lungimea înălțimii coborâte pe acesta. În acest caz, datele obținute vor fi de încredere atât pentru cazul unei laturi cunoscute - baza figurii, cât și dacă aveți latura figurii la dispoziție. În acest caz, valoarea dorită va fi obținută prin formula:
S = a * h(a) = b * h(b),
- S este aria de determinat,
- a, b - partea cunoscută (sau calculată),
- h este înălțimea coborâtă pe ea.
Exemplu: valoarea bazei unui paralelogram este de 7 cm, lungimea perpendicularei coborâte pe acesta de la vârful opus este de 3 cm.
Rezolvare: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Aflați aria unui paralelogram dacă sunt cunoscute 2 laturi și unghiul dintre ele
Luați în considerare cazul când cunoașteți mărimea celor două laturi ale figurii, precum și măsura gradului de unghi pe care îl formează una cu cealaltă. Datele furnizate pot fi folosite și pentru a găsi aria paralelogramului. În acest caz, expresia formulei va arăta astfel:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a - partea,
- c este o bază cunoscută (sau calculată),
- α, β sunt unghiurile dintre laturile a și c.
Exemplu: baza unui paralelogram este de 10 cm, latura lui este cu 4 cm mai mică. Unghiul obtuz al figurii este de 135°.
Soluție: determinați valoarea celei de-a doua laturi: 10 - 4 \u003d 6 cm.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Aflați aria unui paralelogram dacă diagonalele și unghiul dintre ele sunt cunoscute
Prezența valorilor cunoscute ale diagonalelor unui poligon dat, precum și unghiul pe care acestea îl formează ca urmare a intersecției lor, fac posibilă determinarea ariei figurii.
S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,
S este aria de determinat,
d1, d2 sunt diagonale cunoscute (sau calculate),
γ, φ sunt unghiurile dintre diagonalele d1 și d2.
Zona paralelogramului
Teorema 1
Aria unui paralelogram este definită ca produsul dintre lungimea laturii sale cu înălțimea trasă pe acesta.
unde $a$ este latura paralelogramului, $h$ este înălțimea desenată pe această latură.
Dovada.
Să ni se dea un paralelogram $ABCD$ cu $AD=BC=a$. Să desenăm înălțimile $DF$ și $AE$ (Fig. 1).
Poza 1.
Este evident că cifra $FDAE$ este un dreptunghi.
\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\unghi A=\unghi BAE\]
Prin urmare, deoarece $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triunghi BAE=\triunghi CDF$, prin $I$ testul de egalitate triunghi. Apoi
Deci, conform teoremei ariei dreptunghiului:
Teorema a fost demonstrată.
Teorema 2
Aria unui paralelogram este definită ca produsul dintre lungimea laturilor sale adiacente cu sinusul unghiului dintre acele laturi.
Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează
unde $a,\ b$ sunt laturile paralelogramului, $\alpha $ este unghiul dintre ele.
Dovada.
Să ni se dea un paralelogram $ABCD$ cu $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Desenați înălțimea $DF=h$ (Fig. 2).
Figura 2.
Prin definiția sinusului, obținem
Prin urmare
Prin urmare, prin teorema $1$:
Teorema a fost demonstrată.
Aria unui triunghi
Teorema 3
Aria unui triunghi este definită ca jumătate din produsul dintre lungimea laturii sale și înălțimea trasă pe acesta.
Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează
unde $a$ este latura triunghiului, $h$ este înălțimea trasă pe această latură.
Dovada.
Figura 3
Deci, după teorema $1$:
Teorema a fost demonstrată.
Teorema 4
Aria unui triunghi este definită ca jumătate din produsul lungimii laturilor sale adiacente cu sinusul unghiului dintre acele laturi.
Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează
unde $a,\ b$ sunt laturile triunghiului, $\alpha $ este unghiul dintre ele.
Dovada.
Să ni se dă un triunghi $ABC$ cu $AB=a$. Desenați înălțimea $CH=h$. Să-l construim până la paralelogramul $ABCD$ (Fig. 3).
Evident, $\triunghi ACB=\triunghi CDB$ cu $I$. Apoi
Deci, după teorema $1$:
Teorema a fost demonstrată.
Zona trapezului
Teorema 5
Aria unui trapez este definită ca jumătate din produsul sumei lungimilor bazelor sale cu înălțimea sa.
Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează
Dovada.
Să ni se dă un trapez $ABCK$, unde $AK=a,\BC=b$. Să desenăm în ea înălțimile $BM=h$ și $KP=h$, precum și diagonala $BK$ (Fig. 4).
Figura 4
Prin teorema $3$, obținem
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu de sarcină
Exemplul 1
Aflați aria unui triunghi echilateral dacă lungimea laturii sale este $a.$
Soluţie.
Deoarece triunghiul este echilateral, toate unghiurile sale sunt egale cu $(60)^0$.
Apoi, după teorema $4$, avem
Răspuns:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.
Rețineți că rezultatul acestei probleme poate fi folosit pentru a găsi aria oricărui triunghi echilateral cu o latură dată.
La rezolvarea problemelor pe această temă, pe lângă proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:
- Bisectoarea unghiului interior al unui paralelogram decupează de acesta un triunghi isoscel
- Bisectoarele unghiurilor interne adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
- Bisectoare care provin din unghiuri interne opuse ale unui paralelogram, paralele între ele sau situate pe o singură linie dreaptă
- Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
- Aria unui paralelogram este jumătate din produsul diagonalelor cu sinusul unghiului dintre ele.
Să luăm în considerare sarcinile în soluția cărora sunt utilizate aceste proprietăți.
Sarcina 1.
Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Soluţie.
1. Triunghi CMD isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.
2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetrul ABCD = 20 cm.
Răspuns. 20 cm
Sarcina 2.
Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că patrulaterul dat este un paralelogram.
Soluţie.
1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, în funcție de starea problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.
2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte a dreptei AD. BE = CF. Prin urmare, linia BC || ANUNȚ. (*)
3. Fie AL altitudinea triunghiului ACD, BK altitudinea triunghiului BCD. Deoarece, în funcție de starea problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.
4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte a liniei drepte CD. AL = BK. Prin urmare, linia AB || CD (**)
5. Condițiile (*), (**) implică faptul că ABCD este un paralelogram.
Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.
Sarcina 3.
Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M și respectiv H astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,
Soluţie.
1. În triunghiul DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Într-un triunghi dreptunghic DHC Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Sarcina 4. Una dintre diagonalele unui paralelogram de lungime 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală. Soluţie.
1. AO = 2√6. 2. Aplicați teorema sinusului triunghiului AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Raspuns: 12.
Sarcina 5. Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor. Soluţie.
Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului să fie φ. 1. Să numărăm două diferite S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Să facem un sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Înmulțiți a doua ecuație a sistemului cu 2 și adăugați-o la prima. Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24. Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24. Raspuns: 24.
Sarcina 6. Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 o. Aflați aria paralelogramului. Soluţie.
1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD. Luam in calcul asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Avem un sistem Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Notă:În această problemă și în cea anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria. Raspuns: 10. Sarcina 7. Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici. Soluţie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Să facem o înlocuire în formulă. Obținem 96 = 8 15 sin VAD. Prin urmare sin VAD = 4/5. 2. Gaseste ca RĂU. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 RĂU = 1. cos 2 RĂU = 9/25. În funcție de starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este acut. Atunci cos RĂU = 3 / 5. 3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos RĂU. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Raspuns: 145.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie? site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă. Ce este un paralelogram? Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi. 1. Aria unui paralelogram se calculează cu formula: \[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\] Unde: 2. Dacă sunt cunoscute lungimile a două laturi adiacente ale paralelogramului și unghiul dintre ele, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula: \[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \] 3. Dacă sunt date diagonalele paralelogramului și unghiul dintre ele este cunoscut, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula: \[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \] Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale: \(AB = CD \) , \(BC = AD \) Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) Diagonalele paralelogramului în punctul de intersecție sunt bisectate \(AO = OC \) , \(BO = OD \) Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale. Suma unghiurilor unui paralelogram adiacent unei laturi este 180 o: \(\unghi A + \unghi B = 180^(o) \), \(\unghi B + \unghi C = 180^(o)\) \(\unghi C + \unghi D = 180^(o) \), \(\unghi D + \unghi A = 180^(o)\) Diagonalele și laturile unui paralelogram sunt legate prin următoarea relație: \(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \) Într-un paralelogram, unghiul dintre înălțimi este egal cu unghiul său ascuțit: \(\angle K B H =\angle A \) . Bisectoarele unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului sunt reciproc perpendiculare. Bisectoarele a două unghiuri opuse ale unui paralelogram sunt paralele. Un patrulater este un paralelogram dacă: \(AB = CD \) și \(AB || CD \) \(AB = CD \) și \(BC = AD \) \(AO = OC \) și \(BO = OD \) \(\angle A = \angle C \) și \(\angle B = \angle D \) Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea lui. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului. Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram. Aria unui paralelogram este notată cu (S). S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază. S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b. S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram. Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume: Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea este de 3 cm. Cum să găsiți aria paralelogramului, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare. Deci S= 7x3. S=21. Răspuns: 21 cm 2. Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva: Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2. Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția
(
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic, catetul care se află opus unui unghi de 30 o este egal cu jumătate din ipotenuză).
căile din zona sa.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
a este latura paralelogramului,
h a este înălțimea trasă în această parte.Proprietățile paralelogramului
Caracteristicile paralelogramului
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!
Formule pentru a afla aria unui paralelogram
