Acasă » N. V. Zagladin » Cum să găsiți aria unui paralelogram, triunghi, trapez. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Aria unui paralelogram dacă laturile sunt cunoscute

Cum să găsiți aria unui paralelogram, triunghi, trapez. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Aria unui paralelogram dacă laturile sunt cunoscute

Definiția paralelogramului

Paralelogram este un patrulater în care laturile opuse sunt egale și paralele.

Calculator online

Un paralelogram are câteva proprietăți utile care facilitează rezolvarea problemelor legate de această figură. De exemplu, o proprietate este aceea că unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.

Luați în considerare mai multe metode și formule, urmate de rezolvarea unor exemple simple.

Formula pentru aria unui paralelogram după bază și înălțime

Această metodă de găsire a zonei este probabil una dintre cele mai de bază și simple, deoarece este aproape identică cu formula pentru găsirea ariei unui triunghi, cu câteva excepții. Să începem cu un caz generalizat fără a folosi numere.

Fie un paralelogram arbitrar cu bază a a A, latură bb b si inaltime h h h atras de baza noastră. Atunci formula pentru aria acestui paralelogram este:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a A- baza;
h h h- înălțime.

Să aruncăm o privire la o problemă ușoară pentru a exersa rezolvarea problemelor tipice.

Exemplu

Aflați aria unui paralelogram în care se cunosc baza egală cu 10 (cm) și înălțimea egală cu 5 (cm).

Soluţie

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Înlocuiți în formula noastră. Primim:
S=10 ⋅ 5=50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (vezi mp)

Răspuns: 50 (vezi pătratul)

Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele

În acest caz, valoarea dorită se găsește după cum urmează:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅păcat(α)

A, b a, b a, b- laturile unui paralelogram;
α\alfa α - unghiul dintre laturi a a AȘi bb b.

Acum să rezolvăm un alt exemplu și să folosim formula de mai sus.

Exemplu

Aflați aria unui paralelogram dacă latura este cunoscută a a A, care este baza și cu o lungime de 20 (vezi) și un perimetru pp p, numeric egal cu 100 (vezi), unghiul dintre laturile adiacente ( a a AȘi bb b) este egal cu 30 de grade.

Soluţie

A=20 a=20 a =2 0
p=100 p=100 p=1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Pentru a găsi răspunsul, nu cunoaștem doar a doua latură a acestui patrulater. Să o găsim. Perimetrul unui paralelogram este dat de:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p=un +un +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100=40+2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2b
60=2b 60=2b 6 0 = 2b
b=30 b=30 b=3 0

Cea mai grea parte s-a terminat, rămâne doar să înlocuim valorile noastre cu laturile și unghiul dintre ele:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ păcatul (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (vezi mp)

Răspuns: 300 (vezi mp)

Formula pentru aria unui paralelogram având în vedere diagonalele și unghiul dintre ele

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D ⋅d ⋅păcat(α)

D D D- diagonala mare;
d d d- diagonala mica;
α\alfa α este un unghi ascuțit între diagonale.

Exemplu

Sunt date diagonalele paralelogramului, egale cu 10 (vezi) și 5 (vezi). Unghiul dintre ele este de 30 de grade. Calculați-i aria.

Soluţie

D=10 D=10 D=1 0
d=5 d=5 d=5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ păcatul (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (vezi mp)

Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea lui. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului.

Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Aria unui paralelogram este notată cu (S).

Formule pentru a afla aria unui paralelogram

S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază.

S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b.

S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram.

Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume:

Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea este de 3 cm. Cum să găsiți aria paralelogramului, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare.

Deci S= 7x3. S=21. Răspuns: 21 cm 2.

Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva:

Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2.

Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția

Zona paralelogramului

Teorema 1

Aria unui paralelogram este definită ca produsul dintre lungimea laturii sale cu înălțimea trasă pe acesta.

unde $a$ este latura paralelogramului, $h$ este înălțimea desenată pe această latură.

Dovada.

Să ni se dea un paralelogram $ABCD$ cu $AD=BC=a$. Să desenăm înălțimile $DF$ și $AE$ (Fig. 1).

Poza 1.

Este evident că cifra $FDAE$ este un dreptunghi.

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\unghi A=\unghi BAE\]

Prin urmare, deoarece $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triunghi BAE=\triunghi CDF$, prin $I$ testul de egalitate triunghi. Apoi

Deci, conform teoremei ariei dreptunghiului:

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2

Aria unui paralelogram este definită ca produsul dintre lungimea laturilor sale adiacente cu sinusul unghiului dintre acele laturi.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

unde $a,\ b$ sunt laturile paralelogramului, $\alpha $ este unghiul dintre ele.

Dovada.

Să ni se dea un paralelogram $ABCD$ cu $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Desenați înălțimea $DF=h$ (Fig. 2).

Figura 2.

Prin definiția sinusului, obținem

Prin urmare

Prin urmare, prin teorema $1$:

Teorema a fost demonstrată.

Aria unui triunghi

Teorema 3

Aria unui triunghi este definită ca jumătate din produsul dintre lungimea laturii sale și înălțimea trasă pe acesta.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

unde $a$ este latura triunghiului, $h$ este înălțimea trasă pe această latură.

Dovada.

Figura 3

Deci, după teorema $1$:

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 4

Aria unui triunghi este definită ca jumătate din produsul lungimii laturilor sale adiacente cu sinusul unghiului dintre acele laturi.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

unde $a,\ b$ sunt laturile triunghiului, $\alpha $ este unghiul dintre ele.

Dovada.

Să ni se dă un triunghi $ABC$ cu $AB=a$. Desenați înălțimea $CH=h$. Să-l construim până la paralelogramul $ABCD$ (Fig. 3).

Evident, $\triunghi ACB=\triunghi CDB$ cu $I$. Apoi

Deci, după teorema $1$:

Teorema a fost demonstrată.

Zona trapezului

Teorema 5

Aria unui trapez este definită ca jumătate din produsul sumei lungimilor bazelor sale cu înălțimea sa.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

Dovada.

Să ni se dă un trapez $ABCK$, unde $AK=a,\BC=b$. Să desenăm în ea înălțimile $BM=h$ și $KP=h$, precum și diagonala $BK$ (Fig. 4).

Figura 4

Prin teorema $3$, obținem

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1

Aflați aria unui triunghi echilateral dacă lungimea laturii sale este $a.$

Soluţie.

Deoarece triunghiul este echilateral, toate unghiurile sale sunt egale cu $(60)^0$.

Apoi, după teorema $4$, avem

Răspuns:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Rețineți că rezultatul acestei probleme poate fi folosit pentru a găsi aria oricărui triunghi echilateral cu o latură dată.

Zona geometrică- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței delimitată de un contur închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

Formula ariei triunghiulare pentru latură și înălțime
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza cercului circumscris
Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc înscris
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.

Formule de suprafață pătrată

Formula pentru aria unui pătrat dată fiind lungimea unei laturi
suprafata patrata este egal cu pătratul lungimii laturii sale.
Formula pentru aria unui pătrat având în vedere lungimea diagonalei
suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
S= 1 2
2

Formula zonei dreptunghiulare

Zona dreptunghiulară

Formule pentru aria unui paralelogram

Formula ariei de paralelogram pentru lungimea și înălțimea laturii
Zona paralelogramului
Formula pentru aria unui paralelogram dat două laturi și unghiul dintre ele
Zona paralelogramului este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
a b sinα

Formule pentru aria unui romb

Formula ariei romb datând lungimea și înălțimea laturii
Zona rombului este egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
Formula pentru aria unui romb având în vedere lungimea laturii și unghiul
Zona rombului este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
Formula pentru aria unui romb din lungimile diagonalelor sale
Zona rombului este egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.

Formulele zonei trapezului

Formula lui Heron pentru un trapez
Unde S este aria trapezului,
- lungimea bazelor trapezului,
- lungimea laturilor trapezului,

Ca și în geometria euclidiană, punctul și linia dreaptă sunt elementele principale ale teoriei planelor, deci paralelogramul este una dintre figurile cheie ale patrulaterelor convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.

In contact cu

Definiția paralelogramului

patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.

Cum arată un paralelogram clasic este un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă a acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD sunt diagonalele.

Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Laturi și unghiuri: caracteristici de raport

Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:

Laturile care sunt opuse sunt identice în perechi.
Unghiurile care sunt opuse unul altuia sunt egale în perechi.

Demonstrație: se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD la dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC le este comun (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi liniilor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice în perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile diagonalelor figurii

Caracteristica principală aceste drepte paralelograme: punctul de intersecție le traversează.

Demonstrație: fie m. E punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.

AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantelor, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.

Conform celui de-al doilea semn de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE sunt: AE = CE, BE = DE și, în plus, sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile colțurilor adiacente

Pe laturile adiacente, suma unghiurilor este de 180°, deoarece se află de aceeași parte a dreptelor paralele și a secantei. Pentru patrulater ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietăți bisectoare:

, coborât într-o parte, sunt perpendiculare;
vârfurile opuse au bisectoare paralele;
triunghiul obţinut prin trasarea bisectoarei va fi isoscel.

Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram prin teoremă

Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care sună după cum urmează: patrulaterul este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.

Demonstrație: Fie că liniile AC și BD ale patrulaterului ABCD se intersectează în t. E. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (prin primul semn de egalitate a triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile de trecere interioare ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || î.Hr. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.

Calcularea ariei unei figuri

Zona acestei figuri găsit în mai multe moduri una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.

Demonstrație: Desenați perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egal cu dreptunghiul EBCF, deoarece acestea constau și din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. Rezultă că aria acestei figuri geometrice este aceeași cu cea a unui dreptunghi:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pentru a determina formula generală pentru aria unui paralelogram, notăm înălțimea ca hb, și lateral b. Respectiv:

Alte modalități de a găsi zonă

Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.

Spr-ma - zona;

a și b sunt laturile sale

α - unghiul dintre segmentele a și b.

Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. decupează întotdeauna un triunghi dreptunghic ai cărui parametri sunt găsiți prin identități trigonometrice, adică . Transformând raportul, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.

Prin diagonalele unui paralelogram și a unui unghi, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.

Dovada: AC și BD care se intersectează formează patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.

Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită din expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Deoarece , atunci o singură valoare a sinusului este utilizată în calcule. Acesta este . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2 , formula ariei se reduce la:

Aplicație în algebră vectorială

Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială și anume: adunarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectoriȘiNusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.

Dovada: de la un început ales arbitrar - adică aproximativ. - construim vectori și . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.

Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram

Identitățile sunt date în următoarele condiții:

a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
d 1 și d 2 , γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;

Parametru	Formulă
Găsirea părților
de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele
în diagonală și lateral
prin înălțime și vârf opus
Aflarea lungimii diagonalelor
pe laturi si marimea varfului intre ele
de-a lungul laturilor și una dintre diagonale	Concluzie Paralelogramul, ca una dintre figurile cheie ale geometriei, este folosit în viață, de exemplu, în construcții, atunci când se calculează suprafața unui sit sau alte măsurători. Prin urmare, cunoștințele despre caracteristicile distinctive și metodele de calculare a diferiților săi parametri pot fi utile în orice moment al vieții.