Cum să găsiți aria unui paralelogram. Calculați suma unghiurilor și aria paralelogramului: proprietăți și semne Aria paralelogramului pe laturi
Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea lui. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele la perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului.
Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram.
Aria unui paralelogram este notată cu (S).
Formule pentru a afla aria unui paralelogram
S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază.
S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b.
S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram.
Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume:
Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea este de 3 cm. Cum să găsiți aria paralelogramului, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare.
Deci S= 7x3. S=21. Răspuns: 21 cm 2.
Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva:
Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2.
Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția
Formula pentru aria unui paralelogram
Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturii sale și înălțimea coborâtă pe această latură.
Dovada
Dacă paralelogramul este dreptunghi, atunci egalitatea este satisfăcută de teorema ariei dreptunghiului. În plus, presupunem că colțurile paralelogramului nu sunt corecte.
Fie $\angle BAD$ un unghi ascuțit într-un paralelogram $ABCD$ și $AD > AB$. În caz contrar, vom redenumi nodurile. Atunci înălțimea $BH$ de la vârful $B$ la linia $AD$ cade pe latura $AD$, deoarece cateta $AH$ este mai scurtă decât ipotenuza $AB$ și $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.
Să comparăm aria paralelogramului $ABCD$ și aria dreptunghiului $HBCK$. Aria paralelogramului este mai mare cu aria $\triunghi ABH$, dar mai mică cu aria $\triunghi DCK$. Deoarece aceste triunghiuri sunt congruente, ariile lor sunt de asemenea egale. Aceasta înseamnă că aria unui paralelogram este egală cu aria unui dreptunghi cu laturile lungi spre lateral și cu înălțimea paralelogramului.
Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de laturi și sinus
Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele.
Dovada
Înălțimea paralelogramului $ABCD$ coborât pe latura $AB$ este egală cu produsul segmentului $BC$ și sinusul unghiului $\unghiului ABC$. Rămâne să aplicăm afirmația anterioară.
Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonale
Aria unui paralelogram este egală cu jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele.
Dovada
Fie ca diagonalele paralelogramului $ABCD$ să se intersecteze în punctul $O$ la un unghi $\alpha$. Apoi $AO=OC$ și $BO=OD$ după proprietatea paralelogramului. Sinusurile unghiurilor care însumează $180^\circ$ sunt $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Prin urmare, sinusurile unghiurilor de la intersecția diagonalelor sunt egale cu $\sin \alpha$.
$S_(ABCD)=S_(\triunghi AOB) + S_(\triunghi BOC) + S_(\triunghi COD) + S_(\triunghi AOD)$
conform axiomei măsurării ariei. Aplicați formula ariei triunghiului $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ pentru aceste triunghiuri și unghiuri când diagonalele se intersectează. Laturile fiecăreia sunt egale cu jumătate din diagonale, sinusurile sunt de asemenea egale. Prin urmare, ariile tuturor celor patru triunghiuri sunt $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Rezumând toate cele de mai sus, obținem
$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$
Ce este un paralelogram? Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.
1. Aria unui paralelogram se calculează cu formula:
\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]
Unde:
a este latura paralelogramului,
h a este înălțimea trasă în această parte.
2. Dacă sunt cunoscute lungimile a două laturi adiacente ale paralelogramului și unghiul dintre ele, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula:
\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]
3. Dacă sunt date diagonalele paralelogramului și unghiul dintre ele este cunoscut, atunci aria paralelogramului se calculează cu formula:
\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]
Proprietățile paralelogramului
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)
Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)
Diagonalele paralelogramului în punctul de intersecție sunt bisectate \(AO = OC \) , \(BO = OD \)
Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.
Suma unghiurilor unui paralelogram adiacent unei laturi este 180 o:
\(\unghi A + \unghi B = 180^(o) \), \(\unghi B + \unghi C = 180^(o)\)
\(\unghi C + \unghi D = 180^(o) \), \(\unghi D + \unghi A = 180^(o)\)
Diagonalele și laturile unui paralelogram sunt legate prin următoarea relație:
\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)
Într-un paralelogram, unghiul dintre înălțimi este egal cu unghiul său ascuțit: \(\angle K B H =\angle A \) .
Bisectoarele unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului sunt reciproc perpendiculare.
Bisectoarele a două unghiuri opuse ale unui paralelogram sunt paralele.
Caracteristicile paralelogramului
Un patrulater este un paralelogram dacă:
\(AB = CD \) și \(AB || CD \)
\(AB = CD \) și \(BC = AD \)
\(AO = OC \) și \(BO = OD \)
\(\angle A = \angle C \) și \(\angle B = \angle D \)
Javascript este dezactivat în browserul dvs.Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!
La rezolvarea problemelor pe această temă, pe lângă proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:
- Bisectoarea unghiului interior al unui paralelogram decupează de acesta un triunghi isoscel
- Bisectoarele unghiurilor interne adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
- Bisectoare care provin din unghiuri interne opuse ale unui paralelogram, paralele între ele sau situate pe o singură linie dreaptă
- Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
- Aria unui paralelogram este jumătate din produsul diagonalelor cu sinusul unghiului dintre ele.
Să luăm în considerare sarcinile în soluția cărora sunt utilizate aceste proprietăți.
Sarcina 1.
Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Soluţie.
1. Triunghi CMD isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.
2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetrul ABCD = 20 cm.
Răspuns. 20 cm
Sarcina 2.
Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că patrulaterul dat este un paralelogram.
Soluţie.
1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, conform stării problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.
2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte a dreptei AD. BE = CF. Prin urmare, linia BC || ANUNȚ. (*)
3. Fie AL altitudinea triunghiului ACD, BK altitudinea triunghiului BCD. Deoarece, conform stării problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.
4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte a liniei drepte CD. AL = BK. Prin urmare, linia AB || CD (**)
5. Condițiile (*), (**) implică faptul că ABCD este un paralelogram.
Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.
Sarcina 3.
Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M, respectiv H, astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,
Soluţie.
1. În triunghiul DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Într-un triunghi dreptunghic DHC Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Sarcina 4. Una dintre diagonalele unui paralelogram de lungime 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală. Soluţie.
1. AO = 2√6. 2. Aplicați teorema sinusului triunghiului AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Raspuns: 12.
Sarcina 5. Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor. Soluţie.
Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului să fie φ. 1. Să numărăm două diferite S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Să facem un sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Înmulțiți a doua ecuație a sistemului cu 2 și adăugați-o la prima. Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24. Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24. Raspuns: 24.
Sarcina 6. Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 o. Aflați aria paralelogramului. Soluţie.
1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD. Luam in calcul asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Avem un sistem Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Notă:În această problemă și în cea anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria. Raspuns: 10. Sarcina 7. Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici. Soluţie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Să facem o înlocuire în formulă. Obținem 96 = 8 15 sin VAD. Prin urmare sin VAD = 4/5. 2. Gaseste ca RĂU. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 RĂU = 1. cos 2 RĂU = 9/25. În funcție de starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este acut. Atunci cos RĂU = 3 / 5. 3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos RĂU. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Raspuns: 145.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie? site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă. Paralelogram este un patrulater ale cărui laturi sunt paralele la perechi. În această figură, laturile și unghiurile opuse sunt egale între ele. Diagonalele unui paralelogram se intersectează într-un punct și îl bisectează. Formulele de zonă de paralelogram vă permit să găsiți valoarea prin laturi, înălțime și diagonale. Paralelogramul poate fi reprezentat și în cazuri speciale. Sunt considerate dreptunghi, pătrat și romb. Acest caz este considerat un clasic și nu necesită investigații suplimentare. Este mai bine să luați în considerare formula pentru calcularea ariei prin două laturi și unghiul dintre ele. Aceeași metodă este utilizată în calcul. Dacă sunt date laturile și unghiul dintre ele, atunci aria se calculează după cum urmează: Să presupunem că ni se dă un paralelogram cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Să găsim zona: Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram prin diagonale. Să fie dat un paralelogram cu diagonalele D = 7 cm, d = 5 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Înlocuiți datele din formula: Cunoscând formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonală, puteți rezolva multe probleme interesante. Să ne uităm la una dintre ele.
(
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic, catetul care se află opus unui unghi de 30 o este egal cu jumătate din ipotenuză).
căile din zona sa.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
În primul rând, să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram în funcție de înălțime și latura la care este coborât.
Aria unui paralelogram în termeni de diagonale
Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonale vă permite să găsiți rapid valoarea.
Pentru calcule, aveți nevoie de valoarea unghiului situat între diagonale.
Un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram printr-o diagonală ne-a dat un rezultat excelent - 8,75.
Sarcină: Dat un paralelogram cu o suprafață de 92 mp. vezi Punctul F este situat în mijlocul laturii sale BC. Să găsim aria trapezului ADFB, care se va afla în paralelogramul nostru. Pentru început, să desenăm tot ce am primit conform condițiilor.
Să ajungem la soluție: 
Conform condițiilor noastre, ah \u003d 92 și, în consecință, aria trapezului va fi egală cu 
