Simetrii axiale si centrale. Proiect „tipuri de simetrie” Axa centrală de simetrie

Definiția simetriei: Două puncte A și A1 se numesc simetrice față de punctul O dacă O este mijlocul segmentului AA1. Punctul O este considerat simetric față de el însuși. Definiția simetriei: Două puncte A și A1 se numesc simetrice față de punctul O dacă O este mijlocul segmentului AA1. Punctul O este considerat simetric față de el însuși.

De exemplu: În figură, punctele M și M1, N și N1 sunt simetrice față de punctul O, iar punctele P și Q nu sunt simetrice față de acest punct. De exemplu: În figură, punctele M și M1, N și N1 sunt simetrice față de punctul O, dar punctele P și Q nu sunt simetrice față de acest punct

Definiția simetriei centrale: O figură se numește simetrică față de punctul O dacă, pentru fiecare punct al figurii, acestei figuri îi aparține și un punct simetric față de punctul O. Punctul O se numește centrul de simetrie al figurii. Se spune că figura are, de asemenea, simetrie centrală. Se spune că o figură este simetrică față de punctul O dacă, pentru fiecare punct al figurii, acestei figuri aparține și un punct simetric față de punctul O. Punctul O se numește centrul de simetrie al figurii. Se spune că figura are, de asemenea, simetrie centrală.

Conferință științifică și practică

Instituția de învățământ municipal „Școala Gimnazială Nr. 23”

orașul Vologda

secţiunea: ştiinţele naturii

lucrări de proiectare și cercetare

TIPURI DE SIMETRIE

Lucrarea a fost finalizată de un elev de clasa a VIII-a

Kreneva Margareta

Șef: profesor superior de matematică

anul 2014

Structura proiectului:

1. Introducere.

2. Scopurile și obiectivele proiectului.

3. Tipuri de simetrie:

3.1. simetrie centrală;

3.2. Simetrie axială;

3.3. Simetria oglinzii (simetrie față de un plan);

3.4. Simetria rotațională;

3.5. Simetrie portabilă.

4. Concluzii.

Simetria este ideea prin care omul a încercat timp de secole să înțeleagă și să creeze ordine, frumusețe și perfecțiune.

G. Weil

Introducere.

Tema lucrării mele a fost aleasă în urma studierii secțiunii „Simetrie axială și centrală” la cursul „Geometrie clasa a VIII-a”. Am fost foarte interesat de acest subiect. Am vrut să știu: ce tipuri de simetrie există, cum diferă unele de altele, care sunt principiile pentru construirea figurilor simetrice în fiecare tip.

Scopul lucrării : Introducere în diferite tipuri de simetrie.

Sarcini:

Studiați literatura despre această problemă.

Rezumati si sistematizati materialul studiat.

Pregătiți o prezentare.

În antichitate, cuvântul „SIMETRIE” era folosit pentru a însemna „armonie”, „frumusețe”. Tradus din greacă, acest cuvânt înseamnă „proporționalitate, proporționalitate, asemănare în aranjarea părților a ceva pe laturile opuse ale unui punct, drepte sau plan.

Există două grupuri de simetrii.

Primul grup include simetria pozițiilor, formelor, structurilor. Aceasta este simetria care poate fi văzută direct. Se poate numi simetrie geometrică.

Al doilea grup caracterizează simetria fenomenelor fizice și a legilor naturii. Această simetrie stă la baza imaginii științifice naturale a lumii: poate fi numită simetrie fizică.

O să încetez să mai studiezsimetrie geometrică .

La rândul lor, există și mai multe tipuri de simetrie geometrică: centrală, axială, oglindă (simetrie față de plan), radială (sau rotativă), portabilă și altele. Astăzi mă voi uita la 5 tipuri de simetrie.

Simetria centrală

Două puncte A și A 1 se numesc simetrice față de punctul O dacă se află pe o dreaptă care trece prin punctul O și se află pe părțile opuse ale acestuia, la aceeași distanță. Punctul O se numește centru de simetrie.

Se spune că figura este simetrică față de punctDESPRE , dacă pentru fiecare punct al figurii există un punct simetric față de acesta în raport cu punctulDESPRE aparține și acestei figuri. PunctDESPRE numit centru de simetrie al unei figuri, se spune că figura are simetrie centrală.

Exemple de figuri cu simetrie centrală sunt un cerc și un paralelogram.

Cifrele prezentate pe diapozitiv sunt simetrice față de un anumit punct

2. Simetrie axială

Două puncteX Și Y sunt numite simetrice față de o dreaptăt , dacă această dreaptă trece prin mijlocul segmentului XY și este perpendiculară pe acesta. De asemenea, trebuie spus că fiecare punct este o linie dreaptăt este considerat simetric fata de sine.

Dreptt - axa de simetrie.

Se spune că figura este simetrică față de o linie dreaptăt, dacă pentru fiecare punct al figurii există un punct simetric faţă de acesta în raport cu dreaptat aparține și acestei figuri.

Drepttnumită axa de simetrie a unei figuri, se spune că figura are simetrie axială.

Un unghi nedezvoltat, triunghiuri isoscel și echilaterale, un dreptunghi și un romb au simetrie axială.scrisori (vezi prezentarea).

Simetria oglinzii (simetrie față de un plan)

Două puncte P 1 Și P sunt numite simetrice față de planul a dacă se află pe o dreaptă perpendiculară pe planul a și se află la aceeași distanță de acesta.

Simetria oglinzii bine cunoscut de fiecare persoană. Conectează orice obiect și reflectarea acestuia într-o oglindă plată. Se spune că o figură este oglindă simetrică cu alta.

Pe un plan, o figură cu nenumărate axe de simetrie era un cerc. În spațiu, o minge are nenumărate planuri de simetrie.

Dar dacă un cerc este unic, atunci în lumea tridimensională există o serie întreagă de corpuri cu un număr infinit de planuri de simetrie: un cilindru drept cu un cerc la bază, un con cu o bază circulară, o minge.

Este ușor de stabilit că fiecare figură plană simetrică poate fi aliniată cu ea însăși folosind o oglindă. Este surprinzător că figuri atât de complexe precum o stea cu cinci colțuri sau un pentagon echilateral sunt și ele simetrice. După cum rezultă din numărul de axe, acestea se disting prin simetrie ridicată. Și invers: nu este atât de ușor de înțeles de ce o figură atât de aparent obișnuită, precum un paralelogram oblic, este asimetrică.

4. P simetrie rotațională (sau simetrie radială)

Simetria rotațională - aceasta este simetria, păstrarea formei unui obiectcând se rotește în jurul unei anumite axe printr-un unghi egal cu 360°/n(sau un multiplu al acestei valori), unden= 2, 3, 4, … Axa indicată se numește axă de rotațien-a ordine.

Lan=2 toate punctele figurii sunt rotite printr-un unghi de 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) în jurul axei, în timp ce se păstrează forma figurii, i.e. fiecare punct al figurii merge la un punct al aceleiasi figuri (figura se transforma in sine). Axa se numește axa de ordinul doi.

Figura 2 prezintă o axă de ordinul trei, Figura 3 - ordinul 4, Figura 4 - ordinul 5.

Un obiect poate avea mai multe axe de rotație: Fig. 1 - 3 axe de rotație, Fig. 2 - 4 axe, Fig. 3 - 5 axe, Fig. 4 – doar 1 axă

Literele binecunoscute „I” și „F” au simetrie de rotație. Dacă rotiți litera „I” cu 180° în jurul unei axe perpendiculare pe planul literei și trecând prin centrul acesteia, litera se va alinia cu ea însăși. Cu alte cuvinte, litera „I” este simetrică în raport cu o rotație de 180°, 180°= 360°: 2,n=2, ceea ce înseamnă că are simetrie de ordinul doi.

Rețineți că litera „F” are și simetrie de rotație de ordinul doi.

În plus, litera are un centru de simetrie, iar litera F are o axă de simetrie

Să revenim la exemple din viață: un pahar, un kilogram de înghețată în formă de con, o bucată de sârmă, o țeavă.

Dacă ne uităm mai atent la aceste corpuri, vom observa că toate, într-un fel sau altul, sunt formate dintr-un cerc, printr-un număr infinit de axe de simetrie existând nenumărate planuri de simetrie. Majoritatea acestor corpuri (se numesc corpuri de rotație) au, desigur, și un centru de simetrie (centrul unui cerc), prin care trece cel puțin o axă de simetrie de rotație.

De exemplu, axa cornetului de înghețată este clar vizibilă. Se întinde de la mijlocul cercului (ie iese din înghețată!) până la capătul ascuțit al cornetului de pâlnie. Percepem totalitatea elementelor de simetrie ale unui corp ca un fel de măsură de simetrie. Mingea, fără îndoială, din punct de vedere al simetriei, este o întruchipare neîntrecută a perfecțiunii, un ideal. Grecii antici îl percepeau ca pe cel mai perfect corp, iar cercul, în mod natural, ca pe cea mai perfectă figură plată.

Pentru a descrie simetria unui anumit obiect, este necesar să se indice toate axele de rotație și ordinea acestora, precum și toate planurile de simetrie.

Luați în considerare, de exemplu, un corp geometric compus din două piramide patruunghiulare regulate identice.

Are o axă de rotație de ordinul 4 (axa AB), patru axe de rotație de ordinul 2 (axele CE,DF, MP, NQ), cinci planuri de simetrie (planuriCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Simetrie portabilă

Un alt tip de simetrie esteportabil Cu simetrie.

Se vorbește despre o astfel de simetrie atunci când, când se deplasează o figură de-a lungul unei linii drepte la o anumită distanță „a” sau o distanță care este un multiplu al acestei valori, coincide cu ea însăși. Linia dreaptă de-a lungul căreia are loc transferul se numește axa de transfer, iar distanța „a” se numește transfer elementar, perioadă sau pas de simetrie.

A

Un model care se repetă periodic pe o bandă lungă se numește chenar. În practică, chenarele se găsesc sub diferite forme (pictură murală, fontă, basoreliefuri din ipsos sau ceramică). Bordurile sunt folosite de pictori și artiști atunci când decorează o cameră. Pentru realizarea acestor ornamente se face un șablon. Mutăm șablonul, răsturnându-l sau nu, trasând conturul, repetând modelul și obținem un ornament (demonstrație vizuală).

Chenarul este ușor de construit folosind un șablon (elementul de pornire), mutându-l sau răsturnând-o și repetând modelul. Figura prezintă cinci tipuri de șabloane:A ) asimetric;b, c ) având o singură axă de simetrie: orizontală sau verticală;G ) simetric central;d ) având două axe de simetrie: verticală și orizontală.

Pentru a construi frontiere, se folosesc următoarele transformări:

A ) transfer paralel;b ) simetria fata de axa verticala;V ) simetria centrală;G ) simetrie față de axa orizontală.

Puteți construi prize în același mod. Pentru a face acest lucru, cercul este împărțit înn sectoare egale, într-unul dintre ele se realizează un model de probă și apoi acesta din urmă se repetă secvenţial în părțile rămase ale cercului, rotind modelul de fiecare dată cu un unghi de 360°/n .

Un exemplu clar de utilizare a simetriei axiale și portabile este gardul prezentat în fotografie.

Concluzie: Astfel, există diferite tipuri de simetrie, punctele simetrice din fiecare dintre aceste tipuri de simetrie sunt construite după anumite legi. În viață, întâlnim un tip de simetrie peste tot și, adesea, în obiectele care ne înconjoară, mai multe tipuri de simetrie pot fi observate simultan. Acest lucru creează ordine, frumusețe și perfecțiune în lumea din jurul nostru.

LITERATURĂ:

Manual de matematică elementară. M.Ya. Vygodski. – Editura „Nauka”. – Moscova 1971 – 416 pagini.

Dicționar modern de cuvinte străine. - M.: Limba rusă, 1993.

Istoria matematicii în școalăIX - Xclase. G.I. Glaser. – Editura „Prosveshcheniye”. – Moscova 1983 – 351 pagini.

Geometrie vizuală clasele a V-a – a VI-a. DACĂ. Sharygin, L.N. Erganzhieva. – Editura „Drofa”, Moscova 2005. – 189 pagini

Enciclopedie pentru copii. Biologie. S. Ismailova. – Editura Avanta+. – Moscova 1997 – 704 pagini.

Urmantsev Yu.A. Simetria naturii și natura simetriei - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

Simetria axială și conceptul de perfecțiune

Simetria axială este inerentă tuturor formelor din natură și este unul dintre principiile fundamentale ale frumuseții. Din cele mai vechi timpuri, omul a încercat

pentru a înțelege sensul perfecțiunii. Acest concept a fost fundamentat pentru prima dată de artiști, filozofi și matematicieni ai Greciei Antice. Și cuvântul „simetrie” însuși a fost inventat de ei. Ea denotă proporționalitatea, armonia și identitatea părților întregului. Gânditorul grec antic Platon a susținut că numai un obiect care este simetric și proporțional poate fi frumos. Într-adevăr, acele fenomene și forme care sunt proporționale și complete „vă plac ochiului”. Le numim corecte.

Simetria axială ca concept

Simetria în lumea ființelor vii se manifestă prin aranjarea regulată a părților identice ale corpului față de centru sau axă. Mai des în

Simetria axială apare în natură. Ea determină nu numai structura generală a organismului, ci și posibilitățile de dezvoltare ulterioară a acestuia. Formele geometrice și proporțiile ființelor vii sunt formate prin „simetrie axială”. Definiția sa este formulată după cum urmează: aceasta este proprietatea obiectelor de a fi combinate sub diferite transformări. Anticii credeau că sfera posedă principiul simetriei în cea mai mare măsură. Ei au considerat această formă armonioasă și perfectă.

Simetria axială în natura vie

Dacă te uiți la orice creatură vie, simetria structurii corpului îți atrage imediat atenția. Om: două brațe, două picioare, doi ochi, două urechi și așa mai departe. Fiecare specie animală are o culoare caracteristică. Dacă în colorare apare un model, atunci, de regulă, acesta este oglindit pe ambele părți. Aceasta înseamnă că există o anumită linie de-a lungul căreia animalele și oamenii pot fi împărțiți vizual în două jumătăți identice, adică structura lor geometrică se bazează pe simetria axială. Natura creează orice organism viu nu în mod haotic și fără sens, ci conform legilor generale ale ordinii mondiale, pentru că nimic din Univers nu are un scop pur estetic, decorativ. Prezența diferitelor forme se datorează și necesității naturale.

Simetria axială în natura neînsuflețită

În lume, suntem înconjurați peste tot de fenomene și obiecte precum: taifun, curcubeu, picătură, frunze, flori etc. Simetria lor în oglindă, radială, centrală, axială este evidentă. Se datorează în mare măsură fenomenului gravitației. Adesea, conceptul de simetrie se referă la regularitatea schimbărilor în anumite fenomene: zi și noapte, iarnă, primăvară, vară și toamnă și așa mai departe. În practică, această proprietate există oriunde este respectată ordinea. Iar legile naturii înseși - biologice, chimice, genetice, astronomice - sunt supuse principiilor de simetrie comune tuturor, întrucât au o sistematicitate de invidiat. Astfel, echilibrul, identitatea ca principiu are o sferă universală. Simetria axială în natură este una dintre legile „pietra de temelie” pe care se bazează universul în ansamblu.

Din cele mai vechi timpuri, omul și-a dezvoltat idei despre frumusețe. Toate creațiile naturii sunt frumoase. Oamenii sunt frumoși în felul lor, animalele și plantele sunt uimitoare. Vederea unei pietre prețioase sau a unui cristal de sare mulțumește ochiul; este greu să nu admiri un fulg de nea sau un fluture. Dar de ce se întâmplă asta? Ni se pare că aspectul obiectelor este corect și complet, ale căror jumătăți din dreapta și din stânga arată la fel, ca într-o imagine în oglindă.

Aparent, oamenii de artă au fost primii care s-au gândit la esența frumuseții. Sculptori antici care au studiat structura corpului uman, încă din secolul al V-lea î.Hr. Conceptul de „simetrie” a început să fie folosit. Acest cuvânt este de origine greacă și înseamnă armonie, proporționalitate și asemănare în aranjarea părților constitutive. Platon a susținut că numai ceea ce este simetric și proporțional poate fi frumos.

În geometrie și matematică sunt considerate trei tipuri de simetrie: simetria axială (față de o dreaptă), centrală (față de un punct) și simetria în oglindă (față de un plan).

Dacă fiecare dintre punctele unui obiect are propria sa mapare exactă în interiorul său în raport cu centrul său, există simetrie centrală. Exemplul său sunt corpuri geometrice precum un cilindru, o sferă, o prismă regulată etc.

Simetria axială a punctelor în raport cu o dreaptă prevede că această dreaptă intersectează mijlocul segmentului care leagă punctele și este perpendiculară pe aceasta. Exemple sunt bisectoarea unui unghi nedezvoltat al unui triunghi isoscel, orice linie trasată prin centrul unui cerc etc. Dacă simetria axială este caracteristică, definiția punctelor oglinzii poate fi vizualizată prin simpla îndoire de-a lungul axei și punând jumătăți egale „față în față”. Punctele dorite se vor atinge reciproc.

Cu simetria oglinzii, punctele unui obiect sunt situate în mod egal în raport cu planul care trece prin centrul său.

Natura este înțeleaptă și rațională, prin urmare aproape toate creațiile sale au o structură armonioasă. Acest lucru se aplică atât ființelor vii, cât și obiectelor neînsuflețite. Structura majorității formelor de viață este caracterizată de unul dintre cele trei tipuri de simetrie: bilaterală, radială sau sferică.

Cel mai adesea, axial poate fi observat la plantele care se dezvoltă perpendicular pe suprafața solului. În acest caz, simetria este rezultatul rotației elementelor identice în jurul unei axe comune situate în centru. Unghiul și frecvența locației lor pot fi diferite. Exemple sunt copacii: molid, arțar și alții. La unele animale apare și simetria axială, dar aceasta este mai puțin frecventă. Desigur, natura este rareori caracterizată de precizie matematică, dar asemănarea elementelor unui organism este încă izbitoare.

Biologii consideră adesea nu simetria axială, ci simetria bilaterală (bilaterală). Un exemplu în acest sens sunt aripile unui fluture sau ale unei libelule, frunzele plantelor, petalele de flori etc. În fiecare caz, părțile din dreapta și din stânga ale obiectului viu sunt egale și sunt imagini în oglindă una ale celeilalte.

Simetria sferică este caracteristică fructelor multor plante, a unor pești, moluște și viruși. Exemple de simetrie radială sunt unele tipuri de viermi și echinoderme.

În ochii omului, asimetria este cel mai adesea asociată cu neregularitatea sau inferioritatea. Prin urmare, în cele mai multe creații ale mâinilor umane, pot fi urmărite simetria și armonia.

CENTRU DE SIMETRIE - 1. După Fedorov (1901), punctul de intersecție a elementelor de simetrie dintr-o figură dată. 2. Sin. termen centru de inversiune.

Dicţionar geologic: în 2 volume. - M.: Nedra. Editat de K. N. Paffengoltz et al.. 1978 .

Vedeți ce este „CENTRUL SIMETRIEI” în alte dicționare:

centru de simetrie- - [Dicționar gemologic englez-rus. Krasnoyarsk, KrasBerry. 2007.] Subiecte: gemologie și producție de bijuterii EN centru de simetrie ... Ghidul tehnic al traducătorului

centru de simetrie- simetrijos centras statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Figūros taškas, iš kurio išeinantis bet kuris vektorius gali turėti priešingą vektorių. atitikmenys: engl. centru de simetrie vok. Symmetriezentrum, n rus. centru… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

centru de simetrie- simetrijos centras statusas T sritis chemija apibrėžtis Figūros taškas, iš kurio išeinantis bet kuris vektorius gali turėti priešingą vektorių. atitikmenys: engl. centru de simetrie rus. centru de simetrie ryšiai: sinonimas – inversijos centras… … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

centru de simetrie- simetrijos centras statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. centru de simetrie; centru de simetrie vok. Symmetriezentrum, n rus. centru de simetrie, m pranc. centre de symétrie, m … Fizikos terminų žodynas

Un punct asociat invariabil cu un corp solid prin care rezultanta forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor acestui corp trece în orice poziție a corpului în spațiu. Pentru un corp omogen care are un centru de simetrie (cerc, bilă, cub etc.),... ... Dicţionar enciclopedic

A; m. [din greacă. sfat kentron, focus] 1. Matematică, fizică. Punctul de intersecție al căruia l. axe, linii într-o figură, al căror punct de concentrare l. relații, forțe din corp. C. lentile. C. cerc. C. simetrie. C. gravitația (de asemenea; cel mai elementar, esența).... ... Dicţionar enciclopedic

Geom. un punct asociat invariabil cu un corp solid prin care forța rezultantă a tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor corpului trece prin acesta în orice poziție din spațiu; este posibil să nu coincidă cu niciunul dintre punctele unui corp dat (de exemplu, la ...... Enciclopedie fizică

Un punct asociat invariabil cu un corp solid prin care rezultanta forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor acestui corp trece în orice poziție a corpului în spațiu. Pentru un corp omogen care are un centru de simetrie (cerc, bilă, cub etc.),... ... Dicţionar enciclopedic mare

Centrul de greutate- CENTRU DE GRAVITATE, punctul prin care rezultanta forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor unui corp solid trece în orice poziție a corpului în spațiu. Pentru un corp omogen care are un centru de simetrie (cerc, bilă, cub etc.), centrul de greutate este... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Într-un cerc, un punct special din interiorul unei figuri, caracterizat prin faptul că orice linie dreaptă trasată prin aceasta pe ambele părți ale acesteia și la distanțe egale va întâlni puncte identice (corespondente) ale figurii. Dacă există C. şi. fiecare fata ii corespunde altei fata,... ... Enciclopedie geologică

Cărți

• , S.A. Chaplygin. În 1939, s-au împlinit 50 de ani de când Academia de Științe din Paris a premiat memoriile lui S.V. Kovalevskaya despre mișcarea unui corp rigid cu un punct fix. După cum știți, pentru prima dată sarcina a fost...
• Mișcarea unui corp rigid în jurul unui punct fix. , S.A. Chaplygin. „În 1939, s-au împlinit 50 de ani de când Academia de Științe din Paris a premiat memoriile lui S.V. Kovalevskaya despre mișcarea unui corp rigid cu un punct fix. După cum știți, pentru prima dată sarcina...