Правила быстрого умножения. Самый эффективный метод быстрого счета в уме для детей. Рассмотрим три случайных примера

Филиал МБОУ Токарёвской СОШ №1 в с.Полетаево

Исследовательская работа

научный руководитель: Зуева Ирина Петровна

учитель математики

Полетаево 2016 год

Введение.

Глава I. Исследование теории

1.1. Возникновение счета у первобытных людей

1.2. Изменение счета при появлении цивилизации

1.3. Первая литература по способам счёта

1.4. Таблица умножения на пальцах

1.5. Люди - феномены быстрого счёта

Глава II. Эксперименты и анализ решения

2.1. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого меньше 10

2.2. Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

2.4 Умножение на 22,33,…,99

2.5 Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила

умножения двузначного числа на число 11.

2.6. Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.

2.7. Умножение на 37

Выводы.

Список использованной литературы.

Введение.

Для участия в конференции творческих работ школьников «Малые грани.» я достаточно быстро определилась с выбором темы. Мне всегда было интересно, какими методами пользуются учителя математики при проверке тетрадей, при объяснении нового материала, когда приходится произвести быстрый расчёт. Определённые приёмы быстрого счёта, предложенные на уроках, мне давались легко, но чем дальше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно еще использовать быстрый счёт на более сложных числах.

Здесь будет файл: /data/edu/files/i1461402798.pptx (Нестандартные приемы устного счета)

Я выбрала тему «Нестандартные приемы устного счета » потому, что я люблю математику и хотела бы научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

Я поставила перед собой проблему: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, не рассматриваемые непосредственно в школьном курсе математики.

Объект исследования - вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно - математического цикла.

Предмет исследования - нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел.

Задачи 1)узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел.

2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении и делении чисел.

Методы исследования:

1) сбор информации;

2) систематизация и обобщение.

Цель исследовательской работы: изучить методы и приёмы быстрого счёта и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.

Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное - более или менее продолжительная тренировка. Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

ГЛАВА I.

1.1. Как люди научились считать.

На этом этапе мне предстоит окунуться в историю появления счёта, чтобы понять преимущества людей, обладающих приёмами быстрого счета.

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов - одного птенца и т.д. Научившись выделять один предмет из множества других, говорили «один», а если их было больше - «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки) привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много». Лишь постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд.

Для счёта люди использовали пальцы рук, ног. Ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам. Однако этот способ годился только в пределах двадцати.

1.2. Изменение счёта при появлении цивилизации.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье - мое мученье, а с деленьем - беда» - говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления - приёмы один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

1.3. Первая литература по способам счёта.

В книге В. Беллюстина « Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках».Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

1.4. Таблица умножения на «пальцах».

Таблица умножения - те необходимые в жизни каждого человека знания, которые требуется элементарно заучить, что на первых школьных порах даётся совсем не элементарно. Это потом уже с легкостью мага мы «щелкаем» примеры на умножение: 2·3, 3·5, 4·6 и т.д., но со временем все чаще забываемся на множителях ближе к 9, особенно если счетной практики давно не ведали, отчего отдаемся во власть калькулятора или надеемся на свежесть знаний друга. Однако, овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора. Уточнение: речь идет о школьной таблице умножения, т.е. для чисел от 2 до 9, умножаемых на числа от 1 до 10.

Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 … 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится» на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке). Допустим, хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать 9. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа - 3 пальца. Таким образом, 9·7=63. Ниже на рисунке детально показан весь принцип «вычисления».

Еще пример: нужно вычислить 9·9=? По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите к примеру 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа - 1 клеточка. Значит 9·9=81. Все очень просто.

Умножение для числа 8 - 8·1, 8·2 … 8·10 - действия здесь похожи на умножение для числа 9 за некоторыми изменениями. Во-первых, поскольку числу 8 не хватает уже двойки до круглого числа 10, нам необходимо каждый раз загибать сразу два пальца - с номером х и следующий палец с номером х+1. Во-вторых, тотчас же после загнутых пальцев мы должны загнуть еще столько пальцев, сколько осталось не загнутых пальцев слева. В-третьих, это напрямую работает при умножении на число от 1 до 5, а при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку и выполнить расчёт как для числа от 1 до 5., а к ответу затем добавить число 40, потому что иначе придется выполнять переход через десяток, что не совсем удобно «на пальцах», хотя в принципе это не так сложно. Вообще надо заметить, что умножение для чисел ниже 9 тем неудобнее выполнять «на пальцах», чем ниже число расположено от 9.

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8. Допустим, хотим умножить 8 на 3. Загибаем палец с номером 3 и за ним палец с номером 4 (3+1). Слева у нас осталось 2 незагнутых пальца, значит нам необходимо загнуть еще 2 пальца после пальца с номером 4 (это будут пальцы с номерами 5, 6 и 7). Осталось 2 пальца не загнуто слева и 4 пальца - справа. Следовательно, 8·3=24.

Еще пример: вычислить 8·8=? Как было сказано выше, при умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от числа х пятерку, выполнить расчет с новым число х-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас х=8, значит загибаем палец с номером 3 (8-5=3) и следующий палец с номером 4 (3+1). Слева два пальца остались не загнуты, значит загибаем еще два пальца (с номером 5,6). Получаем: слева 2 пальца не загнуты и справа - 4 пальца, что обозначает число 24. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 24+40=64. В итоге 8·8=64.

1.5. Люди - феномен быстрого счёта.

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие ученые, в частности Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными - Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врожденных способностях, другие аргументировано доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных «феноменальных» способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы.

Истина как обычно, оказалась на некоей «золотой середине» сочетания природных способностей и грамотного, трудолюбивого их пробуждения, взращивания и использования. Те, кто следуя Трофиму Лысенко уповают исключительно на волю и напористость, со всеми уже хорошо известными способами и приемами устного счёта обычно при всех стараниях не поднимаются выше очень и очень средних достижений. Более того, настойчивые попытки «хорошенько нагрузить» мозг такими занятиями как устный счёт, шахматы вслепую и т.п. легко могут привести к перенапряжению и заметному падению умственной работоспособности, памяти и самочувствия (а в наиболее тяжелых случаях - и к шизофрении). С другой стороны и одаренные люди при беспорядочном использовании своих талантов в такой области как устный счёт быстро «перегорают» и перестают быть в состоянии длительно и устойчиво показывать яркие достижения. Один из примеров удачного сочетания обоих условий (природной одаренности и большой грамотной работы над собой) показал наш соотечественник, уроженец Алтайского края Юрий Горный.

Пожалуй, единственная научно обоснованная и достаточно подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счёта создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики Я. Трахтенбергом. Она известна под названием «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. В 1941г. гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать стройную систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счёта. Уже с самого начала результаты были самые отрадные. Учащиеся радовались вновь приобретенным навыкам и с воодушевлением двигались вперед. Если раньше их отталкивала монотонность, то сейчас их привлекало разнообразие приёмов. Шаг за шагом, благодаря достигнутым ими успехам, рос интерес к занятиям. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Также разработкой приёмов быстрого счёта занимались другие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Приведу примеры умножения чисел, получившие наибольшее описание в литературе.

ГлаваII.

2.1 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297;

62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682.

2.2 Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6 = (8+1) 46 = 946.

2.3 Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу).

Разберем на примере: 633 умножить на 11.

Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата

633*11

Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6.

633*11

Применим правило еще раз: 6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате:

633*11

Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6963

Ответ: 6963.

2.4 Умножение на 22,33,…,99

Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры:

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924;

13 х 55 = 13 х 5 х 11 = 65 х 11 = 715;

24 х 99 = 24 х 9 х 11 = 216 х 11 = 2376.

2.5 Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

42 х 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов - 5)

Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.

Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

86 х 111 = 8 (8+6) (8+6) 6 = 8 (14) (14) 6 = (8+1) (4+1) 46 = 9546.

В этом случае надо к первой цифре 8 прибавить 1, получим 9, далее 4+1 = 5; а последние цифры 4 и 6 оставляем без изменения. Получаем ответ 9546.

2.6. Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д..

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример:

32 х 101 = 3232; 47 х 101 = 4747;

324 х 1001 = 324 324; 675 х 1001 = 675 675;

6478 х 10001 = 64786478;

846932 х 1000001 = 846932846932.

2.7. Умножение на 37

Прежде чем научиться устно умножать на 37,надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3. Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 х 37 = (24: 3) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;

18 х 37 = (18: 3) х 111 = 6 х 111 = 666.

2.8. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100

Например: 98 х 97 = 9506

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

2.9. Умножение трёхзначного числа на 999.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) - «дополнения» первых до 9. Например:

385 * 999 = 384615

573 * 999 = 572427 943 * 999 = 942057

2.10. Умножение на шесть (по Трахтенбергу)

Нужно прибавить к каждой цифре половину «соседа».

Пример: 0622084 * 6

0622084 * 6 4 является правой цифрой этого числа и, так 4 как «соседа» у неё нет, прибавлять нечего.

06222084 * 6 Вторая цифра 8, е «сосед» - 4. Мы берём 8 04 прибавляем половину 4 (2) и получаем 10, ноль пишем, 1 в перенос.

06222084 * 6 Следующая цифра ноль. Мы прибавляем к ней

504 половину «соседа» 8 (4), то есть 0 + 4 = 4 плюс

перенос (1).

Остальные цифры аналогичны.

Ответ: 06222084 * 6

3732504

Правило умножения на 6: является «сосед» чётным или не чётным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на саму цифру: если она чётная, прибавляем к ней её целую часть половины «соседа», если нечётная, то кроме половины «соседа» прибавляем еще 5.

Пример: 0443052 * 6

0443052 * 6 2 - чётная и не имеет «соседа», напишем её снизу

0443052 * 6 5 - нечётная: 5+5 и плюс половина «соседа» 2 (1)

12 будет 11. Запишем 1 и в перенос 1

0443052 * 6 половина от 5 будет 2, и прибавим перенос 1, то будет 3

0443052 * 6 3 - нечетная, 3 + 5 = 8

8312

0443052 * 6 4 + половина от 3 (1) будет 5

58312

0443052 * 6 4 + половина от 4 (2) будет 6

658312

0443052 * 6 ноль + половина от 4 (2) будет 2

2658312 Ответ: 2658312.

Выводы:

Система быстрого счёта по Трахтенбергу основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12, 6 и т.д. нужно знать алгоритм выполнения. Этим система неудобна, нужно в памяти держать много правил быстрого счёта, но система Трахтенберга показывает как красива математика, если человек открывает тайны её закономерностей, изучает их и учится применять их на практике.

Выводы исследования

Как мы видим, быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.

Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Список использованной литературы

1. «Устный счёт - гимнастика ума» Г.А.Филиппов

2. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева

3. «Устный счет». Э.Л.Струнников

4. «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин

5. «Мир чисел» Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов

6. «Задачи для математического кружка» Е.Г.Козлова

7. «Развитие вычислительной культуры учащихся» НЛ. Мельникова

8. Библиотечка «Первое сентября»

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Актуальность нашего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное.

Поэтому мы хотим помочь учащимся нашего класса научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием.

Гипотеза исследования : Если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

Объект исследования: различные алгоритмы счета

Предмет исследования: процесс вычислений.

Субъект исследования: учащиеся 7 класса.

Цель проекта:

• изучить методы и приемы быстрого счета
• показать необходимость их эффективного использования.

Задачи проекта:

• изучить историю возникновения вычислений
• рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас
• освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы.
• создать брошюру “ Приемы быстрого счета”
• провести фестиваль “Приемы быстрого счета”
• cоздать брошюру “Система быстрого счета по Трахтенбергу”
• оформить альбом “Приемы быстрого счета”

Мы составили подробный план работы над проектом: с 1 сентября 2015 года по 15 февраля 2016 года.

План работы над проектом:

Мероприятия	Время проведения
Составление плана работы над проектом	1.09. – 5.09. 2015 года
Изучить историю возникновения вычислений	10.09. – 30.09. 2015года
Познакомить с правилами вычислений в разные времена, в разных странах	1.10. – 16.10.2015 года
Изучить приемы быстрого счета	19.10. – 30.10.2015 года
Провести первичную диагностику вычислительных навыков учащихся	29.10.2015 года
Создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.	2.11. – 13.11. 2015 года
Знакомство учащихся с приемами быстрого сложения и вычитания	16.11 – 5.12.2015 года
Знакомство учащихся с приемами быстрого умножения и деления	7.12. – 26.12.2015 года
Провести фестиваль “Приемы быстрого счета” для учащихся 5-8 классов	23.12.2015 года
Провести повторную проверку вычислительных навыков учащихся.	27.12.2015 года
Подведение итогов работы над проектом	12.01.2016 года
Работа над презентацией	15.01. – 30.01.2016 года
Оформление альбома “Приемы быстрого счета”	1.02. – 15.02.2016 года

Теоретическая часть

Мы изучили историю возникновения вычислений.

У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.

Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами.

Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять.

Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно.

Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.

У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной “счетной книги”, попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке

И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак.

Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у индийцев, и привез их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так.

Они похожи на многие наши цифры. Арабы нуль, или “пусто”, называли “сифра”. С тех пор и появилось слово “цифра”. Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся

Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.

Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы.

Этот способ обозначения цифр называется цифирью

Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:

• десять тысяч – тьма,
• десять тем – легион,
• десять легионов – леодр,
• десять леодров – ворон,
• десять воронов – колода.

Такой способ обозначения чисел был очень неудобен.

Поэтому Петр I ввел в России привычные для нас десять цифр, которыми мы пользуемся до сих пор.

Мы изучили старинные способы быстрого счета.

Приведем пример одного из них.

Русский крестьянский способ умножения

умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Нам очень понравился “метод решетки” умножения чисел

Найдем произведение чисел 25 и 63.

1. Горизонтально запишем числа 25, вертикально 63.
2. Чертим решетку, проводим диагонали.
3. На пересечениях находим произведения чисел.
4. Складываем числа по диагоналям.

Получили результат: 1575

А какой интересный способ умножения чисел, которым пользуются даже в наше время в Японии.

Найдем произведение чисел 32 и 21

• Чертим 3 полоски, через промежуток 2.
• Под углом чертим 2 и 1 полоски.
• Считаем количество точек пересечения:

Крайние правые - единицы - 2

По диагонали – десятки - 7

Крайние левые – сотни - 6

Получили результат 672.

С большим интересом мы познакомились с системой быстро счета Якова Трахтенберга.

Яков Трахтенберг- еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Мы создали брошюру “Система быстрого счета по Трахтенбергу” и подарим ее каждому из вас. Изучите ее, пожалуйста, очень интересно!

Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга.

Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее “соседа”.

Пример: 63247 * 12

Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.

• 63247 * 12 1дважды 7 будет = 14, переносим
• 63247 * 12 дважды 4+7+1=16, переносим 1
• 63247 * 12 дважды 2+4+1 = 9

Следующие шаги аналогичны.

Окончательный ответ: 63247 · 12 = 758964

Мы изучили много приемов быстрого счета. Сегодня мы не можем рассказать о каждом из них, остановимся только на некоторых. Более подробно вы узнаете из брошюры “Приемы быстрого счета”, которую мы подарим каждому из вас.

Сложение с использованием свойств действий с числами

• Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:
  12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.
• Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
  549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.
• Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
  504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001.

Поразрядное вычитание:

Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

Пример1:

574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

Если меньше, то занимаем у высшего разряда:

Пример 2:

647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

Применение свойств вычитания

• Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:
  934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177
• Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:
  (567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16 * 18 = (16+8) * 10 + 6 * 8 = 288,

Пример 2. 17 * 19 = (17+9) * 10 + 7 * 9 = 323.

Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

• 72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;
• 35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

• 94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

• Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
  32 * 125 = 32: 8 * 1000 = 4000.
• Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:
  24 * 12,5 = 24: 8 * 100 = 300.
• Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:
  64 * 1,25 = 64: 8 *10 = 80.
• Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.
  16,8 · 0,125=16,8: 8 = 2,1.

Умножение на 0,5;1,5; 2,5; 3,5 ...

• Чтобы умножить число на 0,5, надо разделить это число на 2.
  16 * 0,5 = 16: 2 = 8
• Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:
  16 * 1,5 = 16+8= 10+14=24
• Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:
  16 * 2,5 = 16 * 2 + 8 = 32+8= 40
• Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:
  16 * 3,5 = 16 * 3+8=48+8 = 40+16=56

Деление на 5, на 50, на 25

При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:

• a: 5 = a * 2: 10
• a: 50 = a * 2: 100
• a: 25 = a * 4: 100
• 135: 5 = 135 * 2: 10 = 270: 10 = 27
• 3750: 50 = 3750 * 2: 100 = 7500: 100 =75
• 6400:25 = 6400 * 4: 100 = 25600: 100 = 256

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

• Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:
  32: 0,5 = 32 * 2 = 60 + 4 = 64
• Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:
  32: 0,25 = 32 * 4 = 120 + 8 = 128
• Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
  32: 0,125 = 32 * 8 = 240 + 16 = 256

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25

Примеры:

35 2 = 3 * (3+1) и приписать 25, получим 35 2 = 122

75 2 = 7 * 8 и приписать 25, 75 2 = 5625

85 2 = 8 * 9, приписать 25 = 7225

Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Примеры:

56 2 = (25+6), приписать 6 2 =36, 56 2 = 3136

58 2 = (25+8), приписать 8 2 = 64, 58 2 = 3364

53? 2 (25+3), приписать 3 2 = 09, 53 2 = 280

Мы изучили много игр с числами. Пример одной игры мы приводим в брошюре. Поиграйте со своими одноклассниками, вам понравится.

Угадывание задуманного числа.

• Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
• Полученную сумму пусть умножит на 3.
• От произведения пусть отнимет 7.
• Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
• Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.
  (x+5) * 3 - 7- 8 = 3x +15 – 15 = 3x

Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3.

Работая над проектом, мы узнали имена людей, которые могли считать очень быстро, обладали огромными способностями.

Приведем примеры:

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики.

Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца.

Однажды в школе Гауссу, в то время было 10 лет, учитель предложил классу найти сумму чисел от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ: 5050

Как Гаусс нашел сумму чисел от 1 до 100? Он их сгруппировал: (1+100)+(2+99)+т.д. 50 пар по 101, 101·50 = 5050.

Практическая часть

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

• Объект исследования: 7 класс.
• Время проведения: октябрь – январь

Диагностика проводилась в несколько этапов:

Для первичной диагностики была подготовлена проверочная работа, состоящих из 30 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение. По согласованию с учителем, мы провели его в своем классе.

Время выполнения работы – 10 минут.

Образец работы

648 + 232	678 – (254 + 278)	18 * 16	19 * 5	135: 5
457 + 248	658 - (358 + 200)	12 * 17	32 * 25	48: 0,5
378 – 352	(456 + 128) - 356	52 * 11	48 * 50	24: 0,25
285 + 263	68 + 127 + 32	76 * 11	12 * 125	1 12: 0,125
447 – 256	59 + 29 + 41	34 * 22	56 * 0,5	3200: 25
698 – 230	429 - 235	17 * 33	28 * 1,5	720: 45

Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат.

Затем мы изучили с одноклассниками приемы быстрого счета. Чтобы работа была более успешной, мы создали брошюру “Приемы быстрого счета” и вручили ее каждому ученику нашего класса.

Провели еще одну проверочную работу.

В декабре мы провели фестиваль “Приемы быстрого счета”. Мы познакомили учащихся с историей возникновения вычислений, с некоторыми интересными способами быстрого счета, еще раз рассмотрели много методов, позволяющих считать быстро и правильно. После проведения фестиваля мы провели итоговую проверочную работу.

Результаты всех трех работ приведены в таблице:

	Фамилия, имя	Работа №1	Работа №2	Работа №3
1	Алишихова Муминат	16	18	25
2	Войтов Саша	7	12	18
3	Карпушова Светлана	15	22	26
4	Кийков Вениамин	12	16	25
5	Кузнецова Даша	11	15	20
6	Магомедова Патимат	14	19	24
7	Мальцев Сережа	14	17	22
8	Макагонов Саша	5	9	14
9	Мирзаева Мадина	14	22	24
10	Сухоруков Витя	6	8	10
11	Ульянова Инна	14	19	26
12	Ульянов Данила	7	9	15
13	Цымлов Захар	10	15	23
14	Шмагин Ярослав	6	8	14

• Средний балл первой работы – 10,1
• Средний балл второй работы – 15,3
• Средний балл итоговой работы – 20,6

Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается

Существуют способы быстрого счета... Мы рассмотрели лишь немногие из них.

Все рассмотренные нами методы говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Вычисления без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления

Устный счет – гимнастика ума!

Вычислительная техника с каждым днем становится все более совершенной, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Результаты работы над проектом:

• изучили историю возникновения вычислений
• рассмотрели правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас
• освоили правила быстрого счета и научили пользоваться ими учащихся нашего класса..
• провели фестиваль “Приемы быстрого счета”.
• создали брошюру “Приемы быстрого счета” о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.
• Создали брошюру “Система быстрого счета по Трахтенбергу”
• оформили альбом “Приемы быстрого счета”

Использованные ресурсы:

1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.
2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.
4. “Первое сентября” Математика №3(15), 2007.
5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, “Математика в школе”, 2008, №7, стр.68
6. Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка “Первого сентября”, серия “Математика”. Вып. 3(15).
7. http://portfolio.1september.ru/subject.php

Одна из главных причин плохих результатов по математике на ОГЭ или ЕГЭ – это неумение считать. Многие школьники затрудняются решить пример даже на листочке, не говоря уже о быстром счете в уме. А ведь некоторые участки мозга атрофируются, если человек не пользуется умственными навыками. Поэтому важно развивать умственные способности в полном объеме.

Основа для развития навыка счета в уме

Некоторые родители считают, что обучать ребенка быстро считать примеры в уме необязательно: в дальнейшем ему это не пригодится, ведь всегда можно воспользоваться калькулятором. Но при этом они забывают о том, что для развития мозга такая тренировка просто необходима: любой изученный метод (прием) счета – это новая нейронная цепочка (связь), чем таких цепочек больше, тем умнее школьник. Поэтому основная польза навыка быстрого счета – это развитие мозга, интеллекта.

Невозможно научиться работать с числами в голове, если иметь слабое представление о них и действиях с ними.

Умение счета развивается постепенно от визуально-наглядного представления чисел и действий с ними до абстрактно-логического:

1. Сначала ребенок учится считать в прямом и обратном порядке с помощью стишков, потешек, практических упражнений во время прогулки, принятия пищи игры (посчитать, сколько предметов на столе, машинок в гараже, птичек на дереве). Знакомится с цифрами, узнает, что они обозначают, учится соотносить цифру и количество.
2. Затем осваивает понятия «больше — меньше», «поровну», учится сравнивать количество предметов, размеры.
3. После этого знакомится со сложением и вычитанием, узнает смысл этих действий. Все примеры носят наглядный характер (к двум яблокам ребенок придвигает еще 2 яблока и считает, сколько получится).
4. Учится считать предметы глазами, проговаривает сначала вслух действия и результат действий, а потом — шепотом:если добавить к 4 машинкам еще 2, то получится 6.
5. Многократное повторение действий приведет к тому, что малыш научится распознавать примеры, с которыми уже работал и называть результат вслух, минуя этап проговаривания.

Важно на этапе обучения счету заинтересовать ребенка, поддерживать его в случае неудачи и радоваться вместе с ним победам, пусть даже и маленьким. Когда , навык нужно будет развивать, знакомя школьника с различными приемами и методиками.

Развитие навыка счета в уме

• Совершенствование умения работать с числами в голове.
• Знакомство с новыми приемами и методиками.
• Тренировка умения подбирать оптимальный алгоритм решения в каждом конкретном случае.

Умение работать с числами

Развивать подобный навык позволят упражнения:

• «Назови числа, в которых …» — указывается диапазон и условие, например «Назови числа от 5 до 50, в которых есть цифра 3» или «Назови все двузначные числа, в которых есть цифра 0». При выполнении данного упражнения важно сразу прорабатывать все ошибки, допущенные учеником. Если он пропустил число или назвал неправильное, то начинает сначала.
• «Ведение прогрессии» (диапазон и арифметические действия зависят от возраста и развития навыка счета). Например, «Иди от 5 с шагом 3» или «Иди в обратном порядке от 30 с шагом 4» — для детей начальной школы. Для тех, кто уже выучил таблицу умножения, можно давать задания на умножение и деление: «Иди от 2, умножая все числа на 3».
• «Найди числа от 1 до …» — детям нужно найти и назвать по порядку все числа в таблице.
• «Сравни числа» — дети определяют, какое из них больше (меньше), на сколько;
• «Примеры» — школьникам предлагают решить в уме примеры, сначала простейшие (с маленькими числами), после отработки числа постепенно увеличивают. Не стоит знакомить ребенка с двузначными или трехзначными числами, если он не умеет в совершенстве выполнять действия с числами до 5.

Приемы быстрого счета чисел

К сожалению, единого – универсального – способа, позволяющего решать все примеры одинаково быстро, просто не существует. Поэтому важно знать и уметь применять на практике несколько методов, из которых потом выбирать наиболее целесообразный.

Полезные алгоритмы решения некоторых примеров:

• Чтобы быстро вычесть из числа 7, 8 ил 9, нужно сначала вычесть 10, а затем прибавить 3,2 или 1 соответственно. Например: 45-9=45-10+1=36, или 36-8=36-10+2=28.
• Быстро умножить на 4, 8 и 16 тоже можно. Для этого нужно сначала вспомнить, что 4=2*2, 8=2*2*2, 16=2*2*2*2. Затем просто умножить число на2 несколько раз: 6*16=6*2*2*2*2=96.
• Чтобы умножить число на 9, его сначала увеличивают в 10 раз, а затем от полученного отнимают первый множитель: 27*9=27*10-27=243. Этот прием позволит очень быстро найти результат умножения на 9, если не пользоваться калькулятором.
• Некруглые числа при умножении на 2 удобнее округлить, а затем вычесть или добавить (в зависимости от того, в какую сторону округляли) произведение оставшегося или недостающего числа на 2: 132*2=130*2+2*2=264, или 138*2=140*2-2*2=276.
• Аналогично числа делят на 2: 156/2=150/2+6/2=78, или 156/2=160/2-4/2=78.
• Чтобы умножить на 5, число делят на 2, а затем увеличивают в 10 раз (действия можно произвести наоборот): 27*5=27/2*10 или 27*10/2=135.
• Подобные действия производят при умножении на 25: сначала делят на 4, а потом увеличивают в 100 раз (просто приписывают два нуля): 16*25=16/4*100=400. Конечно, таким способом удобнее пользоваться, когда первый множитель делится без остатка на 4. Определить, делится ли число на 4 без остатка несложно (нетабличные случаи): число, состоящее из двух его последних цифр, должно делиться на 4. Например, число 124 делится на 4 (24/4=6), а 526 – нет (26 не делится на 4 без остатка).

И еще один способ умножения на многозначного числа на однозначное – нужно умножить разрядные слагаемые на второй множитель и результаты сложить. Например, 424*5=400*5+20*5+4*5=2000+100+20=2120.

Чтобы не ошибиться в подсчетах важно уметь прогнозировать будущий результат, и здесь помогут несколько утверждений:

• При умножении однозначных чисел, результат не превышает 81: 9*9=81.
• Аналогично, 99*99=9801, поэтому результат умножения двузначных чисел не должен быть больше этого числа, а при увеличении трехзначных чисел максимальное число – 998001.

Отработка навыка счета в уме

Указанные выше алгоритмы – это основа для развития навыка устного счета. Научиться считать сложные примеры можно только при регулярной тренировке, доведении использования навыка до автоматизма.

Эффективность работы в этом направлении можно повысить, если во время занятий:

1. Создать игровую ситуацию , превращающую обыденный учебный процесс в интересный и необычный процесс.
2. Поддерживать увлеченность ребенка интересным материалом постоянной сменой деятельности.
3. Создать дух соперничества – осознание, что кто-то может сделать лучше, заставит стремиться к новым достижениям, такие занятия будут более эффективны, чем заучивание «в одиночку».
4. Фиксировать личные достижения , ставить новые цели по достижению новых вершин.

Умение концентрироваться на решении задачи в любой ситуации (даже когда мешают другие) также способствует развитию навыка счета (да и не только). Тренировать эту способность можно, решая примеры при включенной музыке или, находясь в шумной компании.

Чтобы ребенку не стало скучно, важно научиться бороться с этим чувством. Психологи рекомендуют использовать для этого любые действия: например, рассматривать, что происходит за окном, или наблюдать за движением часовых стрелок. Если малыш научится справляться со скукой, направлять свою энергию в нужное русло, то на уроках он сможет усвоить больший объем информации, что положительно скажется на его успеваемости .

Устный счет существует столько же, сколько существует человечество. В разные времена навыки быстрого счета играли большую роль в развитии не только людей, но и всего человечества. Сейчас наука продвинулась так далеко, что для вычислений используются мощные компьютеры, и человек просто не в силах сделать столько вычислений, сколько необходимо для одного только запуска большого адронного коллайдера или обычного смартфона.

Но даже сейчас, когда компьютерные системы ведут бухгалтерию миллионов компаний, автоматизируют все сложные и рутинные операции на предприятиях, заводах, аэропортах и даже в магазинах – быстрый счет не потерял и не потеряет своей актуальности.

Примеры упражнений для устного счета

Фруктовая математика

1. Развивает объем внимания.
2. Улучшает логику.

Игра «Фруктовая математика» поможет вам усовершенствовать свое мышление. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Числовой охват

1. Развивает объем памяти.
2. Улучшает семантическую память.

Надо запомнить цифры и воспроизвести их в правильном порядке. Можно пользоваться клавиатурой.

Навыки устного счета

Навыки устного счета бывают разными и перед тем как идти дальше ответьте, пожалуйста, на несколько вопросов:

1. Хотите научиться быстро считать в уме?
2. С какой целью Вы хотите научиться быстро считать ?
3. Как часто Вы пользуетесь калькулятором?
4. Вам всегда удобно пользоваться калькулятором?
5. Сколько времени вы тратите на то, чтобы его найти или запустить на своем телефоне/компьютере?
6. Вы бы стали учиться считать быстро для своего интеллектуального развития?
7. Вы хотите быстро считать сдачу в магазине ?
8. Вам часто требуется производить сложные математические действия?
9. Вы не хотите каждый раз напрягаться, чтобы что-нибудь сосчитать в уме?
10. Вас интересует комплексное или узкоспециализированное развитие интеллекта ?
11. Вы хотите стать гением или просто расширить кругозор? :)

Это были вопросы для размышления. Они помогают не только вовлечь Вас в процесс, показать альтернативные варианты, когда навыки быстрого счета бывают очень нужны. Подумайте, возможно Вы найдете еще плюсы, того какую пользу еще может принести этот математический навык.

Если Вы ответили "Да" хотя бы на один из вопросов, то надеюсь, что Вы научитесь лучше считать в уме.

Уроки устного счета

Чтобы научиться быстро считать в уме, Вам понадобится каждый день тренировать свой мозг. Выполняйте упражнения устного счета по 15-30 минут в день. Уже в первые дни заметите результат, большинство добиваются успехов уже на первом занятии.

Помню, у меня было так же, когда я уже давно ничего не считал и решил посмотреть, что осталось от моих былых способностей. Поначалу считал очень медленно, но потом получалось все быстрее и быстрее.. На первом занятии я стал быстро складывать почти все трехзначные числа. В процессе счета очень важную роль играет развитие памяти . Чем лучше развита память, тем быстрее запоминаются наиболее частые комбинации.

В результате мозг запоминает разные варианты и быстрее выдает результат. Поэтому счет потом идет больше по памяти, чем по вычислениям. Для вычисления сложных действий могут браться результаты более простых из памяти.

Уроки устного счета онлайн

Используйте приемы устного счета по 15-20 минут в день, Вы почувствуете результат уже на первых занятиях. Скоро там появятся интересные тренажеры для устного счета , которые обучают этому искусству в игровой форме.

Игры для развития устного счета

Вы когда-нибудь задумывались: "Как можно тренировать счет легко и интересно? ". Скорее всего да, потому что тренировать устный счет традиционным способом, как это принято в школе очень тяжело.

Наш мозг любит играть, он любит интересные задания, где виден прогресс в графиках или очках. Именно поэтому многие ученые в последнее столетие изучают работу мозга. Они обнаружили, что навыки развиваются лучше всего именно в игровой форме. Играйте по 3-5 игр в день, по 2 минуты и Вы увидите результат. Скорость Ваших ответов и набираемые очки будут постепенно увеличиваться.

Игра «Угадай операцию»

Это одно из лучших упражнений для тренировки счета , потому что вам потребуется вставить правильно математические знаки, чтобы получить верный результат. Это упражнение поможет вам развить устный счет , логику и скорость мысли. С каждым верным ответом сложность увеличивается.

Игра «Математические матрицы»

«Математические матрицы» великолепное упражнение для развития устного счета , которое поможет развить мыслительную работу мозга, устный счет , быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке показано число «29», а искомая пара «5» и «24».

Игра «Копилка»

Не могу удержаться, чтобы не посоветовать вам игру «Копилка» с того же самого сайта, на котором вам нужно зарегистрироваться, указать только E-mail и пароль. Эта игра сможет устроить вам фитнес для мозга и отдых для тела. Суть игры в том, чтобы указать 1 из 4 окошечек, в котором сумма монет наибольшая. Сумеете ли вы показать прекрасный результат? Мы ждем вас.

Игра «Математические сравнения»

Представляю прекрасную игру «Математические сравнения», с которой вы сможете расслабиться телом, а напрячься мозгом. На скриншоте показан пример данной игры, в которой будет вопрос, связанный с картинкой, а вам надо будет ответить. Время ограниченно. Как много вы успеете ответить?

Игра «2 назад»

Для развития устного счета советуем упражнение «2 назад». Эта игра помогает в развитии устного счета, памяти и внимания. На экран будет показана последовательность цифр, которые нужно запомнить, а затем сравнить цифру последней карты с предыдущей. Это упражнение тренирует не только устный счет, но и мозг в целом. Упражнение доступно после регистрации, вы готовы? Развивайтесь с нами.

Игра «Визуальная геометрия»

«Визуальная геометрия» - упражнение поможет ускорить ход ваших мыслей, повысит запоминаемость и память. С каждым успешно пройденным уровнем игра становится сложнее. Игра помогает развивать устный счет. Сколько уровней Вы сможете пройти?

Помимо этих упражнений есть еще более 30 бесплатных развивающих игровых-тренажеров, которые доступны сразу после регистрации.

Для получения доступа к бесплатным играм нужно зарегистрироваться указать только Ваш Email и пароль (или авторизоваться с помощью соц. сетей).

Устный счёт на ЕГЭ и ГИА

Устный счёт так же может пригодиться на экзаменах по математике, в том числе и на едином государственном экзамене, который пишут все школьники одиннадцатых классов. Этот навык поможет меньше мучиться со сложными вычислениями. Разбейте их на более мелкие математические операции, которые легче посчитать в уме.

Устный счёт улучшает не только ваши вычислительные способности, но и другие мыслительные стратегические операции, такие как память , что позволит ещё быстрее и качественнее запоминать любую информацию и применять свои новые способности не только на экзаменах, но и в своей повседневной жизни.

Чтобы научиться быстрее считать и лучше подготовиться к ЕГЭ или ГИА, запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика". Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Устный счет по математике

Взрослым и детям школьного возраста отлично подойдут тренинги и уроки устного счета. Особенно они нужны детям, потому что они только учатся считать, но школьникам 1,2 и 3 классов нужны более простые уроки устного счета по математике.

Для школьников начальных классов вполне хватит простых арифметических упражнений. Но зато как их можно натренировать, особенно если сделать это в игровой форме.

Игра «Числовой охват: Революция»

Интересная и полезная игра «Числовой охват: Революция», которая поможет Вам улучшить память. Суть игры в том, что на мониторе будут выводиться цифры по порядку, по одной, которые Вам следует запомнить, а затем воспроизвести. Такие цепочки будут состоять из 4, 5 и даже 6 цифр. Время ограниченно. Побейте дневной рекорд среди всех игроков.

Курсы для развития устного счета и мозга

Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика

Секретные и популярные приемы и лайфхаки, подойдет даже ребенку. Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого вычитания, сложения, умножения, деления, расчета процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх. Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

Цель курса: развить память и внимание у ребенка так, чтобы ему было легче учиться в школе, чтобы он мог лучше запоминать.

После прохождения курса ребенок сможет:

1. В 2-5 раз лучше запоминать тексты, лица, цифры, слова
2. Научится запоминать на более длительный срок
3. Увеличится скорость воспоминания нужной информации

Супер-память за 30 дней

Как только запишитесь на этот курс - для Вас начнется мощный 30-дневный тренинг развития супер-памяти и прокачки мозга.

В течение 30 дней после подписки Вы будете получать интересные упражнения и развивающие игры на свою почту, которые сможете применять в своей жизни.

Мы будем учиться запоминать все, что может потребоваться в работе или личной жизни: учиться запоминать тексты, последовательность слов, цифры, изображения, события, которые произошли в течение дня, недели, месяца и даже карты дорог.

Как улучшить память и развить внимание

Бесплатное практическое занятие от advance.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, копить деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Скорочтение за 30 дней

Запишитесь на курс Скорочтение за 30 дней, чтобы научиться читать в 3-4 раза быстрее. С 2015 года по нашей программе обучилось 1507 человек из Москвы, Санкт-Петербурга, Екатеринбурга, Новосибирска, Казани, Челябинска, Уфы, Оренбурга, Нижнего Новгорода, Киева, Минска и других городов.

Итог

В этой статье я дал общее представление об устном счете , способах развития устного счета, тренажерах, рассказал про курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", который поможет научиться считать на сверхзвуковой скорости.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

На чтение 11 мин. Просмотров 192 Опубликовано 27.09.2018

Многие спрашивают, как научиться быстро считать в уме, чтобы это выглядело незаметно и неглупо. Ведь современные технологии позволяют меньше пользоваться своей памятью и умственными способностями. Но иногда нет под рукой данных технологий и порой легче и быстрее посчитать что-то в уме. Многие люди начали считать на калькуляторе или телефоне даже элементарные вещи, что также не очень хорошо. Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без специальных девайсов и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Помимо утилитарного назначения, приемы устного счета позволят научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже ваших интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих «гуманитариев».

Способы быстрого счета

Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям. Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

Вычитание 7, 8, 9

Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

Умножение на 9

Быстро умножить любое число на 9 можно при помощи пальцев рук.

Деление и умножение на 4 и 8

Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно.

Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

Умножение на 5

Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 – это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

Умножение на 25

Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

Умножение на однозначные числа

Например, умножим 83*7.

Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 — разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581.

Возьмем более сложный пример: 236*3.

Итак, умножаем сложное число на 3 по разрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Определение диапазонов

Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке не выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных — не более 10 000 (99*99=9801), трехзначных не более — 1 000 000 (999*999=998001).

Раскладка на десятки и единицы

Способ заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например:

63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия:

1. Сначала умножаются десятки друг на друга.
2. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки.
3. Затем прибавляется произведение единиц.

Схематично это можно описать так:

— Первое действие: 60*80 = 4800 — запоминаем
— Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
— Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.

Мысленная визуализация умножения в столбик

56*67 – посчитаем в столбик. Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа.

Но его можно упростить:
Первое действие: 56*7 = 350+42=392
Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)
Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752

Частные методики умножения двузначных чисел до 30

Преимуществом трех способов умножения двузначных для устного счета состоит в том, что они универсальны для любых чисел и при хорошем навыке устного счета, они могут позволить вам достаточно быстро прийти к правильному ответу. Однако эффективность умножения некоторых двузначных чисел в уме может быть выше за счет меньшего количества действий при использовании специальных алгоритмов.

Умножение на 11

Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры.

Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10.

Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Быстро умножать на 11 устно можно не только двузначные числа, но и любые другие числа.

Например: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564

Квадрат суммы, квадрат разности

Для того чтобы возвести в квадрат двузначное число, можно воспользоваться формулами квадрата суммы или квадрата разности. Например:

23²= (20+3)2 = 202 + 2*3*20 + 32 = 400+120+9 = 529

69² = (70-1)2 = 702 – 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761

Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5.Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу дописываем 25.

25² = (2*(2+1)) 25 = 625

85² = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

155² = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Методика умножения чисел до 20 очень проста:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Доказать правильность этого метода просто: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. Последнее выражение и является демонстрацией описанного выше метода. По сути, этот метод является частным способом использования опорных чисел. В данном случае опорным числом является 10. В последнем выражении доказательства видно, что именно на 10 мы умножаем скобку. Но в качестве опорного числа можно использовать и любые другие числа, из которых наиболее удобными являются 20, 25, 50, 100…

Опорное число

Посмотрите на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8.

Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

1. К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.
2. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230
3. К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270.

Опорное число при умножении чисел до 100. Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа
Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100.
Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая. Покажем, все 3 методики на примерах.
Оба числа меньше опорного (под опорным) . Допустим, мы хотим умножить 48 на 47.
Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.
Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

1. Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или
из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же)
2. Дальше 45 умножаем на 50 = 2250
3. Затем прибавляем 2*3 к этому результату – 2 256

50 (опорное число)

3(50-47) 2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Если числа меньше опорного, то из первого множителя вычитаем разность между опорным числом и вторым множителем. Если числа больше опорного, то к первому множителю прибавляем разность опорного числа и второго множителя.

50(опорное число)

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

Одно число под опорным, а другое над. Третий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Меньший множитель увеличиваем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей. Или больший множитель уменьшаем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей.

50(опорное число)

5(50-45) 2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 или (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

При умножении двузначных чисел из разных десятков в качестве опорного числа удобнее
брать круглое число, которое больше большего множителя.

90(опорное число)

63 (90-27) 1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел. Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев).

В крайнем случае, можно воспользоваться «крестьянским» счетом . Чтобы умножить одно число на другое, допустим 21*75, нам нужно записать числа в две колонки. Первое число левой колонки 21, первое число правого столбика 75. Затем числа стоящие в левой колонке делить на 2 и отбрасывать остаток, пока не получим единицу, а числа в правой колонке умножаем на 2. Все строчки, имеющие четные числа в левой колонке вычеркиваем, а оставшиеся числа в правой колонке складываем, у нас получается точный результат.

Заключение

Как и все способы вычислений, данные методы быстрого счета имеют свои достоинства и недостатки:

ПЛЮСЫ:

1.С помощью различных методов быстрых вычислений даже самый малообразованный человек может считать.
2. Способы быстрого счета могут помочь избавиться от сложного действия, путем замены его на несколько более простых.
3.Способы быстрого счета полезны в ситуациях, когда нельзя воспользоваться умножением в столбик.
4.Способы быстрого счета позволяют сократить время вычислений.
5.Устный счет развивает умственную деятельность, что помогает быстрее ориентироваться в сложных жизненных ситуациях.
6. Техника устного счета делает процесс вычислений более увлекательным и интересным.

МИНУСЫ:

1.Зачастую, решать пример, пользуясь способами быстрого счета, оказывается дольше, чем просто перемножать в столбик, так как приходится выполнять большее количество действий, каждое из которых проще первоначального.
2.Бывают ситуации, когда человек от волнения или еще чего-то забывает способы быстрого счета или вовсе — путается в них; в таких случаях ответ получается неправильным, а способы являются фактически бесполезными.
3.Не для всех случаев разработаны способы быстрого счета.
4.Вычисляя с использованием техники быстрого счета, нужно держать множество ответов в голове, в чем можно запутаться и прийти к ошибочному результату.

Несомненно, практика играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые способны считать в уме сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме.

Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт , значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете удивить даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.