36 ca zecimală. Fracții ordinare și zecimale și operații asupra acestora. Acțiuni cu fracții. Adunarea fracțiilor

Ele sunt utilizate extrem de larg și într-o mare varietate de domenii ale activității umane, fie că este vorba de calcul științific și aplicat, dezvoltarea și funcționarea diferitelor echipamente, calcule economice etc. Din diverse motive, este adesea necesar să se efectueze conversie zecimală, precum și procesul invers. Trebuie remarcat faptul că similar transformare sunt produse relativ ușor și în conformitate cu anumite reguli și tehnici care au existat în matematică de multe sute de ani.

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție primă

Conversie zecimalăîn fracția „obișnuită” este destul de ușor și simplu. Pentru a face acest lucru, se folosește următoarea tehnică: numărul situat în dreapta punctului zecimal al numărului inițial este luat ca numărător al noii fracții; numărul zece este folosit ca numitor, la o putere egală cu numărul de cifre ale numărătorului. În ceea ce privește întreaga parte rămasă, aceasta rămâne neschimbată. Dacă partea întreagă este egală cu zero, atunci după transformare este pur și simplu omisă.

Cincizeci virgulă douăzeci și cinci este egal cu cincizeci virgulă unu și douăzeci și cinci împărțit la o sută este egal cu cincizeci virgulă unu patru.

Transformarea unei fracții într-o zecimală

Conversia unei fracții într-o zecimală, de fapt, este invers conversia unei fracții zecimale într-o fracție primă. De asemenea, implementarea sa nu provoacă dificultăți și este, de fapt, o operație aritmetică destul de simplă. Pentru a converti o fracție într-o zecimală trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul său în conformitate cu anumite reguli.

Trebuie implementat conversia fracțiunilor cinci optimi în zecimal.

Împărțirea cinci la opt dă zecimal zero virgulă șase sute douăzeci și cinci de miimi.

Rotunjirea rezultatului conversiei unei fracții la zecimală

Trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de un proces precum conversie zecimală, această procedură poate dura adesea la nesfârșit. În astfel de cazuri ei spun că rezultatul procedurii conversia unei fracții în zecimală poate să nu fie exactă. Cu toate acestea, practica arată că, în marea majoritate a cazurilor, nu este necesară obținerea unui rezultat perfect exact. De regulă, procesul de împărțire se încheie atunci când a obținut deja valorile acelor fracții zecimale care prezintă interes practic în fiecare caz specific.

Trebuie să tăiați o bucată de unt care cântărește un kilogram în nouă bucăți de greutate egală. La efectuarea acestei proceduri, se dovedește că masa fiecăruia dintre ele este de 1/9 kilogram. Dacă se efectuează conform tuturor regulilor transformare acest fracție comună V fracție zecimală, atunci se dovedește că masa fiecăreia dintre părțile rezultate este egală cu zero întreg și unu în perioada unui kilogram.

Rotunjirea se efectuează conform regulilor standard prevăzute în aritmetică: dacă prima dintre cifrele „aruncate” are o valoare de 5 sau mai mult, atunci ultima dintre cele semnificative este mărită cu unu. In rest ramane neschimbat.

Convertiți fracția o optime la o fracție zecimală.

Când unul este împărțit la opt, rezultatul este zero virgulă o sută douăzeci și cinci de miimi, sau rotunjit - zero virgulă treisprezece sutimi.

Deja în școala elementară, elevii sunt expuși la fracții. Și apoi apar în fiecare subiect. Nu poți uita acțiunile cu aceste numere. Prin urmare, trebuie să cunoașteți toate informațiile despre fracțiile ordinare și zecimale. Aceste concepte nu sunt complicate, principalul lucru este să înțelegeți totul în ordine.

De ce sunt necesare fracții?

Lumea din jurul nostru este formată din obiecte întregi. Prin urmare, nu este nevoie de acțiuni. Dar viața de zi cu zi îi împinge în mod constant pe oameni să lucreze cu părți ale obiectelor și lucrurilor.

De exemplu, ciocolata este formată din mai multe bucăți. Luați în considerare o situație în care țigla lui este formată din douăsprezece dreptunghiuri. Dacă îl împărțiți în două, obțineți 6 părți. Poate fi împărțit cu ușurință în trei. Dar nu va fi posibil să oferi cinci persoane un număr întreg de felii de ciocolată.

Apropo, aceste felii sunt deja fracțiuni. Și împărțirea lor ulterioară duce la apariția unor numere mai complexe.

Ce este o „fracție”?

Acesta este un număr format din părți ale unei unități. În exterior, arată ca două numere separate printr-o orizontală sau o oblică. Această caracteristică se numește fracțional. Numărul scris în partea de sus (stânga) se numește numărător. Ceea ce este în jos (dreapta) este numitorul.

În esență, slash-ul se dovedește a fi un semn de divizare. Adică, numărătorul poate fi numit dividend, iar numitorul poate fi numit divizor.

Ce fracții există?

În matematică există doar două tipuri: fracții ordinare și zecimale. Elevii se familiarizează cu primii din școala elementară, numindu-i pur și simplu „fracții”. Acesta din urmă se va învăța în clasa a V-a. Atunci apar aceste nume.

Fracțiile comune sunt toate cele care sunt scrise ca două numere separate printr-o linie. De exemplu, 4/7. O zecimală este un număr în care partea fracționară are o notație pozițională și este separată de numărul întreg printr-o virgulă. De exemplu, 4.7. Elevii trebuie să înțeleagă clar că cele două exemple date sunt numere complet diferite.

Fiecare fracție simplă poate fi scrisă ca zecimală. Această afirmație este aproape întotdeauna adevărată invers. Există reguli care vă permit să scrieți o fracție zecimală ca fracție comună.

Ce subtipuri au aceste tipuri de fracții?

Este mai bine să începeți în ordine cronologică, pe măsură ce sunt studiate. Fracțiile comune sunt pe primul loc. Dintre acestea se pot distinge 5 subspecii.

Corect. Numătorul său este întotdeauna mai mic decât numitorul său.

Gresit. Numătorul său este mai mare sau egal cu numitorul său.

Reductibil/ireductibil. Se poate dovedi a fi corect sau greșit. Un alt lucru important este dacă numărătorul și numitorul au factori comuni. Dacă există, atunci este necesar să împărțiți ambele părți ale fracției cu ele, adică să o reduceți.

Amestecat. Un număr întreg este alocat părții sale fracționale obișnuite (neregulate). Mai mult, este mereu în stânga.

Compozit. Este format din două fracții împărțite între ele. Adică conține trei linii fracționale simultan.

Fracțiile zecimale au doar două subtipuri:

finit, adică unul a cărui parte fracțională este limitată (are un capăt);

infinit - un număr ale cărui cifre după virgulă zecimală nu se termină (pot fi scrise la nesfârșit).

Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună?

Dacă acesta este un număr finit, atunci se aplică o asociere pe baza regulii - după cum aud, așa că scriu. Adică, trebuie să o citiți corect și să o scrieți, dar fără virgulă, dar cu o bară fracțională.

Ca un indiciu despre numitorul necesar, trebuie să vă amintiți că este întotdeauna unul și mai multe zerouri. Trebuie să scrieți atâtea dintre acestea din urmă câte cifre există în partea fracționară a numărului în cauză.

Cum se transformă fracțiile zecimale în fracții obișnuite dacă partea lor întreagă lipsește, adică egală cu zero? De exemplu, 0,9 sau 0,05. După aplicarea regulii specificate, se dovedește că trebuie să scrieți zero numere întregi. Dar nu este indicat. Tot ce rămâne este să notăm părțile fracționale. Primul număr va avea numitorul 10, al doilea va avea numitorul 100. Adică, exemplele date vor avea următoarele numere ca răspuns: 9/10, 5/100. Mai mult, se pare că acesta din urmă poate fi redus cu 5. Prin urmare, rezultatul pentru acesta trebuie scris ca 1/20.

Cum puteți converti o fracție zecimală într-o fracție obișnuită dacă partea sa întreagă este diferită de zero? De exemplu, 5.23 sau 13.00108. În ambele exemple, întreaga parte este citită și valoarea ei este scrisă. În primul caz este 5, în al doilea este 13. Apoi trebuie să treceți la partea fracțională. Aceeași operațiune ar trebui să fie efectuată cu ei. Primul număr apare 23/100, al doilea - 108/100000. A doua valoare trebuie redusă din nou. Răspunsul oferă următoarele fracții mixte: 5 23/100 și 13 27/25000.

Cum se transformă o fracție zecimală infinită într-o fracție obișnuită?

Dacă nu este periodică, atunci o astfel de operație nu va fi posibilă. Acest fapt se datorează faptului că fiecare fracție zecimală este întotdeauna convertită într-o fracție finită sau periodică.

Singurul lucru pe care îl poți face cu o astfel de fracție este rotunjirea ei. Dar atunci zecimala va fi aproximativ egală cu acel infinit. Poate fi deja transformat într-unul obișnuit. Dar procesul invers: convertirea în zecimală nu va da niciodată valoarea inițială. Adică, fracțiile neperiodice infinite nu sunt convertite în fracții obișnuite. Acest lucru trebuie amintit.

Cum se scrie o fracție periodică infinită ca fracție obișnuită?

În aceste numere, există întotdeauna una sau mai multe cifre după virgulă zecimală care se repetă. Ele sunt numite o perioadă. De exemplu, 0,3(3). Aici „3” este în perioada. Ele sunt clasificate drept raționale deoarece pot fi transformate în fracții obișnuite.

Cei care au întâlnit fracții periodice știu că acestea pot fi pure sau amestecate. În primul caz, punctul începe imediat de la virgulă. În al doilea, partea fracționată începe cu câteva numere, iar apoi începe repetarea.

Regula după care trebuie să scrieți o zecimală infinită ca fracție comună va fi diferită pentru cele două tipuri de numere indicate. Este destul de ușor să scrieți fracții periodice pure ca fracții obișnuite. Ca și în cazul celor finite, acestea trebuie convertite: notați perioada la numărător, iar numitorul va fi numărul 9, repetat de câte ori numărul de cifre conține perioada.

De exemplu, 0,(5). Numărul nu are o parte întreagă, așa că trebuie să începeți imediat cu partea fracțională. Scrie 5 ca numărător și 9 ca numitor, adică răspunsul va fi fracția 5/9.

Regula despre cum se scrie o fracție periodică zecimală obișnuită care este amestecată.

Uită-te la durata perioadei. Cam atat va avea numitorul.

Notează numitorul: primele nouă, apoi zerouri.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scrieți diferența dintre două numere. Toate numerele de după virgulă vor fi reduse, împreună cu punctul. Deductibilă - este fără punct.

De exemplu, 0,5(8) - scrieți fracția zecimală periodică ca fracție comună. Partea fracțională dinaintea punctului conține o cifră. Deci va fi un zero. Există, de asemenea, un singur număr în perioada - 8. Adică există doar un nouă. Adică trebuie să scrieți 90 la numitor.

Pentru a determina numărătorul, trebuie să scădeți 5 din 58. Rezultă 53. De exemplu, ar trebui să scrieți răspunsul ca 53/90.

Cum se convertesc fracțiile în zecimale?

Cea mai simplă opțiune este un număr al cărui numitor este numărul 10, 100 etc. Apoi numitorul este pur și simplu aruncat și o virgulă este plasată între părțile fracționale și întregi.

Există situații în care numitorul se transformă ușor în 10, 100 etc. De exemplu, numerele 5, 20, 25. Este suficient să le înmulțim cu 2, 5 și, respectiv, 4. Trebuie doar să înmulțiți nu numai numitorul, ci și numărătorul cu același număr.

Pentru toate celelalte cazuri, o regulă simplă este utilă: împărțiți numărătorul la numitor. În acest caz, puteți obține două răspunsuri posibile: o fracție zecimală finită sau periodică.

Operații cu fracții obișnuite

Adunare si scadere

Elevii se familiarizează cu ei mai devreme decât alții. Mai mult, la început fracțiile au aceiași numitori, apoi au alții diferiți. Regulile generale pot fi reduse la acest plan.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor.

Scrieți factori suplimentari pentru toate fracțiile obișnuite.

Înmulțiți numărătorii și numitorii cu factorii specificați pentru ei.

Adunați (scădeți) numărătorii fracțiilor și lăsați numitorul comun neschimbat.

Dacă numărătorul minuendului este mai mic decât subtraendul, atunci trebuie să aflăm dacă avem un număr mixt sau o fracție proprie.

În primul caz, trebuie să împrumutați unul din întreaga parte. Adaugă numitorul la numărătorul fracției. Și apoi faceți scăderea.

În al doilea, este necesar să se aplice regula scăderii unui număr mai mare dintr-un număr mai mic. Adică, din modulul subtraendului, scădeți modulul minuendului și, ca răspuns, puneți semnul „-”.

Priviți cu atenție rezultatul adunării (scăderii). Dacă obțineți o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte. Adică, împărțiți numărătorul la numitor.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a le efectua, fracțiile nu trebuie reduse la un numitor comun. Acest lucru facilitează efectuarea acțiunilor. Dar încă vă cer să respectați regulile.

Când înmulțiți fracții, trebuie să vă uitați la numerele din numărători și numitori. Dacă orice numărător și numitor au un factor comun, atunci ele pot fi reduse.

Înmulțiți numărătorii.

Înmulțiți numitorii.

Dacă rezultatul este o fracție reductibilă, atunci trebuie simplificată din nou.

Când împărțiți, trebuie mai întâi să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea, iar divizorul (a doua fracție) cu fracția reciprocă (schimbați numărătorul și numitorul).

Apoi procedați ca la înmulțire (începând de la punctul 1).

În sarcinile în care trebuie să înmulțiți (împărțiți) cu un număr întreg, acesta din urmă ar trebui să fie scris ca o fracție improprie. Adică, cu un numitor de 1. Apoi procedați așa cum este descris mai sus.



Operații cu zecimale

Adunare si scadere

Desigur, puteți converti oricând o zecimală într-o fracție. Și acționează conform planului deja descris. Dar uneori este mai convenabil să acționezi fără această traducere. Atunci regulile pentru adunarea și scăderea lor vor fi exact aceleași.

Egalizați numărul de cifre din partea fracțională a numărului, adică după virgulă zecimală. Adăugați numărul de zerouri lipsă.

Scrieți fracțiile astfel încât virgula să fie sub virgulă.

Adaugă (scădea) ca numerele naturale.

Eliminați virgula.

Înmulțirea și împărțirea

Este important că nu trebuie să adăugați zerouri aici. Fracțiile trebuie lăsate așa cum sunt date în exemplu. Și apoi mergi conform planului.

Pentru a înmulți, trebuie să scrieți fracțiile una sub alta, ignorând virgulele.

Înmulțiți ca numere naturale.

Puneți o virgulă în răspuns, numărând de la capătul drept al răspunsului atâtea cifre câte sunt în părțile fracționale ale ambilor factori.

Pentru a împărți, trebuie mai întâi să transformați divizorul: faceți-l un număr natural. Adică, înmulțiți-l cu 10, 100 etc., în funcție de câte cifre sunt în partea fracționară a divizorului.

Înmulțiți dividendul cu același număr.

Împărțiți o fracție zecimală la un număr natural.

Pune o virgulă în răspunsul tău în momentul în care se termină împărțirea întregii părți.



Ce se întâmplă dacă un exemplu conține ambele tipuri de fracții?

Da, în matematică există adesea exemple în care trebuie să efectuați operații pe fracții ordinare și zecimale. În astfel de sarcini există două soluții posibile. Trebuie să cântăriți în mod obiectiv cifrele și să alegeți cel optim.

Primul mod: reprezentați zecimale obișnuite

Este potrivit dacă diviziunea sau translația rezultă în fracții finite. Dacă cel puțin un număr oferă o parte periodică, atunci această tehnică este interzisă. Prin urmare, chiar dacă nu vă place să lucrați cu fracții obișnuite, va trebui să le numărați.

Al doilea mod: scrieți fracțiile zecimale ca obișnuite

Această tehnică se dovedește a fi convenabilă dacă partea de după virgulă zecimală conține 1-2 cifre. Dacă sunt mai multe, s-ar putea să ajungeți la o fracție comună foarte mare, iar notația zecimală va face sarcina mai rapidă și mai ușor de calculat. Prin urmare, trebuie întotdeauna să evaluați cu atenție sarcina și să alegeți cea mai simplă metodă de soluție.

Dacă trebuie să împărțim 497 la 4, atunci când împărțim vom vedea că 497 nu este divizibil egal cu 4, adică. restul diviziei rămâne. În astfel de cazuri se spune că este finalizată împărțire cu rest, iar soluția se scrie după cum urmează:
497: 4 = 124 (1 rest).

Componentele împărțirii din partea stângă a egalității se numesc la fel ca în diviziunea fără rest: 497 - dividend, 4 - separator. Rezultatul împărțirii atunci când este împărțit cu un rest se numește privat incomplet. În cazul nostru, acesta este numărul 124. Și, în sfârșit, ultima componentă, care nu este în diviziune obișnuită, este rest. În cazurile în care nu există rest, se spune că un număr este împărțit la altul fără urmă, sau în întregime. Se crede că, cu o astfel de împărțire, restul este zero. În cazul nostru, restul este 1.

Restul este întotdeauna mai mic decât divizorul.

Împărțirea poate fi verificată prin înmulțire. Dacă, de exemplu, există o egalitate 64: 32 = 2, atunci verificarea se poate face astfel: 64 = 32 * 2.

Adesea, în cazurile în care se realizează împărțirea cu un rest, este convenabil să se folosească egalitatea
a = b * n + r,
unde a este dividendul, b este divizorul, n este coeficientul parțial, r este restul.

Coeficientul numerelor naturale se poate scrie ca fractie.

Numătorul unei fracții este dividendul, iar numitorul este divizorul.

Deoarece numărătorul unei fracții este dividendul și numitorul este divizorul, credeți că linia unei fracții înseamnă acțiunea împărțirii. Uneori este convenabil să scrieți împărțirea ca fracție fără a utiliza semnul „:”.

Coeficientul împărțirii numerelor naturale m și n poate fi scris ca o fracție \(\frac(m)(n)\), unde numărătorul m este dividendul, iar numitorul n este divizorul:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Următoarele reguli sunt adevărate:

Pentru a obține fracția \(\frac(m)(n)\), trebuie să împărțiți unitatea în n părți egale (acțiuni) și să luați m astfel de părți.

Pentru a obține fracția \(\frac(m)(n)\), trebuie să împărțiți numărul m la numărul n.

Pentru a găsi o parte dintr-un întreg, trebuie să împărțiți numărul corespunzător întregului la numitor și să înmulțiți rezultatul cu numărătorul fracției care exprimă această parte.

Pentru a găsi un întreg din partea sa, trebuie să împărțiți numărul corespunzător acestei părți la numărător și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției care exprimă această parte.

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt înmulțiți cu același număr (cu excepția zero), valoarea fracției nu se va modifica:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt împărțite la același număr (cu excepția zero), valoarea fracției nu se va modifica:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Această proprietate se numește proprietatea principală a fracției.

Ultimele două transformări sunt numite reducerea unei fracții.

Dacă fracțiile trebuie reprezentate ca fracții cu același numitor, atunci această acțiune este numită reducerea fracțiilor la un numitor comun.

Fracții proprii și improprii. Numere mixte

Știți deja că o fracție poate fi obținută prin împărțirea unui întreg în părți egale și luând mai multe astfel de părți. De exemplu, fracția \(\frac(3)(4)\) înseamnă trei sferturi de unu. În multe dintre problemele din paragraful anterior, fracțiile au fost folosite pentru a reprezenta părți ale unui întreg. Bunul simț dictează că partea ar trebui să fie întotdeauna mai mică decât întregul, dar cum rămâne cu fracțiile precum \(\frac(5)(5)\) sau \(\frac(8)(5)\)? Este clar că aceasta nu mai face parte din unitate. Acesta este probabil motivul pentru care se numesc fracții al căror numărător este mai mare sau egal cu numitorul fracții improprii. Fracțiile rămase, adică fracțiile al căror numărător este mai mic decât numitorul, se numesc fracții corecte.

După cum știți, orice fracție comună, atât proprie cât și improprie, poate fi considerată ca rezultat al împărțirii numărătorului la numitor. Prin urmare, în matematică, spre deosebire de limbajul obișnuit, termenul „fracție improprie” nu înseamnă că am greșit ceva, ci doar că numărătorul acestei fracții este mai mare sau egal cu numitorul.

Dacă un număr este format dintr-o parte întreagă și o fracție, atunci așa fracțiile se numesc mixte.

De exemplu:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 este partea întreagă, iar \(\frac(2)(3) \) este partea fracțională.

Dacă numărătorul fracției \(\frac(a)(b) \) este divizibil cu un număr natural n, atunci pentru a împărți această fracție la n, numărătorul ei trebuie împărțit la acest număr:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Dacă numărătorul fracției \(\frac(a)(b)\) nu este divizibil cu un număr natural n, atunci pentru a împărți această fracție la n, trebuie să-i înmulțiți numitorul cu acest număr:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Rețineți că a doua regulă este adevărată și atunci când numărătorul este divizibil cu n. Prin urmare, îl putem folosi atunci când este dificil de determinat la prima vedere dacă numărătorul unei fracții este divizibil cu n sau nu.

Acțiuni cu fracții. Adunarea fracțiilor.

Puteți efectua operații aritmetice cu numere fracționale, la fel ca în cazul numerelor naturale. Să ne uităm mai întâi la adunarea fracțiilor. Este ușor să adăugați fracții cu numitori similari. Să găsim, de exemplu, suma \(\frac(2)(7)\) și \(\frac(3)(7)\). Este ușor de înțeles că \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul același.

Folosind litere, regula de adunare a fracțiilor cu numitori similari poate fi scrisă după cum urmează:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Dacă trebuie să adăugați fracții cu numitori diferiți, acestea trebuie mai întâi reduse la un numitor comun. De exemplu:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Pentru fracții, ca și pentru numerele naturale, sunt valabile proprietățile comutative și asociative ale adunării.

Adăugarea fracțiilor mixte

Se numesc notații precum \(2\frac(2)(3)\). fractii mixte. În acest caz, se numește numărul 2 întreaga parte fracție mixtă, iar numărul \(\frac(2)(3)\) este al acestuia parte fracționată. Intrarea \(2\frac(2)(3)\) se citește după cum urmează: „două și două treimi”.

Când împărțiți numărul 8 la numărul 3, puteți obține două răspunsuri: \(\frac(8)(3)\) și \(2\frac(2)(3)\). Ele exprimă același număr fracționar, adică \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Astfel, fracția improprie \(\frac(8)(3)\) este reprezentată ca o fracție mixtă \(2\frac(2)(3)\). În astfel de cazuri ei spun că dintr-o fracție improprie a evidențiat întreaga parte.

Scăderea fracțiilor (numerele fracționale)

Scăderea numerelor fracționale, ca și a numerelor naturale, se determină pe baza acțiunii de adunare: scăderea altuia dintr-un număr înseamnă găsirea unui număr care, adăugat la al doilea, dă primul. De exemplu:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) deoarece \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Regula de scădere a fracțiilor cu numitori similari este similară cu regula de adunare a unor astfel de fracții:
Pentru a găsi diferența dintre fracțiile cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul celui de-al doilea din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.

Folosind litere, această regulă este scrisă astfel:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii și numitorii acestora și să scrieți primul produs ca numărător, iar al doilea ca numitor.

Folosind litere, regula de înmulțire a fracțiilor poate fi scrisă după cum urmează:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Folosind regula formulată, puteți înmulți o fracție cu un număr natural, cu o fracție mixtă și, de asemenea, să înmulțiți fracții mixte. Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți un număr natural ca o fracție cu numitorul 1, o fracție mixtă - ca o fracție improprie.

Rezultatul înmulțirii ar trebui simplificat (dacă este posibil) prin reducerea fracției și izolarea întregii părți a fracției improprie.

Pentru fracții, ca și pentru numerele naturale, sunt valabile proprietățile comutative și combinative ale înmulțirii, precum și proprietatea distributivă a înmulțirii relativ la adunare.

Împărțirea fracțiilor

Să luăm fracția \(\frac(2)(3)\) și să o „întoarcăm”, schimbând numărătorul și numitorul. Obținem fracția \(\frac(3)(2)\). Această fracție se numește verso fracții \(\frac(2)(3)\).

Dacă acum „inversăm” fracția \(\frac(3)(2)\), vom obține fracția inițială \(\frac(2)(3)\). Prin urmare, fracții precum \(\frac(2)(3)\) și \(\frac(3)(2)\) sunt numite reciproc invers.

De exemplu, fracțiile \(\frac(6)(5) \) și \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) și \(\frac (18) )(7)\).

Folosind litere, fracțiile reciproce pot fi scrise după cum urmează: \(\frac(a)(b) \) și \(\frac(b)(a) \)

Este clar că produsul fracțiilor reciproce este egal cu 1. De exemplu: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Folosind fracții reciproce, puteți reduce diviziunea fracțiilor la înmulțire.

Regula pentru împărțirea unei fracții la o fracție este:
Pentru a împărți o fracție la alta, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.

Folosind litere, regula împărțirii fracțiilor poate fi scrisă după cum urmează:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Dacă dividendul sau divizorul este un număr natural sau o fracție mixtă, atunci pentru a folosi regula împărțirii fracțiilor, trebuie mai întâi reprezentat ca o fracție improprie.

Autor pe Youtube: Anastasia Ivanova

DESCARCĂ Conversia fracțiilor în zecimale și invers. Fracții periodice. Lecții video despre alte subiecte, precum și despre pregătirea pentru examenul de stat unificat și examenul de stat, […]

Comentarii pentru acest videoclip:

Ultimele comentarii pe site

Cheat pentru roblox (TRECARE PRIN PEREȚI) - Urmăriți/descărcați
⇒ „Ți-a promis cineva că poți descărca un truc de aici? :)”
Adăugat – Comedy Club – Ideal Woman – Vizionați/descărcați
⇒ „Îmi place duetul lui Demis Karibidis și Andrey Skorokhod) Băieții ăștia știu să te facă să râzi, îmi place mai ales accentul lui Karibidis) Deja m-am săturat de Pashka Volya și Kharlamov, dar aici poți vedea glume proaspete, nu aiurea. Și Marina Kravets arde și ea.În general, cred că este timpul să schimb puțin formatul spectacolului, să introduc câteva elemente noi.După atâția ani deja m-am cam obosit.În acest sens, îmi place foarte mult Comedy Woman, totul cu ei este foarte dinamic și modern.”
Adăugat - Londra, la revedere: oameni de afaceri fugari vor să se întoarcă în Rusia - Russia 24 - Urmăriți/descărcați
⇒ "Da, credeți mai mult astfel de știri. Oligarhii noștri care trăiesc în castele englezești mor de nerăbdare să se întoarcă în Rusia, crede cineva din țara noastră cu adevărat astfel de știri propagandistice. Ne întoarcem înapoi în Uniunea Sovietică. În fiecare zi înțeleg din ce în ce mai mult de ce? Televizorul se transforma intr-o cutie de zombi, zi de zi ni se dicta in ce ar trebui sa credem, indiferent daca este adevarat, prostii care se impun populatiei, pentru a arata cat de bine e aici pentru noi, in timp ce ei au absolut la naiba."
Adăugat – Druzhko Show #23 – Urmăriți/descărcați
⇒ "A fost o lansare excelentă. Aproape ca întotdeauna. Totuși, are propriul stil și carisma, care este foarte atractivă."
Adăugat - POLITICIENII ÎL FELICITĂ pe PUTIN - Urmăriți/descărcați
⇒ „Ei bine, bravo, ce să spun, toată lumea este o persoană atât de respectată, cum să nu te felicit. Sunt fericit să mă alătur felicitărilor.”
Adăugat -

Convertiți zecimal în normal

Fiecare fracție zecimală poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită. Doar scrieți folosind numitorul pentru a face acest lucru.

Regula de bază pentru conversia unei zecimale într-o fracție obișnuită este să citiți zecimala, dar de obicei este scrisă. De exemplu:

2,3 - două puncte din trei zeci

Deoarece fracția este completă, poate fi convertită într-un număr mixt sau fracție neregulată:

Transformarea unei fracții corecte într-o zecimală

O fracție netradițională poate fi convertită într-o zecimală, la fel ca pentru notația zecimală convențională, numitorul trebuie să fie urmat de unul sau mai multe zerouri, cum ar fi 10, 100, 1000 și așa mai departe.

Cum se transformă fracția totală în zecimală

Dacă extindem un astfel de numitor cu factorii primari, obținem același număr de dubleri și cinci:

100 = 10 10 = 2 5 2.5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Nu există alți factori primi, așa că aceste extensii nu conțin, deci:

O fracție obișnuită poate fi reprezentată ca zecimală numai dacă numitorul ei nu conține alți factori decât 2 și 5.

Hai sa participam:

Când numitorul este extins la factorii principali, rezultatul este un produs de 2 2:

Dacă îl înmulțiți cu doi patru, echivalați numărul cinci cu doi, veți obține unul dintre numitorii necesari - 100.

Pentru a obține un pasaj egal cu acesta, contorul trebuie înmulțit cu produsul a două cinci:

Să ne uităm la o altă facțiune:

Când numitorul este extins la factorii principali, produsul este 2,7, care conține numărul 7:

Un factor de 7 va fi prezent în numitor pentru a-l înmulți sau a numerelor întregi, astfel încât un produs care conține doar doi și cinci nu va apărea niciodată.

Prin urmare, această fracție nu poate fi redusă la niciunul dintre numitorii necesari: 10, 100, 1000 etc. Aceasta înseamnă că nu poate fi reprezentată ca număr zecimal.

O fracție obișnuită incompatibilă nu poate fi reprezentată ca zecimală dacă numitorul ei conține cel puțin un factor major de la unu la doi.

Rețineți că regula vorbește doar despre fracții ireversibile, deoarece unele fracții pot fi reprezentate ca abrevieri zecimale.

Să ne uităm la două părți:

Acum tot ce mai rămâne este să înmulțiți ca fracții frazale cu 5 pentru a obține 10 la numitor și puteți converti fracția într-o zecimală:

Cum se transformă o fracție zecimală într-o fracție comună

S-ar părea că transformarea unei fracții zecimale într-o fracție obișnuită este un subiect elementar, dar mulți elevi nu o înțeleg!

Prin urmare, astăzi vom arunca o privire detaliată asupra mai multor algoritmi simultan, cu ajutorul cărora veți înțelege orice fracțiuni într-o secundă.

Permiteți-mi să vă reamintesc că există cel puțin două forme de scriere a aceleiași fracții: comună și zecimală.

Fracțiile zecimale sunt tot felul de construcții de forma 0,75; 1,33; și chiar −7,41. Iată exemple de fracții obișnuite care exprimă aceleași numere:

Acum să ne dăm seama: cum să trecem de la notația zecimală la notația obișnuită?

Și cel mai important: cum să faci asta cât mai repede posibil?

Algoritm de bază

De fapt, există cel puțin doi algoritmi. Și acum ne vom uita la amândouă. Să începem cu primul - cel mai simplu și mai ușor de înțeles.

Pentru a converti o zecimală într-o fracție, trebuie să urmați trei pași:

1. Rescrieți fracția inițială ca o nouă fracție: fracția zecimală inițială va rămâne la numărător și trebuie să puneți una la numitor. În acest caz, semnul numărului inițial este plasat și în numărător.

   De exemplu:

2. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției rezultate cu 10 până când punctul zecimal dispare de la numărător. Permiteți-mi să vă reamintesc: pentru fiecare înmulțire cu 10, punctul zecimal este deplasat la dreapta cu un loc. Desigur, deoarece numitorul este și înmulțit, în locul numărului 1 va apărea 10, 100 etc.
3. În final, reducem fracția rezultată conform schemei standard: împărțim numărătorul și numitorul la numerele la care sunt multipli. De exemplu, în primul exemplu 0,75=75/100, iar ambele 75 și 100 sunt divizibile cu 25.

   Prin urmare, obținem 0,75 USD=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ - acesta este întregul răspuns. :)

O notă importantă despre numerele negative. Dacă în exemplul original există un semn minus în fața fracției zecimale, atunci în ieșire ar trebui să existe și un semn minus în fața fracției obișnuite.

Transformarea unei fracții într-o zecimală

Iată mai multe exemple:

Aș dori să acord o atenție deosebită ultimului exemplu. După cum puteți vedea, fracția 0,0025 conține multe zerouri după virgulă zecimală. Din această cauză, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 10 de până la patru ori. Este posibil să simplificați cumva algoritmul în acest caz?

Sigur ca poti. Și acum ne vom uita la un algoritm alternativ - este puțin mai greu de înțeles, dar după puțină practică funcționează mult mai rapid decât cel standard.

Un mod mai rapid

Acest algoritm are și 3 pași.

Pentru a obține o fracție dintr-o zecimală, procedați în felul următor:

1. Numărați câte cifre sunt după virgulă zecimală. De exemplu, fracția 1,75 are două astfel de cifre, iar 0,0025 are patru. Să notăm această cantitate cu litera $n$.
2. Rescrieți numărul inițial ca o fracție de forma $\frac(a)(((10)^(n)))$, unde $a$ sunt toate cifrele fracției inițiale (fără zerourile „începătoare” de pe stânga, dacă există), și $n$ este același număr de cifre după virgulă pe care l-am calculat în primul pas.

   Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți cifrele fracției inițiale cu una, urmate de $n$ zerouri.

3. Dacă este posibil, reduceți fracția rezultată.

Asta e tot! La prima vedere, această schemă este mai complicată decât cea anterioară. Dar, de fapt, este și mai simplu și mai rapid. Judecă singur:

După cum puteți vedea, în fracția 0,64 există două cifre după virgulă - 6 și 4.

Prin urmare $n=2$. Dacă eliminăm virgula și zerourile din stânga (în acest caz, doar un zero), obținem numărul 64. Să trecem la pasul al doilea: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Prin urmare, numitorul este exact o sută. Ei bine, atunci tot ce rămâne este să reduceți numărătorul și numitorul. :)

Inca un exemplu:

Aici totul este puțin mai complicat.

În primul rând, există deja 3 numere după virgulă, adică. $n=3$, deci trebuie să împărțiți la $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. În al doilea rând, dacă scoatem virgula din notația zecimală, obținem astfel: 0,004 → 0004. Amintiți-vă că zerourile din stânga trebuie eliminate, așa că de fapt avem numărul 4. Atunci totul este simplu: împărțiți, reduceți și obțineți răspunsul.

În sfârșit, ultimul exemplu:

Particularitatea acestei fracțiuni este prezența unei părți întregi.

Prin urmare, rezultatul pe care îl obținem este o fracție improprie de 47/25. Puteți, desigur, să încercați să împărțiți 47 la 25 cu un rest și astfel să izolați din nou întreaga parte.

Dar de ce să-ți complici viața dacă acest lucru se poate face în stadiul transformării? Ei bine, hai să ne dăm seama.

Ce să faci cu toată partea

De fapt, totul este foarte simplu: dacă dorim să obținem o fracție adecvată, atunci trebuie să scoatem întreaga parte din ea în timpul transformării și apoi, când obținem rezultatul, să o adăugăm din nou la dreapta înainte de linia fracției. .

De exemplu, luați în considerare același număr: 1,88. Să punctăm cu unu (întreaga parte) și să ne uităm la fracția 0,88.

Poate fi ușor convertit:

Apoi ne amintim despre unitatea „pierdută” și o adăugăm în față:

\[\frac(22)(25)\la 1\frac(22)(25)\]

Asta e tot! Răspunsul s-a dovedit a fi același ca după selectarea întregii părți data trecută. Încă câteva exemple:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\la 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\la 13\frac(4)(5).

Aceasta este frumusețea matematicii: indiferent în ce direcție ai merge, dacă toate calculele sunt făcute corect, răspunsul va fi întotdeauna același. :)

În concluzie, aș dori să iau în considerare încă o tehnică care îi ajută pe mulți.

Transformări „după ureche”

Să ne gândim ce este o zecimală chiar.

Mai precis, cum o citim. De exemplu, numărul 0,64 - îl citim ca „punctul zero 64 sutimi”, nu? Ei bine, sau doar „64 de sutimi”. Cuvântul cheie aici este „sutimi”, adică. numarul 100.

Ce zici de 0,004? Acesta este „punctul zero 4 miimi” sau pur și simplu „patru miimi”.

Într-un fel sau altul, cuvântul cheie este „mii”, adică. 1000.

Deci, care este marea problemă? Și adevărul este că aceste numere sunt cele care „apar” în cele din urmă în numitori în a doua etapă a algoritmului. Acestea. 0,004 este „patru miimi” sau „4 împărțit la 1000”:

Încercați să vă exersați - este foarte simplu. Principalul lucru este să citiți corect fracția originală. De exemplu, 2,5 este „2 întregi, 5 zecimi”, deci

Și vreo 1,125 este „1 întreg, 125 de miimi”, deci

În ultimul exemplu, desigur, cineva va obiecta că nu este evident pentru fiecare elev că 1000 este divizibil cu 125.

Dar aici trebuie să rețineți că 1000 = 103 și 10 = 2 ∙ 5, deci

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Astfel, orice putere a lui zece este descompusă doar în factorii 2 și 5 - acești factori trebuie căutați la numărător, pentru ca în final totul să fie redus.

Aceasta încheie lecția.

Să trecem la o operație inversă mai complexă - vezi „Tranziția de la o fracție obișnuită la o zecimală”.

Un număr destul de mare de oameni pun întrebări despre cum se transformă o fracție într-o fracție zecimală. Există mai multe moduri. Alegerea unei metode specifice depinde de tipul de fracție care trebuie convertită într-o altă formă sau, mai precis, de numărul din numitorul său. Cu toate acestea, pentru fiabilitate, este necesar să se indice că o fracție obișnuită este o fracție care este scrisă cu un numărător și un numitor, de exemplu, 1/2. Cel mai adesea, linia dintre numărător și numitor este trasată mai degrabă orizontal decât oblic. O fracție zecimală se scrie ca număr obișnuit cu virgulă: de exemplu, 1,25; 0,35 etc.

Deci, pentru a converti o fracție într-o zecimală fără un calculator, trebuie să:

Atenție la numitorul fracției comune. Dacă numitorul poate fi înmulțit cu ușurință până la 10 cu același număr ca și numărătorul, atunci ar trebui să utilizați această metodă ca fiind cea mai simplă. De exemplu, fracția comună 1/2 se înmulțește ușor la numărător și numitor cu 5, rezultând numărul 5/10, care poate fi deja scris ca fracție zecimală: 0,5. Această regulă se bazează pe faptul că o fracție zecimală are întotdeauna un număr rotund la numitor: 10, 100, 1000 și altele asemenea. Prin urmare, dacă înmulțiți numărătorul și numitorul unei fracții, atunci este necesar să obțineți exact același număr la numitor ca urmare a înmulțirii, indiferent de ceea ce se obține la numărător.

Există fracții obișnuite, al căror calcul după înmulțire prezintă anumite dificultăți. De exemplu, este destul de dificil să se determine cât de mult trebuie înmulțită fracția 5/16 pentru a obține unul dintre numerele de mai sus la numitor. În acest caz, ar trebui să utilizați împărțirea obișnuită, care se face într-o coloană. Răspunsul ar trebui să fie o fracție zecimală, care va marca sfârșitul operațiunii de transfer. În exemplul de mai sus, numărul rezultat este 0,3125. Dacă calculele pe coloană sunt dificile, atunci nu puteți face fără ajutorul unui calculator.

În cele din urmă, există fracții obișnuite care nu pot fi convertite în zecimale. De exemplu, când convertiți fracția comună 4/3, rezultatul este 1,33333, unde trei se repetă la infinit. Calculatorul nu va scăpa nici de cei trei care se repetă. Există mai multe astfel de fracții, trebuie doar să le cunoașteți. O ieșire din situația de mai sus poate fi rotunjirea, dacă condițiile exemplului sau problemei care se rezolvă permit rotunjirea. Dacă condițiile nu permit acest lucru, iar răspunsul trebuie scris exact sub forma unei fracții zecimale, înseamnă că exemplul sau problema a fost rezolvată incorect și ar trebui să dai înapoi câțiva pași pentru a găsi eroarea.

Astfel, convertirea unei fracții într-o zecimală este destul de simplă, iar această sarcină nu este dificil de rezolvat fără ajutorul unui calculator. Este și mai ușor să convertiți fracțiile zecimale în fracții obișnuite, efectuând pașii inversi descriși în metoda 1.

Video: clasa a VI-a. Conversia unei fracții într-o zecimală.