Acasă » clasa a 3-a » Formula mediană în statistică. median. Definiția modei în statistică

Formula mediană în statistică. median. Definiția modei în statistică

TEST

Pe subiect: "Mod. Median. Metode de calcul al acestora"

Introducere

Valorile medii și indicatorii aferenti de variație joacă un rol foarte important în statistică, care se datorează subiectului studiului acesteia. Prin urmare, acest subiect este unul dintre cele centrale ale cursului.

Media este un indicator de generalizare foarte comun în statistici. Acest lucru se explică prin faptul că numai cu ajutorul mediei este posibilă caracterizarea populației după un atribut variabil cantitativ. O valoare medie în statistică este o caracteristică generalizantă a unui set de fenomene de același tip în funcție de un atribut care variază cantitativ. Media arată nivelul acestui atribut, raportat la unitatea populației.

Studiind fenomenele sociale și căutând să identifice trăsăturile lor caracteristice, tipice în condiții specifice de loc și timp, statisticienii folosesc pe scară largă valorile medii. Cu ajutorul mediilor, diferite populații pot fi comparate între ele în funcție de caracteristici diferite.

Mediile utilizate în statistici aparțin clasei mediilor de putere. Dintre mediile puterii, se folosește cel mai des media aritmetică, mai rar media armonică; media armonică este utilizată numai la calcularea ratelor medii ale dinamicii, iar pătratul mediu - numai la calcularea indicatorilor de variație.

Media aritmetică este câtul de împărțire a sumei opțiunilor la numărul lor. Este utilizat în cazurile în care volumul unui atribut variabil pentru întreaga populație este format ca suma valorilor atributelor pentru unitățile sale individuale. Media aritmetică este cel mai comun tip de medie, deoarece corespunde naturii fenomenelor sociale, unde volumul semnelor variabile în agregat este cel mai adesea format exact ca suma valorilor atributului în unități individuale de populatia.

Conform proprietății sale definitorii, media armonică ar trebui utilizată atunci când volumul total al atributului este format ca suma valorilor reciproce ale variantei. Se folosește atunci când, în funcție de materialul disponibil, greutățile nu trebuie înmulțite, ci împărțite în opțiuni sau, ceea ce este la fel, înmulțite cu valoarea lor inversă. Media armonică în aceste cazuri este reciproca mediei aritmetice a valorilor reciproce ale atributului.

Media armonică ar trebui utilizată în acele cazuri în care ponderile nu sunt unitățile populației - purtătorii caracteristicii, ci produsele acestor unități și valoarea caracteristicii.

1. Definiția modului și a mediei în statistici

Mijloacele aritmetice și armonice sunt caracteristicile generalizatoare ale populației în funcție de unul sau altul atribut variabil. Caracteristicile descriptive auxiliare ale distribuției unui atribut variabil sunt modul și mediana.

În statistică, moda este valoarea unei caracteristici (variante) care se găsește cel mai adesea într-o anumită populație. În seria de variații, aceasta va fi varianta cu cea mai mare frecvență.

Mediana în statistică se numește variantă, care se află la mijlocul seriei de variații. Mediana împarte seria în jumătate, de ambele părți ale acesteia (în sus și în jos) există același număr de unități de populație.

Modul și mediana, spre deosebire de mediile exponențiale, sunt caracteristici specifice, valoarea lor este orice variantă particulară din seria de variații.

Modul este utilizat în cazurile în care este necesar să se caracterizeze valoarea cea mai frecventă a unei caracteristici. Dacă este necesar, de exemplu, să se afle cel mai frecvent salariu în întreprindere, prețul pieței la care s-a vândut cel mai mare număr de bunuri, mărimea pantofilor care sunt cel mai solicitați în rândul consumatorilor etc., în aceste cazuri recurge la modă.

Mediana este interesantă prin faptul că arată limita cantitativă a valorii caracteristicii variabile, care a fost atinsă de jumătate dintre membrii populației. Să fie salariul mediu al angajaților băncii să se ridice la 650.000 de ruble. pe luna. Această caracteristică poate fi completată dacă spunem că jumătate dintre muncitori au primit un salariu de 700.000 de ruble. și mai sus, adică să luăm mediana. Modul și mediana sunt caracteristici tipice în cazurile în care populațiile sunt omogene și mari ca număr.

2. Găsirea modului și a mediei într-o serie de variații discrete

Găsirea modului și a mediei într-o serie variațională, unde valorile atributelor sunt date de anumite numere, nu este foarte dificilă. Luați în considerare tabelul 1. cu distribuția familiilor după numărul de copii.

Tabelul 1. Distribuția familiilor după numărul de copii

Evident, în acest exemplu, moda va fi o familie cu doi copii, deoarece această valoare a opțiunilor corespunde celui mai mare număr de familii. Pot exista distribuții în care toate variantele sunt la fel de frecvente, caz în care nu există modă, sau, cu alte cuvinte, se poate spune că toate variantele sunt la fel de modale. În alte cazuri, nu una, ci două opțiuni pot fi cea mai mare frecvență. Apoi vor fi două moduri, distribuția va fi bimodală. Distribuțiile bimodale pot indica eterogenitatea calitativă a populației în funcție de trăsătura studiată.

Pentru a găsi mediana într-o serie de variații discrete, trebuie să împărțiți suma frecvențelor la jumătate și să adăugați ½ la rezultat. Deci, în repartizarea a 185 de familii după numărul de copii, mediana va fi: 185/2 + ½ = 93, i.e. A 93-a opțiune, care împarte rândul ordonat în jumătate. Care este sensul celei de-a 93-a opțiuni? Pentru a afla, trebuie să acumulați frecvențe, pornind de la cele mai mici opțiuni. Suma frecvențelor primei și celei de-a doua opțiuni este 40. Este clar că aici nu există 93 de opțiuni. Dacă adăugăm frecvența celei de-a 3-a opțiuni la 40, atunci obținem suma egală cu 40 + 75 = 115. Prin urmare, a 93-a opțiune corespunde celei de-a treia valori a atributului variabil, iar mediana va fi o familie cu doi copii. .

În acest exemplu, modul și mediana au coincis. Dacă am avut o sumă pară de frecvențe (de exemplu, 184), atunci aplicând formula de mai sus, obținem numărul de opțiuni mediane, 184/2 + ½ = 92,5. Deoarece nu există opțiuni fracționale, rezultatul indică faptul că mediana se află la mijloc între 92 și 93 de opțiuni.

3. Calculul modului și medianei în seria de variații de interval

Natura descriptivă a modului și a mediei se datorează faptului că nu compensează abaterile individuale. Întotdeauna corespund unei anumite variante. Prin urmare, modul și mediana nu necesită calcule pentru a le găsi dacă toate valorile caracteristicii sunt cunoscute. Cu toate acestea, în seria de variații de interval, calculele sunt utilizate pentru a găsi valoarea aproximativă a modului și mediana într-un anumit interval.

Pentru a calcula o anumită valoare a valorii modale a unui semn închis într-un interval, se utilizează următoarea formulă:

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

Unde X Mo este limita minimă a intervalului modal;

i Mo este valoarea intervalului modal;

fMo este frecvența intervalului modal;

f Mo-1 - frecvența intervalului premergător modalului;

f Mo+1 este frecvența intervalului care urmează modalului.

Vom arăta calculul modului folosind exemplul dat în tabelul 2.

Tabelul 2. Distribuția lucrătorilor întreprinderii în funcție de implementarea standardelor de producție

Pentru a găsi modul, determinăm mai întâi intervalul modal al seriei date. Din exemplu se poate observa că cea mai mare frecvență corespunde intervalului în care varianta se află în intervalul de la 100 la 105. Acesta este intervalul modal. Valoarea intervalului modal este 5.

Înlocuind valorile numerice din tabelul 2. în formula de mai sus, obținem:

L o \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108,8

Sensul acestei formule este următorul: valoarea acelei părți a intervalului modal, care trebuie adăugată la limita minimă a acesteia, este determinată în funcție de mărimea frecvențelor intervalelor anterioare și următoare. În acest caz, adăugăm 8,8 la 100, adică mai mult de jumătate din interval, deoarece frecvența intervalului anterior este mai mică decât frecvența intervalului următor.

Să calculăm mediana acum. Pentru a găsi mediana în seria de variații de interval, determinăm mai întâi intervalul în care se află (intervalul median). Un astfel de interval va fi unul a cărui frecvență cumulată este egală sau mai mare decât jumătate din suma frecvențelor. Frecvențele cumulate sunt formate prin însumarea treptată a frecvențelor, începând de la intervalul cu cea mai mică valoare caracteristică. Jumătate din suma frecvențelor pe care le avem este 250 (500:2). Prin urmare, conform tabelului 3. intervalul median va fi intervalul cu valoarea salariilor de la 350.000 de ruble. până la 400.000 de ruble.

Tabelul 3. Calculul medianei în seria de variații de interval

Înainte de acest interval, suma frecvențelor acumulate era 160. Prin urmare, pentru a obține valoarea medianei, este necesar să se adauge încă 90 de unități (250 - 160).

Mediana unei serii de numere

Cu toate acestea, este posibil să se determine valoarea atributului, care se numește mediană (Me). Median

Număr median: NoMe = ;

Modă

Tabelul 3.6.

f este suma frecvențelor seriei;

Frecvențe cumulate

S sunt frecvențe acumulate.

Pe fig. 3.2. Este prezentată o histogramă a unei serii de distribuție a băncilor după profit (conform Tabelului 3.6.).

x este suma profitului, milioane de ruble,

f este numărul de bănci.

„MEDIANUL SERIEI COMANDATE”

Versiunea text HTML a publicației

Rezumatul lecției de algebră din clasa a VII-a

Tema lecției: „MEDIANUL SERIELOR COMANDATE”.

profesor al filialei Lake School a școlii secundare MKOU Burkovskaya Eremenko Tatyana Alekseevna
Obiective:
conceptul de mediană ca caracteristică statistică a unei serii ordonate; pentru a forma capacitatea de a găsi mediana pentru serii ordonate cu un număr par și impar de membri; să formeze capacitatea de a interpreta valorile medianei în funcție de situația practică, să consolideze conceptul de mulțime medie aritmetică de numere. Dezvoltați abilitățile de muncă independentă. Dezvoltați un interes pentru matematică.
În timpul orelor

munca orală.
Sunt date rânduri: 1) 4; 1; 8; 5; 1; 2) ; 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; 4; 6; 7,3; 6. Găsiți: a) cele mai mari și cele mai mici valori ale fiecărui rând; b) intervalul fiecărui rând; c) moda fiecărui rând.
II. Explicarea noului material.
Lucrări manuale. 1. Luați în considerare problema de la paragraful 10 al manualului. Ce înseamnă rând ordonat? Subliniez că înainte de a găsi mediana, trebuie întotdeauna să sortați seriile de date. 2. Pe tablă, ne familiarizăm cu regulile de găsire a medianei pentru serii cu un număr par și impar de membri:
median

ordonat

rând
numere
Cu

ciudat

număr

membrii
numit numărul scris în mijloc și
median

rând ordonat
numere
cu un număr par de membri
se numește media aritmetică a două numere scrise în mijloc.
median

arbitrar

rând
se numește mediana 1 3 1 7 5 4 a seriei ordonate corespunzătoare.
Observ că indicatorii sunt media aritmetică, modul și mediana pentru

diferit

caracteriza

date,

primit

rezultat

observatii.

III. Formarea deprinderilor și abilităților.
grupa 1. Exerciții de aplicare a formulelor de găsire a medianei unei serii ordonate și neordonate. 1.
№ 186.
Soluţie: a) Numărul de membri ai seriei P= 9; median Pe mine= 41; b) P= 7, rândul este ordonat, Pe mine= 207; V) P= 6, rândul este ordonat, Pe mine== 21; G) P= 8, rândul este ordonat, Pe mine== 2,9. Răspuns: a) 41; b) 207; la 21; d) 2.9. Elevii comentează cum este găsită mediana. 2. Aflați media aritmetică și mediana unei serii de numere: a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; V) ; 1. b) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Soluţie: Pentru a găsi mediana, este necesar să sortați fiecare rând: a) 21, 23, 27, 29, 31, 34. P = 6; X = = 27,5; Pe mine== 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + b) 56, 58, 62, 64, 66, 74.

Cum să găsiți mediana în statistici

P = 6; X = 63,3; Pe mine== 63; V) ; 1. P = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; Pe mine = . 3.
№ 188
(oral). Răspuns: da; b) nu; c) nu; d) da. 4. Știind că seria ordonată conține T numere, unde T este un număr impar, indicați numărul termenului care este mediana dacă T este egal cu: a) 5; b) 17; c) 47; d) 201. Răspuns: a) 3; b) 9; c) 24; d) 101. grupa a 2-a. Sarcini practice pentru găsirea medianei seriei corespunzătoare și interpretarea rezultatului. 1.
№ 189.
Soluţie: Numărul de membri de rând P= 12. Pentru a găsi mediana, seria trebuie ordonată: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Mediana seriei Pe mine= = 176. Producția lunară a fost mai mare decât mediana pentru următorii membri ai artelului: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 xx++ = 1) Kvitko; 4) Bobkov; 2) Baranov; 5) Rylov; 3) Antonov; 6) Astafiev. Răspuns: 176. 2.
№ 192.
Soluţie: Să aranjam seriile de date: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; numărul de membri de rând P= 20. Glisați A = X max- X min = 42 - 30 = 12. Mod Lu= 32 (această valoare apare de 6 ori - mai des decât altele). Median Pe mine= = 35. În acest caz, intervalul arată cea mai mare distanță de timp pentru prelucrarea piesei; modul arată cea mai tipică valoare a timpului de procesare; mediana este timpul de procesare pe care nu l-au depășit jumătate dintre strunjitori. Răspuns: 12; 32; 35.
IV. Rezumatul lecției.
Care este mediana unei serii de numere? – Poate mediana unei serii de numere să nu coincidă cu niciunul dintre numerele din serie? – Ce număr este mediana unei serii ordonate care conține 2 P numere? 2 P– 1 numere? Cum să găsiți mediana unei serii neordonate?
Teme pentru acasă:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

La secţiunea învăţământ general de bază

Mod și mediană

Valorile medii includ, de asemenea, modul și mediana.

Mediana și modul sunt adesea folosite ca o caracteristică medie în acele populații în care calculul mediei (aritmetică, armonică etc.) este imposibil sau nepractic.

De exemplu, un sondaj eșantion în orașul Omsk a 12 case de schimb valutar comercial a făcut posibilă fixarea diferitelor prețuri pentru dolar atunci când a fost vândut (date din 10 octombrie 1995 la cursul de schimb al dolarului -4493 ruble) .

Din cauza faptului că cercetătorul nu dispune de date privind volumul vânzărilor în fiecare casă de schimb valutar, calculul mediei aritmetice în vederea stabilirii prețului mediu pe dolar este nepotrivit. Cu toate acestea, este posibil să se determine valoarea atributului, care se numește mediană (Me). Median se află în mijlocul rândului clasat și îl divide în două.

Calculul medianei pentru datele negrupate se face după cum urmează:

a) aranjați valorile individuale ale caracteristicii în ordine crescătoare:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

b) determinați numărul de serie al medianei prin formula:

în exemplul nostru, aceasta înseamnă că mediana în acest caz este situată între a șasea și a șaptea valoare caracteristică din seria clasată, deoarece seria are un număr par de valori individuale. Astfel, Me este egal cu media aritmetică a valorilor învecinate: 4550, 4560.

c) luați în considerare procedura de calcul a mediei în cazul unui număr impar de valori individuale.

Să presupunem că observăm nu 12, ci 11 puncte de schimb valutar, atunci seria clasată va arăta astfel (eliminăm al 12-lea punct):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

Număr median: NoMe = ;

pe locul șase este = 4560, care este mediana: Me = 4560. Pe ambele părți ale acestuia este același număr de puncte.

Modă- aceasta este cea mai comună valoare a atributului în unități din această populație. Ea corespunde unei anumite valori caracteristice.

În cazul nostru, prețul modal pe dolar poate fi numit 4560 de ruble: această valoare se repetă de 4 ori, mai des decât toate celelalte.

În practică, modul și mediana sunt de obicei găsite din date grupate. În urma grupării s-a obţinut o serie de repartizare a băncilor în funcţie de valoarea profitului încasat pe an (Tabelul 3.6.).

Tabelul 3.6.

Gruparea băncilor după valoarea profitului încasat pe anul

Pentru a determina mediana, este necesar să se calculeze suma frecvențelor cumulate. Creșterea în total continuă până când suma cumulativă a frecvențelor depășește jumătate din suma frecvențelor. În exemplul nostru, suma frecvențelor acumulate (12) depășește jumătate din toate valorile (20:2). Această valoare corespunde intervalului median, care conține mediana (5,5 - 6,4). Să-i determinăm valoarea prin formula:

unde este valoarea inițială a intervalului care conține mediana;

- valoarea intervalului median;

f este suma frecvențelor seriei;

este suma frecvențelor cumulate care preced intervalul median;

este frecvența intervalului median.

Astfel, 50% dintre bănci au un profit de 6,1 milioane de ruble, iar 50% dintre bănci - mai mult de 6,1 milioane de ruble.

Cea mai mare frecvență corespunde și intervalului 5,5 - 6,4, adică. modul trebuie să fie în acest interval. Valoarea acestuia este determinată de formula:

unde este valoarea inițială a intervalului care conține modul;

- valoarea intervalului modal;

este frecvența intervalului modal;

- frecvenţa intervalului premergător modalului;

- frecvenţa intervalului după modal.

Formula de modă dată poate fi utilizată în serii variaționale cu intervale egale.

Astfel, în acest agregat, cel mai frecvent profit este de 6,10 milioane de ruble.

Mediana și modul pot fi determinate grafic. Mediana este determinată de cumulat (Fig. 3.1.). Pentru a-l construi, este necesar să se calculeze frecvențele și frecvențele cumulate. Frecvențele cumulate arată câte unități ale populației au valori caracteristice nu mai mari decât valoarea considerată și este determinată de însumarea succesivă a frecvențelor de interval. La construirea seriei de distribuție a intervalelor cumulate, limita inferioară a primului interval corespunde unei frecvențe egale cu zero, iar limita superioară corespunde întregii frecvențe a intervalului dat. Limita superioară a celui de-al doilea interval corespunde frecvenței cumulate egale cu suma frecvențelor primelor două intervale și așa mai departe.

Să construim o curbă cumulată conform tabelului. 6 privind repartizarea băncilor după profit.

Frecvențe cumulate

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Х profit

Orez. 3.1. Distribuția cumulativă a băncilor după profit:

x este suma profitului, milioane de ruble,

S sunt frecvențe acumulate.

Pentru a determina mediana, înălțimea celei mai mari ordonate, care corespunde populației totale, se împarte la jumătate. Prin punctul obţinut se trasează o linie dreaptă, paralelă cu axa absciselor, până se intersectează cu cumulul. Abscisa punctului de intersecție este mediana.

Modul este determinat din histograma distribuției. Histograma este construită astfel:

Pe axa absciselor sunt trasate segmente egale care, pe scara acceptată, corespund mărimii intervalelor seriei de variații. Pe segmentele sunt construite dreptunghiuri ale căror zone sunt proporționale cu frecvențele (sau frecvențele) intervalului.

Mediana în statistică

3.2. Este prezentată o histogramă a unei serii de distribuție a băncilor după profit (conform Tabelului 3.6.).

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 X

Orez. 3.2. Distribuția băncilor comerciale după profit:

x este suma profitului, milioane de ruble,

f este numărul de bănci.

Pentru a determina moda, conectăm vârful drept al dreptunghiului modal cu colțul din dreapta sus al dreptunghiului anterior și vârful stâng al dreptunghiului modal cu colțul din stânga sus al dreptunghiului următor. Abscisa punctului de intersecție al acestor drepte va fi modul de distribuție.

Mediană (statistică)

Mediană (statistică), în statistica matematică, un număr care caracterizează un eșantion (de exemplu, un set de numere). Dacă toate elementele din eșantion sunt diferite, atunci mediana este numărul eșantionului, astfel încât exact jumătate dintre elementele din eșantion sunt mai mari decât acesta, iar cealaltă jumătate sunt mai mici decât acesta. Într-un caz mai general, mediana poate fi găsită ordonând elementele probei în ordine crescătoare sau descrescătoare și luând elementul din mijloc. De exemplu, eșantionul (11, 9, 3, 5, 5) după ordonare se transformă în (3, 5, 5, 9, 11) iar mediana sa este numărul 5. Dacă eșantionul are un număr par de elemente, mediana poate să nu fie determinată în mod unic: pentru datele numerice, se utilizează cel mai des jumătatea sumei a două valori adiacente (adică mediana setului (1, 3, 5, 7) este luată egală cu 4).

Sarcina numărul 1. Calculul valorii medii aritmetice, modale și mediane

Din cauza acestei proprietăți, acest indicator are câteva alte denumiri: percentila 50 sau cuantila 0,5.

Valoarea medie
Median
Modă

Mediană (statistică)

5.5 Mod și mediană. Calculul lor în serii variaționale discrete și interval

Dacă eșantionul are un număr par de elemente, mediana poate să nu fie determinată în mod unic: pentru datele numerice, se utilizează cel mai des jumătatea sumei a două valori adiacente (adică mediana mulțimii (1, 3, 5, 7) se ia egal cu 4).

Cu alte cuvinte, mediana în statistică este valoarea care împarte seria la jumătate în așa fel încât de ambele părți ale acesteia (în sus sau în jos) să fie situat același număr de unități ale populației date. Din cauza acestei proprietăți, acest indicator are câteva alte denumiri: percentila 50 sau cuantila 0,5.

Mediana este folosită în locul mediei aritmetice atunci când variantele extreme ale seriei clasate (cel mai mic și cel mai mare) în comparație cu restul se dovedesc a fi excesiv de mari sau excesiv de mici.

Funcția MEDIAN măsoară tendința centrală, care este centrul unui set de numere într-o distribuție statistică. Există trei modalități cele mai comune de a determina tendința centrală:

Valoarea medie- media aritmetică, care se calculează prin adăugarea unui set de numere, urmată de împărțirea sumei rezultate la numărul acestora.
De exemplu, media numerelor 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 5, care este rezultatul împărțirii sumei lor, care este 30, la numărul lor, care este 6.
Median- un număr care este mijlocul unui set de numere: jumătate dintre numere au valori mai mari decât mediana, iar jumătate dintre numere sunt mai mici.
De exemplu, mediana numerelor 2, 3, 3, 5, 7 și 10 este 4.
Modă este numărul care apare cel mai frecvent în setul dat de numere.
De exemplu, modul pentru numerele 2, 3, 3, 5, 7 și 10 ar fi 3.

Lecție de algebră în clasa a VII-a.

Subiectul „Media ca caracteristică statistică”.

Profesorul Egorova N.I.

Scopul lecției: formarea înțelegerii de către elevi a medianei unui set de numere și a capacității de a o calcula pentru mulțimi numerice simple, fixând conceptul de mulțime medie aritmetică de numere.

Tipul lecției: explicația materialului nou.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric.

Informați subiectul lecției și formulați obiectivele acesteia.

2. Actualizarea cunoștințelor anterioare.

Întrebări pentru studenți:

Care este media aritmetică a unui set de numere?

Unde se află media aritmetică într-un set de numere?

Ce caracterizează media aritmetică a unui set de numere?

Unde se folosește des media aritmetică a unui set de numere?

Sarcini orale:

Aflați media aritmetică a unui set de numere:

Verificarea temelor.

Manual: Nr. 169, Nr. 172.

3. Învățarea de material nou.

În lecția anterioară, ne-am familiarizat cu o astfel de caracteristică statistică precum media aritmetică a unui set de numere. Astăzi vom dedica o lecție unei alte caracteristici statistice - mediana.

Nu numai media aritmetică arată unde pe linia numerică sunt situate numerele oricărei mulțimi și unde este centrul lor. Un alt indicator este mediana.

Mediana unui set de numere este numărul care împarte mulțimea în două părți egale. În loc de „mediană” s-ar putea spune „mijloc”.

Mai întâi, folosind exemple, vom analiza cum să găsim mediana și apoi vom da o definiție strictă.

Luați în considerare următorul exemplu verbal folosind un proiector

La sfârșitul anului școlar, 11 elevi din clasa a VII-a au trecut standardul de alergare de 100 de metri. Au fost înregistrate următoarele rezultate:

După ce băieții au alergat pe distanță, Petya s-a apropiat de profesor și l-a întrebat care a fost rezultatul lui.

„Cea mai mare medie: 16,9 secunde”, a răspuns profesorul

"De ce?" Petya a fost surprinsă. - La urma urmei, media aritmetică a tuturor rezultatelor este de aproximativ 18,3 secunde și am alergat cu o secundă sau mai bine. Și, în general, rezultatul Katya (18,4) este mult mai aproape de medie decât al meu.”

„Rezultatul tău este mediu pentru că cinci persoane au alergat mai bine decât tine și cinci mai proaste. Deci ești chiar la mijloc”, a spus profesorul.

Scrieți un algoritm pentru găsirea medianei unui set de numere:

Ordonați setul numeric (compuneți o serie clasificată).

În același timp, tăiem numerele „mai mari” și „mai mici” ale acestui set de numere până când rămân un număr sau două numere.

Dacă există un singur număr, atunci acesta este mediana.

Dacă au mai rămas două numere, atunci mediana va fi media aritmetică a celor două numere rămase.

Invitați cursanții să formuleze în mod independent definiția medianei unui set de numere, apoi citiți definiția medianei din manual (pag. 40), apoi rezolvați nr. 186 (a, b), nr. 187 (a) din manualul (pag. 41).

Cometariu:

Atrageți atenția elevilor asupra unei circumstanțe importante: mediana este practic insensibilă la abaterile semnificative ale valorilor individuale extreme ale seturilor de numere. În statistică, această proprietate se numește stabilitate. Stabilitatea unui indicator statistic este o proprietate foarte importantă, ne asigură împotriva erorilor aleatorii și a datelor individuale nesigure.

4. Consolidarea materialului studiat.

Rezolvarea problemelor.

Notați x-media aritmetică, Me-mediană.

Set de numere: 1,3,5,7,9.

x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5,

Set de numere: 1,3,5,7,14.

x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.

a) Set de numere: 3,4,11,17,21

b) Set de numere: 17,18,19,25,28

c) Set de numere: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Concluzie: mediana unui set de numere format dintr-un număr impar de membri este egală cu numărul din mijloc.

a) Un set de numere: 2, 4, 8, 9.

Eu = (4+8):2=12:2=6

b) Un set de numere: 1,3,5,7,8,9.

Eu = (5+7):2=12:2=6

Mediana unui set de numere care conține un număr par de membri este jumătate din suma celor două numere din mijloc.

Elevul a primit următoarele note la algebră în timpul trimestrului:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Găsiți scorul mediu și mediana acestui set.

Să găsim scorul mediu, adică media aritmetică:

x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4

Găsiți mediana acestui set de numere:

Să comandăm un set de numere: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Doar 10 numere, pentru a găsi mediana trebuie să luați două numere din mijloc și să găsiți jumătatea lor.

Eu = (5+5):2 = 5

Întrebare pentru elevi: Dacă ai fi profesor, ce notă i-ai da acestui elev pentru un sfert? Justificați răspunsul.

Președintele companiei primește un salariu de 300.000 de ruble. trei dintre adjuncții săi primesc câte 150.000 de ruble fiecare, patruzeci de angajați - câte 50.000 de ruble fiecare. iar salariul unui curățenie este de 10.000 de ruble. Aflați media aritmetică și mediana salariilor din companie. Care dintre aceste caracteristici este mai profitabilă pentru președinte să le folosească în scopuri publicitare?

x \u003d (300000 + 3 150000 + 40 50000 + 10000): (1 + 3 + 40 + 1) \u003d 2760000: 45 \u003d 61333,33 (ruble)

Nr. 6. Oral.

A) Câte numere sunt în mulțime dacă mediana este al nouălea termen?

B) Câte numere sunt în mulțime dacă mediana ei este media aritmetică a celui de-al 7-lea și al 8-lea membru?

C) Într-un set de șapte numere, cel mai mare număr a fost mărit cu 14. Va schimba acest lucru atât media aritmetică, cât și mediana?

D) Fiecare dintre numerele din mulțime a fost mărit cu 3. Ce se va întâmpla cu media aritmetică și cu mediana?

Dulciurile din magazin se vând la greutate. Pentru a afla câte dulciuri sunt conținute într-un kilogram, Masha a decis să găsească greutatea unei bomboane. Ea a cântărit mai multe bomboane și a obținut următoarele rezultate:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Ambele caracteristici sunt potrivite pentru estimarea greutății unei bomboane, deoarece nu sunt foarte diferiți unul de celălalt.

Deci, pentru a caracteriza informațiile statistice, se folosesc media aritmetică și mediana. În multe cazuri, unele dintre caracteristici pot să nu aibă vreo semnificație semnificativă (de exemplu, având informații despre momentul accidentelor rutiere, nu are sens să vorbim despre media aritmetică a acestor date).

Tema pentru acasă: paragraful 10, nr. 186 (c, d), nr. 190.

5. Rezultatele lecției. Reflecţie.

„Cercetarea statistică: colectarea și gruparea datelor statistice”

Lecţie

… Subiecte propus pentru a şaptea clasă. PLANIFICARE TEMATICĂ. § 1. Statisticcaracteristici. P 1. Media aritmetică, interval și mod 1h. P 2. MedianCumstatisticcaracteristică …
Programul de lucru al cursului de formare „algebră” în clasa a VII-a (nivel de bază) notă explicativă

Program de lucru

... punctul 10 MedianCumstatisticcaracteristică 23 p.9 Media aritmetică, interval și mod 24 Examenul nr. 2 activat subiect …
Program de lucru. Matematică. clasa a V-a p. Kanashi. 2011

Program de lucru

... ecuații. Media aritmetică, interval și mod. MedianCumstatisticcaracteristică. Scopul este de a sistematiza și rezuma informații despre ... și abilitățile dobândite la lectii conform subiecte(bine algebră 10 clasă). 11 Clasă(4 ore pe săptămână...
Ordinul nr.51 din 30 august 2012 Program de lucru algebră Nota a VII-a

Program de lucru

… material de învățare MedianCumstatisticcaracteristică Cunoașteți definiția mediei aritmetice, intervalului, modului și medianeCumstatisticcaracteristici Frontale si individuale...
Program de lucru la matematică clasa a 7-a nivel II nivel de bază (1)

Program de lucru

Cum să găsiți mediana unei serii

la fel, Cum la 6 sala de clasa. Studiu Subiecte se încheie prin a prezenta elevilor cele mai simple statisticcaracteristici: mediu ... M .: Editura „Genzher”, 2009. 3. Zhokhov, V.I. Lecțiialgebră la 7 sala de clasa: carte. pentru profesor / V. I. Zhokhov ...

Alte documente conexe...

Scurtă teorie

Cele mai utilizate în statistică sunt mediile structurale, care includ modul și mediana (mediile neparametrice).

Modă- valoarea trăsăturii (variantei) care apare în seria de distribuție cu cea mai mare frecvență (pondere). Moda (Mo) este folosită pentru a identifica valoarea trăsăturii care este cea mai comună (prețul de pe piață la care s-a realizat cel mai mare număr de vânzări ale acestui produs, numărul de pantofi care este cel mai solicitat în rândul cumpărătorilor etc.) . Modul este utilizat numai în agregate de numere mari. Într-o serie discretă, modul se găsește ca o variantă cu cea mai mare frecvență. În seria de intervale se găsește mai întâi intervalul modal, adică intervalul cu cea mai mare frecvență, iar apoi valoarea aproximativă a valorii modale a atributului conform formulei:

este limita inferioară a intervalului modal

- valoarea intervalului modal

este frecvența intervalului care precedă modalul

– frecvența intervalului modal

este frecvența intervalului care urmează modalului

cuantile- marimi care impart multimea intr-un anumit numar de parti egal ca numar de elemente. Cea mai cunoscută cuantilă este mediana, care împarte populația în două părți egale. În plus față de mediană, se folosesc adesea quartile, împărțind seria clasată în 4 părți egale, decile - 10 părți și percentile - în 100 de părți.

Median- valoarea atributului unitatii situate la mijlocul seriei clasate (ordonate). Dacă seria de distribuție este reprezentată de valori specifice ale caracteristicii, atunci mediana (Me) este găsită ca valoare mediană a caracteristicii.

Dacă seria de distribuție este discretă, atunci mediana este găsită ca valoare mediană a caracteristicii (de exemplu, dacă numărul de valori este impar - 45, atunci corespunde cu 23 valoarea caracteristicii într-o serie de valori în ordine crescătoare, dacă numărul de valori este par - 44, atunci mediana corespunde la jumătate din suma a 22 și 23 de valori caracteristice).

Dacă seria de distribuție este interval, atunci se găsește inițial intervalul median, care conține unitatea situată la mijlocul seriei intervalate. Pentru determinarea acestui interval se împarte suma frecvențelor la jumătate și, pe baza acumulării (însumării) succesive a frecvențelor intervalelor, începând de la primul, se găsește intervalul în care se află mediana. Valoarea mediei în seria de intervale este calculată prin formula:

- limita inferioară a intervalului median

- valoarea intervalului median

Suma frecvențelor seriei

este suma frecvențelor acumulate în intervalele care preced mediana

este frecvența intervalului median

Quartile- acestea sunt valorile atributului din seria clasată, alese astfel încât 25% din unitățile populației să fie mai mici decât valoarea lui , 25% dintre unități vor fi între și ; 25% - între și , restul de 25% sunt superioare. Quartilele sunt determinate folosind formule similare cu formula pentru calcularea mediei. Pentru o serie de intervale:

Decile numită variabilă structurală care împarte distribuția în 10 părți egale în funcție de numărul de unități din populație. Există 9 decile și grupuri de decile 10. Decilele sunt determinate folosind formule similare cu formula pentru calcularea medianei și a quartilelor.

În general, formula generală pentru calcularea cuantilelor într-o serie de intervale este următoarea:

– numărul de serie al cuantilei

- dimensiunea cuantilei (în câte părți împart aceste quartile populația)

este limita inferioară a intervalului cuantile

este lățimea intervalului cuantile

Frecvența cumulativă a intervalului pre-quantile

Pentru o serie discretă, numărul cuantilă poate fi găsit folosind formula:

Exemplu de rezolvare a problemei

Problema 1 condiție (serie clasificată discret)

În urma cercetării, a fost stabilit venitul mediu lunar al rezidenților unei singure intrări:

Defini:

Venitul modal și median, cuantile și decile de venit.

Rezolvarea problemei

Avem deja o serie clasată - valorile veniturilor rezidenților sunt distribuite în ordine crescătoare.

Modul este valoarea cea mai frecventă. În acest caz, avem o serie cu două moduri.

Mediana este valoarea caracteristicii care împarte setul ordonat de date la jumătate.

Quartile - valorile unei caracteristici dintr-o serie clasificată, selectate în așa fel încât 25% din unitățile populației să fie mai mici decât valoarea; 25% unități vor fi incluse între și ; 25% - între și; restul de 25% sunt superioare.

Dicile împart rândul în 10 părți egale:

Dacă nu aveți nevoie de ajutor acum, dar este posibil să aveți nevoie de el în viitor, atunci pentru a nu pierde contactul, alăturați-vă grupului VK.

Condiția problemei 2 (serie de intervale)

Pentru a determina valoarea medie a depozitului într-o instituție de credit, s-au obținut următoarele date:

Calculați mediile structurale (mod, mediană, quartile).

Rezolvarea problemei

Să calculăm modul mărimii contribuției:

Modul este varianta cu cea mai mare frecvență.

Modul se calculează cu formula:

Începutul intervalului modal

Valoarea intervalului

Frecvența intervalului modal

Frecvența intervalului care precede modal

Frecvența intervalului după modal

Astfel, cel mai mare număr de depozite este de 30,7 mii de ruble.

Mediana este valoarea din mijlocul seriei de distribuție.

Mediana se calculează folosind formula:

Începutul (limita inferioară) a intervalului median

Valoarea intervalului

Suma tuturor frecvențelor seriei

Frecvența intervalului median

Suma frecvențelor cumulate ale variantelor până la mediană

Astfel, jumătate dintre depozite au o dimensiune de până la 28 de mii de ruble, cealaltă jumătate - mai mult de 28 de mii de ruble.

Să calculăm cuantilele:

Astfel, 25% din depozite sunt mai mici de 20,8 mii de ruble, 25% dintre depozite sunt în intervalul de la 20,8 mii de ruble. până la 28 de mii de ruble, 25% se află în intervalul de la 28 de mii de ruble. până la 33 de mii de ruble, cu 25% mai mult decât valoarea de 33 de mii de ruble.

Problema 3 stare

Trasează grafice pentru seria de variații. Pe grafic, arată modul, mediana, media, quartilele.

Rezolvarea problemei 3

Calculați media: Pentru a face acest lucru, însumați produsele dintre punctele medii ale intervalelor și frecvențele corespunzătoare și împărțiți suma rezultată la suma frecvențelor.

4. Moda. Median. Mediu general și eșantion

Modul este pe ecran, mediana este în triunghi, iar mediile sunt temperatura din spital și din secție. Continuăm cursul nostru practic statistici distractive (Lectia 1) studiul caracteristicilor centrale populaţia statistică, ale căror nume le vedeți în antet. Și vom începe de la capătul ei, pentru că valori medii discursul a venit aproape de la primele paragrafe ale subiectului. Pentru cititorii avansați Cuprins:

Mediu general și eșantion– calcul conform datelor primare și pentru seria variațională discretă generată;
Modă– definire și constatare pentru un caz discret;
Median– o definiție generală a modului de a găsi mediana;
Media, modul și mediana seriei de variații de interval– calcul din date primare și din seria finită. Formule de mod și medie,
Quartile, decile, percentile - pe scurt despre principalul lucru.

Ei bine, este mai bine ca „manichinii” să se familiarizeze cu materialul în ordine:

Deci haideți să explorăm câteva populatia volumul, și anume caracteristica sa numerică, nu contează discret sau continuu (Lecțiile 2, 3).

Secundar general numit in medie toate valorile acestui set:

Dacă numerele sunt aceleași (ceea ce este tipic pentru serie discretă) , atunci formula poate fi scrisă într-o formă mai compactă:
, Unde
opțiune ori repetate;
opțiune - ori;
opțiune - ori;
…
opțiune - ori.

Exemplu de calcul live secundar generalîntâlnit în exemplu 2, dar pentru a nu fi plictisitor, nici nu-i voi aminti conținutul.

Mai departe. După cum ne amintim, procesarea întregii populații generale este adesea dificilă sau imposibilă și, prin urmare, se organizează reprezentant prelevarea de probe volum, iar pe baza studiului acestui eșantion se face o concluzie despre întreaga populație.

Eșantion mediu numit in medie toate valorile eșantionului:

și în prezența acelorași opțiuni, formula va fi scrisă mai compact:
- ca suma produselor variantei pe corespunzătoare frecvente .

Media eșantionului ne permite să estimăm cu exactitate valoarea adevărată a lui , ceea ce este suficient pentru multe studii. Cu cât eșantionul este mai mare, cu atât această estimare va fi mai precisă.

Să începem practica, sau mai degrabă să continuăm cu serie de variații discreteși starea familiară:

Exemplul 8

Pe baza rezultatelor unui studiu selectiv al muncitorilor din atelier s-au stabilit categoriile de calificare ale acestora: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5 , 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Cum decide sarcină? Dacă ni se dă date primare(valori brute originale), atunci acestea pot fi însumate prost și împărțite la dimensiunea eșantionului:
- categoria medie de calificare a lucrătorilor magazinului.

Dar în multe probleme este necesară alcătuirea unei serii variaționale (cm. Exemplul 4) :

- sau acest serial a fost propus inițial (ceea ce se întâmplă mai des). Și apoi, desigur, folosim formula „civilizată”:

Modă . Modul unei serii variaționale discrete este opțiune cu frecventa maxima. În acest caz . Moda este ușor de găsit pe masă și chiar mai ușor gama de frecvente este abscisa punctului cel mai înalt:

Uneori există mai multe astfel de valori (cu aceeași frecvență maximă), iar apoi fiecare dintre ele este considerată o modă.

Dacă toate sau aproape toate Opțiuni diferit (ceea ce este tipic pentru serie de intervale), atunci valoarea modală este determinată într-un mod ușor diferit, care este discutat în partea a 2-a a lecției.

Median . Mediana seriei de variații * - aceasta este valoarea care o împarte în două părți egale (în funcție de numărul de opțiuni).

Dar acum trebuie să găsim media, modul și mediana.

Soluţie: a găsi mijloc conform datelor primare, cel mai bine este să însumați toate opțiunile și să împărțiți rezultatul la volumul populației:
den. unitati

Aceste calcule, apropo, nu vor dura mult timp chiar și atunci când utilizați un calculator offline. Dar dacă există Excel, atunci, desigur, scor în orice celulă liberă =SUMA(, selectați toate numerele cu mouse-ul, închideți paranteza ) , pune un semn de împărțire / , introduceți numărul 30 și apăsați introduce. Gata.

În ceea ce privește moda, evaluarea acesteia pe baza datelor inițiale devine inutilizabilă. Deși vedem aceleași numere printre ele, dar printre ele pot fi ușor cinci sau șase sau șapte opțiuni cu aceeași frecvență maximă, de exemplu, frecvența 2. În plus, prețurile pot fi rotunjite. Prin urmare, valoarea modală este calculată în funcție de seria de intervale generate (mai multe despre asta mai târziu).

Ce poți spune despre mediană: conectarea la Excel =MEDIAN(, selectați toate numerele cu mouse-ul, închideți paranteza ) și faceți clic introduce: . Mai mult, aici nici nu trebuie să sortați nimic.

Dar în Exemplul 6 sortate în ordine crescătoare (rețineți și sortați - linkul de mai sus), și aceasta este o ocazie bună de a repeta algoritmul formal pentru găsirea medianei. Împărțim proba în jumătate:

Și deoarece constă dintr-un număr par de opțiuni, mediana este egală cu media aritmetică a opțiunii a 15-a și a 16-a ordonat(!) serie de variații:

den. unitati

Situatia a doua. Când se oferă o serie de intervale gata făcute (o sarcină tipică de învățare).

Continuăm să analizăm același exemplu cu cizme, unde, conform datelor inițiale a fost compilat de IVR. A calcula mijloc sunt necesare punctele de mijloc ale intervalelor:

– pentru a utiliza formula familiară a cazului discret:

- rezultat excelent! Discrepanța cu valoarea mai precisă () calculată din datele primare este de numai 0,04.

De fapt, aici am aproximat seria de intervale cu una discretă, iar această aproximare s-a dovedit a fi foarte eficientă. Cu toate acestea, nu există niciun beneficiu special aici, deoarece. cu software-ul modern, nu este dificil să se calculeze valoarea exactă chiar și pentru o gamă foarte mare de date primare. Dar asta cu condiția să ne fie cunoscute :)

Cu alți indicatori centrali, totul este mai interesant.

Pentru a găsi moda, trebuie să găsești spațierea modală (cu frecventa maxima)- în această problemă, acesta este un interval cu o frecvență de 11 și utilizați următoarea formulă urâtă:
, Unde:

este limita inferioară a intervalului modal;
este lungimea intervalului modal;
este frecvența intervalului modal;
– frecvența intervalului anterior;
– frecvența intervalului următor.

Prin urmare:
den. unitati - după cum puteți vedea, prețul „la modă” pentru pantofi este vizibil diferit de media aritmetică.

Fără a intra în geometria formulei, voi da pur și simplu histograma frecvențelor relative si noteaza:

de unde se vede clar că modul este deplasat relativ la centrul intervalului modal spre intervalul din stânga cu o frecvență mai mare. Logic.

Pentru referință, voi analiza cazuri rare:

– dacă intervalul modal este extrem, atunci fie ;

- dacă se găsesc 2 intervale modale care sunt în apropiere, de exemplu, și , atunci considerăm intervalul modal , în timp ce intervalele apropiate (stânga și dreapta), dacă este posibil, sunt și ele mărite de 2 ori.

- dacă există o distanță între intervalele modale, atunci aplicăm formula fiecărui interval, obținând astfel 2 sau mai multe moduri.

Iată un astfel de mod de expediere :)

Și mediana. Dacă se oferă o serie de intervale gata făcută, atunci mediana este calculată folosind o formulă puțin mai puțin îngrozitoare, dar la început este plictisitor (o greșeală de tip freudiană :)) să găsiți intervalul median - acesta este un interval care conține o variantă (sau 2 variante), care împarte seria de variații în două părți egale.

Mai sus, am descris cum să determinăm mediana, concentrându-mă pe frecvențe relative cumulate, aici este mai convenabil să se calculeze frecvențele acumulate „obișnuite”. Algoritmul de calcul este exact același - prima valoare este demolată în stânga (sageata rosie), iar fiecare următor se obține ca sumă a precedentului cu frecvența curentă din coloana din stânga (marcajele verzi de exemplu):

Toată lumea înțelege semnificația numerelor din coloana din dreapta? - acesta este numarul de optiuni care au reusit sa se "acumuleze" pe toate intervalele "trecute", inclusiv pe cel curent.

Deoarece avem un număr par de opțiuni (30 de bucăți), mediana va fi intervalul care conține 30/2 = a 15-a și a 16-a opțiune. Și concentrându-ne pe frecvențele acumulate, este ușor să ajungem la concluzia că aceste opțiuni sunt cuprinse în intervalul .

Formula mediană:
, Unde:
- volumul populaţiei statistice;
este limita inferioară a intervalului median;
este lungimea intervalului median;
– frecvență intervalul median;
– frecventa cumulativa anterior interval.

Prin urmare:
den. unitati – rețineți că valoarea mediană, dimpotrivă, s-a dovedit a fi deplasată la dreapta, deoarece în partea dreaptă este un număr semnificativ de opțiuni:

Și pentru referință cazuri speciale.

Mediana unui triunghi, la fel ca și înălțimea, servește ca parametru grafic care determină întregul triunghi, valoarea laturilor și unghiurilor sale. Trei valori: mediane, înălțimi și bisectoare - este ca un cod de bare pe un produs, sarcina noastră este doar să-l putem număra.

Definiție

Mediana este segmentul de linie care leagă altitudinea și punctul de mijloc al părții opuse. Un triunghi are trei vârfuri și, prin urmare, trei mediane. Medianele nu se potrivesc întotdeauna cu înălțimi sau bisectoare. Cel mai adesea acestea sunt segmente separate.

Proprietăți mediane

Mediana unui triunghi isoscel trasat la bază coincide cu înălțimea și bisectoarea. Într-un triunghi echilateral, toate medianele coincid cu bisectoarele și înălțimile.
Toate medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.
Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri egale, iar trei mediane în 6 triunghiuri egale.

Zonele egale sunt triunghiuri ale căror arii sunt egale.

Orez. 1. Trei mediane formează 6 triunghiuri egale.

Punctul de intersecție al medianelor le împarte într-un raport de 2:1, numărând de sus.
Mediana trasată de ipotenuza unui triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză.

Sarcini

Toate aceste proprietăți sunt ușor de reținut, sunt ușor de fixat în practică. Pentru o mai bună înțelegere a subiectului, vom rezolva mai multe probleme:

Într-un triunghi dreptunghic se cunosc catetele care sunt egale cu a=3 și b=4. Aflați valoarea mediei m trasate la ipotenuza c.

Orez. 2. Desen pentru problema.

Pentru a găsi valoarea medianei, trebuie să găsim ipotenuza, deoarece mediana trasată la ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta. Hipotenuză prin teorema lui Pitagora: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Găsiți valoarea medianei: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2.5$$ - numărul rezultat este valoarea medianei.

Valorile mediane din triunghi nu sunt egale. Prin urmare, este necesar să ne imaginăm exact ce valoare trebuie găsită.

Într-un triunghi se cunosc valorile laturilor: a=7; b=8; c=9. Aflați valoarea medianei în jos pe latura b.

Orez. 3. Desen pentru problema.

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați una dintre cele trei formule pentru a găsi mediana de-a lungul laturilor unui triunghi:

$$m^2 =(1\peste2)*(a^2+c^2-b^2)$$

După cum puteți vedea, principalul lucru aici este să vă amintiți coeficientul dintre paranteze și semnele pentru valorile laturilor. Semnele sunt cel mai ușor de reținut - partea în care este coborâtă mediana este întotdeauna scăzută. În cazul nostru, acesta este b, dar poate fi oricare altul.

Înlocuiți valorile în formulă și găsiți valoarea mediană: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - lăsați rezultatul ca rădăcină.

Într-un triunghi isoscel, mediana trasată la bază este 8, iar baza în sine este 6. Împreună cu celelalte două, această mediană împarte triunghiul în 6 triunghiuri. Găsiți aria fiecăruia dintre ele.

Medianele împart triunghiul în șase egale. Aceasta înseamnă că ariile triunghiurilor mici vor fi egale între ele. Este suficient să găsiți aria celui mai mare și să o împărțiți la 6.

Având în vedere mediana trasată la bază, într-un triunghi isoscel este bisectoarea și înălțimea. Deci triunghiul are o bază și o altitudine. Puteți găsi zona.

$$S=(1\peste2)*6*8=24$$

Aria fiecărui triunghi mic: $$(24\over6)=4$$

Ce am învățat?

Am aflat care este mediana. Am determinat proprietățile medianei și am găsit o soluție la problemele tipice. Am vorbit despre greșelile de bază și ne-am dat seama cum să memorăm rapid și ușor formula pentru găsirea medianei prin laturile unui triunghi.