Acasă » Clasa a 11a » Funcția de distribuție f. Introducere în teoria probabilității. Simularea variabilelor aleatoare

Funcția de distribuție f. Introducere în teoria probabilității. Simularea variabilelor aleatoare

Rezultatul oricărui experiment aleatoriu poate fi caracterizat calitativ și cantitativ. Calitativ rezultatul unui experiment aleatoriu - Aleatoriu eveniment. Orice caracteristică cantitativă, care, ca rezultat al unui experiment aleatoriu, poate lua una dintr-un anumit set de valori, - valoare aleatorie. Valoare aleatoare este unul dintre conceptele centrale ale teoriei probabilităților.

Fie un spațiu de probabilitate arbitrar. Variabilă aleatorie este o funcție numerică reală x \u003d x (w), w W , astfel încât pentru orice real X .

Eveniment scris de obicei ca x< X. În cele ce urmează, variabilele aleatoare vor fi notate cu litere grecești minuscule x, h, z,...

O variabilă aleatorie este numărul de puncte care au căzut la aruncarea unui zar sau înălțimea unui elev selectat aleatoriu din grupul de studiu. În primul caz, avem de-a face discret variabilă aleatorie(preia valori dintr-un set de numere discrete M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); în al doilea caz, cu continuu variabilă aleatorie(preia valori dintr-un set de numere continuu - din intervalul liniei numerice eu=).

Fiecare valoare aleatorie complet determinată de ea funcția de distribuție.

Dacă x este o variabilă aleatoare, atunci funcția F(X) = F x(X) = P(X< X) se numește funcția de distribuție variabila aleatoare x . Aici P(X<X) - probabilitatea ca variabila aleatoare x să ia o valoare mai mică decât X.

Este important de înțeles că funcția de distribuție este un „pașaport” al unei variabile aleatoare: conține toate informațiile despre variabila aleatoare și, prin urmare, studiul unei variabile aleatoare constă în studiul acesteia funcții de distribuție, deseori denumită simplu distributie.

Funcția de distribuție a oricărei variabile aleatoare are următoarele proprietăți:

Dacă x este o variabilă aleatoare discretă care ia valorile X 1 <X 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

X 1	X 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	pi	…

numit distribuția unei variabile aleatoare discrete.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare cu o astfel de distribuție are forma

O variabilă aleatorie discretă are o funcție de distribuție în trepte. De exemplu, pentru un număr aleatoriu de puncte care au căzut într-o singură aruncare de zar, graficul de distribuție, funcție de distribuție și funcție de distribuție arată astfel:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Dacă funcţia de distribuţie F x(X) este continuă, atunci se numește variabila aleatoare x variabilă aleatoare continuă.

Dacă funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare continue diferentiabil, atunci o reprezentare mai vizuală a variabilei aleatoare oferă densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare p x(X), care este legat de funcţia de distribuţie F x(X) formule

Și .

Din aceasta, în special, rezultă că pentru orice variabilă aleatoare .

Când rezolvați probleme practice, este adesea necesar să găsiți valoarea X, la care funcția de distribuție F x(X) variabila aleatoare x ia o valoare dată p, adică trebuie să rezolvi ecuația F x(X) = p. Soluții la o astfel de ecuație (valorile corespunzătoare X) în teoria probabilităţilor se numesc cuantile.

Quantila x p ( p-quantile, cuantilă de nivel p) o variabilă aleatoare având o funcție de distribuție F x(X), se numește soluție xp ecuații F x(X) = p, p(0, 1). Pentru unii p ecuația F x(X) = p poate avea mai multe soluții, pentru unii - niciuna. Aceasta înseamnă că pentru variabila aleatoare corespunzătoare, unele cuantile nu sunt definite în mod unic, iar unele cuantile nu există.

VALORI ALEATORII

Exemplul 2.1. Valoare aleatoare X dat de funcţia de distribuţie

Găsiți probabilitatea ca în urma testului X va lua valori între (2,5; 3,6).

Soluţie: Xîn intervalul (2,5; 3,6) poate fi determinat în două moduri:

Exemplul 2.2. La ce valori ale parametrilor DARȘi ÎN funcţie F(X) = A + Fi - x poate fi o funcție de distribuție pentru valorile nenegative ale unei variabile aleatorii X.

Soluţie: Deoarece toate valorile posibile ale variabilei aleatoare X aparțin intervalului , atunci pentru ca funcția să fie o funcție de distribuție pentru X, proprietatea ar trebui să dețină:

Răspuns: .

Exemplul 2.3. Variabila aleatoare X este dată de funcția de distribuție

Găsiți probabilitatea ca, în urma a patru încercări independente, valoarea X exact de 3 ori va lua o valoare aparținând intervalului (0,25; 0,75).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o valoare Xîn intervalul (0,25; 0,75) găsim prin formula:

Exemplul 2.4. Probabilitatea ca mingea să lovească coșul într-o singură aruncare este de 0,3. Întocmește legea distribuției numărului de lovituri în trei aruncări.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numărul de lovituri din coș cu trei aruncări - poate lua valorile: 0, 1, 2, 3. Probabilitățile ca X

Exemplul 2.5. Doi trăgători fac o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de a-l lovi de primul trăgător este de 0,5, al doilea - 0,4. Notați legea de distribuție a numărului de lovituri pe țintă.

Soluţie: Aflați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X- numărul de lovituri pe țintă. Fie ca evenimentul să fie lovit de țintă de primul trăgător și - lovit de al doilea trăgător și, respectiv, ratarea acestora.

Să compunem legea distribuției de probabilitate a SV X:

Exemplul 2.6. Sunt testate 3 elemente, care funcționează independent unul de celălalt. Duratele de timp (în ore) de funcționare fără defecțiuni a elementelor au funcții de densitate de distribuție: pentru prima: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, pentru al doilea: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, pentru al treilea: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Aflați probabilitatea ca în intervalul de timp de la 0 la 5 ore: un singur element să eșueze; doar două elemente vor eșua; toate cele trei elemente eșuează.

Soluţie: Să folosim definiția funcției generatoare de probabilități:

Probabilitatea ca în studii independente, în primul dintre care probabilitatea apariției unui eveniment DAR este egal cu , în al doilea etc., evenimentul DAR apare exact o dată, este egal cu coeficientul at în expansiunea funcției generatoare în puteri de . Să găsim probabilitățile de eșec și, respectiv, de neeșec ale primului, al doilea și al treilea element în intervalul de timp de la 0 la 5 ore:

Să creăm o funcție generatoare:

Coeficientul at este egal cu probabilitatea ca evenimentul DAR va apărea exact de trei ori, adică probabilitatea de eșec a tuturor celor trei elemente; coeficientul at este egal cu probabilitatea ca exact două elemente să eșueze; coeficientul la este egal cu probabilitatea ca un singur element să eșueze.

Exemplul 2.7. Având în vedere o densitate de probabilitate f(X) variabilă aleatorie X:

Găsiți funcția de distribuție F(x).

Soluţie: Folosim formula:

Astfel, funcția de distribuție are forma:

Exemplul 2.8. Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Compilați legea distribuției numărului de elemente eșuate într-un experiment.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numarul de elemente care au esuat intr-un experiment - poate lua valorile: 0, 1, 2, 3. Probabilitati ca X ia aceste valori, găsim prin formula Bernoulli:

Astfel, obținem următoarea lege a distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X:

Exemplul 2.9. Există 4 piese standard într-un lot de 6 părți. 3 articole au fost selectate aleatoriu. Întocmește legea repartizării numărului de piese standard între cele selectate.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numarul de piese standard dintre cele selectate - poate lua valorile: 1, 2, 3 si are o distributie hipergeometrica. Probabilităţile ca X

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese standard din lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese standard dintre cele selectate.

Exemplul 2.10. Variabila aleatoare are o densitate de distribuție

unde și nu sunt cunoscute, dar , a și . Gaseste si .

Soluţie:În acest caz, variabila aleatoare X are o distribuție triunghiulară (distribuția Simpson) pe intervalul [ a, b]. Caracteristici numerice X:

Prin urmare, . Rezolvând acest sistem, obținem două perechi de valori: . Deoarece, în funcție de starea problemei, avem în sfârșit: .

Răspuns: .

Exemplul 2.11.În medie, pentru 10% din contracte, compania de asigurări plătește sumele asigurate în legătură cu producerea unui eveniment asigurat. Calculați așteptarea și varianța matematică a numărului de astfel de contracte dintre cele patru alese aleatoriu.

Soluţie: Așteptările și varianța matematică pot fi găsite folosind formulele:

Valori posibile ale SV (număr de contracte (din patru) cu apariția unui eveniment asigurat): 0, 1, 2, 3, 4.

Folosim formula Bernoulli pentru a calcula probabilitățile unui număr diferit de contracte (din patru) pentru care au fost plătite sumele asigurate:

Seria de distribuție a CV-ului (numărul de contracte cu producerea unui eveniment asigurat) are forma:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Răspuns: , .

Exemplul 2.12. Din cei cinci trandafiri, doi sunt albi. Scrieți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie care exprimă numărul de trandafiri albi dintre doi luați în același timp.

Soluţie:Într-un eșantion de doi trandafiri, poate să nu existe nici un trandafir alb, fie unul sau doi trandafiri albi. Prin urmare, variabila aleatoare X poate lua valori: 0, 1, 2. Probabilităţile ca X ia aceste valori, găsim prin formula:

Unde -- numărul de trandafiri;

-- numărul de trandafiri albi;

– numărul de trandafiri luați simultan;

-- numărul de trandafiri albi dintre cei luați.

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare va fi după cum urmează:

Exemplul 2.13. Dintre cele 15 unități asamblate, 6 au nevoie de lubrifiere suplimentară. Întocmește legea de distribuție a numărului de unități care au nevoie de lubrifiere suplimentară, dintre cinci alese aleatoriu din numărul total.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numarul de unitati care necesita lubrifiere suplimentara dintre cele cinci selectate - poate lua valorile: 0, 1, 2, 3, 4, 5 si are o distributie hipergeometrica. Probabilităţile ca X ia aceste valori, găsim prin formula:

Unde -- numărul de unități asamblate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară;

– numărul de agregate selectate;

-- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele selectate.

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare va fi după cum urmează:

Exemplul 2.14. Din cele 10 ceasuri primite pentru reparare, 7 au nevoie de o curatare generala a mecanismului. Ceasurile nu sunt sortate după tipul de reparație. Maestrul, dorind să găsească un ceas care trebuie curățat, le examinează unul câte unul și, după ce a găsit un astfel de ceas, oprește vizionarea ulterioară. Găsiți așteptările și variația matematică a numărului de ore vizionate.

Soluţie: Valoare aleatoare X- numărul de unități care necesită lubrifiere suplimentară dintre cele cinci selectate - poate lua următoarele valori: 1, 2, 3, 4. Probabilitățile ca X ia aceste valori, găsim prin formula:

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare va fi după cum urmează:

Acum să calculăm caracteristicile numerice ale cantității:

Răspuns: , .

Exemplul 2.15. Abonatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon de care are nevoie, dar își amintește că este impar. Găsiți așteptarea și varianța matematică a numărului de apeluri pe care le-a făcut înainte de a atinge numărul dorit, dacă formează ultima cifră la întâmplare și nu formează cifra formată în viitor.

Soluţie: Variabila aleatoare poate lua valori: . Deoarece abonatul nu formează cifra formată în viitor, probabilitățile acestor valori sunt egale.

Să compunem o serie de distribuție a unei variabile aleatoare:


	0,2

Să calculăm așteptările matematice și varianța numărului de încercări de apelare:

Răspuns: , .

Exemplul 2.16. Probabilitatea de defecțiune în timpul testelor de fiabilitate pentru fiecare dispozitiv din serie este egală cu p. Determinați așteptările matematice ale numărului de dispozitive care au eșuat, dacă au fost testate N aparate.

Soluţie: Variabila aleatorie discretă X este numărul de dispozitive defectate în N teste independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de eșec este egală cu p, distribuite conform legii binomiale. Așteptările matematice ale distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea ca un eveniment să se producă într-o singură încercare:

Exemplul 2.17. Variabilă aleatoare discretă X ia 3 valori posibile: cu probabilitate ; cu probabilitate si cu probabilitate . Găsiți și știind că M( X) = 8.

Soluţie: Folosim definițiile așteptărilor matematice și legea distribuției unei variabile aleatoare discrete:

Găsim: .

Exemplul 2.18. Departamentul de control tehnic verifică standarditatea produselor. Probabilitatea ca elementul să fie standard este de 0,9. Fiecare lot conține 5 articole. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X- numarul de loturi, fiecare continand exact 4 produse standard, daca sunt supuse verificarii 50 de loturi.

Soluţie:În acest caz, toate experimentele efectuate sunt independente, iar probabilitățile ca fiecare lot să conțină exact 4 produse standard sunt aceleași, prin urmare, așteptările matematice pot fi determinate prin formula:

unde este numărul de părți;

Probabilitatea ca un lot să conțină exact 4 articole standard.

Găsim probabilitatea folosind formula Bernoulli:

Răspuns: .

Exemplul 2.19. Aflați varianța unei variabile aleatoare X– numărul de apariții ale evenimentului Aîn două încercări independente, dacă probabilitățile de apariție a unui eveniment în aceste încercări sunt aceleași și se știe că M(X) = 0,9.

Soluţie: Problema poate fi rezolvată în două moduri.

1) Valori CB posibile X: 0, 1, 2. Folosind formula Bernoulli, determinăm probabilitățile acestor evenimente:

, , .

Apoi legea distribuției X se pare ca:

Din definiția așteptării matematice, determinăm probabilitatea:

Să găsim varianța lui SW X:

2) Puteți folosi formula:

Răspuns: .

Exemplul 2.20. Așteptările matematice și abaterea standard a unei variabile aleatoare distribuite normal X sunt 20 și respectiv 5. Aflați probabilitatea ca în urma testului X va lua valoarea cuprinsă în intervalul (15; 25).

Soluţie: Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatorie normală X pe secțiunea de la până la este exprimată în termenii funcției Laplace:

Exemplul 2.21. Dată o funcție:

La ce valoare a parametrului C această funcție este densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X? Aflați așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X.

Soluţie: Pentru ca o funcție să fie densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare, ea trebuie să fie nenegativă și trebuie să îndeplinească proprietatea:

Prin urmare:

Calculați așteptările matematice folosind formula:

Calculați varianța folosind formula:

T este p. Este necesar să se găsească așteptarea și varianța matematică a acestei variabile aleatoare.

Soluţie: Legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete X - numărul de apariții ale unui eveniment în încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea de apariție a unui eveniment este , se numește binom. Așteptarea matematică a distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului A într-o singură încercare:

Exemplul 2.25. Trei focuri independente sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi fiecare lovitură este de 0,25. Determinați abaterea standard a numărului de lovituri cu trei lovituri.

Soluţie: Deoarece sunt efectuate trei încercări independente, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A (lovitură) în fiecare încercare este aceeași, vom presupune că variabila aleatoare discretă X - numărul de lovituri pe țintă - este distribuită în funcție de binom. lege.

Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitățile de apariție și neapariție a unui eveniment într-o singură încercare:

Exemplul 2.26. Numărul mediu de clienți care vizitează compania de asigurări în 10 minute este de trei. Găsiți probabilitatea ca cel puțin un client să sosească în următoarele 5 minute.

Numărul mediu de clienți care sosesc în 5 minute: . .

Exemplul 2.29. Timpul de așteptare pentru o aplicație în coada procesorului respectă o lege de distribuție exponențială cu o valoare medie de 20 de secunde. Găsiți probabilitatea ca următoarea cerere (arbitrară) să aștepte procesorul mai mult de 35 de secunde.

Soluţie:În acest exemplu, așteptarea , iar rata de eșec este .

Atunci probabilitatea dorită este:

Exemplul 2.30. Un grup de 15 elevi ține o întâlnire într-o sală cu 20 de rânduri a câte 10 locuri fiecare. Fiecare elev ia un loc în hol la întâmplare. Care este probabilitatea ca nu mai mult de trei persoane să fie pe locul șapte al rândului?

Soluţie:

Exemplul 2.31.

Apoi, conform definiției clasice a probabilității:

Unde -- numărul de piese din lot;

-- numărul de piese nestandard din lot;

– numărul de piese selectate;

-- numărul de piese non-standard dintre cele selectate.

Atunci legea de distribuție a variabilei aleatoare va fi după cum urmează.

În nr. precedent am introdus seria de distribuție ca o caracteristică exhaustivă (legea distribuției) a unei variabile aleatoare discontinue. Cu toate acestea, această caracteristică nu este universală; există numai pentru variabile aleatoare discontinue. Este ușor de observat că o astfel de caracteristică nu poate fi construită pentru o variabilă aleatoare continuă. Într-adevăr, o variabilă aleatoare continuă are un set nenumărat de valori posibile care umple complet un anumit gol (așa-numitul „mult numărabil”). Este imposibil să compilați un tabel în care să fie listate toate valorile posibile ale unei astfel de variabile aleatorii. Mai mult, așa cum vom vedea mai târziu, fiecare valoare a unei variabile aleatoare continue, de obicei, nu are nicio probabilitate diferită de zero. Prin urmare, pentru o variabilă aleatoare continuă, nu există o serie de distribuție în sensul în care există pentru o variabilă discontinuă. Cu toate acestea, diferite intervale de valori posibile ale unei variabile aleatoare nu sunt încă la fel de probabile, iar pentru o variabilă continuă există o „distribuție de probabilitate”, deși nu în același sens ca pentru una discontinuă.

Pentru a caracteriza cantitativ această distribuție de probabilitate, este convenabil să folosiți nu probabilitatea evenimentului, ci probabilitatea evenimentului, unde este o variabilă curentă. Probabilitatea acestui eveniment depinde în mod evident de , există o anumită funcție a . Această funcție se numește funcție de distribuție a unei variabile aleatoare și se notează cu:

. (5.2.1)

Funcția de distribuție este uneori numită și funcție de distribuție integrală sau legea de distribuție integrală.

Funcția de distribuție este cea mai universală caracteristică a unei variabile aleatoare. Există pentru toate variabilele aleatoare: atât discontinue, cât și continue. Funcția de distribuție caracterizează complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic, i.e. este o formă de lege a distribuției.

Să formulăm câteva proprietăți generale ale funcției de distribuție.

1. Funcția de distribuție este o funcție nedescrescătoare a argumentului său, i.e. la .

2. La minus infinit, funcția de distribuție este zero:.

3. La plus infinit, funcția de distribuție este egală cu unu: .

Fără a da o dovadă riguroasă a acestor proprietăți, le ilustrăm cu ajutorul unei interpretări geometrice vizuale. Pentru a face acest lucru, vom considera o variabilă aleatoare ca un punct aleatoriu pe axa Ox (Fig. 5.2.1), care, ca rezultat al experimentului, poate lua una sau alta poziție. Atunci funcția de distribuție este probabilitatea ca un punct aleatoriu ca rezultat al experimentului să cadă la stânga punctului.

Vom crește , adică deplasăm punctul spre dreapta de-a lungul axei x. Evident, în acest caz, probabilitatea ca un punct aleator să cadă la stânga nu poate scădea; prin urmare, funcția de distribuție nu poate scădea odată cu creșterea.

Pentru a ne asigura că , vom muta punctul la stânga de-a lungul axei x la nesfârșit. În acest caz, lovirea unui punct aleatoriu la stânga în limită devine un eveniment imposibil; este firesc să presupunem că probabilitatea acestui eveniment tinde spre zero, i.e. .

În mod similar, deplasând punctul la dreapta pe termen nelimitat, ne asigurăm că , deoarece evenimentul devine fiabil în limită.

Graficul funcției de distribuție în cazul general este un grafic al unei funcții nedescrescătoare (Fig. 5.2.2), ale cărei valori pornesc de la 0 și ajung la 1, iar în anumite puncte funcția poate avea salturi (discontinuitati).

Cunoscând seria de distribuție a unei variabile aleatoare discontinue, se poate construi cu ușurință funcția de distribuție a acestei variabile. Într-adevăr,

unde inegalitatea de sub semnul sumei indică faptul că însumarea se aplică tuturor acelor valori care sunt mai mici de .

Când variabila curentă trece prin oricare dintre valorile posibile ale valorii discontinue, funcția de distribuție se modifică brusc, iar mărimea saltului este egală cu probabilitatea acestei valori.

Exemplul 1. Se efectuează un experiment, în care evenimentul poate apărea sau nu. Probabilitatea unui eveniment este de 0,3. Variabilă aleatoare - numărul de apariții ale unui eveniment în experiment (variabilă aleatoare caracteristică a evenimentului). Construiți funcția de distribuție.

Soluţie. Seria de distribuție a cantităților are forma:

Să construim funcția de distribuție a cantității:

Graficul funcției de distribuție este prezentat în fig. 5.2.3. La punctele de întrerupere, funcția preia valorile marcate în desen cu puncte (funcția este continuă în stânga).

Exemplul 2. În condițiile exemplului anterior, se efectuează 4 experimente independente. Construiți o funcție de distribuție pentru numărul de apariții ale evenimentului.

Soluţie. Să notăm numărul de apariții ale evenimentului în patru experimente. Această valoare are o serie de distribuție

Să construim funcția de distribuție a unei variabile aleatoare:

3) la ;

În practică, de obicei, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este o funcție care este continuă în toate punctele, așa cum se arată în Fig. 5.2.6. Cu toate acestea, este posibil să se construiască exemple de variabile aleatoare ale căror posibile valori umple continuu un anumit interval, dar pentru care funcția de distribuție nu este continuă peste tot, ci suferă o discontinuitate în anumite puncte (Fig. 5.2.7) .

Astfel de variabile aleatoare se numesc mixte. Un exemplu de valoare mixtă este zona de distrugere aplicată unei ținte de o bombă a cărei rază de acțiune distructivă este egală cu R (Fig. 5.2.8).

Valorile acestei variabile aleatoare umplu continuu intervalul de la 0 la , care apar la pozitiile bombelor de tip I si II, au o anumita probabilitate finita, iar aceste valori corespund unor salturi in functia de distributie, in timp ce in valorile intermediare. (poziția de tip III) funcția de distribuție este continuă. Un alt exemplu de variabilă aleatoare mixtă este timpul de funcționare T al unui dispozitiv testat pentru timpul t. Funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare este continuă peste tot, cu excepția punctului t.

Funcția de distribuție este cea mai generală formă de stabilire a legii distribuției. Este folosit pentru a specifica atât variabile aleatoare discrete, cât și continue. De obicei este denumită . funcția de distribuție determină probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia valori mai mici decât un număr real fix, adică . Funcția de distribuție caracterizează complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic. Ea este numită și ea funcția de distribuție integrală.

Interpretarea geometrică a funcției de distribuție este foarte simplă. Dacă o variabilă aleatoare este considerată ca un punct aleatoriu al axei (Fig. 6), care, ca rezultat al testului, poate lua una sau alta poziție pe axă, atunci funcția de distribuție este probabilitatea ca punctul aleator, ca rezultat al testului, va cădea la stânga punctului.

Pentru o variabilă aleatorie discretă care poate prelua valori, funcția de distribuție are forma
unde inegalitatea înseamnă că însumarea se aplică tuturor valorilor mai mici de . Din această formulă rezultă că funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este o linie întreruptă în trepte (Fig. 7). Cu fiecare valoare nouă a unei variabile aleatoare, treapta crește cu o sumă egală cu probabilitatea acestei valori. Suma tuturor salturilor din funcția de distribuție este egală cu unu.

O variabilă aleatoare continuă are o funcție de distribuție continuă, graficul acestei funcții are forma unei curbe netede (Fig. 8).

Luați în considerare proprietățile generale ale funcțiilor de distribuție.

Proprietatea 1. Funcția de distribuție este nenegativă, o funcție cuprinsă între zero și unu:

Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din faptul că funcția de distribuție este definită ca probabilitatea unui eveniment aleator, constând în faptul că .

Proprietatea 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă într-un interval este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval, adică.

Rezultă că probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero.

Proprietatea 3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare, adică. .

Proprietatea 4. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, iar la plus infinit, este egală cu unu, adică. Și .

Exemplul 1 Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată de expresie

Găsiți coeficientul și construiți un grafic. Determinați probabilitatea ca o variabilă aleatoare ca rezultat al experimentului să ia o valoare pe intervalul .

Funcția de distribuție este cea mai generală formă de stabilire a legii distribuției. Este folosit pentru a specifica atât variabile aleatoare discrete, cât și continue. De obicei este denumită . funcția de distribuție determină probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia valori mai mici decât un număr real fix, adică . Funcția de distribuție caracterizează complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic. Se mai numește și funcție de distribuție integrală.

Interpretarea geometrică a funcției de distribuție este foarte simplă. Dacă o variabilă aleatoare este considerată ca un punct aleatoriu al axei (Fig. 6), care, în urma testului, poate lua una sau alta poziție pe această axă, atunci funcția de distribuție este probabilitatea ca punctul aleator, ca rezultat al testului, va cădea la stânga punctului.

Pentru o variabilă aleatoare discretă , care poate lua valorile,, … ,, funcția de distribuție are forma

unde inegalitatea de sub semnul sumei înseamnă că însumarea se aplică tuturor acelor valori care sunt mai mici ca magnitudine. Din această formulă rezultă că funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este discontinuă și crește în salturi la trecerea prin punctele,, …,, iar saltul este egal cu probabilitatea valorii corespunzătoare (Fig. 7). Suma tuturor salturilor din funcția de distribuție este egală cu unu.

O variabilă aleatoare continuă are o funcție de distribuție continuă, graficul acestei funcții are forma unei curbe netede (Fig. 8).

Orez. 7. Fig. 8.

Luați în considerare proprietățile generale ale funcțiilor de distribuție.

Proprietatea 1. Funcția de distribuție este o funcție nenegativă cuprinsă între zero și unu:

Valabilitatea acestei proprietăți rezultă din faptul că funcția de distribuție este definită ca probabilitatea unui eveniment aleatoriu constând în aceea.

Proprietatea 2. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să cadă într-un interval este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestui interval, adică.

Rezultă că probabilitatea oricărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue este zero.

Proprietatea 3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare, adică pt .

Proprietatea 4. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, iar la plus infinit, funcția de distribuție este egală cu unitatea, adică.

Exemplul 1 Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată de expresie

Găsiți coeficientul și construiți un grafic. Determinați probabilitatea ca o variabilă aleatoare ca rezultat al experimentului să ia o valoare pe interval.

Soluţie. Deoarece funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este continuă, obținem: . De aici. Graficul funcției este prezentat în Fig. nouă.

Pe baza celei de-a doua proprietăți a funcției de distribuție, avem:

4. Densitatea distribuției de probabilitate și proprietățile acesteia.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este caracteristica probabilistică a acesteia. Dar are un dezavantaj, care constă în faptul că este dificil să se judece natura distribuției unei variabile aleatoare într-o mică vecinătate a unuia sau altui punct al axei numerice. O reprezentare mai vizuală a naturii distribuției unei variabile aleatoare continue este dată de o funcție numită densitate de distribuție a probabilității sau funcție de distribuție diferențială a unei variabile aleatoare.

Densitatea de distribuție este egală cu derivata funcției de distribuție, i.e.

Semnificația densității distribuției este că indică cât de des apare o variabilă aleatoare într-o anumită vecinătate a unui punct când experimentele sunt repetate. Se numește curba care reprezintă densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare curba de distributie.

Luați în considerare proprietățile densității distribuției.

Proprietatea 1. Densitatea de distribuție este nenegativă, adică

Proprietatea 2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este egală cu integrala densității în intervalul de la până la, i.e.

Proprietatea 3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să lovească un segment este egală cu integrala densității de distribuție preluată pe acest segment, i.e.

Proprietatea 4. Integrala în limite infinite ale densității distribuției este egală cu unitatea:

Exemplul 2 Variabila aleatoare este supusă legii distribuției cu densitate

Determinarea coeficientului; construiți un grafic al densității distribuției; găsiți probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare pe segmentul de la până la; determinați funcția de distribuție și trasați graficul acesteia.

Soluţie. Aria delimitată de curba de distribuție este numeric egală cu