Legile de distribuție ale unei densități ale distribuției variabile aleatorii. Distribuția normală a unei variabile aleatoare continue. regula trei sigma

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este funcția F(x), exprimând pentru fiecare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea, x mai mic

Exemplul 2.5. Având în vedere o serie de distribuție a unei variabile aleatoare

Găsiți și descrieți grafic funcția sa de distribuție. Soluţie. Conform definiţiei

F(jc) = 0 pentru X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 la 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 la X > 5.

Deci (vezi Fig. 2.1):

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nenegativă cuprinsă între zero și unu:

2. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare este o funcție nedescrescătoare pe toată axa numerelor, adică. la X 2 >x

3. La minus infinit, funcția de distribuție este egală cu zero, la plus infinit, este egală cu unu, i.e.

4. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare Xîn interval este egală cu integrala definită a densității sale de probabilitate variind de la dar inainte de b(vezi Fig. 2.2), adică

Orez. 2.2

3. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue (vezi Fig. 2.3) poate fi exprimată în termeni de densitate de probabilitate folosind formula:

F(x)= Jp(*)*. (2,10)

4. Integrala improprie în limite infinite ale densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este egală cu unu:

Proprietăţi geometrice / şi 4 densitățile de probabilitate înseamnă că graficul său este curba de distributie - nu se află sub axa x, Și suprafata totala cifre, curba de distribuție limitată și axa x, este egal cu unu.

Pentru o variabilă aleatoare continuă X valorea estimata M(X) si varianta D(X) sunt determinate de formulele:

(dacă integrala converge absolut); sau

(dacă integralele reduse converg).

Alături de caracteristicile numerice menționate mai sus, conceptul de cuantile și puncte procentuale este folosit pentru a descrie o variabilă aleatorie.

cuantila de nivel q(sau q-quantila) este o astfel de valoarex qvariabilă aleatorie, la care funcția sa de distribuție ia valoarea, egal cu q, adică

• 100Punctul q%-ou este cuantila X~ q .
• ? Exemplul 2.8.

Conform exemplului 2.6 găsiți cuantila xqj și 30% punct variabil aleatoriu X.

Soluţie. Prin definiție (2.16) F(xo t3)= 0.3, adică.

~Y~ = 0,3, de unde cuantila x 0 3 = 0,6. 30% punct variabil aleatoriu X, sau cuantila Х)_о,з = xoj» se găsește în mod similar din ecuația ^ = 0,7. de unde *,= 1,4. ?

Printre caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii se numără iniţială v* și central R* momente de ordinul k, determinat pentru variabile aleatoare discrete și continue prin formulele:

LEGEA DISTRIBUȚIEI ȘI CARACTERISTICI

VALORI ALEATORII

Variabile aleatoare, clasificarea lor și metode de descriere.

O valoare aleatorie este o cantitate care, în urma unui experiment, poate lua una sau alta valoare, dar care nu este cunoscută dinainte. Pentru o variabilă aleatorie, prin urmare, pot fi specificate numai valori, dintre care una va lua neapărat ca rezultat al experimentului. Aceste valori vor fi denumite posibile valori ale variabilei aleatoare. Deoarece o variabilă aleatoare caracterizează cantitativ rezultatul aleatoriu al unui experiment, poate fi considerată ca o caracteristică cantitativă a unui eveniment aleatoriu.

Variabilele aleatoare sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin, de exemplu, X..Y..Z, iar valorile lor posibile prin literele mici corespunzătoare.

Există trei tipuri de variabile aleatoare:

discret; Continuu; Amestecat.

Discret se numește o astfel de variabilă aleatorie, numărul de valori posibile al cărui număr formează un set numărabil. La rândul său, o mulțime numărabilă este o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate. Cuvântul „discret” provine din latinescul discretus, care înseamnă „discontinuu, format din părți separate”.

Exemplul 1. O variabilă aleatorie discretă este numărul de părți defecte X dintr-un lot de nfl. Într-adevăr, valorile posibile ale acestei variabile aleatoare sunt o serie de numere întregi de la 0 la n.

Exemplul 2. O variabilă aleatorie discretă este numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei. Aici, ca și în exemplul 1, valorile posibile pot fi numerotate, deși în cazul limită valoarea posibilă este un număr infinit de mare.

continuu se numește o variabilă aleatorie, ale cărei valori posibile umple continuu un anumit interval al axei numerice, uneori numit interval de existență a acestei variabile aleatoare. Astfel, pe orice interval finit de existență, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit de mare.

Exemplul 3. O variabilă aleatoare continuă este consumul de energie electrică la întreprindere pentru o lună.

Exemplul 4. O variabilă aleatoare continuă este eroarea în măsurarea înălțimii folosind un altimetru. Să se știe din principiul de funcționare al altimetrului că eroarea se află în intervalul de la 0 la 2 m. Prin urmare, intervalul de existență al acestei variabile aleatoare este intervalul de la 0 la 2 m.

Legea distribuției variabilelor aleatoare.

O variabilă aleatoare este considerată complet specificată dacă valorile ei posibile sunt indicate pe axa numerică și se stabilește legea distribuției.

Legea distribuției unei variabile aleatoare se numește relație care stabilește o relație între valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile corespunzătoare.

Se spune că o variabilă aleatoare este distribuită conform unei legi date sau supusă unei legi de distribuție date. Ca legi de distribuție sunt folosite un număr de probabilități, o funcție de distribuție, o densitate de probabilitate, o funcție caracteristică.

Legea distribuției oferă o descriere completă probabilă a unei variabile aleatoare. Conform legii distribuției, este posibil să se judece înainte de experiență care valori posibile ale unei variabile aleatoare vor apărea mai des și care sunt mai rar.

Pentru o variabilă aleatorie discretă, legea distribuției poate fi dată sub forma unui tabel, analitic (sub forma unei formule) și grafic.

Cea mai simplă formă de specificare a legii de distribuție a unei variabile aleatoare discrete este un tabel (matrice), care listează în ordine crescătoare toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare și probabilitățile lor corespunzătoare, de exemplu.

Un astfel de tabel se numește o serie de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. unu

Evenimentele X 1 , X 2 ,..., X n , constând în faptul că, în urma testului, variabila aleatoare X va lua valorile x 1 , x 2 , respectiv... xn , sunt inconsecvente și singurele posibile (deoarece tabelul listează toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare), adică formează un grup complet. Prin urmare, suma probabilităților lor este egală cu 1. Astfel, pentru orice variabilă aleatoare discretă

(Această unitate este oarecum distribuită între valorile variabilei aleatoare, de unde și termenul „distribuție”).

O serie de distribuție poate fi afișată grafic dacă valorile unei variabile aleatoare sunt reprezentate grafic de-a lungul axei absciselor și probabilitățile lor corespunzătoare de-a lungul axei ordonatelor. Legătura punctelor obținute formează o linie întreruptă, numită poligon sau poligon al distribuției de probabilitate (Fig. 1).

Exemplu Se joacă loteria: o mașină de 5000 de den. unitati, 4 televizoare in valoare de 250 den. unitate, 5 VCR-uri în valoare de 200 den. unitati În total, 1000 de bilete sunt vândute pentru 7 den. unitati Întocmește legea de repartizare a câștigurilor nete primite de participantul la loterie care a cumpărat un bilet.

Soluţie. Valorile posibile ale variabilei aleatoare X - câștiguri nete pe bilet - sunt 0-7 = -7 den. unitati (dacă biletul nu a câștigat), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. unitati (dacă biletul a câștigat VCR-ul, respectiv televizorul sau mașina). Având în vedere că din 1000 de bilete numărul de necâștigători este de 990, iar câștigurile indicate sunt 5, 4 și, respectiv, 1, iar folosind definiția clasică a probabilității obținem.

Legile distribuției variabilelor aleatoare continue

Legea distribuției unei variabile aleatoare continue nu poate fi stabilită în același mod ca și pentru una discretă. Este inaplicabil din cauza faptului că este imposibil de enumerat întregul set infinit de valori nenumărate, iar probabilitățile fiecărei valori individuale a unei variabile aleatoare continue sunt egale cu zero.

Pentru a descrie legea distribuției unei variabile aleatoare continue X se propune o abordare diferită: nu luați în considerare probabilitățile evenimentelor X=x pentru diferite X, și probabilitățile evenimentului X<х . În același timp, probabilitateaP( X< X) depinde de variabila curentă, adică este o funcție a X.

functie de distributie variabilă aleatorie X numită funcțieF( X) exprimând pentru fiecare X probabilitatea ca variabila aleatoare X capătă o valoare mai mică decât X:

Funcţie F( X) numit funcția de distribuție cumulativă sau legea distribuţiei integrale.

Metoda de specificare a unei variabile aleatoare continue folosind funcția de distribuție nu este singura. Este necesar să se definească o funcție care să reflecte probabilitățile ca un punct aleator să se încadreze în diferite părți ale regiunii valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue. Adică, pentru a oferi un înlocuitor pentru probabilități pi pentru o variabilă aleatoare discretă în cazul continuu.

O astfel de funcție este distribuția densității de probabilitate. Probabilitate densitate (densitate de distribuție, funcție diferențială) variabilă aleatorie X numită funcțief( X), care este prima derivată a funcției de distribuție integrală:

.

Despre o variabilă aleatoare X se spune că are o distribuţie (distribuită) cu o densitatef( X) pe o anumită parte a axei x.

Legea distribuției uniforme. Variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție uniformă (legea densității constante) pe intervalul [A; b], dacă funcția de densitate de probabilitate a variabilei aleatoare este constantă pe acest interval, i.e.f( X) se pare ca:

Valorea estimata
. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare distribuite uniform pe un segment(a, b) este egal cu mijlocul acestui segment.

Dispersie:

Valoarea se numește corecția lui Sheppard.

Probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare cu o distribuție uniformă să cadă pe intervalul (a , b ) care aparține în întregime segmentului [a, b]:

Din punct de vedere geometric, această probabilitate este aria dreptunghiului umbrit. Numerele darȘibnumit parametrii de distribuțieȘi definiți în mod unic o distribuție uniformă.

Exemplul 4 Timpul de așteptare pentru un răspuns la un apel telefonic este o variabilă aleatorie care se supune unei legi de distribuție uniformă în intervalul de la 0 la 2 minute. Găsiți funcțiile de distribuție integrală și diferențială ale acestei variabile aleatoare.

Legea distribuției normale (Legea lui Gauss). Variabilă aleatoare continuă X are o lege de distribuție normală cu parametrii și (desemnând ) dacă densitatea sa de probabilitate are forma:

, Unde , .
	Funcția de densitate probabilitățif( X)	functie de distributie F( X)
Orez.2 . Legea distribuției normale

Așteptările matematice caracterizează centrul de dispersie al valorilor variabilei aleatoare, iar la schimbare, curba se va deplasa de-a lungul axei absciselor (vezi Fig. 2 la și la ). Dacă, cu o așteptare matematică constantă, varianța unei variabile aleatoare se modifică, atunci curba își va schimba forma, micșorându-se sau întinzându-se (vezi Fig. 2 pentru : ; ; ). Astfel, parametrul caracterizează poziția, iar parametrul caracterizează forma curbei densității probabilității.

Distribuția normală a unei variabile aleatoare X cu parametrii și (notatN(0;1)) se numește standard sau normalizat iar curba normală corespunzătoare este standard sau normalizată.

Conform definiției, funcția de densitate de probabilitate și funcția de distribuție sunt legate:

, Unde .

O integrală de acest fel este „neluată”, prin urmare, pentru a o găsi, se folosește o funcție specială, așa-numita integrală de probabilitate sau Funcția Laplace, pentru care au fost întocmite tabele (vezi Anexa 1).

Folosind funcția Laplace, se poate exprima funcția de distribuție a legii normale prin formula:

, Unde .

În scopuri practice, este foarte important proprietăți o variabilă aleatoare cu o lege de distribuție normală.

1. Dacă , atunci pentru a găsi probabilitatea ca această valoare să se încadreze într-un interval dat ( x 1; x 2) se utilizează formula:

2. Probabilitatea ca abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice să nu depășească valoarea (în valoare absolută) este egală cu:

.

3. „Regula celor trei sigma” . Dacă o variabilă aleatoare, atunci este practic sigur că valorile sale sunt conținute în interval ( ). (Probabilitatea de a depăși aceste limite este de 0,0027.) Regula permite, cunoscând parametrii ( și ), să se determine aproximativ intervalul valorilor practice ale unei variabile aleatorii.

Exemplul 5 Variabila aleatoare este distribuită în mod normal cu parametrii , . Aflați probabilitatea ca variabila aleatoare ca rezultat al experimentului să ia valoarea conținută în intervalul (12.5; 14).

Exemplul 6 Eroarea de măsurare aleatorie este supusă legii distribuției normale cu parametri , . Se efectuează trei măsurători independente. Aflați probabilitatea ca eroarea a cel puțin unei măsurători să nu depășească 3 mm în valoare absolută.

Probabilitatea ca eroarea de măsurare într-un singur test să nu depășească 3 mm:

Probabilitatea ca această eroare de măsurare într-un test să depășească 3 mm este:

Probabilitatea ca în toate cele trei teste eroarea de măsurare să depășească 3 mm:

.

Probabilitate dorită: .

Funcția NORMIST

Returnează funcția de distribuție normală pentru media și abaterea standard specificate. Această funcție este utilizată pe scară largă în statistică, inclusiv la testarea ipotezelor.

Sintaxă

NORMDIST(X;media;standard_off;integrală )

X - valoarea pentru care se construieste distributia.

Media

Standard_off

Integral- Valoare booleană care definește forma funcției. Dacă argumentul cumulativ este TRUE, funcția NORMIST returnează funcția de distribuție cumulativă; dacă acest argument este FALS, este returnată funcția de densitate de distribuție.

Observatii

· Dacă argumentul este „mediu” sau „ standard_off' nu este un număr, funcția NORMIST returnează valoarea de eroare #VALOARE!.

· Dacă standard_off≤ 0, atunci funcția NORMDIST returnează valoarea de eroare #NUM!.

· Dacă medie = 0, standard_off= 1 și cumulativ = TRUE, apoi funcția NORMDIS returnează distribuția normală standard, adică NORMSDIST.

· Ecuația pentru densitatea distribuției normale (argumentul „cumulativ” conține valoarea FALS) este următoarea:

· Dacă integrala este ADEVĂRATĂ, formula descrie o integrală cu limite de la minus infinit la x .

Funcția NORMSDIST

Returnează distribuția cumulată normală standard. Această distribuție are o medie de zero și o abatere standard de unu. Această funcție este utilizată în locul tabelului standard cu zonele curbei normale.

Sintaxă

NORMSTRAST(z )

Z- valoarea pentru care se construieste distributia.

Observatii

· Dacă z nu este un număr, NORMSDIST returnează valoarea de eroare #VALOARE!.

· Ecuația densității pentru distribuția normală standard este:

Funcția NORMINV

Returnează distribuția normală inversă pentru media și abaterea standard specificate.

Sintaxă

NORMOBR(;media;standard_off )

Probabilitateeste probabilitatea corespunzătoare distribuției normale.

Mediaeste media aritmetică a distribuției.

Standard_off este abaterea standard a distribuției.

Observatii

· Dacă orice argument nu este numeric, NORMINV returnează valoarea de eroare #VALOARE!.

· Dacă probabilitatea< 0 или вероятность >1, funcția NORMINV returnează valoarea de eroare #NUM!.

· Dacă standard_off≤ 0, NORMINV returnează valoarea de eroare #NUM!.

· Dacă media = 0 și standard_off= 1, NORMINV utilizează distribuția normală standard (vezi NORMSINV).

Dacă este specificată o valoare de probabilitate, NORMINV caută valoarea x pentru care NORMIST(x , medie, standard_off, TRUE) = probabilitate. Cu toate acestea, acuratețea funcției NORMINV depinde de precizia NORMDIST. Funcția NORMINV folosește metoda iterației pentru a căuta. Dacă căutarea nu s-a încheiat după 100 de iterații, funcția returnează valoarea de eroare #N/A.

- numarul de baieti din 10 nou-nascuti.

Este destul de clar că acest număr nu este cunoscut în prealabil, iar în următorii zece copii născuți pot exista:

Sau băieți - unul si numai unul dintre opțiunile enumerate.

Și, pentru a fi în formă, puțină educație fizică:

- distanta de saritura in lungime (în unele unități).

Nici măcar maestrul sportului nu este în stare să prevadă :)

Totuși, care sunt ipotezele tale?

2) Variabilă aleatoare continuă - ia toate valori numerice dintr-un interval finit sau infinit.

Notă : abrevierile DSV și NSV sunt populare în literatura educațională

Mai întâi, să analizăm o variabilă aleatoare discretă, apoi - continuu.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete

- acest conformitateîntre valorile posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora. Cel mai adesea, legea este scrisă într-un tabel:

Termenul este destul de comun rând distributie, dar în unele situații sună ambiguu și, prin urmare, voi respecta „legea”.

Si acum punct foarte important: din moment ce variabila aleatoare neapărat voi accepta una dintre valori, apoi se formează evenimentele corespunzătoare grup complet iar suma probabilităților apariției lor este egală cu unu:

sau, dacă este scris pliat:

Deci, de exemplu, legea distribuției probabilităților punctelor de pe un zar are următoarea formă:

Fără comentarii.

Este posibil să aveți impresia că o variabilă aleatoare discretă poate lua doar valori întregi „bune”. Să risipim iluzia - pot fi orice:

Exemplul 1

Unele jocuri au următoarea lege de distribuire a plăților:

…probabil că visezi la astfel de sarcini de multă vreme :) Hai să-ți spun un secret – și eu. Mai ales după terminarea lucrărilor teoria câmpului.

Soluţie: deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar una din trei valori, se formează evenimentele corespunzătoare grup complet, ceea ce înseamnă că suma probabilităților lor este egală cu unu:

Îl expunem pe „partizanul”:

– astfel, probabilitatea de a câștiga unități convenționale este de 0,4.

Control: de ce ai nevoie pentru a te asigura.

Răspuns:

Nu este neobișnuit când legea distribuției trebuie elaborată independent. Pentru această utilizare definiția clasică a probabilității, teoreme de înmulțire/adunare pentru probabilitățile de evenimenteși alte chips-uri tervera:

Exemplul 2

În cutie sunt 50 de bilete de loterie, dintre care 12 sunt câștigătoare, iar 2 dintre ele câștigă 1000 de ruble fiecare, iar restul - 100 de ruble fiecare. Întocmește o lege de distribuție a unei variabile aleatoare - mărimea câștigurilor, dacă un bilet este extras aleatoriu din casetă.

Soluţie: după cum ați observat, este obișnuit să plasați valorile unei variabile aleatoare în ordine crescătoare. Prin urmare, începem cu cele mai mici câștiguri, și anume ruble.

În total, sunt 50 - 12 = 38 de astfel de bilete, iar conform definiție clasică:
este probabilitatea ca un bilet extras aleatoriu să nu câștige.

Restul cazurilor sunt simple. Probabilitatea de a câștiga ruble este:

Verificarea: - si acesta este un moment deosebit de placut al unor astfel de sarcini!

Răspuns: legea impusă de distribuire a plăților:

Următoarea sarcină pentru o decizie independentă:

Exemplul 3

Probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta este de . Faceți o lege de distribuție pentru o variabilă aleatorie - numărul de lovituri după 2 lovituri.

... Stiam ca ti-a fost dor de el :) Ne amintim teoreme de înmulțire și adunare. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Legea distribuției descrie complet o variabilă aleatoare, dar în practică este util (și uneori mai util) să cunoști doar o parte din ea. caracteristici numerice .

Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete

În termeni simpli, asta valoarea medie aşteptată cu teste repetate. Lasă o variabilă aleatorie să ia valori cu probabilități respectiv. Atunci așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este egală cu suma de produse toate valorile sale după probabilitățile corespunzătoare:

sau în formă pliată:

Să calculăm, de exemplu, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare - numărul de puncte aruncate pe un zar:

Acum să ne amintim jocul nostru ipotetic:

Apare întrebarea: este chiar profitabil să joci acest joc? ... cine are impresii? Așa că nu poți spune „de la îndemână”! Dar la această întrebare se poate răspunde cu ușurință prin calcularea așteptărilor matematice, în esență - medie ponderată probabilități de câștig:

Astfel, așteptările matematice ale acestui joc pierzând.

Nu aveți încredere în impresii - aveți încredere în numere!

Da, aici poți câștiga de 10 sau chiar de 20-30 de ori la rând, dar pe termen lung vom fi inevitabil ruinați. Și nu te-aș sfătui să joci astfel de jocuri :) Ei bine, poate doar pentru distractie.

Din toate cele de mai sus, rezultă că așteptarea matematică NU este o valoare aleatorie.

Sarcina creativă pentru cercetare independentă:

Exemplul 4

Domnul X joacă la ruleta europeană după următorul sistem: pariază constant 100 de ruble pe roșu. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare - profitul acesteia. Calculați așteptările matematice ale câștigurilor și rotunjiți-o la copeici. Cum in medie jucătorul pierde la fiecare sută de pariuri?

referinţă : Ruleta europeană conține 18 sectoare roșii, 18 negre și 1 verde („zero”). În cazul unei căderi „roșii”, jucătorului i se plătește un pariu dublu, în caz contrar, acesta merge la venitul cazinoului.

Există multe alte sisteme de ruletă pentru care vă puteți crea propriile tabele de probabilitate. Dar acesta este cazul când nu avem nevoie de nicio lege și tabele de distribuție, deoarece este stabilit cu siguranță că așteptările matematice ale jucătorului vor fi exact aceleași. Doar modificări de la sistem la sistem

Legea normală a distribuției probabilităților

Fără exagerare, poate fi numită lege filozofică. Observând diferite obiecte și procese ale lumii din jurul nostru, întâlnim adesea faptul că ceva nu este suficient și că există o normă:


Iată o vedere de bază funcții de densitate distribuție normală de probabilitate și vă urez bun venit la această lecție cea mai interesantă.

Ce exemple pot fi date? Sunt doar întuneric. Aceasta este, de exemplu, înălțimea, greutatea oamenilor (și nu numai), puterea lor fizică, abilitățile mentale etc. Există o „masă” (intr-un fel sau altul)și există abateri în ambele sensuri.

Acest diverse caracteristici obiecte neînsuflețite (aceleași dimensiuni, greutate). Aceasta este o durată aleatorie a proceselor, de exemplu, timpul unei curse de o sută de metri sau transformarea rășinii în chihlimbar. Din fizică, mi-au venit în minte moleculele de aer: printre ele sunt cele lente, sunt rapide, dar majoritatea se mișcă la viteze „standard”.

Apoi, ne abatem de la centru cu încă o abatere standard și calculăm înălțimea:

Marcarea punctelor pe desen (Culoarea verde)și vedem că acest lucru este destul.

În etapa finală, desenăm cu atenție un grafic și deosebit de atent reflectă-l convexitate / concavitate! Ei bine, probabil că ați realizat cu mult timp în urmă că axa absciselor este asimptotă orizontală, și este absolut imposibil să „urci” pentru asta!

Cu designul electronic al soluției, graficul este ușor de construit în Excel și, în mod neașteptat pentru mine, am înregistrat chiar și un scurt videoclip pe această temă. Dar mai întâi, să vorbim despre cum se schimbă forma curbei normale în funcție de valorile și .

Când creșteți sau descreșteți „a” (cu „sigma”) neschimbat graficul își păstrează forma și se deplasează la dreapta/stânga respectiv. Deci, de exemplu, când funcția ia forma iar graficul nostru „se mută” cu 3 unități la stânga - exact la origine:


O cantitate distribuită normal cu zero așteptări matematice a primit un nume complet natural - centrat; funcția sa de densitate – chiar, iar graficul este simetric față de axa y.

În cazul unei schimbări în „sigma” (cu constanta „a”), graficul „rămâne pe loc”, dar își schimbă forma. Când este mărită, devine mai jos și alungită, ca o caracatiță care își întinde tentaculele. Și invers, la micșorarea graficului devine mai îngustă și mai înaltă- se dovedește „caracatiță surprinsă”. Da, la scădea„sigma” de două ori: graficul precedent se îngustează și se întinde de două ori:

Totul este în deplină concordanță cu transformări geometrice ale graficelor.

Distribuția normală cu valoarea unitară „sigma” se numește normalizat, și dacă este și centrat(cazul nostru), atunci se numește o astfel de distribuție standard. Are o funcție de densitate și mai simplă, care a fost deja întâlnită în teorema locală Laplace: . Distribuția standard și-a găsit aplicație largă în practică și foarte curând îi vom înțelege în sfârșit scopul.

Acum hai sa ne uitam la un film:

Da, foarte bine - cumva nemeritat am rămas în umbră funcția de distribuție a probabilității. Ne amintim de ea definiție:
- probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia o valoare MAI MINĂ decât variabila , care „rulează” toate valorile reale până la „plus” infinit.

În interiorul integralei, se folosește de obicei o literă diferită, astfel încât să nu existe „suprapuneri” cu notația, deoarece aici fiecare valoare este atribuită integrală improprie , care este egal cu unii număr din interval.

Aproape toate valorile nu pot fi calculate cu precizie, dar așa cum tocmai am văzut, cu puterea de calcul modernă, acest lucru nu este dificil. Deci, pentru funcție a distribuției standard, funcția Excel corespunzătoare conține, în general, un singur argument:

=NORMSDIST(z)

Unu, doi - și gata:

Desenul arată clar implementarea tuturor proprietățile funcției de distribuție, iar din nuanțele tehnice de aici ar trebui să acordați atenție asimptote orizontaleși un punct de inflexiune.

Acum să ne amintim una dintre sarcinile cheie ale subiectului, și anume, să aflăm cum să găsim - probabilitatea ca o variabilă aleatorie normală va lua o valoare din interval. Din punct de vedere geometric, această probabilitate este egală cu zonăîntre curba normală și axa x din secțiunea corespunzătoare:

dar de fiecare dată măcinați o valoare aproximativă este nerezonabil și, prin urmare, este mai rațional de utilizat formula „ușoară”.:
.

! isi aminteste de asemenea , ce

Aici puteți utiliza din nou Excel, dar există câteva „dar” semnificative: în primul rând, nu este întotdeauna la îndemână, iar în al doilea rând, valorile „gata făcute”, cel mai probabil, vor ridica întrebări din partea profesorului. De ce?

Am mai vorbit în mod repetat despre asta: la un moment dat (și nu cu mult timp în urmă) un calculator obișnuit era un lux, iar modul „manual” de rezolvare a problemei luate în considerare este încă păstrat în literatura educațională. Esența lui este să standardiza valorile „alfa” și „beta”, adică reduc soluția la distribuția standard:

Notă : funcția este ușor de obținut din cazul generalfolosind un liniar substituiri. Apoi și:

iar de la înlocuire urmează doar formula trecerea de la valorile unei distribuții arbitrare la valorile corespunzătoare ale distribuției standard.

De ce este nevoie de asta? Faptul este că valorile au fost calculate cu scrupulozitate de strămoșii noștri și rezumate într-un tabel special, care se află în multe cărți de pe terver. Dar și mai comun este tabelul de valori, despre care ne-am ocupat deja Teorema integrală a Laplace:

Dacă avem la dispoziție un tabel de valori ale funcției Laplace , apoi rezolvăm prin ea:

Valorile fracționale sunt în mod tradițional rotunjite la 4 zecimale, așa cum se face în tabelul standard. Și pentru control Punctul 5 aspect.

iti amintesc ca și pentru a evita confuzia fi mereu în control, tabelul CE funcționează în fața ochilor tăi.

Răspuns este necesar să fie dat ca procent, astfel încât probabilitatea calculată trebuie înmulțită cu 100 și furnizați rezultatului un comentariu semnificativ:

- cu un zbor de la 5 la 70 m, aproximativ 15,87% din obuze vor cădea

Ne antrenăm pe cont propriu:

Exemplul 3

Diametrul rulmenților fabricați în fabrică este o variabilă aleatorie distribuită în mod normal cu o așteptare de 1,5 cm și o abatere standard de 0,04 cm.Găsiți probabilitatea ca dimensiunea unui rulment luat aleatoriu să varieze între 1,4 și 1,6 cm.

În soluția eșantion și mai jos, voi folosi funcția Laplace ca cea mai comună opțiune. Apropo, rețineți că, conform formulării, aici puteți include capetele intervalului în considerație. Cu toate acestea, acest lucru nu este critic.

Și deja în acest exemplu ne-am întâlnit un caz special– când intervalul este simetric în raport cu așteptarea matematică. Într-o astfel de situație, poate fi scris sub forma și, folosind ciudatenia funcției Laplace, simplifica formula de lucru:

Se apelează parametrul delta deviere din așteptarea matematică, iar inegalitatea dublă poate fi „ambalată” folosind modul:

este probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să se abate de la așteptarea matematică cu mai puțin de .

Ei bine, soluția care se încadrează într-o singură linie :)
este probabilitatea ca diametrul unui rulment luat la întâmplare să difere de la 1,5 cm cu cel mult 0,1 cm.

Rezultatul acestei sarcini s-a dovedit a fi aproape de unitate, dar aș dori și mai multă fiabilitate - și anume, să aflu limitele în care este diametrul aproape toti rulmenti. Există vreun criteriu pentru asta? Există! La întrebare răspunde așa-zisul

regula trei sigma

Esența sa este aceea practic de încredere este faptul că o variabilă aleatoare distribuită normal va lua o valoare din interval .

Într-adevăr, probabilitatea abaterii de la așteptare este mai mică decât:
sau 99,73%

În ceea ce privește „rulmenții” - acestea sunt 9973 de piese cu un diametru de 1,38 până la 1,62 cm și doar 27 de exemplare „substandard”.

În cercetarea practică, regula „trei sigma” este de obicei aplicată în sens invers: dacă statistic a constatat că aproape toate valorile variabilă aleatoare în studiu se încadrează într-un interval de 6 abateri standard, atunci există motive întemeiate să credem că această valoare este distribuită conform legii normale. Verificarea se realizează folosind teoria ipotezele statistice.

Continuăm să rezolvăm sarcinile aspre sovietice:

Exemplul 4

Valoarea aleatorie a erorii de cântărire este distribuită conform legii normale cu așteptări matematice zero și o abatere standard de 3 grame. Găsiți probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame în valoare absolută.

Soluţie foarte simplu. După condiție, și notăm imediat că la următoarea cântărire (ceva sau cineva) vom obține aproape 100% rezultatul cu o precizie de 9 grame. Dar în problemă există o abatere mai restrânsă și conform formulei :

- probabilitatea ca următoarea cântărire să fie efectuată cu o eroare care să nu depășească 5 grame.

Răspuns:

O problemă rezolvată este fundamental diferită de una aparent similară. Exemplul 3 lectie despre distributie uniforma. A fost o eroare rotunjire rezultatele măsurătorilor, aici vorbim despre eroarea aleatorie a măsurătorilor în sine. Aceste erori apar din cauza specificatii tehnice instrumentul în sine (gama de erori admisibile, de regulă, este indicată în pașaportul său), și tot din vina experimentatorului - când, de exemplu, „cu ochi” luăm citiri din săgeata aceleiași scale.

Printre altele, există și așa-numitele sistematic erori de măsurare. Este deja Nu la nimereală erori care apar din cauza configurării sau funcționării incorecte a dispozitivului. Deci, de exemplu, cântarele de podea neajustate pot „adăuga” în mod constant un kilogram, iar vânzătorul subponderează în mod sistematic cumpărătorii. Sau nu sistematic, pentru că poți schimba. Cu toate acestea, în orice caz, o astfel de eroare nu va fi aleatorie, iar așteptarea sa este diferită de zero.

…Dezvolt urgent un curs de instruire in vanzari =)

Să rezolvăm singuri problema:

Exemplul 5

Diametrul rolei este o variabilă aleatorie distribuită normal, abaterea sa standard este mm. Aflați lungimea intervalului, simetric față de așteptarea matematică, în care lungimea diametrului mărgelei va scădea cu probabilitate.

Articol 5* layout-ul de proiectare a ajuta. Vă rugăm să rețineți că așteptările matematice nu sunt cunoscute aici, dar acest lucru nu interferează cu nimic în rezolvarea problemei.

Și sarcina de examen, pe care o recomand cu căldură pentru a consolida materialul:

Exemplul 6

O variabilă aleatoare distribuită în mod normal este dată de parametrii săi (așteptările matematice) și (deviația standard). Necesar:

a) notează densitatea de probabilitate și descrie schematic graficul acesteia;
b) aflați probabilitatea ca acesta să ia o valoare din interval ;
c) găsiți probabilitatea ca modulo să se abate de la cel mult ;
d) aplicând regula „trei sigma”, găsiți valorile variabilei aleatoare.

Astfel de probleme sunt oferite peste tot, iar de-a lungul anilor de practică am reușit să rezolv sute și sute dintre ele. Asigurați-vă că exersați desenul manual și utilizarea foilor de calcul pe hârtie ;)

Ei bine, voi analiza un exemplu de complexitate crescută:

Exemplul 7

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare are forma . Găsiți , așteptări matematice , varianță , funcție de distribuție , densitate grafică și funcții de distribuție, găsiți .

Soluţie: în primul rând, să fim atenți că condiția nu spune nimic despre natura variabilei aleatoare. În sine, prezența expozantului nu înseamnă nimic: poate fi, de exemplu, demonstrativ sau în general arbitrare distributie continua. Și, prin urmare, „normalitatea” distribuției mai trebuie să fie fundamentată:

Din moment ce functia determinat la orice valoare reală și poate fi redusă la formă , atunci variabila aleatoare este distribuită conform legii normale.

Vă prezentăm. Pentru aceasta selectați un pătrat complet si organizeaza fracție cu trei etaje:


Asigurați-vă că efectuați o verificare, revenind indicatorul la forma sa originală:

ceea ce am vrut să vedem.

În acest fel:
- pe regula puterii„ciupirea”. Și aici puteți nota imediat caracteristicile numerice evidente:

Acum să găsim valoarea parametrului. Deoarece multiplicatorul distribuției normale are forma și , atunci:
, din care exprimăm și substituim în funcția noastră:
, după care vom trece din nou peste înregistrarea cu ochii și ne vom asigura că funcția rezultată are forma .

Să reprezentăm grafic densitatea:

și graficul funcției de distribuție :

Dacă nu există Excel și chiar și un calculator obișnuit la îndemână, atunci ultimul grafic este ușor de construit manual! La un moment dat, funcția de distribuție preia valoarea și iată