Cum să găsiți numitorul unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Formula pentru suma primilor n membri ai GP. Progresie geometrică. pe scurt despre principal

O progresie geometrică este un nou tip de succesiune de numere cu care trebuie să ne cunoaștem. Pentru o cunoștință de succes, nu strică măcar să cunoască și să înțeleagă. Atunci nu va fi nicio problemă cu progresia geometrică.)

Ce este o progresie geometrică? Conceptul de progresie geometrică.

Începem turul, ca de obicei, cu elementul. Scriu o succesiune neterminată de numere:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Poți să prinzi un model și să spui ce numere vor urma? Ardeiul este limpede, numerele 100000, 1000000 și așa mai departe vor merge mai departe. Chiar și fără prea mult stres mental, totul este clar, nu?)

BINE. Alt exemplu. Scriu următoarea succesiune:

1, 2, 4, 8, 16, …

Puteți spune ce numere vor urma, după numărul 16 și numele Al optulea membru al secvenței? Dacă ți-ai dat seama că ar fi numărul 128, atunci foarte bine. Deci, jumătate din bătălie este în înțelegere sensȘi puncte cheie progresie geometrică deja făcută. Puteți crește mai departe.)

Și acum trecem din nou de la senzații la matematică riguroasă.

Momente cheie ale unei progresii geometrice.

Momentul cheie #1

Progresia geometrică este succesiune de numere. La fel și progresia. Nimic complicat. Tocmai aranjat această secvență diferit. Prin urmare, desigur, are un alt nume, da...

Momentul cheie #2

Cu al doilea punct cheie, întrebarea va fi mai complicată. Să ne întoarcem puțin și să ne amintim proprietatea cheie a unei progresii aritmetice. Iată-l: fiecare membru este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Este posibil să se formuleze o proprietate cheie similară pentru o progresie geometrică? Gândiți-vă puțin... Uitați-vă la exemplele date. Ghicit? Da! Într-o progresie geometrică (oricare!) fiecare dintre membrii săi diferă de cel precedent in acelasi numar de ori. Este mereu!

În primul exemplu, acest număr este zece. Indiferent de termenul secvenței pe care îl luați, acesta este mai mare decât cel precedent de zece ori.

În al doilea exemplu, acesta este un doi: fiecare membru este mai mare decât precedentul. de două ori.

În acest punct cheie, progresia geometrică diferă de cea aritmetică. Într-o progresie aritmetică, se obține fiecare termen următor adăugând de aceeași valoare cu termenul anterior. Si aici - multiplicare termenul anterior cu aceeași sumă. Asta este diferența.)

Momentul cheie #3

Acest punct cheie este complet identic cu cel pentru o progresie aritmetică. Și anume: fiecare membru al progresiei geometrice este la locul lui. Totul este exact la fel ca în progresia aritmetică, iar comentariile cred că sunt inutile. Există primul termen, există o sută primul și așa mai departe. Să rearanjam cel puțin doi membri - modelul (și odată cu el progresia geometrică) va dispărea. Ceea ce rămâne este doar o succesiune de numere fără nicio logică.

Asta e tot. Acesta este întregul punct al progresiei geometrice.

Termeni și denumiri.

Și acum, după ce ne-am ocupat de semnificația și punctele cheie ale progresiei geometrice, putem trece la teorie. Altfel, ce este o teorie fără a înțelege sensul, nu?

Ce este o progresie geometrică?

Cum se scrie o progresie geometrică în termeni generali? Nici o problemă! Fiecare membru al progresiei este scris și sub formă de scrisoare. Numai pentru progresia aritmetică, litera este de obicei folosită "dar", pentru geometric - litera „b”. Numarul membrului, ca de obicei, este indicat index dreapta jos. Membrii progresiei înșiși sunt enumerați pur și simplu, separați prin virgule sau punct și virgulă.

Asa:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Pe scurt, o astfel de progresie este scrisă după cum urmează: (b n) .

Sau astfel, pentru progresii finite:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Sau, pe scurt:

(b n), n=30 .

Acestea sunt, de fapt, toate desemnările. Totul este la fel, doar litera este diferită, da.) Și acum trecem direct la definiție.

Definirea unei progresii geometrice.

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen ulterior este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero.

Asta e toată definiția. Majoritatea cuvintelor și expresiilor vă sunt clare și familiare. Dacă, desigur, nu înțelegeți sensul unei progresii geometrice „pe degete” și în general. Există însă și câteva fraze noi asupra cărora aș dori să atrag o atenție deosebită.

În primul rând, cuvintele: „al cărui prim termen diferit de zero".

Această restricție asupra primului termen nu a fost introdusă întâmplător. Ce crezi că se va întâmpla dacă primul mandat b 1 se dovedește a fi zero? Care va fi al doilea termen dacă fiecare termen este mai mare decât precedentul de acelasi numar de ori? Să spunem de trei ori? Să vedem... Înmulțiți primul termen (adică 0) cu 3 și obțineți... zero! Și al treilea membru? De asemenea, zero! Și al patrulea termen este, de asemenea, zero! etc…

Obținem doar o pungă de covrigi o secvență de zerouri:

0, 0, 0, 0, …

Desigur, o astfel de secvență are dreptul la viață, dar nu are niciun interes practic. Totul este atât de clar. Oricare dintre membrii săi este zero. Suma oricărui număr de membri este, de asemenea, zero... Ce lucruri interesante poți face cu el? Nimic…

Următoarele cuvinte cheie: „înmulțit cu același număr diferit de zero”.

Același număr are și propriul nume special - numitorul unei progresii geometrice. Să începem să ne întâlnim.)

Numitorul unei progresii geometrice.

Totul este simplu.

Numitorul unei progresii geometrice este un număr (sau o valoare) diferit de zero De câte orifiecare membru al progresiei mai mult decât precedentul.

Din nou, prin analogie cu progresia aritmetică, cuvântul cheie la care trebuie să acordați atenție în această definiție este cuvântul "Mai mult". Înseamnă că se obține fiecare termen al unei progresii geometrice multiplicare chiar la acest numitor membru anterior.

Explic.

Pentru a calcula, să zicem al doilea membru de luat primul membru și multiplica ea la numitor. Pentru calcul al zecelea membru de luat nouălea membru și multiplica ea la numitor.

Numitorul progresiei geometrice în sine poate fi orice. Absolut oricine! Număr întreg, fracțional, pozitiv, negativ, irațional - toată lumea. În afară de zero. Despre asta ne spune cuvântul „non-zero” din definiție. De ce este nevoie de acest cuvânt aici - mai multe despre asta mai târziu.

Numitorul unei progresii geometrice notată de obicei printr-o literă q.

Cum să-l găsesc pe acesta q? Nici o problemă! Trebuie să luăm orice termen al progresiei și împărțiți la termenul anterior. Diviziunea este fracțiune. De aici și numele - „numitorul progresiei”. Numitorul, de obicei se află într-o fracție, da ...) Deși, logic, valoarea q ar trebui chemat privat progresie geometrică, asemănătoare cu diferență pentru o progresie aritmetică. Dar a fost de acord să sun numitor. Și nici nu vom reinventa roata.)

Să definim, de exemplu, valoarea q pentru această progresie geometrică:

2, 6, 18, 54, …

Totul este elementar. Luăm orice număr de secvență. Ceea ce vrem este ceea ce luăm. În afară de primul. De exemplu, 18. Și împărțiți la numărul anterior . Adică la 6.

Primim:

q = 18/6 = 3

Asta e tot. Acesta este răspunsul corect. Pentru o anumită progresie geometrică, numitorul este trei.

Să găsim numitorul q pentru o altă progresie geometrică. De exemplu, așa:

1, -2, 4, -8, 16, …

Tot la fel. Indiferent de semnele pe care membrii înșiși le au, noi încă luăm orice numărul de ordine (de exemplu, 16) și împărțiți cu numărul anterior(adică -8).

Primim:

d = 16/(-8) = -2

Și asta este.) De data aceasta, numitorul progresiei s-a dovedit a fi negativ. Minus doi. S-a întâmplat.)

Să luăm această progresie:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Și din nou, indiferent de tipul de numere din șir (chiar și numere întregi, chiar fracționale, chiar negative, chiar iraționale), luăm orice număr (de exemplu, 1/9) și împărțim la numărul anterior (1/3). Conform regulilor operațiunilor cu fracții, desigur.

Primim:

Asta e tot.) Aici numitorul s-a dovedit a fi fracționar: q = 1/3.

Dar o astfel de „progresie” ca tine?

3, 3, 3, 3, 3, …

Evident aici q = 1 . Formal, aceasta este și o progresie geometrică, doar cu aceiași membri.) Dar astfel de progresii nu sunt interesante pentru studiu și aplicare practică. La fel ca progresiile cu zerouri solide. Prin urmare, nu le vom lua în considerare.

După cum puteți vedea, numitorul progresiei poate fi orice - întreg, fracționar, pozitiv, negativ - orice! Nu poate fi doar zero. Nu ai ghicit de ce?

Ei bine, să ne uităm la un exemplu specific, ce se va întâmpla dacă luăm ca numitor q zero.) Să avem, de exemplu b 1 = 2 , dar q = 0 . Care va fi atunci al doilea mandat?

Noi credem:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Și al treilea membru?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Tipuri și comportament ale progresiilor geometrice.

Cu totul era mai mult sau mai puțin clar: dacă diferența în progresie d este pozitiv, progresia este în creștere. Dacă diferența este negativă, atunci progresia scade. Există doar două opțiuni. Nu există a treia.)

Dar cu comportamentul unei progresii geometrice, totul va fi mult mai interesant și mai divers!)

De îndată ce membrii se comportă aici: cresc și scad, și se apropie de zero la infinit, și chiar schimbă semnele, grăbindu-se alternativ fie la „plus”, fie la „minus”! Și în toată această diversitate trebuie să poți înțelege bine, da...

Înțelegem?) Să începem cu cel mai simplu caz.

Numitorul este pozitiv ( q >0)

Cu un numitor pozitiv, în primul rând, membrii unei progresii geometrice pot intra în plus infinit(adică crește pe termen nelimitat) și poate intra în minus infinitul(adică scăderea pe termen nelimitat). Ne-am obișnuit deja cu un astfel de comportament al progresiilor.

De exemplu:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Totul este simplu aici. Fiecare membru al progresiei este mai mult decât precedentul. Și fiecare membru primește multiplicare membru anterior pe pozitiv numărul +2 (adică q = 2 ). Comportamentul unei astfel de progresii este evident: toți membrii progresiei cresc la infinit, mergând în spațiu. Plus infinitul...

Acum iată progresia:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Și aici se obține fiecare termen al progresiei multiplicare membru anterior pe pozitiv numărul +2. Dar comportamentul unei astfel de progresii este deja direct opus: fiecare membru al progresiei este obținut mai puțin decât anterior, iar toți termenii săi scad la infinit, ajungând la minus infinit.

Acum să ne gândim: ce au aceste două progresii în comun? Așa este, numitor! Aici si acolo q = +2 . Număr pozitiv. Egalitate de puncte. Si aici comportament Aceste două progresii sunt fundamental diferite! Nu ai ghicit de ce? Da! Totul este despre primul membru! El este, după cum se spune, cel care comandă muzica.) Vedeți singur.

În primul caz, primul termen al progresiei pozitiv(+1) și, prin urmare, toți termenii următori obținuți prin înmulțirea cu pozitiv numitor q = +2 , va de asemenea pozitiv.

Dar în al doilea caz, primul termen negativ(-unu). Prin urmare, toți membrii ulterioare ai progresiei obținute prin înmulțirea cu pozitiv q = +2 , se va obtine de asemenea negativ. Pentru „minus” la „plus” dă întotdeauna „minus”, da.)

După cum puteți vedea, spre deosebire de o progresie aritmetică, o progresie geometrică se poate comporta în moduri complet diferite, nu numai în funcție de de la numitorq, dar și în funcție de la primul membru, Da.)

Amintiți-vă: comportamentul unei progresii geometrice este determinat în mod unic de primul ei membru b 1 și numitorulq .

Și acum începem analiza unor cazuri mai puțin familiare, dar mult mai interesante!

Luați, de exemplu, următoarea secvență:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Această secvență este și o progresie geometrică! Se obține și fiecare membru al acestei progresii multiplicare termenul anterior, cu același număr. Doar numărul este fractionar: q = +1/2 . Sau +0,5 . Și numărul (important!), unul mai mic:q = 1/2<1.

Ce este interesant la această progresie geometrică? Unde merg membrii săi? Să vedem:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Ce este interesant aici? În primul rând, scăderea membrilor progresiei este imediat izbitoare: fiecare dintre membrii săi Mai puțin precedentul exact de 2 ori. Sau, conform definiției unei progresii geometrice, fiecare termen Mai mult anterior de 1/2 ori, deoarece numitorul de progresie q = 1/2 . Și de la înmulțirea cu un număr pozitiv mai mic de unu, rezultatul scade de obicei, da ...

Ce inca se poate observa în comportamentul acestei progresii? Membrii săi dispar? nelimitat, merge la minus infinit? Nu! Ele dispar într-un mod special. La început scad destul de repede, apoi din ce în ce mai încet. Și tot timpul stând pozitiv. Deși foarte, foarte mic. Și pentru ce se străduiesc? Nu ai ghicit? Da! Ei tind la zero!) Și, atenție, membrii progresiei noastre nu ajunge niciodată! Numai infinit aproape de el. Este foarte important.)

O situație similară va fi într-o astfel de progresie:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Aici b 1 = -1 , dar q = 1/2 . Totul este la fel, doar că acum membrii se vor apropia de zero din cealaltă parte, de jos. Stau tot timpul negativ.)

O astfel de progresie geometrică, ai cărei membri apropiindu-se de zero la infinit.(nu contează, pe partea pozitivă sau negativă), în matematică are un nume special - progresie geometrică infinit descrescătoare. Această progresie este atât de interesantă și neobișnuită încât chiar va fi lecție separată .)

Deci, am considerat tot posibilul pozitiv numitorii sunt atât mari, cât și mai mici. Nu îl considerăm pe cel în sine drept numitor din motivele expuse mai sus (amintiți-vă exemplul cu succesiunea triplelor...)

A rezuma:

pozitivȘi mai mult de o (q>1), apoi membrii progresiei:

A) crește pe termen nelimitat (dacăb 1 >0);

b) scade pe termen nelimitat (dacab 1 <0).

Dacă numitorul unei progresii geometrice pozitiv Și mai putin de unul (0< q<1), то члены прогрессии:

a) infinit aproape de zero de mai sus(dacăb 1 >0);

b) infinit aproape de zero de desubt(dacăb 1 <0).

Rămâne acum să luăm în considerare cazul numitor negativ.

Numitorul este negativ ( q <0)

Nu vom merge departe pentru un exemplu. De ce, de fapt, bunica shaggy?!) Să fie, de exemplu, primul membru al progresiei b 1 = 1 , și luați numitorul q = -2.

Obținem următoarea secvență:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

Și așa mai departe.) Se obține fiecare termen al progresiei multiplicare membru anterior pe un număr negativ-2. În acest caz, toți membrii aflați pe locuri impare (primul, al treilea, al cincilea etc.) vor fi pozitiv, și în locuri pare (al doilea, al patrulea etc.) - negativ. Semnele sunt strict intercalate. Plus-minus-plus-minus ... O astfel de progresie geometrică se numește - semn crescător alternând.

Unde merg membrii săi? Și nicăieri.) Da, în valoare absolută (adică modulo) termenii progresiei noastre cresc la nesfârşit (de unde şi denumirea de „în creştere”). Dar, în același timp, fiecare membru al progresiei îl aruncă alternativ în căldură, apoi în frig. Fie plus, fie minus. Progresia noastră fluctuează... Mai mult, gama de fluctuații crește rapid cu fiecare pas, da.) Prin urmare, aspirațiile membrilor progresiei de a merge undeva specific Aici Nu. Nici la plus infinit, nici la minus infinit, nici la zero - nicăieri.

Luați în considerare acum un numitor fracțional între zero și minus unu.

De exemplu, lasă-l să fie b 1 = 1 , dar q = -1/2.

Apoi obținem progresia:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

Și din nou avem o alternanță de semne! Dar, spre deosebire de exemplul precedent, aici există deja o tendință clară ca termenii să se apropie de zero.) Numai că de data aceasta termenii noștri se apropie de zero nu strict de sus sau de jos, ci din nou. ezitând. Luând alternativ valori pozitive sau negative. Dar în același timp ei module sunt din ce în ce mai aproape de prețul zero.)

Această progresie geometrică se numește semn alternant descrescator infinit.

De ce sunt interesante aceste două exemple? Și faptul că în ambele cazuri are loc caractere alternante! Un astfel de cip este tipic doar pentru progresiile cu numitor negativ, da.) Prin urmare, dacă într-o anumită sarcină vedeți o progresie geometrică cu membri alternanți, atunci veți ști deja că numitorul său este 100% negativ și nu vă veți înșela. în semn.)

Apropo, în cazul unui numitor negativ, semnul primului termen nu afectează deloc comportamentul progresiei în sine. Oricare ar fi semnul primului membru al progresiei, în orice caz, se va respecta semnul alternanței membrilor. Întreaga întrebare este justă in ce locuri(par sau impar) vor fi membri cu semne specifice.

Tine minte:

Dacă numitorul unei progresii geometrice negativ , atunci semnele termenilor progresiei sunt întotdeauna alterna.

În același timp, membrii înșiși:

a) crește pe termen nelimitatmodulo, dacăq<-1;

b) se apropie de zero la infinit dacă -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Asta e tot. Toate cazurile tipice sunt analizate.)

În procesul de analiză a unei varietăți de exemple de progresii geometrice, am folosit periodic cuvintele: "tinde spre zero", „tinde spre plus infinit”, tinde spre minus infinit... Este în regulă.) Aceste rânduri de vorbire (și exemplele specifice) sunt doar o cunoaștere inițială cu comportament diverse secvențe de numere. Un exemplu de progresie geometrică.

De ce trebuie să cunoaștem comportamentul de progresie? Ce diferență are unde merge ea? La zero, la plus infinit, la minus infinit... Ce ne pasă de asta?

Chestia este că deja la universitate, în cursul matematicii superioare, veți avea nevoie de capacitatea de a lucra cu o varietate de secvențe numerice (cu orice, nu doar progresii!) Și capacitatea de a vă imagina exact cum se comportă cutare sau cutare secvență. - dacă crește este nelimitat, dacă scade, dacă tinde către un anumit număr (și nu neapărat către zero), sau chiar nu tinde spre nimic... O întreagă secțiune este dedicată acestui subiect în cursul analiza matematica - teoria limitei. Puțin mai concret, conceptul limita succesiunii de numere. Foarte interesant subiectul! Are sens să mergi la facultate și să-ți dai seama.)

Câteva exemple din această secțiune (secvențe care au o limită) și în special, progresie geometrică infinit descrescătoareîncepe să învețe la școală. Se obișnuiește.)

Mai mult decât atât, capacitatea de a studia bine comportamentul secvențelor în viitor va juca foarte mult în mâini și va fi foarte utilă în cercetarea funcţiei. Cele mai variate. Dar capacitatea de a lucra cu competență cu funcții (a calcula derivate, a le explora în întregime, a le construi grafice) vă crește deja dramatic nivelul matematic! Îndoială? Nu este nevoie. Amintește-ți și cuvintele mele.)

Să ne uităm la o progresie geometrică în viață?

În viața din jurul nostru, întâlnim o progresie exponențială foarte, foarte des. Fără să știe.)

De exemplu, diverse microorganisme care ne înconjoară peste tot în cantități uriașe și pe care nici măcar nu le vedem fără microscop se înmulțesc tocmai în progresie geometrică.

Să presupunem că o bacterie se reproduce prin împărțirea în jumătate, dând urmași în 2 bacterii. La rândul lor, fiecare dintre ei, înmulțindu-se, se împarte și la jumătate, dând un descendent comun de 4 bacterii. Următoarea generație va da 8 bacterii, apoi 16 bacterii, 32, 64 și așa mai departe. Cu fiecare generație succesivă, numărul bacteriilor se dublează. Un exemplu tipic de progresie geometrică.)

De asemenea, unele insecte - afidele, muștele - se înmulțesc exponențial. Și uneori și iepurii, apropo.)

Un alt exemplu de progresie geometrică, mai apropiată de viața de zi cu zi, este așa-numita interes compus. Un astfel de fenomen interesant se găsește adesea în depozitele bancare și se numește capitalizarea dobânzii. Ce este?

Tu însuți ești încă, desigur, tânăr. Înveți la școală, nu aplici la bănci. Dar părinții tăi sunt adulți și oameni independenți. Ei merg la muncă, câștigă bani pentru pâinea lor zilnică și pun o parte din bani în bancă, făcând economii.)

Să presupunem că tatăl tău vrea să economisească o anumită sumă de bani pentru o vacanță de familie în Turcia și să pună 50.000 de ruble în bancă la 10% pe an pentru o perioadă de trei ani cu capitalizare anuală a dobânzii. Mai mult, nimic nu se poate face cu depozitul în toată această perioadă. Nu puteți nici să reîncărcați depozitul și nici să retrageți bani din cont. Ce profit va face în acești trei ani?

Ei bine, în primul rând, trebuie să vă dați seama ce este 10% pe an. Înseamnă că intr-un an 10% va fi adăugat la suma inițială a depozitului de către bancă. De la ce? Desigur, de la suma inițială a depozitului.

Calculați suma contului într-un an. Dacă suma inițială a depozitului a fost de 50.000 de ruble (adică 100%), atunci într-un an câtă dobândă va fi pe cont? Așa e, 110%! De la 50.000 de ruble.

Deci luăm în considerare 110% din 50.000 de ruble:

50.000 1,1 \u003d 55.000 de ruble.

Sper că înțelegeți că găsirea a 110% din valoare înseamnă înmulțirea acestei valori cu numărul 1,1? Dacă nu înțelegeți de ce este așa, amintiți-vă de clasele a cincea și a șasea. Și anume - relația procentelor cu fracțiile și părțile.)

Astfel, creșterea pentru primul an va fi de 5000 de ruble.

Câți bani vor fi în cont după doi ani? 60.000 de ruble? Din păcate (sau mai bine zis, din fericire), nu este atât de simplu. Întregul truc al capitalizării dobânzii este că, cu fiecare nouă dobândă acumulată, aceleași dobânzi vor fi deja luate în considerare din noua sumă! De la cel care deja este pe cont În prezent. Iar dobânda acumulată pentru termenul anterior se adaugă la suma inițială a depozitului și, astfel, ei înșiși participă la calculul dobânzii noi! Adică devin o parte integrală a contului total. sau generală capital. De aici și numele - capitalizarea dobânzii.

Este în economie. Și în matematică se numesc astfel de procente interes compus. Sau procente din procente.) Trucul lor este că în calculul secvenţial, procentele sunt calculate de fiecare dată din noua valoare. Nu din original...

Prin urmare, pentru a calcula suma prin doi ani, trebuie să calculăm 110% din suma care va fi în cont intr-un an. Adică, deja de la 55.000 de ruble.

Considerăm 110% din 55.000 de ruble:

55000 1,1 \u003d 60500 ruble.

Aceasta înseamnă că creșterea procentuală pentru al doilea an va fi deja de 5.500 de ruble, iar timp de doi ani - 10.500 de ruble.

Acum puteți deja ghici că în trei ani suma din cont va fi de 110% din 60.500 de ruble. Adică din nou 110% din precedentul (anul trecut) sume.

Aici luăm în considerare:

60500 1,1 \u003d 66550 ruble.

Și acum ne construim sumele monetare pe ani în succesiune:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Deci cum este? De ce nu o progresie geometrică? Primul membru b 1 = 50000 , și numitorul q = 1,1 . Fiecare termen este strict de 1,1 ori mai mare decât cel anterior. Totul este în strictă conformitate cu definiția.)

Și câte bonusuri procentuale suplimentare va „va introduce” tatăl tău în timp ce cele 50.000 de ruble ale sale au fost în contul bancar timp de trei ani?

Noi credem:

66550 - 50000 = 16550 ruble

E rău, desigur. Dar asta dacă suma inițială a contribuției este mică. Dacă sunt mai multe? Să spunem, nu 50, ci 200 de mii de ruble? Apoi, creșterea timp de trei ani va fi deja de 66.200 de ruble (dacă socotiți). Ceea ce este deja foarte bun.) Și dacă contribuția este și mai mare? Asta e...

Concluzie: cu cât contribuția inițială este mai mare, cu atât capitalizarea dobânzii devine mai profitabilă. De aceea depozitele cu capitalizare de dobanda sunt asigurate de banci pe perioade lungi. Să zicem cinci ani.

De asemenea, tot felul de boli rele precum gripa, rujeola și boli chiar mai teribile (același SARS la începutul anilor 2000 sau ciuma în Evul Mediu) le place să se răspândească exponențial. De aici amploarea epidemilor, da...) Și totul din cauza faptului că o progresie geometrică cu întreg numitor pozitiv (q>1) - un lucru care crește foarte repede! Amintiți-vă de reproducerea bacteriilor: dintr-o bacterie se obțin două, din două - patru, din patru - opt și așa mai departe ... Odată cu răspândirea oricărei infecții, totul este la fel.)

Cele mai simple probleme de progresie geometrică.

Să începem, ca întotdeauna, cu o simplă problemă. Pur și simplu pentru a înțelege sensul.

1. Se știe că al doilea termen al unei progresii geometrice este 6, iar numitorul este -0,5. Găsiți primul, al treilea și al patrulea termen.

Deci ni se dau fără sfârşit progresie geometrică, binecunoscută al doilea mandat această progresie:

b2 = 6

În plus, știm și noi numitorul de progresie:

q = -0,5

Și trebuie să găsești primul, al treileaȘi Al patrulea membri ai acestei progresii.

Aici acționăm. Scriem succesiunea în funcție de starea problemei. Direct în termeni generali, unde al doilea membru este cei șase:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Acum să începem să căutăm. Începem, ca întotdeauna, cu cele mai simple. Puteți calcula, de exemplu, al treilea termen b 3? Poate sa! Știm deja (direct în sensul unei progresii geometrice) că al treilea termen (b 3) mai mult de o secundă (b 2 ) în "q" o singura data!

Deci scriem:

b 3 =b 2 · q

Înlocuim cele șase în această expresie în loc de b 2și -0,5 în schimb qși gândim. Și nici minusul nu este ignorat, desigur...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Asa. Al treilea termen s-a dovedit a fi negativ. Nu e de mirare: numitorul nostru q- negativ. Și plusul înmulțit cu minus, va fi, desigur, minus.)

Acum luăm în considerare următorul, al patrulea termen al progresiei:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1,5

Al patrulea termen este din nou cu un plus. Al cincilea termen va fi din nou cu un minus, al șaselea cu un plus și așa mai departe. Semne - alternativ!

Deci, al treilea și al patrulea membru au fost găsiți. Rezultatul este următoarea succesiune:

b1; 6; -3; 1,5; …

Rămâne acum să găsim primul termen b 1 după binecunoscuta secundă. Pentru a face acest lucru, pășim în cealaltă direcție, spre stânga. Aceasta înseamnă că, în acest caz, nu trebuie să înmulțim al doilea termen al progresiei cu numitorul, ci acțiune.

Împărțim și obținem:

Asta e tot.) Răspunsul la problemă va fi următorul:

-12; 6; -3; 1,5; …

După cum puteți vedea, principiul soluției este același ca în . Noi stim orice membru și numitor progresie geometrică – putem găsi orice alt termen. Orice ne dorim, vom găsi unul.) Singura diferență este că adunarea/scăderea este înlocuită cu înmulțirea/împărțirea.

Amintiți-vă: dacă cunoaștem cel puțin un membru și un numitor al unei progresii geometrice, atunci putem găsi întotdeauna orice alt membru al acestei progresii.

Următoarea sarcină, conform tradiției, este din versiunea reală a OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Deci cum este? De data aceasta nu există un prim termen, nici un numitor q, se dă doar o secvență de numere... Ceva familiar deja, nu? Da! O problemă similară a fost deja tratată în progresia aritmetică!

Aici nu ne este frică. Tot la fel. Întoarce-ți capul și amintește-ți semnificația elementară a unei progresii geometrice. Ne uităm cu atenție la secvența noastră și ne dăm seama ce parametri ai progresiei geometrice a celor trei principale (primul membru, numitorul, numărul membrului) sunt ascunși în ea.

Numerele membrilor? Nu există numere de membri, da... Dar sunt patru succesiv numerele. Ce înseamnă acest cuvânt, nu văd rostul să explic în această etapă.) Are there two numere cunoscute vecine? Există! Acestea sunt 6 și 1.2. Deci putem găsi numitorul de progresie. Deci luăm numărul 1,2 și împărțim la numărul anterior. Pentru șase.

Primim:

Primim:

X= 150 0,2 = 30

Răspuns: X = 30 .

După cum puteți vedea, totul este destul de simplu. Principala dificultate constă doar în calcule. Este deosebit de dificil în cazul numitorilor negativi și fracționali. Deci cei care au probleme, repeta aritmetica! Cum să lucrezi cu fracții, cum să lucrezi cu numere negative și așa mai departe... În caz contrar, vei încetini fără milă aici.

Acum să schimbăm puțin problema. Acum va deveni interesant! Să eliminăm ultimul număr 1.2 din el. Să rezolvăm această problemă acum:

3. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai unei progresii geometrice:

…; 150; X; 6; …

Găsiți termenul progresiei, notat cu litera x.

Totul este la fel, doar două vecine celebru nu mai avem membri ai progresiei. Aceasta este problema principală. Pentru că amploarea q prin doi termeni vecini, putem deja determina cu ușurință nu putem. Avem șansa de a face față provocării? Cu siguranță!

Să scriem termenul necunoscut „ X„Direct în sensul unei progresii geometrice! În termeni generali.

Da Da! Direct cu numitor necunoscut!

Pe de o parte, pentru x putem scrie următorul raport:

X= 150q

Pe de altă parte, avem tot dreptul să pictăm același X Următorul membru, prin cei sase! Împărțiți șase la numitor.

Asa:

X = 6/ q

Evident, acum putem echivala ambele aceste rapoarte. Din moment ce ne exprimăm la fel valoarea (x), dar două căi diferite.

Obtinem ecuatia:

Înmulțind totul cu q, simplificând, reducând, obținem ecuația:

q 2 \u003d 1/25

Rezolvăm și obținem:

q = ±1/5 = ±0,2

Hopa! Numitorul este dublu! +0,2 și -0,2. Și pe care să o aleg? Capat de drum?

Calm! Da, problema chiar are doua solutii! Nimic în neregulă cu asta. Se întâmplă.) Nu ești surprins când, de exemplu, obții două rădăcini rezolvând obișnuitul? Este aceeași poveste aici.)

Pentru q = +0,2 vom obține:

X \u003d 150 0,2 \u003d 30

Si pentru q = -0,2 voi:

X = 150 (-0,2) = -30

Primim un răspuns dublu: X = 30; X = -30.

Ce înseamnă acest fapt interesant? Și ce există două progresii, satisfacand starea problemei!

Ca acestea:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Ambele sunt potrivite.) Care credeți că este motivul bifurcării răspunsurilor? Doar din cauza eliminării unui membru specific al progresiei (1,2), care vine după șase. Și cunoscând doar membrii anterioare (n-1) și ulterioare (n+1) ale progresiei geometrice, nu mai putem spune fără echivoc nimic despre al n-lea membru care se află între ei. Există două opțiuni - plus și minus.

Dar nu contează. De regulă, în sarcinile pentru o progresie geometrică există informații suplimentare care oferă un răspuns fără ambiguitate. Să spunem cuvintele: „progresie alternantă cu semne” sau "progresie cu numitor pozitiv"și așa mai departe... Aceste cuvinte ar trebui să servească drept indiciu care semn, plus sau minus, ar trebui să fie ales atunci când se face răspunsul final. Dacă nu există astfel de informații, atunci - da, sarcina va avea doua solutii.)

Și acum decidem singuri.

4. Stabiliți dacă numărul 20 va fi membru al unei progresii geometrice:

4 ; 6; 9; …

5. Se dă o progresie geometrică alternativă:

…; 5; X ; 45; …

Găsiți termenul progresiei indicat de literă X .

6. Găsiți al patrulea termen pozitiv al progresiei geometrice:

625; -250; 100; …

7. Al doilea termen al progresiei geometrice este -360, iar al cincilea termen este 23,04. Găsiți primul termen al acestei progresii.

Răspunsuri (în dezordine): -15; 900; Nu; 2,56.

Felicitari daca totul a iesit!

Ceva nu se potrivește? Există undeva un răspuns dublu? Citim cu atentie conditiile misiunii!

Ultimul puzzle nu merge? Nimic complicat acolo.) Lucrăm direct după semnificația unei progresii geometrice. Ei bine, poți desena o imagine. Ajută.)

După cum puteți vedea, totul este elementar. Dacă progresia este scurtă. Dacă e lung? Sau numărul membrului dorit este foarte mare? Aș dori, prin analogie cu o progresie aritmetică, să obțin cumva o formulă convenabilă care să o facă ușor de găsit orice membru al oricărei progresii geometrice după numărul lui. Fără a înmulți de multe, de multe ori cu q. Și există o astfel de formulă!) Detalii - în lecția următoare.

Să luăm în considerare o serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Deci această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere, a cărei caracteristică principală este că următorul număr se obține din cel anterior prin înmulțirea cu un anumit număr. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care o progresie geometrică este studiată la școală este clasa a 9-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr din serie, trebuie să-l înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a specifica această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceea, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element următor. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi șirul numeric poate fi scris astfel:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă |q| mai puțin de unu, adică înmulțirea cu ea echivalează cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea numerică poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

• Variabila semnului. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3 , q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi secvența poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice, există multe formule:

• Formula membrului z. Vă permite să calculați elementul sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Este necesar să se calculeze al patrulea element al progresiei.

Soluţie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente al căror număr este z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de un număr care se repetă la infinit.

Suma unei progresii geometrice, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S 5 .

Soluţie:S 5 = 22 - calcul prin formula.

• Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Soluţie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție efectuat pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · Az+1

• De asemenea, pătratul oricărui număr al unei progresii geometrice se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undeteste distanța dintre aceste numere.

• Elementediferă în qo singura data.
• Logaritmii elementelor de progresie formează și ei o progresie, dar deja aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemplele cu o soluție pentru clasa a 9-a pot ajuta.

• Termeni:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesară exprimarea unor elemente prin altele folosind un numitor.

Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1

La înlocuireq= 4

• Termeni:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6 .

Soluţie:Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți q, primul element și să îl înlocuiți în formulă.

A 3 = q· A 2 , Prin urmare,q= 2

a 2 = q a 1,de aceea a 1 = 3

S 6 = 189

• · A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

• Clientul băncii a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia în fiecare an clientul va adăuga 6% din aceasta la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Deci, la un an de la investiție, contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii, iar numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de sarcini pentru calcularea sumei:

În diverse probleme se folosește o progresie geometrică. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

A 1 = 4, q= 2, calculeazăS5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Soluţie:

Geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma, trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.

A 2 · q = A 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsimA 1 , știindA 2 Șiq.

A 1 · q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

O progresie geometrică este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero și fiecare termen următor este egal cu termenul anterior înmulțit cu același număr diferit de zero. Progresia geometrică se notează cu b1,b2,b3, …, bn, …

Proprietățile unei progresii geometrice

Raportul dintre orice termen al erorii geometrice și termenul anterior este egal cu același număr, adică b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Aceasta rezultă direct din definiția unei progresii aritmetice. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice. De obicei, numitorul unei progresii geometrice este notat cu litera q.

O modalitate de a seta o progresie geometrică este de a stabili primul său termen b1 și numitorul erorii geometrice q. De exemplu, b1=4, q=-2. Aceste două condiții dau o progresie geometrică de 4, -8, 16, -32, … .

Dacă q>0 (q nu este egal cu 1), atunci progresia este o secvență monotonă. De exemplu, secvența, 2, 4,8,16,32, ... este o secvență crescătoare monoton (b1=2, q=2).

Dacă numitorul q=1 în eroarea geometrică, atunci toți membrii progresiei geometrice vor fi egali unul cu celălalt. În astfel de cazuri, se spune că progresia este o secvență constantă.

Formula celui de-al n-lea membru al progresiei

Pentru ca șirul numeric (bn) să fie o progresie geometrică, este necesar ca fiecare dintre membrii săi, începând de la al doilea, să fie media geometrică a elementelor învecinate. Adică, este necesar să se îndeplinească următoarea ecuație - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pentru orice n>0, unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Formula pentru al n-lea membru al unei progresii geometrice este:

bn=b1*q^(n-1), unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Luați în considerare un exemplu simplu:

În progresia geometrică b1=6, q=3, n=8 găsiți bn.

Să folosim formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice.

De exemplu, secvența \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... este o progresie geometrică, deoarece fiecare element următor diferă de cel anterior cu un factor de doi (cu alte cuvinte, se poate obține de cel anterior înmulțind cu doi):

Ca orice succesiune, o progresie geometrică este indicată printr-o literă latină mică. Numerele care formează o progresie se numesc aceasta membrii(sau elemente). Ele sunt notate cu aceeași literă ca și progresia geometrică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia geometrică \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) este formată din elementele \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) și așa mai departe. Cu alte cuvinte:

Dacă înțelegeți informațiile de mai sus, veți putea deja să rezolvați majoritatea problemelor legate de acest subiect.

Exemplu (OGE):
Soluţie:

Răspuns : \(-686\).

Exemplu (OGE): Dați primii trei termeni ai progresiei \(324\); \(-108\); \(36\)…. Găsiți \(b_5\).
Soluţie:

	Pentru a continua secvența, trebuie să cunoaștem numitorul. Să o găsim din două elemente învecinate: cu ce ar trebui \(324\) să fie înmulțit pentru a obține \(-108\)?
\(324 q=-108\)	De aici putem calcula cu ușurință numitorul.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Acum putem găsi cu ușurință elementul de care avem nevoie.
	Răspuns gata.

Răspuns : \(4\).

Exemplu: Progresia este dată de condiția \(b_n=0,8 5^n\). Care număr este membru al acestei progresii:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Soluţie: Din formularea sarcinii, este evident că unul dintre aceste numere este cu siguranță în progresia noastră. Prin urmare, putem calcula pur și simplu membrii săi unul câte unul până când găsim valoarea de care avem nevoie. Deoarece progresia noastră este dată de formula, calculăm valorile elementelor prin înlocuirea diferitelor \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – nu există un astfel de număr în listă. Noi continuăm.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - și nici asta nu există.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – și aici este campionul nostru!

Răspuns: \(100\).

Exemplu (OGE): Sunt date mai multe membri succesivi ai progresiei geometrice …\(8\); \(X\); \(cincizeci\); \(-125\)…. Găsiți valoarea elementului notat cu litera \(x\).

Soluţie:

Răspuns: \(-20\).

Exemplu (OGE): Progresia este dată de condițiile \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Aflați suma primilor \(4\) termeni ai acestei progresii.

Soluţie:

Răspuns: \(105\).

Exemplu (OGE): Se știe că exponențial \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Găsiți numitorul \(q\).

Soluţie:

	Din diagrama din stânga se poate observa că pentru a „a ajunge” de la \ (b_6 \) la \ (b_9 \) - facem trei „pași”, adică înmulțim \ (b_6 \) de trei ori cu numitorul progresiei. Cu alte cuvinte, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Înlocuiește valorile pe care le cunoaștem.
\(704=(-11)q^3\)	„Inversați” ecuația și împărțiți-o la \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Ce număr cub dă \(-64\)? Desigur, \(-4\)!
	Răspuns găsit. Poate fi verificat prin restaurarea lanțului de numere de la \(-11\) la \(704\).
	Toate sunt de acord - răspunsul este corect.

Răspuns: \(-4\).

Cele mai importante formule

După cum puteți vedea, majoritatea problemelor de progresie geometrică pot fi rezolvate cu logică pură, pur și simplu prin înțelegerea esenței (aceasta este în general caracteristică matematicii). Dar uneori cunoașterea anumitor formule și modele accelerează și facilitează foarte mult soluția. Vom studia două astfel de formule.

Formula pentru \(n\)-lea membru este: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), unde \(b_1\) este primul membru al progresiei; \(n\) – numărul elementului solicitat; \(q\) este numitorul progresiei; \(b_n\) este un membru al progresiei cu numărul \(n\).

Folosind această formulă, puteți, de exemplu, să rezolvați problema de la primul exemplu într-un singur pas.

Exemplu (OGE): Progresia geometrica este data de conditiile \(b_1=-2\); \(q=7\). Găsiți \(b_4\).
Soluţie:

Răspuns: \(-686\).

Acest exemplu a fost simplu, așa că formula nu ne-a ușurat prea mult calculele. Să ne uităm la problema puțin mai complicată.

Exemplu: Progresia geometrica este data de conditiile \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Găsiți \(b_(12)\).
Soluţie:

Răspuns: \(10\).

Desigur, ridicarea \(\frac(1)(2)\) la puterea \(11\)-a nu este foarte vesel, dar totuși mai ușor decât \(11\) împărțirea \(20480\) în două.

Suma \(n\) a primilor termeni: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , unde \(b_1\) este primul termen a progresiei; \(n\) – numărul elementelor însumate; \(q\) este numitorul progresiei; \(S_n\) este suma \(n\) a primilor membri ai progresiei.

Exemplu (OGE): Având în vedere o progresie geometrică \(b_n\), al cărei numitor este \(5\), și primul termen \(b_1=\frac(2)(5)\). Aflați suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

Răspuns: \(1562,4\).

Și din nou, am putea rezolva problema „pe frunte” - găsiți pe rând toate cele șase elemente și apoi adăugați rezultatele. Cu toate acestea, numărul de calcule și, prin urmare, șansa unei erori aleatorii, ar crește dramatic.

Pentru o progresie geometrică, mai există câteva formule pe care nu le-am luat în considerare aici din cauza utilizării lor practice reduse. Puteți găsi aceste formule.

Progresii geometrice crescătoare și descrescătoare

Progresia \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) considerată chiar la începutul articolului are un numitor \(q\) mai mare decât unu și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel precedent. Se numesc astfel de progresii crescând.

Dacă \(q\) este mai mic decât unu, dar este pozitiv (adică se află între zero și unu), atunci fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. De exemplu, în progresia \(4\); \(2\); \(unu\); \(0,5\); \(0,25\)... numitorul lui \(q\) este \(\frac(1)(2)\).

Aceste progresii sunt numite in scadere. Rețineți că niciunul dintre elementele acestei progresii nu va fi negativ, ci doar devin din ce în ce mai mici cu fiecare pas. Adică ne vom apropia treptat de zero, dar nu îl vom ajunge niciodată și nici nu vom depăși. Matematicienii spun în astfel de cazuri „a tinde spre zero”.

Rețineți că, cu un numitor negativ, elementele unei progresii geometrice își vor schimba în mod necesar semnul. De exemplu, progresia \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... numitorul lui \(q\) este \(-3\), iar din această cauză semnele elementelor „clipesc”.

Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice, adică fiecare termen diferă de cel anterior de q ori. (Vom presupune că q ≠ 1, altfel totul este prea banal). Este ușor de observat că formula generală a celui de-al n-lea membru al progresiei geometrice este b n = b 1 q n – 1 ; termenii cu numere b n și b m diferă de q n – m ori.

Deja în Egiptul antic, ei cunoșteau nu numai aritmetica, ci și progresia geometrică. Iată, de exemplu, o sarcină din papirusul Rhind: „Șapte fețe au șapte pisici; fiecare pisică mănâncă șapte șoareci, fiecare șoarece mănâncă șapte spice de porumb, fiecare spic poate crește șapte măsuri de orz. Cât de mari sunt numerele din această serie și suma lor?

Orez. 1. Problema de progresie geometrică a Egiptului antic

Această sarcină a fost repetată de multe ori cu diferite variații între alte popoare și în alte momente. De exemplu, în scris în secolul al XIII-lea. „Cartea abacului” de Leonardo din Pisa (Fibonacci) are o problemă în care 7 bătrâne apar în drum spre Roma (evident pelerini), fiecare având câte 7 catâri, fiecare având câte 7 pungi, fiecare dintre ele. conține 7 pâini, fiecare având 7 cuțite, fiecare fiind în 7 teci. Problema întreabă câte articole sunt.

Suma primilor n membri ai progresiei geometrice S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Această formulă poate fi demonstrată, de exemplu, după cum urmează: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Să adunăm numărul b 1 q n la S n și să obținem:

S n + b 1 qn = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn – 1 + b 1 qn = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 qn –1) q = b 1 + S nq .

Prin urmare, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), și obținem formula necesară.

Deja pe una dintre tăblițele de lut ale Babilonului antic, datând din secolul VI. î.Hr e., conține suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Adevărat, ca și într-o serie de alte cazuri, nu știm unde acest fapt era cunoscut babilonienilor. .

Creșterea rapidă a unei progresii geometrice într-un număr de culturi, în special, în India, este folosită în mod repetat ca simbol clar al imensității universului. În legenda binecunoscută despre apariția șahului, conducătorul îi oferă inventatorului lor posibilitatea de a alege el însuși o recompensă și el cere numărul de boabe de grâu care vor fi obținute dacă unul este plasat pe prima celulă. tablă de şah, doi pentru al doilea, patru pentru al treilea, opt pentru al patrulea și așa mai departe, de fiecare dată când numărul este dublat. Vladyka a crezut că sunt, cel mult, câțiva saci, dar a greșit. Este ușor de observat că pentru toate cele 64 de pătrate ale tablei de șah inventatorul ar fi trebuit să primească (2 64 - 1) granule, care este exprimată ca un număr de 20 de cifre; chiar dacă s-ar semăna întreaga suprafață a Pământului, ar dura cel puțin 8 ani pentru a colecta numărul necesar de boabe. Această legendă este uneori interpretată ca o referire la posibilitățile aproape nelimitate ascunse în jocul de șah.

Faptul că acest număr are într-adevăr 20 de cifre este ușor de observat:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (un calcul mai precis dă 1,84 10 19). Dar mă întreb dacă poți afla cu ce cifră se termină acest număr?

O progresie geometrică crește dacă numitorul este mai mare decât 1 în valoare absolută sau descrește dacă este mai mic de unu. În acest din urmă caz, numărul q n poate deveni arbitrar mic pentru n suficient de mare. În timp ce un exponențial crescător crește neașteptat de repede, un exponențial descrescător scade la fel de repede.

Cu cât n este mai mare, cu atât numărul qn diferă mai slab de zero și cu atât suma n membri ai progresiei geometrice S n \u003d b 1 (1 - qn) / (1 - q) este mai apropiată de numărul S \u003d b 1 / (1 - q) . (Așa argumentat, de exemplu, F. Viet). Numărul S se numește suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare. Cu toate acestea, timp de multe secole, întrebarea care este sensul însumării progresiei geometrice ALL, cu numărul său infinit de termeni, nu a fost suficient de clară pentru matematicieni.

O progresie geometrică descrescătoare poate fi observată, de exemplu, în aporia lui Zeno „Mușcătură” și „Achile și broasca țestoasă”. În primul caz, se arată clar că întreg drumul (presupunem lungimea 1) este suma unui număr infinit de segmente 1/2, 1/4, 1/8 etc. Desigur, așa este. din punct de vedere al ideilor despre progresia geometrică infinită sumă finită. Și totuși - cum poate fi asta?

Orez. 2. Progresie cu un factor de 1/2

În aporia despre Ahile, situația este puțin mai complicată, pentru că aici numitorul progresiei nu este egal cu 1/2, ci cu un alt număr. Să fie, de exemplu, Ahile să alerge cu viteza v, broasca țestoasă se mișcă cu viteza u, iar distanța inițială dintre ele este l. Ahile va parcurge această distanță în timpul l/v, broasca țestoasă se va deplasa cu o distanță lu/v în acest timp. Când Ahile trece prin acest segment, distanța dintre el și țestoasă va deveni egală cu l (u / v) 2 etc. Se dovedește că a ajunge din urmă cu țestoasa înseamnă a găsi suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu prima. termenul l și numitorul u/v. Această sumă - segmentul pe care Ahile îl va alerga în cele din urmă până la punctul de întâlnire cu țestoasa - este egală cu l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Dar, din nou, cum ar trebui interpretat acest rezultat și de ce are vreun sens, nu a fost foarte clar de mult.

Orez. 3. Progresie geometrică cu coeficient 2/3

Suma unei progresii geometrice a fost folosită de Arhimede pentru a determina aria unui segment de parabolă. Fie segmentul dat al parabolei delimitat de coarda AB și fie tangenta din punctul D al parabolei paralelă cu AB . Fie C mijlocul lui AB , E mijlocul lui AC , F mijlocul lui CB . Desenați drepte paralele cu DC prin punctele A , E , F , B ; fie tangenta trasata in punctul D , aceste drepte se intersecteaza in punctele K , L , M , N . Să desenăm și segmentele AD și DB. Fie ca dreapta EL să intersecteze dreapta AD în punctul G și parabola în punctul H; linia FM intersectează linia DB în punctul Q și parabola în punctul R. Conform teoriei generale a secțiunilor conice, DC este diametrul unei parabole (adică un segment paralel cu axa acesteia); ea și tangenta din punctul D pot servi ca axe de coordonate x și y, în care ecuația parabolei este scrisă ca y 2 \u003d 2px (x este distanța de la D la orice punct cu un diametru dat, y este lungimea unui segment paralel cu o tangentă dată de la acest punct de diametru până la un punct de pe parabolă în sine).

În virtutea ecuației parabolei, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , iar din moment ce DK = 2DL , atunci KA = 4LH . Deoarece KA = 2LG , LH = HG . Aria segmentului ADB al parabolei este egală cu aria triunghiului ΔADB și ariile segmentelor AHD și DRB combinate. La rândul său, aria segmentului AHD este egală cu aria triunghiului AHD și a segmentelor rămase AH și HD, cu fiecare dintre acestea putând fi efectuată aceeași operațiune - împărțită într-un triunghi (Δ) și cele două segmente rămase (), etc.:

Aria triunghiului ΔAHD este egală cu jumătate din aria triunghiului ΔALD (au o bază comună AD, iar înălțimile diferă de 2 ori), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria lui triunghiul ΔAKD și, prin urmare, jumătate din aria triunghiului ΔACD. Astfel, aria triunghiului ΔAHD este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔACD. De asemenea, aria triunghiului ΔDRB este egală cu un sfert din aria triunghiului ΔDFB. Deci, ariile triunghiurilor ∆AHD și ∆DRB, luate împreună, sunt egale cu un sfert din aria triunghiului ∆ADB. Repetând această operațiune aplicată segmentelor AH , HD , DR și RB, se va selecta și triunghiuri din ele, aria cărora, luate împreună, va fi de 4 ori mai mică decât aria triunghiurilor ΔAHD și ΔDRB , luate împreună și, prin urmare, de 16 ori mai puțin decât aria triunghiului ΔADB. etc:

Astfel, Arhimede a demonstrat că „fiecare segment cuprins între o linie dreaptă și o parabolă este patru treimi dintr-un triunghi având aceeași bază și înălțime egală cu el”.