Acasă » clasa a 3-a » Cum să înțelegeți care valoare a funcției este cea mai mare. Cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un segment. Coordonatele vârfurilor parabolei

Cum să înțelegeți care valoare a funcției este cea mai mare. Cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții pe un segment. Coordonatele vârfurilor parabolei

Lasă funcția y=f(X) continuu pe intervalul [ a, b]. După cum se știe, o astfel de funcție își atinge valorile maxime și minime pe acest segment. Funcția poate lua aceste valori fie într-un punct interior al segmentului [ a, b], sau la limita segmentului.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe segment [ a, b] necesar:

1) găsiți punctele critice ale funcției în intervalul ( a, b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică pt X=darși x = b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Exemplu. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

pe segment.

Găsirea punctelor critice:

Aceste puncte se află în interiorul segmentului; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

la punct X= 3 și la punct X= 0.

Investigarea unei funcții pentru convexitate și un punct de inflexiune.

Funcţie y = f (X) numit convexă intre (A, b) , dacă graficul său se află sub o tangentă desenată în orice punct al acestui interval și se numește convex în jos (concav) dacă graficul său se află deasupra tangentei.

Se numește punctul de tranziție prin care convexitatea este înlocuită cu concavitate sau invers punct de inflexiune.

Algoritm pentru studiul convexității și punctului de inflexiune:

1. Aflați punctele critice de al doilea fel, adică punctele în care derivata a doua este egală cu zero sau nu există.

2. Pune punctele critice pe dreapta numerică, împărțind-o în intervale. Aflați semnul derivatei a doua pe fiecare interval; dacă , atunci funcția este convexă în sus, dacă, atunci funcția este convexă în jos.

3. Dacă, la trecerea printr-un punct critic de al doilea fel, acesta își schimbă semnul și în acest punct derivata a doua este egală cu zero, atunci acest punct este abscisa punctului de inflexiune. Găsiți-i ordonata.

Asimptotele graficului unei funcții. Investigarea unei funcții în asimptote.

Definiție. Asimptota graficului unei funcții se numește Drept, care are proprietatea că distanța de la orice punct al graficului până la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.

Există trei tipuri de asimptote: vertical, orizontal și înclinat.

Definiție. Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției y = f(x), dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în acest punct este egală cu infinit, adică

unde este punctul de discontinuitate al funcției, adică nu aparține domeniului definiției.

Exemplu.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - punctul de rupere.

Definiție. Drept y=A numit asimptotă orizontală graficul funcției y = f(x) la , dacă

Exemplu.

X
y

Definiție. Drept y=kx +b (k≠ 0) se numește asimptotă oblică graficul funcției y = f(x) unde

Schemă generală pentru studiul funcțiilor și a graficului.

Algoritm de cercetare a funcțieiy = f(x) :

1. Găsiți domeniul funcției D (y).

2. Găsiți (dacă este posibil) punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate (cu X= 0 și la y = 0).

3. Investigați funcțiile pare și impare ( y (‒ X) = y (X) ‒ paritate; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ ciudat).

4. Găsiți asimptotele graficului funcției.

5. Găsiți intervale de monotonitate ale funcției.

6. Aflați extremele funcției.

7. Aflați intervalele de convexitate (concavitate) și punctele de inflexiune ale graficului funcției.

8. Pe baza cercetărilor efectuate, construiți un grafic al funcției.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

1) D (y) =

X= 4 - punctul de rupere.

2) Când X = 0,

(0; – 5) – punctul de intersecție cu oi.

La y = 0,

3) y(‒ X)= funcţie generală (nici par, nici impar).

4) Investigam pentru asimptote.

a) verticală

b) orizontală

c) găsi asimptote oblice unde

‒ecuația asimptotă oblică

5) În această ecuație, nu este necesară găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției.

Aceste puncte critice împart întregul domeniu al funcției pe intervalul (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) și (10; +∞). Este convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma următorului tabel:



				fara in plus.

Din tabel se vede că punctul X= ‒2‒punct maxim, la punct X= 4‒ fără extremă, X= 10 – punct minim.

Înlocuiți valoarea (‒ 3) în ecuație:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Maximul acestei funcții este

(– 2; – 4) – extremul maxim.

Minimul acestei funcții este

(10; 20) este extrema minimă.

7) examinați convexitatea și punctul de inflexiune al graficului funcției

Să vedem cum să explorezi o funcție folosind un grafic. Se pare că, privind graficul, puteți afla tot ce ne interesează, și anume:

domeniul de aplicare al funcției
intervalul de funcții
zerouri ale funcției
perioade de crestere si scadere
puncte înalte și scăzute
cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției de pe segment.

Să clarificăm terminologia:

Abscisă este coordonata orizontală a punctului.
Ordonată- coordonata verticala.
abscisă- axa orizontală, numită cel mai adesea axă.
axa Y- axa verticală, sau axa.

Argument este o variabilă independentă de care depind valorile funcției. Cel mai adesea indicat.
Cu alte cuvinte, noi înșine alegem , înlocuim în formula funcției și obținem .

Domeniu funcții - setul acelor (și numai acelea) valori ale argumentului pentru care există funcția.
Notat: sau .

În figura noastră, domeniul funcției este un segment. Pe acest segment este trasat graficul funcției. Doar aici există această funcție.

Gama de funcții este setul de valori pe care variabila ia. În figura noastră, acesta este un segment - de la cea mai mică la cea mai mare valoare.

Zerourile funcției- punctele în care valoarea funcției este egală cu zero, adică . În figura noastră, acestea sunt punctele și .

Valorile funcției sunt pozitive Unde . În figura noastră, acestea sunt intervalele și .
Valorile funcției sunt negative Unde . Avem acest interval (sau interval) de la până.

Cele mai importante concepte - funcţii crescătoare şi descrescătoare pe vreun platou. Ca set, puteți lua un segment, un interval, o uniune de intervale sau întreaga linie numerică.

Funcţie crește

Cu alte cuvinte, cu cât mai mult, cu atât mai mult, adică graficul merge la dreapta și în sus.

Funcţie scade pe mulţime dacă pentru oricare şi aparţinând mulţimii inegalitatea implică inegalitatea .

Pentru o funcție descrescătoare, o valoare mai mare corespunde unei valori mai mici. Graficul merge la dreapta și în jos.

În figura noastră, funcția crește pe interval și scade pe intervale și .

Să definim ce este punctele maxime și minime ale funcției.

Punct maxim- acesta este un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta este mai mare decât în toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Cu alte cuvinte, punctul maxim este un astfel de punct, valoarea funcției la care Mai mult decât în cele vecine. Acesta este un „deal” local pe diagramă.

În figura noastră - punctul maxim.

Punct scăzut- un punct intern al domeniului de definiție, astfel încât valoarea funcției din acesta să fie mai mică decât în toate punctele suficient de apropiate de acesta.
Adică, punctul minim este astfel încât valoarea funcției din el este mai mică decât în cele învecinate. Pe grafic, aceasta este o „găură” locală.

În figura noastră - punctul minim.

Punctul este granița. Nu este un punct interior al domeniului definiției și, prin urmare, nu se potrivește definiției unui punct maxim. La urma urmei, nu are vecini în stânga. În același mod, nu poate exista niciun punct minim pe graficul nostru.

Punctele maxime și minime sunt numite colectiv punctele extreme ale funcției. În cazul nostru, acesta este și .

Dar dacă trebuie să găsiți, de exemplu, funcția minimă pe tăietură? În acest caz, răspunsul este: deoarece funcția minimă este valoarea sa la punctul minim.

În mod similar, maximul funcției noastre este . Se ajunge la punctul .

Putem spune că extremele funcției sunt egale cu și .

Uneori, în sarcini pe care trebuie să le găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un segment dat. Ele nu coincid neapărat cu extreme.

În cazul nostru cea mai mică valoare a funcției pe interval este egal și coincide cu minimul funcției. Dar valoarea sa cea mai mare pe acest segment este egală cu . Se ajunge la capătul stâng al segmentului.

În orice caz, cele mai mari și cele mai mici valori funcție continuă pe segment sunt atinse fie la punctele extreme, fie la capetele segmentului.

Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Urmatorul an universitar, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, mă apuc imediat de treabă:

Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte din plan. De exemplu, un set de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv TOTUL triunghi (dacă de la frontiere„Scoate” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă). În practică, există și zone de forme dreptunghiulare, rotunde și ceva mai complexe. Trebuie remarcat faptul că în teoria analizei matematice sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv și nu este nevoie de mai mult acum.

Zona plată este desemnată în mod standard cu litera , și, de regulă, este dată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. O schimbare verbală tipică: „zonă închisă limitată de linii”.

O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția zonei pe desen. Cum să o facă? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea sa este evidențiată cu o linie îndrăzneață:

Aceeași zonă poate fi setată inegalități liniare: , care din anumite motive sunt scrise mai des ca o listă de enumerare, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, nestrict.

Și acum miezul problemei. Imaginează-ți că axa merge direct la tine de la originea coordonatelor. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct de zonă. Graficul acestei funcții este suprafaţă, iar mica fericire este că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm deloc cum arată această suprafață. Poate fi situat deasupra, dedesubt, traversează avionul - toate acestea nu sunt importante. Și următorul lucru este important: conform teoreme Weierstrass, continuuîn limitat închis zonă, funcția atinge maximul (din „cel mai înalt”) si cel putin (din „cel mai jos”) valori de găsit. Aceste valori sunt atinse sauîn punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei regiuni. Din care urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:

Exemplul 1

Într-o zonă închisă limitată

Soluţie: În primul rând, trebuie să descrii zona pe desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să realizez un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi oferi imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, sunt puse jos una după alta pe măsură ce se găsesc:

Pe baza preambulului, decizia poate fi împărțită convenabil în două puncte:

I) Să găsim puncte staţionare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:

Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:

- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Într-un caiet, este convenabil să le încercuiești cu un creion.

Atenție la a doua noastră fericire - nu are rost să verificăm condiție suficientă pentru un extremum. De ce? Chiar dacă în punctul în care funcția ajunge, de exemplu, minim local, atunci aceasta NU ÎNSEMNĂ că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .

Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la paragraful următor.

II) Investigam granița regiunii.

Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 paragrafe. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, la început este mai avantajos să luăm în considerare segmentele paralele cu axele de coordonate și, în primul rând, pe cele situate pe axele în sine. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură respirație”:

1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:

Ca alternativă, puteți proceda astfel:

Geometric, asta înseamnă că plan de coordonate (care este dat și de ecuație)„decupat” din suprafete parabola „spațială”, al cărei vârf cade imediat sub suspiciune. Să aflăm unde este ea:

- valoarea rezultată „lovită” în zonă și poate fi că la punctul respectiv (marca pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Oricum, hai să facem calculele:

Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculați valorile funcției în puncte (marca pe desen):

Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală a versiunii „dezbrăcate”:

2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, o înlocuim în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:

Aici efectuăm imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, perfect.

Situația geometrică este legată de punctul anterior:

- valoarea rezultată a „intrat și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce este egală funcția în punctul care a apărut:

Să examinăm al doilea capăt al segmentului:

Folosind funcția , sa verificam:

3) Probabil că toată lumea știe cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:

Se termină linia au fost deja investigate, dar pe proiect mai verificăm dacă am găsit corect funcția :
– a coincis cu rezultatul de la primul paragraf;
– a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.

Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:

- mânca! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:

Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:

Să controlăm calculele în funcție de versiunea „buget”. :
, Ordin.

Și pasul final: Uită-te cu ATENȚIE prin toate numerele „grase”, recomand chiar și începătorilor să facă o singură listă:

din care alegem cele mai mari si cele mai mici valori. Răspuns scrie în stilul problemei găsirii cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției de pe segment:

Voi comenta din nou pentru orice eventualitate. sens geometric rezultat:
– aici este cel mai înalt punct al suprafeței din regiune ;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.

În problema analizată, am găsit 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, „multimul de explorare” minim este format din trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când funcția, de exemplu, se setează avion- este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge valorile maxime / minime doar la vârfurile triunghiului. Dar nu există astfel de exemple o dată, de două ori - de obicei trebuie să te confrunți cu un fel de suprafata de ordinul 2.

Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))

Exemplul 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitată de linii

Exemplul 3

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.

Acordați o atenție deosebită ordinii raționale și tehnicii de studiu a graniței zonei, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.

Sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva într-un fir lung de comentarii ale primului exemplu:

- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie îndrăzneață. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.

– Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea, care apartin zonei . Valorile obținute sunt evidențiate în text (de exemplu, încercuite cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține zonei, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!

– Explorarea zonei de frontieră. În primul rând, este avantajos să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (Dacă există). Sunt evidențiate și valorile funcției calculate în punctele „suspecte”. S-au spus multe despre tehnica soluției de mai sus și altceva se va spune mai jos - citiți, recitiți, aprofundați!

- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați un răspuns. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, și s-a dovedit că aceasta este cea mai mică valoare. Apoi scriem asta

Exemplele finale sunt dedicate altor idei utile care vor fi utile în practică:

Exemplul 4

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă .

Am păstrat formularea autorului, în care aria este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă într-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă:

Vă reamintesc că cu neliniară am întâlnit inegalități pe , iar dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a intrării, atunci vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)

Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”:

Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei....

I) Găsiți puncte staționare:

Sistemul de vis al idiotului :)

Punctul staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.

Și așa, nu este nimic... lecția distractivă a mers - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)

II) Investigam granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:

1) Dacă , atunci

Aflați unde este vârful parabolei:
- Apreciați astfel de momente - „loviți” până la obiect, din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați:

Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:

Control:

Acum, acest lucru aduce deja o oarecare revigorare călătoriei monotone pe o pistă moletă. Să găsim punctele critice:

Noi decidem ecuație pătratică iti amintesti de asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați citi aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele ar fi convenabile în fracții zecimale(ceea ce, apropo, este rar), atunci aici așteptăm fracțiile obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”:

Să calculăm valorile funcției în punctele găsite:

Verificați singur funcția.

Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:

Iată „candidații”, deci „candidații”!

Pentru o soluție de sine stătătoare:

Exemplul 5

Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții într-o zonă închisă

O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte astfel încât”.

Uneori, în astfel de exemple ei folosesc Metoda multiplicatorului Lagrange, dar nevoia reală de a-l folosi este puțin probabil să apară. Deci, de exemplu, dacă este dată o funcție cu același domeniu "de", atunci după substituție în ea - cu o derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit într-o „o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, există cazuri mai complicate, în care fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, este aceeași ecuație de cerc) e greu să te descurci – cât de greu este să te descurci fără o odihnă bună!

Toate cele bune pentru a trece de sesiune și ne vedem în curând în sezonul viitor!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: desenați zona pe desen:

Opțiunea 1. la

1. Graficul unei funcții y=f(X) prezentată în figură.

Specificați cea mai mare valoare a acestei funcții 1

pe segment [ A; b]. dar 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funcții y=f(X) stabilite pe segment [ A; b]. la

Figura prezintă un grafic al derivatei sale

y=f ´(X). Explorați pentru extreme 1 b

funcţie y=f(X). Vă rugăm să indicați cantitatea în răspunsul dvs. A 0 1 x

puncte minime.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții y \u003d -2x2 + 8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Găsiți cea mai mică valoare a unei funcții pe segment .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Găsiți cea mai mică valoare a unei funcții y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> are un minim la punct xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.la

9. Specificați cea mai mare valoare a funcției y=f(X) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – X2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Găsiți cea mai mică valoare a unei funcții y=2păcat-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Testul 14 Cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graficul funcției y=f(X) prezentată în figură.

Specificați cea mai mică valoare a acestei funcție 1

pe segment [ A; b]. dar b

0 1 X

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. la Figura prezintă un grafic al funcției y=f(X).

Câte puncte maxime are funcția?

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. În ce punct se află funcția y \u003d 2x2 + 24x -25 ia cea mai mica valoare?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> pe segment [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> are un minim la punct xo = -2?

; 2) -6;; 4) 6.la

9. Specificați cea mai mică valoare a funcției y=f(X) ,

al cărui grafic este prezentat în figură. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții y=Buturuga11 (121 – X2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Găsiți cea mai mare valoare a unei funcții y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Răspunsuri :

Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Următorul an universitar se termină, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, mă apuc imediat de treabă:

Exemplul 1

Într-o zonă închisă limitată

Pe baza preambulului, decizia poate fi împărțită convenabil în două puncte:

I) Să găsim puncte staţionare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:

Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:

Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la paragraful următor.

II) Investigam granița regiunii.

1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:

Ca alternativă, puteți proceda astfel:

Geometric, aceasta înseamnă că planul de coordonate (care este dat și de ecuație)„decupat” din suprafete parabola „spațială”, al cărei vârf cade imediat sub suspiciune. Să aflăm unde este ea:

- valoarea rezultată „lovită” în zonă și poate fi că la punctul respectiv (marca pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Oricum, hai să facem calculele:

Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculați valorile funcției în puncte (marca pe desen):

Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală a versiunii „dezbrăcate”:

2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, o înlocuim în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:

Aici efectuăm imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, perfect.

Să examinăm al doilea capăt al segmentului:

Folosind funcția , sa verificam:

3) Probabil că toată lumea știe cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:

Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:

- mânca! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:

Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:

Să controlăm calculele în funcție de versiunea „buget”. :
, Ordin.

Pentru orice eventualitate, voi comenta din nou semnificația geometrică a rezultatului:
– aici este cel mai înalt punct al suprafeței din regiune ;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.

Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))

Exemplul 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitată de linii

Exemplul 3

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.

Sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva într-un fir lung de comentarii ale primului exemplu:

- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie îndrăzneață. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.

Exemplele finale sunt dedicate altor idei utile care vor fi utile în practică:

Exemplul 4

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă .

Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”:

Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei....

I) Găsiți puncte staționare:

Sistemul de vis al idiotului :)

Punctul staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.

Și așa, nu este nimic... lecția distractivă a mers - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)

II) Investigam granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:

1) Dacă , atunci

Aflați unde este vârful parabolei:
- Apreciați astfel de momente - „loviți” până la obiect, din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați:

Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:

Control:

Acum, acest lucru aduce deja o oarecare revigorare călătoriei monotone pe o pistă moletă. Să găsim punctele critice:

Noi decidem ecuație pătratică iti amintesti de asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați fi citit aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele în fracții zecimale erau convenabile (ceea ce, apropo, este rar), atunci aici așteptăm fracții obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”:

Să calculăm valorile funcției în punctele găsite: