Cum se rezolvă un sistem de inegalități cu 3 inegalități. Sisteme de inegalități liniare. Introducere în inegalități

Există doar „X” și doar axa absciselor, acum se adaugă „Y” și câmpul de activitate se extinde la întregul plan de coordonate. Mai departe, în text, sintagma „inegalitate liniară” este înțeleasă într-un sens bidimensional, care va deveni clar în câteva secunde.

Pe lângă geometria analitică, materialul este relevant pentru o serie de probleme de analiză matematică, modelare economică și matematică, așa că vă recomand să studiați această prelegere cu toată seriozitatea.

Inegalități liniare

Există două tipuri de inegalități liniare:

1) Strict inegalități: .

2) Nestrict inegalități: .

Care sens geometric aceste inegalități? Dacă ecuație liniară definește o linie dreaptă, apoi inegalitatea liniară definește semiplan.

Pentru a înțelege informațiile de mai jos, trebuie să cunoașteți tipurile de linii din avion și să fiți capabil să construiți linii. Dacă aveți dificultăți în această parte, citiți ajutorul Grafice și proprietăți ale funcțiilor– un paragraf despre o funcție liniară.

Să începem cu cele mai simple inegalități liniare. Visul albastru al oricărui învins - plan de coordonate fara nimic pe el:

După cum știți, axa absciselor este dată de ecuația - „y” este întotdeauna (pentru orice valoare a lui „x”) egal cu zero

Să luăm în considerare inegalitatea. Cum să-l înțelegi informal? „Y” este întotdeauna (pentru orice valoare a lui „x”) pozitiv. Este evident că această inegalitate determină semiplanul superior, deoarece toate punctele cu „jocuri” pozitive sunt situate acolo.

În cazul în care inegalitatea nu este strictă, la semiplanul superior în plus se adaugă axa.

În mod similar: inegalitatea este satisfăcută de toate punctele semiplanului inferior, inegalitatea nestrictă corespunde semiplanului inferior + axa .

Cu axa y, aceeași poveste prozaică:

– inegalitatea definește semiplanul drept;
– inegalitatea definește semiplanul drept, inclusiv axa y;
– inegalitatea definește semiplanul stâng;
– inegalitatea definește semiplanul stâng, inclusiv axa y.

La a doua etapă, luăm în considerare inegalitățile în care lipsește una dintre variabile.

Lipsește „y”:

Sau lipsește „X”:

Aceste inegalități pot fi tratate în două moduri. vă rugăm să luați în considerare ambele abordări. Pe parcurs, să ne amintim și să consolidăm acțiunile școlare cu inegalități deja discutate în lecție Domeniul de aplicare a funcției.

Exemplul 1

Rezolvarea inegalităților liniare:

Ce înseamnă rezolvarea unei inegalități liniare?

A rezolva o inegalitate liniară înseamnă a găsi un semiplan, ale căror puncte satisfac inegalitatea dată (plus dreapta în sine, dacă inegalitatea nu este strictă). Soluţie, de obicei, grafic.

Este mai convenabil să executați imediat desenul și apoi să comentați totul:

a) Rezolvați inegalitatea

Metoda unu

Metoda este foarte asemănătoare cu povestea cu axe de coordonate, despre care am discutat mai sus. Ideea este de a transforma inegalitatea - de a lăsa o variabilă pe partea stângă fără constante, în acest caz, variabila x.

regulă: În inegalitate, termenii sunt transferați dintr-o parte în parte cu o schimbare de semn, în timp ce semnul inegalității în sine nu se schimba(de exemplu, dacă a existat un semn „mai puțin decât”, atunci acesta va rămâne „mai puțin”).

Transferăm „cinci” în partea dreaptă cu o schimbare de semn:

regulă POZITIV nu se schimba.

Acum trageți o linie dreaptă (linie albastră întreruptă). Linia dreaptă este întreruptă din cauza inegalității strict, iar punctele aparținând acestei linii cu siguranță nu vor fi incluse în soluție.

Care este sensul inegalității? „X” este întotdeauna (pentru orice valoare a lui „y”) mai mic decât . Evident, această afirmație este satisfăcută de toate punctele semiplanului stâng. Acest semiplan, în principiu, poate fi umbrit, dar mă voi limita la mici săgeți albastre pentru a nu transforma desenul într-o paletă artistică.

Metoda a doua

Acesta este un mod universal. CITEȘTE FOARTE ATENȚIE!

Mai întâi, trageți o linie dreaptă. Pentru claritate, apropo, este recomandabil să reprezentați ecuația sub forma .

Acum alege orice punct al avionului, neapartinând unei linii drepte. În cele mai multe cazuri, punctul cel mai delicios, desigur. Înlocuiți coordonatele acestui punct în inegalitatea:

Primit inegalitate greșită (in termeni simpli, nu poate fi așa), ceea ce înseamnă că punctul nu satisface inegalitatea .

Regula cheie a sarcinii noastre:
nu satisface inegalitatea, atunci TOATE puncte ale unui semiplan dat nu satisface la această inegalitate.
– Dacă vreun punct al semiplanului (nu aparține dreptei) satisface inegalitatea, atunci TOATE puncte ale unui semiplan dat satisface la această inegalitate.

Puteți testa: orice punct din dreapta liniei nu va satisface inegalitatea .

Care este concluzia din experimentul cu punctul? Nu există încotro, inegalitatea este satisfăcută de toate punctele celuilalt - semiplanul stâng (puteți verifica și).

b) Rezolvați inegalitatea

Metoda unu

Să transformăm inegalitatea:

regulă: Ambele părți ale inegalității pot fi înmulțite (împărțite) cu NEGATIV număr, în timp ce semnul inegalității SCHIMBARE la opus (de exemplu, dacă a existat un semn „mai mare decât sau egal cu”, atunci acesta va deveni „mai mic sau egal cu”).

Înmulțiți ambele părți ale inegalității cu:

Să desenăm o linie dreaptă (culoare roșie), în plus, să desenăm o linie continuă, deoarece avem inegalitate nestrict, iar linia aparține cu siguranță soluției.

După ce analizăm inegalitatea rezultată, ajungem la concluzia că soluția sa este semiplanul inferior (+ dreapta în sine).

Un semiplan adecvat este hașurat sau marcat cu săgeți.

Metoda a doua

Să tragem o linie dreaptă. Să alegem un punct arbitrar al planului (care nu aparține unei linii drepte), de exemplu, și să înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitatea corectă, atunci punctul satisface inegalitatea și, în general, TOATE punctele semiplanului inferior satisfac această inegalitate.

Aici, cu punctul experimental, „lovim” semiplanul dorit.

Soluția problemei este indicată de o linie dreaptă roșie și săgeți roșii.

Personal, îmi place mai mult prima soluție, pentru că a doua este mai formală.

Exemplul 2

Rezolvarea inegalităților liniare:

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Încercați să rezolvați problema în două moduri (apropo, acesta este mod bun verificarea soluției). În răspunsul de la sfârșitul lecției va fi doar desenul final.

Cred că după toate acțiunile făcute în exemple, va trebui să vă căsătoriți cu ei, nu va fi greu să rezolvați cea mai simplă inegalitate, ca etc.

Ne întoarcem la considerarea celui de-al treilea caz general, când ambele variabile sunt prezente în inegalitate:

Alternativ, termenul liber „ce” poate fi zero.

Exemplul 3

Găsiți semiplanuri corespunzătoare următoarelor inegalități:

Soluţie: Aceasta folosește metoda universală de substituție a punctelor.

a) Să construim ecuația unei linii drepte, în timp ce linia ar trebui trasată cu o linie punctată, deoarece inegalitatea este strictă și linia dreaptă în sine nu va fi inclusă în soluție.

Selectăm un punct experimental al planului care nu aparține dreptei date, de exemplu, și înlocuim coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitate greșită, deci punctul și TOATE punctele acestui semiplan nu satisfac inegalitatea . Soluția inegalității va fi un alt semiplan, admirăm fulgerul albastru:

b) Să rezolvăm inegalitatea. Să tragem mai întâi o linie dreaptă. Acest lucru este ușor de făcut, avem o proporționalitate directă canonică. Linia este trasată solidă, deoarece inegalitatea nu este strictă.

Alegem un punct arbitrar al planului care nu aparține dreptei. Aș vrea să folosesc din nou originea, dar, vai, acum nu este potrivită. Prin urmare, va trebui să lucrezi cu o altă iubită. Este mai profitabil să luați un punct cu valori mici de coordonate, de exemplu, . Înlocuiți coordonatele sale în inegalitatea noastră:

Primit inegalitatea corectă, deci punctul și toate punctele semiplanului dat satisfac inegalitatea . Semiplanul dorit este marcat cu săgeți roșii. În plus, soluția include linia în sine.

Exemplul 4

Găsiți semiplanuri corespunzătoare inegalităților:

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă, o mostră brută de finisare și un răspuns la sfârșitul lecției.

Să ne uităm la problema inversă:

Exemplul 5

a) Dată o linie dreaptă. Defini semiplanul în care se află punctul, în timp ce linia însăși trebuie inclusă în soluție.

b) Dată o linie dreaptă. Defini semiplanul în care se află punctul. Linia în sine nu este inclusă în soluție.

Soluţie: nu este nevoie de un desen aici și soluția va fi analitică. Nimic greu:

a) Compuneți un polinom auxiliar și calculează-i valoarea în punctul:
. Astfel, inegalitatea dorită va fi cu semnul „mai puțin decât”. Prin condiție, linia este inclusă în soluție, astfel încât inegalitatea nu va fi strictă:

b) Compuneți polinomul și calculați valoarea lui în punctul:
. Astfel, inegalitatea dorită va fi cu semnul „mai mare decât”. Prin condiție, linia nu este inclusă în soluție, prin urmare, inegalitatea va fi strictă: .

Răspuns:

exemplu creativ pentru studiu independent:

Exemplul 6

Puncte date și o linie. Printre punctele enumerate, găsiți pe cele care, împreună cu originea, se află de aceeași parte a liniei date.

Un mic indiciu: mai întâi trebuie să scrieți o inegalitate care definește semiplanul în care se află originea. Soluție analitică și răspuns la sfârșitul lecției.

Sisteme de inegalități liniare

Un sistem de inegalități liniare este, după cum înțelegeți, un sistem compus din mai multe inegalități. Lol, ei bine, am dat definiția =) Un arici este un arici, un cuțit este un cuțit. Dar adevărul este că s-a dovedit simplu și accesibil! Nu, serios, nu vreau să dau câteva exemple într-un mod general, așa că să trecem imediat la probleme stringente:

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de inegalități liniare?

Rezolvați un sistem de inegalități liniare- acest lucru înseamnă găsiți setul de puncte din plan care satisface Pentru fiecare inegalitatea sistemului.

Ca cele mai simple exemple, luați în considerare sistemele de inegalități care determină sferturile de coordonate ale unui sistem de coordonate dreptunghiulare („desenul celor doi” este chiar la începutul lecției):

Sistemul de inegalități definește primul sfert de coordonate (dreapta sus). Coordonatele oricărui punct al primului trimestru, de exemplu, etc. satisface Pentru fiecare inegalitatea acestui sistem.

În mod similar:
– sistemul de inegalități definește al doilea sfert de coordonate (stânga sus);
– sistemul de inegalități definește al treilea sfert de coordonate (stânga jos);
– sistemul de inegalități definește al patrulea sfert de coordonate (dreapta jos).

Un sistem de inegalități liniare poate să nu aibă soluții, adică a fi incompatibil. Din nou cel mai simplu exemplu: . Este destul de evident că „x” nu poate fi mai mult de trei și mai puțin de doi în același timp.

Soluția sistemului de inegalități poate fi o dreaptă, de exemplu: . Lebada, raci, fara stiuca, tragand caruta in doua directii diferite. Da, lucrurile sunt încă acolo - soluția pentru acest sistem este o linie dreaptă.

Dar cel mai frecvent caz, când soluția sistemului este unele zona plană. Zona de decizie pot fi nelimitat(de exemplu, sferturi de coordonate) sau limitat. Domeniul restrâns al soluțiilor este numit sistem de soluții poligonale.

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de inegalități liniare

În practică, în cele mai multe cazuri, trebuie să te confrunți cu inegalități nestricte, așa că vor dansa restul lecției.

Soluţie: faptul că sunt prea multe inegalități nu ar trebui să fie înfricoșător. Câte inegalități pot exista într-un sistem? Da, cât vrei tu. Principalul lucru este să adere la un algoritm rațional pentru construirea zonei soluției:

1) În primul rând, ne ocupăm de cele mai simple inegalități. Inegalitățile definesc primul sfert de coordonate, inclusiv limita axelor de coordonate. Deja mult mai ușor, deoarece zona de căutare s-a restrâns semnificativ. În desen, marcam imediat semiplanurile corespunzătoare cu săgeți (săgeți roșii și albastre)

2) A doua cea mai simplă inegalitate - nu există „y” aici. În primul rând, construim linia în sine și, în al doilea rând, după transformarea inegalității în formă, devine imediat clar că toate „x”-urile sunt mai mici de 6. Marcam semiplanul corespunzător cu săgeți verzi. Ei bine, zona de căutare a devenit și mai mică - un astfel de dreptunghi care nu este limitat de sus.

3) La ultimul pas, rezolvăm inegalitățile „cu muniție plină”: . Am discutat despre algoritmul de soluție în detaliu în secțiunea anterioară. Pe scurt: mai întâi construim o linie dreaptă, apoi cu ajutorul unui punct experimental găsim semiplanul de care avem nevoie.

Ridicați-vă, copii, stați în cerc:


Zona de soluție a sistemului este un poligon, în desen este încercuită cu o linie purpurie și umbrită. Am exagerat puțin =) În caiet, este suficient fie să umbriți zona soluțiilor, fie să o conturați mai îndrăzneț cu un simplu creion.

Orice punct al acestui poligon satisface FIECARE inegalitate a sistemului (pentru interes, puteți verifica).

Răspuns: soluția sistemului este un poligon.

Când faceți o copie curată, ar fi bine să descrieți în detaliu în ce puncte ați construit linii drepte (vezi lecția Grafice și proprietăți ale funcțiilor), și cum au fost determinate semiplanurile (vezi primul paragraf al acestei lecții). Cu toate acestea, în practică, în cele mai multe cazuri, veți fi creditat doar cu desenul corect. Calculele în sine pot fi efectuate pe o schiță sau chiar oral.

Pe lângă poligonul de soluție al sistemului, în practică, deși mai rar, există o zonă deschisă. Încercați să analizați singur următorul exemplu. Deși, de dragul preciziei, nu există nicio tortură aici - algoritmul de construcție este același, doar că zona se va dovedi a nu fi limitată.

Exemplul 8

Rezolvați sistemul

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Cel mai probabil veți avea alte denumiri de litere pentru vârfurile zonei rezultate. Acest lucru nu este important, principalul lucru este să găsiți vârfurile corect și să construiți zona corect.

Nu este neobișnuit atunci când în sarcini se cere nu numai să se construiască domeniul soluțiilor sistemului, ci și să se găsească coordonatele vârfurilor domeniului. În cele două exemple anterioare, coordonatele acestor puncte erau evidente, dar în practică totul este departe de gheață:

Exemplul 9

Rezolvați sistemul și găsiți coordonatele vârfurilor ariei rezultate

Soluţie: vom descrie zona de soluții ale acestui sistem în desen. Inegalitatea stabilește semiplanul din stânga cu axa y și nu mai există gratuități aici. După calcule pe un proces curat / schiță sau gândire profundă, obținem următoarea zonă de decizie:

Acest articol a colectat informații inițiale despre sistemele de inegalități. Aici oferim o definiție a unui sistem de inegalități și o definiție a unei soluții la un sistem de inegalități. De asemenea, enumeră principalele tipuri de sisteme cu care trebuie să lucrați cel mai adesea la lecțiile de algebră de la școală și sunt date exemple.

Navigare în pagină.

Ce este un sistem de inegalități?

Este convenabil să definim sistemele de inegalități în același mod în care am introdus definiția unui sistem de ecuații, adică în funcție de tipul de înregistrare și de sensul încorporat în aceasta.

Definiție.

Sistemul de inegalități este o înregistrare care reprezintă un anumit număr de inegalități scrise una sub alta, unite în stânga printr-o paranteză și care denotă mulțimea tuturor soluțiilor care sunt simultan soluții la fiecare inegalitate a sistemului.

Să dăm un exemplu de sistem de inegalități. Luați două arbitrare, de exemplu, 2 x−3>0 și 5−x≥4 x−11 , scrieți-le unul sub celălalt
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
și se unește cu semnul sistemului - o paranteză, ca urmare obținem un sistem de inegalități de următoarea formă:

În mod similar, se oferă o idee despre sistemele de inegalități în manualele școlare. Este demn de remarcat faptul că definițiile din ele sunt date mai restrâns: pentru inegalitățile cu o variabilă sau cu două variabile.

Principalele tipuri de sisteme de inegalități

Este clar că există infinit de multe sisteme diferite de inegalități. Pentru a nu vă pierde în această diversitate, este indicat să le luați în considerare pe grupuri care au propriile lor Caracteristici. Toate sistemele de inegalități pot fi împărțite în grupuri conform următoarelor criterii:

• prin numărul de inegalități din sistem;
• după numărul de variabile implicate în înregistrare;
• prin natura inegalităţilor.

După numărul de inegalități incluse în evidență, se disting sisteme de doi, trei, patru etc. inegalităților. În paragraful anterior, am dat un exemplu de sistem care este un sistem de două inegalități. Să arătăm un alt exemplu de sistem de patru inegalități .

Separat, spunem că nu are sens să vorbim despre un sistem cu o singură inegalitate, în acest caz, de fapt, vorbim despre inegalitatea în sine, și nu despre sistem.

Dacă te uiți la numărul de variabile, atunci există sisteme de inegalități cu unu, doi, trei etc. variabile (sau, după cum se spune, necunoscute). Uita-te la ultimul sistem inegalități scrise două paragrafe mai sus. Acesta este un sistem cu trei variabile x, y și z. Rețineți că primele două inegalități ale ei nu conțin toate cele trei variabile, ci doar una dintre ele. În contextul acestui sistem, ele ar trebui înțelese ca inegalități cu trei variabile de forma x+0 y+0 z≥−2 și, respectiv, 0 x+y+0 z≤5. Rețineți că școala se concentrează pe inegalitățile cu o variabilă.

Rămâne de discutat ce tipuri de inegalități sunt implicate în sistemele de scriere. La școală, ei iau în considerare în principal sisteme de două inegalități (mai rar - trei, chiar mai rar - patru sau mai multe) cu una sau două variabile, iar inegalitățile în sine sunt de obicei inegalități întregi gradul I sau II (mai rar - grade superioare sau fracțional rațional). Dar nu fi surprins dacă în materialele de pregătire pentru OGE întâlniți sisteme de inegalități care conțin inegalități iraționale, logaritmice, exponențiale și alte inegalități. Ca exemplu, prezentăm sistemul de inegalități , este luat din .

Care este soluția unui sistem de inegalități?

Introducem o altă definiție legată de sistemele de inegalități - definiția unei soluții la un sistem de inegalități:

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de inegalități cu o variabilă se numește o astfel de valoare a unei variabile care transformă fiecare dintre inegalitățile sistemului în adevărată, cu alte cuvinte, este soluția fiecărei inegalități a sistemului.

Să explicăm cu un exemplu. Să luăm un sistem de două inegalități cu o variabilă. Să luăm valoarea variabilei x egală cu 8 , este o soluție a sistemului nostru de inegalități prin definiție, deoarece înlocuirea sa în inegalitățile sistemului dă două inegalități numerice corecte 8>7 și 2−3 8≤0 . Dimpotrivă, unitatea nu este o soluție a sistemului, deoarece atunci când este înlocuită cu variabila x, prima inegalitate se va transforma într-o inegalitate numerică incorectă 1>7 .

În mod similar, putem introduce definiția unei soluții la un sistem de inegalități cu două, trei sau mai multe variabile:

Definiție.

Rezolvarea unui sistem de inegalități cu doi, trei etc. variabile numit pereche, triplu etc. valorile acestor variabile, care este simultan o soluție a fiecărei inegalități a sistemului, adică transformă fiecare inegalitate a sistemului într-o adevărată inegalitate numerică.

De exemplu, perechea de valori x=1, y=2 sau altfel (1, 2) este o soluție a unui sistem de inegalități cu două variabile, deoarece 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemele de inegalități pot să nu aibă soluții, pot avea un număr finit de soluții sau pot avea infinite de soluții. Se vorbește adesea despre un set de soluții la un sistem de inegalități. Când un sistem nu are soluții, atunci există un set gol al soluțiilor sale. Când există un număr finit de soluții, atunci mulțimea de soluții conține un număr finit de elemente, iar când există infinit de soluții, atunci mulțimea de soluții este formată dintr-un număr infinit de elemente.

Unele surse introduc definiții ale unei soluții particulare și generale a unui sistem de inegalități, ca, de exemplu, în manualele lui Mordkovich. Sub o soluție particulară a sistemului de inegalitățiînțelege-i singura soluție. La randul lui soluție generală a sistemului de inegalități- acestea sunt toate deciziile ei private. Cu toate acestea, acești termeni au sens numai atunci când este necesar să se sublinieze care soluție este discutată, dar de obicei acest lucru este deja clar din context, așa că este mult mai obișnuit să spunem pur și simplu „soluția unui sistem de inegalități”.

Din definițiile unui sistem de inegalități și ale soluțiilor acestuia introduse în acest articol, rezultă că soluția unui sistem de inegalități este intersecția mulțimilor de soluții ale tuturor inegalităților acestui sistem.

Bibliografie.

1. Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. UTILIZARE-2013. Matematică: opțiuni tipice de examen: 30 opțiuni / ed. A. L. Semenova, I. V. Iascenko. - M .: Editura „Educația Națională”, 2012. - 192 p. - (USE-2013. FIPI - scoala).

Sistemul inegalităților.
Exemplul 1. Găsiți sfera unei expresii
Soluţie. Trebuie să existe un număr nenegativ sub semnul rădăcinii pătrate, ceea ce înseamnă că două inegalități trebuie să fie valabile simultan: În astfel de cazuri, se spune că problema se reduce la rezolvarea sistemului de inegalități

Dar nu ne-am întâlnit încă cu un astfel de model matematic (sistem de inegalități). Aceasta înseamnă că încă nu putem finaliza soluția exemplului.

Inegalitățile care formează un sistem sunt combinate cu o paranteză (la fel este și cazul sistemelor de ecuații). De exemplu, intrarea

înseamnă că inegalitățile 2x - 1 > 3 și 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Uneori sistemul de inegalități este scris ca o dublă inegalitate. De exemplu, sistemul de inegalități

poate fi scris ca o dublă inegalitate 3<2х-1<11.

La cursul de algebră de clasa a IX-a vom lua în considerare doar sistemele a două inegalități.

Luați în considerare sistemul de inegalități

Puteți alege mai multe dintre soluțiile sale particulare, de exemplu x = 3, x = 4, x = 3,5. Într-adevăr, pentru x = 3 prima inegalitate ia forma 5 > 3, iar a doua - forma 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

În același timp, valoarea x = 5 nu este o soluție a sistemului de inegalități. Pentru x = 5, prima inegalitate ia forma 9 > 3 - inegalitatea numerică corectă, iar a doua - forma 13< 11- неверное числовое неравенство .
A rezolva un sistem de inegalități înseamnă a găsi toate soluțiile sale particulare. Este clar că o astfel de ghicire, așa cum sa demonstrat mai sus, nu este o metodă de rezolvare a unui sistem de inegalități. În exemplul următor, vom arăta cum se argumentează de obicei când se rezolvă un sistem de inegalități.

Exemplul 3 Rezolvați sistemul de inegalități:

Soluţie.

dar) Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim 2x > 4, x > 2; rezolvând a doua inegalitate a sistemului, găsim Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim x > 2; rezolvând cea de-a doua inegalitate a sistemului, găsim Marcam aceste goluri pe o linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru primul interval și hașura inferioară pentru al doilea (Fig. 23). Soluția sistemului de inegalități va fi intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. În exemplul luat în considerare, obținem un fascicul

în) Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Să generalizăm raționamentul efectuat în exemplul luat în considerare. Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de inegalități

Fie, de exemplu, intervalul (a, b) o soluție a inegalității fx 2 > g (x), iar intervalul (c, d) soluția inegalității f 2 (x) > s 2 (x) ). Marcam aceste goluri pe o linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru primul interval și hașura inferioară pentru al doilea (Fig. 25). Soluția sistemului de inegalități este intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. Pe fig. 25 este intervalul (s, b).

Acum putem rezolva cu ușurință sistemul de inegalități pe care l-am obținut mai sus, în exemplul 1:

Rezolvând prima inegalitate a sistemului, găsim x > 2; rezolvând a doua inegalitate a sistemului, găsim x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Desigur, sistemul de inegalități nu trebuie să fie format din inegalități liniare, așa cum a fost cazul până acum; pot apărea orice inegalităţi raţionale (şi nu numai raţionale). Din punct de vedere tehnic, lucrul cu un sistem de inegalități raționale neliniare este, desigur, mai dificil, dar nu există nimic fundamental nou (comparativ cu sistemele de inegalități liniare).

Exemplul 4 Rezolvați sistemul de inegalități

Soluţie.

1) Rezolvați inegalitatea pe care o avem
Notați punctele -3 și 3 de pe linia numerică (Fig. 27). Ele împart linia în trei intervale, iar pe fiecare interval expresia p (x) = (x - 3) (x + 3) păstrează un semn constant - aceste semne sunt indicate în Fig. 27. Ne interesează intervalele în care inegalitatea p(x) > 0 este satisfăcută (sunt umbrite în Fig. 27), iar punctele în care este satisfăcută egalitatea p(x) = 0, i.e. punctele x \u003d -3, x \u003d 3 (sunt marcate în Fig. 2 7 cu cearcăne). Astfel, în fig. 27 prezintă un model geometric pentru rezolvarea primei inegalități.

2) Rezolvați inegalitatea pe care o avem
Notați punctele 0 și 5 de pe linia numerică (Fig. 28). Ele împart linia în trei intervale, iar pe fiecare interval expresia<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (umbrite în Fig. 28), și punctele în care egalitatea g (x) - O este satisfăcută, i.e. punctele x = 0, x = 5 (sunt marcate în Fig. 28 prin cearcăne). Astfel, în fig. 28 prezintă un model geometric pentru rezolvarea celei de-a doua inegalități a sistemului.

3) Marcăm soluțiile găsite pentru prima și a doua inegalități ale sistemului pe aceeași linie de coordonate, folosind hașura superioară pentru soluțiile primei inegalități și hașura inferioară pentru soluțiile celei de-a doua (Fig. 29). Soluția sistemului de inegalități va fi intersecția soluțiilor inegalităților sistemului, i.e. intervalul în care ambele hașuri coincid. Un astfel de interval este un segment.

Exemplul 5 Rezolvați sistemul de inegalități:

Soluţie:

dar) Din prima inegalitate găsim x >2. Luați în considerare a doua inegalitate. Trinomul pătrat x 2 + x + 2 nu are rădăcini reale, iar coeficientul său de conducere (coeficientul la x 2) este pozitiv. Aceasta înseamnă că pentru tot x inegalitatea x 2 + x + 2>0 este satisfăcută și, prin urmare, a doua inegalitate a sistemului nu are soluții. Ce înseamnă asta pentru sistemul de inegalități? Aceasta înseamnă că sistemul nu are soluții.

b) Din prima inegalitate găsim x > 2, iar a doua inegalitate este valabilă pentru orice valoare a lui x. Ce înseamnă asta pentru sistemul de inegalități? Aceasta înseamnă că soluția sa are forma x>2, adică. coincide cu soluția primei inegalități.

Răspuns:

a) nu există decizii; b) x>2.

Acest exemplu este o ilustrare pentru următoarele utile

1. Dacă într-un sistem de mai multe inegalități cu o variabilă o inegalitate nu are soluții, atunci sistemul nu are soluții.

2. Dacă într-un sistem de două inegalități cu o variabilă o inegalitate este satisfăcută pentru orice valoare a variabilei, atunci soluția sistemului este soluția celei de-a doua inegalități a sistemului.

Încheind această secțiune, să revenim la problema numărului conceput dat la începutul acesteia și să o rezolvăm, după cum se spune, după toate regulile.

Exemplul 2(vezi p. 29). Gândiți-vă la un număr natural. Se știe că dacă se adaugă 13 la pătratul numărului dorit, atunci suma va fi mai multe lucrări de artă numărul conceput și numărul 14. Dacă adunăm 45 la pătratul numărului conceput, atunci suma va fi mai mică decât produsul dintre numărul conceput și numărul 18. Ce număr este conceput?

Soluţie.

Primul pas. Întocmirea unui model matematic.
Numărul x, așa cum am văzut mai sus, trebuie să satisfacă sistemul de inegalități

Faza a doua. Lucrând cu modelul matematic compilat Să transformăm prima inegalitate a sistemului în formă
x2- 14x+ 13 > 0.

Să găsim rădăcinile trinomului x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Folosind parabola y \u003d x 2 - 14x + 13 (Fig. 30), ajungem la concluzia că inegalitatea lui interesul pentru noi este satisfăcut pentru x< 1 или x > 13.

Să transformăm a doua inegalitate a sistemului în forma x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Să vorbim clar despre cum să construim o soluție la inegalități cu exemple clare!

Înainte de a lua în considerare soluția inegalităților cu exemple, să ne ocupăm de conceptele de bază.

Introducere în inegalități

inegalitate se numește o expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și alfabetice.
Inegalitățile cu două semne de relație se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau nu sunt stricte.
Soluția inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate este adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsiți setul tuturor soluțiilor sale. Există diverse metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități utilizați o dreaptă numerică care este infinită. De exemplu, rezolvarea inegalitatii x > 3 este un interval de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, deci punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă.
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna inclus într-o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Luați în considerare cum să rezolvați inegalitățile folosind un alt exemplu cu semnul:
x2
-+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, astfel încât paranteza pătrată și punctul de pe linie sunt notate cu un cerc umplut.
Raspunsul va fi: x)