Cum se înmulțește o matrice 3x3 cu 2x3. Matematică pentru manechini. Matrici și operații de bază asupra acestora. Înmulțirea unei matrice cu un vector

În primul rând, CARE ar trebui să fie rezultatul înmulțirii a trei matrici? O pisică nu va da naștere unui șoarece. Dacă înmulțirea matricei este fezabilă, atunci rezultatul va fi și o matrice. Ei bine, profesorul meu de algebră nu vede cum explic închiderea structurii algebrice în raport cu elementele sale =)

Produsul a trei matrici poate fi calculat în două moduri:

1) găsiți și apoi înmulțiți cu matricea „ce”: ;

2) fie mai întâi găsiți, apoi efectuați înmulțirea.

Rezultatele vor coincide în mod necesar, și în teorie proprietatea dată se numește asociativitatea înmulțirii matriceale:

Exemplul 6

Înmulțiți matrice în două moduri

Algoritm solutiiîn doi pași: găsiți produsul a două matrici, apoi găsiți din nou produsul a două matrici.

1) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Acțiunea a doua:

2) Folosiți formula

Acțiunea unu:

Acțiunea a doua:

Răspuns:

Mai familiar și mai standard, desigur, este primul mod de a rezolva, acolo „ca și cum totul ar fi în ordine”. Apropo, despre comandă. În sarcina luată în considerare, apare adesea iluzia că vorbim despre un fel de permutare a matricelor. Ei nu sunt aici. Vă reamintesc din nou că în cazul general, MATRIXELE NU TREBUIE ÎNLOCUITE. Deci, în al doilea paragraf, la a doua etapă, efectuăm înmulțirea, dar în niciun caz. Cu numerele obișnuite, un astfel de număr ar trece, dar nu și cu matrice.

Proprietatea asociativității înmulțirii este valabilă nu numai pentru pătrat, ci și pentru matrici arbitrare - doar dacă acestea sunt înmulțite:

Exemplul 7

Aflați produsul a trei matrici

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. În soluția eșantion, calculele au fost efectuate în două moduri, analizați care este calea mai profitabilă și mai scurtă.

Proprietatea asociativității înmulțirii matricelor are loc pentru un număr mai mare de factori.

Acum este timpul să revenim la puterile matricelor. Pătratul matricei este luat în considerare chiar de la început și este pe ordinea de zi.

Definiție. Produsul a două matrici DARȘi ÎN numită matrice DIN, al cărui element, situat la intersecție i-a linia și j-a coloană, este egală cu suma produselor elementelor i- al-lea rând al matricei DAR asupra elementelor corespunzătoare (în ordine). j-a coloană a matricei ÎN.

Această definiție implică formula pentru elementul matricei C:

Produs Matrix DAR la matrice ÎN notat AB.

Exemplul 1 Aflați produsul a două matrici DARȘi B, dacă

,

.

Soluţie. Este convenabil să găsiți produsul a două matrici DARȘi ÎN scrieți ca în fig. 2:

În diagramă, săgețile gri arată elementele pe care rând al matricei DAR pe elementele cărei coloană a matricei ÎN trebuie să se înmulțească pentru a obține elementele matricei DIN, și culorile elementului de matrice C elementele corespunzătoare ale matricelor sunt legate AȘi B, ale căror produse se adaugă pentru a obține un element de matrice C.

Ca rezultat, obținem elementele produsului de matrice:

Acum avem totul pentru a scrie produsul a două matrici:

.

Produsul a două matrice AB are sens numai atunci când numărul de coloane ale matricei DAR se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei ÎN.

Această caracteristică importantă va fi mai ușor de reținut dacă utilizați mai des următoarele mementouri:

Există o altă caracteristică importantă a produsului matricelor în ceea ce privește numărul de rânduri și coloane:

În produsul matricelor AB numărul de rânduri este egal cu numărul de rânduri de matrice DAR, iar numărul de coloane este egal cu numărul de coloane ale matricei ÎN .

Exemplul 2 Aflați numărul de rânduri și coloane ale unei matrice C, care este produsul a două matrici AȘi B urmatoarele dimensiuni:

a) 2 X 10 și 10 X 5;

b) 10 X 2 şi 2 X 5;

Exemplul 3 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:

.

A B- 2. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 2 X 2.

Calculați elementele matricei C = AB.

Produsul găsit al matricelor: .

Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .

Exemplul 5 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:

.

Soluţie. Numărul de rânduri din matrice A- 2, numărul de coloane din matrice B C = AB- 2 X 1.

Calculați elementele matricei C = AB.

Produsul matricelor se va scrie ca o matrice coloană: .

Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .

Exemplul 6 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:

.

Soluţie. Numărul de rânduri din matrice A- 3, numărul de coloane din matrice B- 3. Prin urmare, dimensiunea matricei C = AB- 3 X 3.

Calculați elementele matricei C = AB.

Produsul găsit al matricelor: .

Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .

Exemplul 7 Găsiți produsul matricelor AȘi B, dacă:

.

Soluţie. Numărul de rânduri din matrice A- 1, numărul de coloane din matrice B- 1. În consecință, dimensiunea matricei C = AB- 1 X 1.

Calculați elementul matricei C = AB.

Produsul matricelor este o matrice a unui element: .

Puteți verifica soluția acestei probleme și a altor probleme similare pe calculator de produse matrice online .

Implementarea software a produsului a două matrice în C++ este discutată în articolul corespunzător din blocul „Calculatoare și programare”.

Exponentiarea matricei

Ridicarea unei matrice la o putere este definită ca înmulțirea unei matrice cu aceeași matrice. Deoarece produsul matricelor există numai atunci când numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua matrice, numai matricele pătrate pot fi ridicate la o putere. n a-a putere a unei matrice prin înmulțirea matricei cu ea însăși n o singura data:

Exemplul 8 Dată o matrice. A găsi A² și A³ .

Găsiți singur produsul matricelor și apoi vedeți soluția

Exemplul 9 Dată o matrice

Aflați produsul dintre matricea dată și matricea transpusă, produsul dintre matricea transpusă și matricea dată.

Proprietățile produsului a două matrici

Proprietatea 1. Produsul oricărei matrice A și matricea de identitate E de ordinul corespunzător, atât în ​​dreapta cât și în stânga, coincide cu matricea A, adică. AE = EA = A.

Cu alte cuvinte, rolul matricei identitare în înmulțirea matricelor este același cu rolul unităților în înmulțirea numerelor.

Exemplul 10 Asigurați-vă că proprietatea 1 este adevărată găsind produsele matricei

la matricea de identitate din dreapta și din stânga.

Soluţie. Din moment ce matricea DAR conține trei coloane, atunci trebuie să găsiți produsul AE, Unde

-
matricea identitară de ordinul trei. Să găsim elementele lucrării DIN = AE :

Se pare că AE = DAR .

Acum să găsim de lucru EA, Unde E este matricea de identitate de ordinul doi, deoarece matricea A conține două rânduri. Să găsim elementele lucrării DIN = EA :

În câteva secunde, serverul va da soluția exactă. Înmulțirea matricelor online va fi matricea, din care fiecare element este evaluat ca un scalar muncă rândurile primei matrice la coloanele corespunzătoare ale celei de-a doua matrice conform regulii inmultirile matriceale. La înmulțirea matricei online, fiecare element al matricei rezultate va fi rezultatul multiplicare rânduri ale unei matrice la coloanele altei matrice conform regulii produse matrice. A găsi munca online Două matrici dimensiunile admisibile se reduce la constatare matrici dimensiunile lor respective. Operațiune multiplicare online Două matrici dimensiunile NxK și KxM se reduce la constatare matrici dimensiuni MxN. Elemente din aceasta matrici alcătuiește un scalar muncă matrici multiplicate, acesta este rezultatul înmulțirea matricei online. Găsirea sarcinii produse matrix online sau operare înmulțirea matricei online se află în multiplicare rânduri la coloane matrici conform regulii inmultirile matriceale. www.site găsește produs de matrice dimensiuni date în mod pe net. Înmulțirea matricelor online a unei dimensiuni date este găsirea dimensiunii corespunzătoare a matricei, ale cărei elemente vor fi scalare lucrări rândurile și coloanele corespunzătoare matrici multiplicate. Găsind produse matrix online răspândită în teorie matrici, precum și algebra liniară. Produs de matrice online este folosit pentru a determina matricea rezultată din multiplicare dat matrici. Pentru a calcula produs de matrice sau definiți înmulțirea matricei online, trebuie să petreceți mult timp, în timp ce serverul nostru va găsi produsul matricelor online din multiplicare două date matrices online. În acest caz, răspunsul prin constatare produse matrice vor fi corecte și cu suficientă acuratețe, chiar dacă numerele înmulțirea matricei online va fi irațional. Pe site www.site intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, adică produsul matricelor online poate fi reprezentat într-o formă simbolică generală cu înmulțirea matricei online. Este util să verificați răspunsul obținut prin rezolvarea problemei pe înmulțirea matricei online folosind site-ul www.site. La efectuarea unei operații înmulțirea matricei online trebuie să fii atent și extrem de concentrat atunci când rezolvi o problemă. La rândul său, site-ul nostru vă va ajuta să vă verificați decizia cu privire la subiect înmulțirea matricei online. Dacă nu aveți timp pentru verificări lungi ale problemelor rezolvate, atunci www.site va fi cu siguranță un instrument convenabil pentru verificare înmulțirea matricei online.

Puteți înmulți două matrice numai dacă prima dintre ele are exact același număr de coloane ca numărul de rânduri din a doua. Valorile însele pot fi nu numai întregi, ci și fracționate. După ce ați primit o transcriere a calculului acestei probleme, puteți înțelege cum are loc înmulțirea. Acest lucru vă va economisi timp și vă va ajuta să înțelegeți mai bine complexitățile de calcul.

Să presupunem că aveți două matrice și trebuie să găsiți produsul lor. Acest calculator online vă va ajuta să faceți acest lucru rapid și cu cea mai mare precizie. Nu numai că va înmulți două matrice fără dificultate în câteva minute, dar vă va permite și să înțelegeți mai detaliat algoritmul acestor calcule. Astfel, utilizarea unui calculator online ajută la consolidarea materialului abordat în teorie. Puteți face și calculele manual mai întâi și apoi le verificați aici, acesta este un antrenament excelent pentru creier.

Instrucțiunile pentru utilizarea acestui calculator online nu sunt dificile. Pentru a multiplica matrice online, mai întâi specificați numărul de coloane și rânduri din prima matrice făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” din stânga matricei și dedesubtul acesteia. Apoi introduceți numerele. Repetați aceleași operații pentru a doua matrice. Apoi, rămâne doar să faceți clic pe butonul „Calculați” - iar valoarea dorită se va deschide în fața dvs. împreună cu un algoritm de calcul detaliat.

Dat Trusa de instrumente te va ajuta să înveți cum operații cu matrice: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, înmulțirea matricelor, aflarea inversului unei matrici. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru autocontrol și autotest, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>.

Voi încerca să minimizez calculele teoretice, în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este învață cum să lucrezi cu matrice.

Pentru pregătirea SUPER-RAPIDĂ pe tema (cine „arde”) există un curs intensiv pdf Matrice, determinant și offset!

O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente. La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT este un termen. Este de dorit să ne amintim termenul, va apărea adesea, nu întâmplător am folosit bold pentru a-l evidenția.

Desemnare: matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Exemplu: Luați în considerare o matrice de două câte trei:

Această matrice este formată din șase elemente:

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există de la sine, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere!

Vom fi și noi de acord nu rearanja număr, cu excepția cazului în care se specifică altfel în explicație. Fiecare număr are propria sa locație și nu le poți amesteca!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane:

STANDARD: când vorbim despre dimensiunile matricei, atunci la început indicați numărul de rânduri și numai atunci - numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei.

Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat, de exemplu: este o matrice de trei câte trei.

Dacă matricea are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrice vectori.

De fapt, cunoaștem conceptul de matrice încă din școală, luăm în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu pentru tine de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite ale planului.

Acum să trecem la studiu. operații cu matrice:

1) Acțiunea unu. Eliminarea unui minus dintr-o matrice (Introducerea unui minus într-o matrice).

Înapoi la matricea noastră . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod în ceea ce privește efectuarea diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și arată doar urât în ​​design.

Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, zero - este și zero în Africa.

Exemplu invers: . Arată urât.

Introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, este mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există o astfel de matematică prevestire populară: cu cât mai multe minusuri - cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Acțiunea a doua. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Exemplu:

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecareînmulțiți elementul matricei cu numărul dat. În acest caz, trei.

Un alt exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Să ne uităm mai întâi la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NECESAR să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, face doar dificile acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția (mai ales dacă - răspunsul final al sarcinii).

Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim asta fracții zecimale cu virgulă la matematică superioară ei încearcă în toate modurile posibile să evite.

Singurul lucru de dorit a face în acest exemplu este să inserați un minus în matrice:

Dar dacă TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

Exemplu:

În acest caz, puteți NECESARînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele din matrice sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc de expresia „acest lucru este împărțit cu acesta”, puteți spune întotdeauna „acest lucru este înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

3) Acțiunea trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

Exemplu:

Transpose Matrix

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

este matricea transpusă.

Matricea transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un accident vascular cerebral în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpose Matrix

Mai întâi, rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem al doilea rând în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, a transpune înseamnă a întoarce matricea pe o parte.

4) Acțiunea patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRIXELE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată doar la o matrice două câte două și nu alta!

Exemplu:

Adăugați matrici Și

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice, regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

Exemplu:

Găsiți diferența de matrici ,

Și cum să rezolvi mai ușor acest exemplu, pentru a nu te încurca? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile, pentru aceasta vom adăuga un minus matricei:

Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „scădere”. În loc de expresia „scădeți acest lucru din aceasta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică, scăderea este un caz special de adunare.

5) Acțiunea cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, astfel încât numărul de coloane ale matricei să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei.

Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Deci, puteți înmulți datele matricei.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea este imposibilă:

Nu este neobișnuit pentru sarcinile cu truc, când unui elev i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile