Prezentare pe tema: Derivată. Prezentare „Derivată a unei funcții” Derivată în fizică

Ministerul Educației din Regiunea Saratov

Instituția de învățământ profesional autonomă de stat din regiunea Saratov „Politehnica Engels”

APLICAREA DERIVATULUI ÎN DIVERSE DOMENIILE ȘTIINȚEI

Efectuat: Verbitskaya Elena Vyacheslavovna

profesor de matematică la GAPOU SO

„Politehnica engleză”

Introducere

Rolul matematicii în diverse domenii ale științelor naturii este foarte mare. Nu e de mirare că spun ei „Matematica este regina științelor, fizica este mâna ei dreaptă, chimia este stânga.”

Subiectul studiului este derivat.

Scopul principal este de a arăta semnificația derivatului nu numai în matematică, ci și în alte științe, importanța sa în viața modernă.

Calculul diferențial este o descriere a lumii din jurul nostru, realizată în limbaj matematic. Derivatul ne ajută să rezolvăm cu succes nu numai probleme matematice, ci și probleme practice din diverse domenii ale științei și tehnologiei.

Derivata unei funcții este folosită oriunde există un proces neuniform: mișcare mecanică neuniformă, curent alternativ, reacții chimice și dezintegrare radioactivă a unei substanțe etc.

Întrebări cheie și tematice ale acestui eseu:

1. Istoria derivatului.

2. De ce să studiem derivatele funcțiilor?

3. Unde se folosesc derivatele?

4. Aplicarea derivaților în fizică, chimie, biologie și alte științe.

Am decis să scriu o lucrare pe tema „Aplicarea derivatelor în diverse domenii ale științei” deoarece cred că acest subiect este foarte interesant, util și relevant.

În munca mea, voi vorbi despre aplicarea diferențierii în diverse domenii ale științei, cum ar fi chimia, fizica, biologia, geografia etc. La urma urmei, toate științele sunt indisolubil legate, ceea ce se vede foarte clar în exemplul subiectului. Iau în considerare.

Aplicarea derivatelor în diverse domenii ale științei

Din cursul de algebră din liceu, știm deja că derivata este limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului ei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero, dacă o astfel de limită există.

Acțiunea de a găsi o derivată se numește diferențiere, iar o funcție care are o derivată într-un punct x se numește diferențiabilă în acel punct. Se spune că o funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al unui interval este diferențiabilă în acel interval.

Onoarea de a descoperi legile fundamentale ale analizei matematice aparține fizicianului și matematicianului englez Isaac Newton și matematicianului, fizicianului și filosofului german Leibniz.

Newton a introdus conceptul de derivată în timp ce studia legile mecanicii, dezvăluind astfel sensul său mecanic.

Semnificația fizică a derivatei: derivata funcției y = f (x) în punctul x 0 este rata de schimbare a funcției f (x) în punctul x 0.

Leibniz a ajuns la conceptul de derivată rezolvând problema trasării unei tangente la o dreaptă derivată, explicând astfel sensul geometric al acesteia.

Sensul geometric al derivatei este că funcția derivată în punctul x 0 este egală cu panta tangentei la graficul funcției desenate în punctul cu abscisa x 0 .

Termenul derivat și denumirile moderne y ", f" au fost introduse de J. Lagrange în 1797.

Matematicianul rus din secolul al XIX-lea Panfutiy Lvovich Cebyshev a spus că „de o importanță deosebită sunt acele metode ale științei care fac posibilă rezolvarea unei probleme comune tuturor activităților umane practice, de exemplu, cum să dispunem de mijloacele proprii pentru a obține cel mai mare beneficiu”.

Reprezentanții unei varietăți de specialități trebuie să se ocupe de astfel de sarcini în prezent:

Inginerii tehnologici încearcă să organizeze producția în așa fel încât să fie produse cât mai multe produse;

Designerii încearcă să dezvolte un dispozitiv pentru o navă spațială, astfel încât masa dispozitivului să fie minimă;

Economiștii încearcă să planifice conexiunile fabricii cu sursele de materii prime, astfel încât costurile de transport să fie minime.

Când studiază orice subiect, elevii au o întrebare: „De ce avem nevoie de asta?” Dacă răspunsul satisface curiozitatea, atunci putem vorbi despre interesul elevilor. Răspunsul la subiectul „Derivată” poate fi obținut știind unde sunt folosite derivatele funcțiilor.

Pentru a răspunde la această întrebare, putem enumera câteva discipline și secțiunile lor în care sunt utilizate derivate.

Derivată în algebră:

1. Tangenta la graficul unei functii

Tangenta la graficul unei functii f, diferențiabilă în punctul x o, este o dreaptă care trece prin punctul (x o; f(x о)) și având o pantă f′(x o).

y = f(x o) + f′(x о) (x – x о)

2. Căutați intervale de funcții crescătoare și descrescătoare

Funcţie y=f(x) crește pe interval X, dacă pentru oricare și inegalitatea este valabilă. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Funcţie y=f(x) scade pe interval X, dacă pentru oricare și inegalitatea . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

3. Căutați puncte extreme ale funcției

Punctul se numește punct maxim funcții y=f(x), dacă pentru toată lumea X din vecinătatea ei inegalitatea este valabilă. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maximul funcției si noteaza .

Punctul se numește punct minim funcții y=f(x), dacă pentru toată lumea X din vecinătatea ei inegalitatea este valabilă. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minima si noteaza .

Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.

Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum , și se numesc valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme extreme ale funcției .

4. Aflarea intervalelor de convexitate și concavitate ale unei funcții

convex, dacă graficul acestei funcții în interval nu este mai mare decât oricare dintre tangentele sale (Fig. 1).

Graficul unei funcții diferențiabile pe interval se află pe acest interval concav, dacă graficul acestei funcții în interval nu se află mai jos decât oricare dintre tangentele sale (Fig. 2).

Punctul de inflexiune al graficului unei funcții este punctul care separă intervalele de convexitate și concavitate.

5. Găsirea punctelor de îndoire ale unei funcții

Derivată în fizică:

1. Viteza ca derivat al traseului

2. Accelerația ca derivată a vitezei a =

3. Viteza de dezintegrare a elementelor radioactive = - λN

Și, de asemenea, în fizică, derivata este folosită pentru a calcula:

Vitezele unui punct material

Viteza instantanee ca sens fizic al derivatului

Valoarea curentului AC instantaneu

Valoarea instantanee a EMF a inducției electromagnetice

Putere maxima

Derivat în chimie:

Și în chimie, calculul diferențial a găsit o aplicație largă pentru construirea de modele matematice ale reacțiilor chimice și descrierea ulterioară a proprietăților acestora.

Un derivat din chimie este folosit pentru a determina un lucru foarte important - viteza unei reacții chimice, unul dintre factorii decisivi care trebuie luați în considerare în multe domenii ale activității științifice și industriale. V (t) = p ‘(t)

Derivat în biologie:

O populație este o colecție de indivizi ai unei anumite specii, care ocupă o anumită zonă a teritoriului din raza de acțiune a speciei, se încrucișează liber și izola parțial sau complet de alte populații și este, de asemenea, o unitate elementară de evoluție.

Derivată în geografie:

1. Câteva sensuri în seismografie

2. Caracteristici ale câmpului electromagnetic al pământului

3. Radioactivitatea indicatorilor nuclearo-geofizici

4.Multe sensuri în geografia economică

5. Deduceți o formulă de calcul a populației dintr-un teritoriu la momentul t.

y'= k y

Ideea modelului sociologic al lui Thomas Malthus este că creșterea populației este proporțională cu numărul de oameni la un moment dat t prin N(t). Modelul lui Malthus a funcționat bine pentru a descrie populația Statelor Unite între 1790 și 1860. Acest model nu mai este valabil în majoritatea țărilor.

Derivat în inginerie electrică:

În casele noastre, în transport, în fabrici: curentul electric funcționează peste tot. Curentul electric este înțeles ca mișcarea direcționată a particulelor libere încărcate electric.

O caracteristică cantitativă a curentului electric este puterea curentului.

Într-un circuit de curent electric, sarcina electrică se modifică în timp conform legii q=q (t). Puterea curentă I este derivata sarcinii q în raport cu timpul.

Inginerie electrică folosește în principal curent alternativ.

Un curent electric care se modifică în timp se numește alternativ. Un circuit AC poate conține diverse elemente: încălzitoare, bobine, condensatoare.

Producerea curentului electric alternativ se bazează pe legea inducției electromagnetice, a cărei formulare conține derivata fluxului magnetic.

Derivat în economie:

Economia este baza vieții, iar calculul diferențial, un aparat de analiză economică, ocupă un loc important în ea. Sarcina de bază a analizei economice este de a studia relațiile cantităților economice sub formă de funcții.

Derivatul în economie rezolvă probleme importante:

1. În ce direcție se vor schimba veniturile statului odată cu creșterea impozitelor sau odată cu introducerea taxelor vamale?

2. Veniturile companiei vor crește sau vor scădea dacă prețul produselor sale crește?

Pentru a rezolva aceste întrebări, este necesar să se construiască funcții de conexiune ale variabilelor de intrare, care sunt apoi studiate prin metode de calcul diferențial.

De asemenea, folosind extremul funcției (derivate) din economie, puteți găsi cea mai mare productivitate a muncii, profit maxim, producție maximă și costuri minime.

CONCLUZIE: derivatul este utilizat cu succes în rezolvarea diverselor probleme aplicate în știință, tehnologie și viață

După cum se poate observa din cele de mai sus, utilizarea derivatei unei funcții este foarte diversă, nu numai în studiul matematicii, ci și în alte discipline. Prin urmare, putem concluziona că studierea temei: „Derivată a unei funcții” își va avea aplicația în alte subiecte și materii.

Ne-am convins de importanța studierii temei „Derivată”, de rolul acesteia în studiul proceselor din știință și tehnologie, de posibilitatea de a construi modele matematice bazate pe evenimente reale și de rezolvarea unor probleme importante.

„Muzica poate înălța sau alina sufletul,
Pictura este plăcută ochiului,
Poezia este să trezească sentimente,
Filosofia este să satisfacă nevoile minții,
Ingineria este de a îmbunătăți partea materială a vieții oamenilor,
A matematica poate atinge toate aceste obiective.”

Așa a spus matematicianul american Maurice Kline.

Bibliografie:

1. Bogomolov N.V., Samoilenko I.I. Matematică. - M.: Yurayt, 2015.

2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A., Elemente de matematică superioară. - M.: Academia, 2014.

3. Bavrin I.I. Fundamentele matematicii superioare. - M.: Liceu, 2013.

4. Bogomolov N.V. Lecții practice de matematică. - M.: Liceu, 2013.

5. Bogomolov N.V. Culegere de probleme de matematică. - M.: Dropia, 2013.

6. Rybnikov K.A. Istoria matematicii, Editura Universității din Moscova, M, 1960.

7. Vinogradov Yu.N., Gomola A.I., Potapov V.I., Sokolova E.V. – M.: Centrul de editare „Academia”, 2010

8. Bashmakov M.I. Matematică: algebră și principii de analiză matematică, geometrie. – M.: Centrul de editare „Academia”, 2016

Surse periodice:

Ziare și reviste: „Matematică”, „Lecție deschisă”

Utilizarea resurselor de internet și a bibliotecilor electronice.

Istoria „derivatului”. Slide numărul 3. I. Context istoric. David Gilbert. Conceptul general de derivat a fost realizat independent aproape simultan. Sfârșitul secolului al XVI-lea - mijlocul secolului al XVII-lea a fost marcat de interesul enorm al oamenilor de știință pentru explicarea mișcării și găsirea legilor cărora aceasta se supune. Întrebările despre determinarea și calcularea vitezei de mișcare și a accelerației acesteia au devenit mai acute ca niciodată. Soluția la aceste întrebări a condus la stabilirea unei legături între problema calculului vitezei unui corp și problema trasării unei tangente la o curbă care descrie dependența distanței parcurse în timp. Fizicianul și matematicianul englez I. Newton. Filosoful și matematicianul german G. Leibniz.

Slide 10 din prezentarea „Calculul derivatelor” pentru lecții de algebră pe tema „Calculul derivatei”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca un diapozitiv gratuit pentru utilizare într-o lecție de algebră, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvează imaginea ca...”. Puteți descărca întreaga prezentare „Calculul derivatelor.ppt” într-o arhivă zip de 220 KB.

Descărcați prezentarea

Calcul derivat

„Derivată a unei funcții într-un punct” - Control programat. Probleme de teorie. 0. Aflați valoarea derivatei în punctul xo. 1) Aflați coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției f(x)=Cosх în punctul x=?/4. A. La punctul. X.

„Funcția primă” - Repetiție. Lecție de repetare și generalizare (algebră clasa a XI-a). Finalizați sarcina. Demonstrați că funcția F este o antiderivată a unei funcții f pe mulțimea R. Proprietatea principală a unei antiderivate. Găsiți forma generală a antiderivatei pentru funcție. Formulați: Definiția antiderivată. Reguli pentru găsirea unui antiderivat.

„Derivată a unei funcții exponențiale” - www.thmemgallery.com. Clasa a 11a. Reguli de diferențiere. Teorema 1. Funcția este diferențiabilă în fiecare punct al domeniului de definiție și. Derivata unei functii exponentiale. Aplicarea derivatei la studierea unei funcții. Teorema 2. Ecuația tangentei. Derivate ale funcţiilor elementare. Logaritmul natural este logaritmul la baza e:

„Calculul derivatelor” - Încălzirea orală, repetarea regulilor de calcul a derivatelor (diapozitivul nr. 1) 3. Parte practică. Lecția de astăzi va folosi prezentări. 2. Activarea cunoștințelor. Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere. Slide nr. 1. Stima de sine a elevilor. Etapele principale ale lectiei Moment organizatoric.

„Semnificația geometrică a derivatei” - B. Sensul geometric al incrementului unei funcții. S. Deci, sensul geometric al relatiei la. A. Slide 10. K – coeficientul unghiular al dreptei (secante). Determinarea derivatei unei funcții (La manualul de A.N. Kolmogorov „Algebra și începuturile analizei 10-11”). Scopul prezentării este de a asigura claritatea maximă a subiectului.

Https://ppt4web.ru/images/1345/36341/310/img0.jpg" alt=" Prezentare pe tema: Derivată. Completată de elevii clasei a XI-a: Chelobitchikova Mar." title="Prezentare pe tema: Derivată. Completat de elevii clasei a XI-a: Chelobitchikova Mar.">!}

Descriere slide:

Slide nr.2

Descriere slide:

Slide nr. 3

Descriere slide:

Din istorie: În istoria matematicii se disting în mod tradițional mai multe etape în dezvoltarea cunoștințelor matematice: Formarea conceptului de figură geometrică și număr ca idealizare a obiectelor reale și a mulțimilor de obiecte omogene. Apariția numărării și măsurării, care a făcut posibilă compararea diferitelor numere, lungimi, suprafețe și volume. Invenția operațiilor aritmetice. Acumularea prin mijloace empirice (prin încercare și eroare) a cunoștințelor despre proprietățile operațiilor aritmetice, despre metodele de măsurare a ariilor și volumelor figurilor și corpurilor simple. Matematicienii sumerio-babilonieni, chinezi și indieni din antichitate au făcut mari progrese în această direcție. Apariția în Grecia antică a unui sistem matematic deductiv, care arăta cum să se obțină noi adevăruri matematice pe baza celor existente. Realizarea supremă a matematicii grecești antice au fost Elementele lui Euclid, care au servit drept standard de rigoare matematică timp de două milenii. Matematicienii din țările islamice nu numai că au păstrat realizările străvechi, dar au putut și să le sintetizeze cu descoperirile matematicienilor indieni, care au avansat mai departe decât grecii în teoria numerelor. În secolele XVI-XVIII, matematica europeană a fost reînviată și a mers mult înainte. Baza sa conceptuală în această perioadă a fost credința că modelele matematice sunt un fel de schelet ideal al Universului și, prin urmare, descoperirea adevărurilor matematice este, în același timp, descoperirea de noi proprietăți ale lumii reale. Principalul succes pe această cale a fost dezvoltarea modelelor matematice de dependență (funcție) și mișcare accelerată (analiza infinitezimale). Toate științele naturii au fost reconstruite pe baza modelelor matematice recent descoperite, iar acest lucru a dus la un progres colosal. În secolele al XIX-lea și al XX-lea, a devenit clar că relația dintre matematică și realitate era departe de a fi atât de simplă cum părea anterior. Nu există un răspuns general acceptat la felul de „întrebare fundamentală în filosofia matematicii”: a găsi motivul pentru „eficacitatea de neînțeles a matematicii în științele naturii”. În acest sens, și nu numai în acest sens, matematicienii au fost împărțiți în multe școli de dezbateri. Au apărut mai multe tendințe periculoase: specializarea excesiv de îngustă, izolarea de problemele practice etc. În același timp, puterea matematicii și prestigiul ei, susținut de eficiența aplicării sale, sunt mai mari decât oricând înainte.

Slide nr.4

Descriere slide:

Slide nr. 5

Descriere slide:

Diferențiabilitate Derivata f"(x0) a unei funcții f într-un punct x0, fiind o limită, poate să nu existe sau să existe și să fie finită sau infinită. O funcție f este derivabilă într-un punct x0 dacă și numai dacă derivata sa în acest punct există și este finită: Pentru o funcție f diferențiabilă la x0 într-o vecinătate a lui U(x0) are următoarea reprezentare: f(x) = f(x0) + f"(x0)(x − x0) + o(x − x0)

Slide nr. 6

Descriere slide:

Observații Să numim Δx = x − x0 incrementul argumentului funcției, iar Δy = f(x0 + Δx) − f(x0) incrementul valorii funcției în punctul x0. Atunci Fie ca funcția să aibă o derivată finită în fiecare punct.Atunci se definește funcția derivată.O funcție care are o derivată finită într-un punct este continuă în ea. Reversul nu este întotdeauna adevărat. Dacă funcția derivată în sine este continuă, atunci funcția f se numește diferențiabilă continuu și se scrie:

Slide nr.7

Descriere slide:

Semnificația geometrică și fizică a derivatului Sensul geometric al derivatului. Pe graficul funcției se selectează abscisa x0 și se calculează ordonata corespunzătoare f(x0). Un punct arbitrar x este selectat în vecinătatea punctului x0. O linie secantă este trasată prin punctele corespunzătoare de pe graficul funcției F (prima linie gri deschis C5). Distanța Δx = x - x0 tinde spre zero, ca urmare secantele se transformă într-o tangentă (drepte care se întunecă treptat C5 - C1). Tangenta unghiului α al pantei acestei tangente este derivata în punctul x0.

Slide nr.8

Descriere slide:

Derivate de ordin superior Conceptul de derivată de ordin arbitrar este definit recursiv. Presupunem ca daca o functie f este diferentiabila la x0, atunci derivata de ordinul intai este determinata de relatia. Fie acum definita derivata de ordinul al n-lea f(n) intr-o vecinatate a punctului x0 si diferentiabila. Apoi

Slide nr.9

Descriere slide:

Metode de scriere a derivatelor În funcție de obiectivele, domeniul de aplicare și aparatura matematică folosită, se folosesc diverse metode de scriere a derivatelor. Astfel, derivata de ordinul n se poate scrie în notația: Lagrange f(n)(x0), în timp ce pentru n numere prime mici și numere romane se folosesc adesea: f(1)(x0) = f"(x0) = fI( x0),f(2)(x0) = f""(x0) = fII(x0),f(3)(x0) = f"""(x0) = fIII(x0),f(4)(x0 ) = fIV(x0), etc. Această notație este convenabilă datorită conciziei sale și este utilizată pe scară largă: Leibniz, o notație vizuală convenabilă a raportului infinitezimalelor: Newton, care este adesea folosită în mecanică pentru derivata în timp a funcției de coordonate (pentru derivata spațială, notația este mai des folosită Lagrange). Ordinea derivatei este indicată de numărul de puncte peste funcție, de exemplu: - derivata de ordinul întâi a lui x față de t la t = t0, sau - derivata a doua a lui f față de x în punctul x0 , etc. Euler, folosind un operator diferențial (strict vorbind, o expresie diferențială, în timp ce spațiul funcțional corespunzător nu a fost introdus), și deci convenabil în întrebările legate de analiza funcțională: Desigur, nu trebuie să uităm că toate servesc la desemnează aceleași obiecte:

Slide nr.10

Descriere slide:

Exemple: Fie f(x) = x2. Atunci Fie f(x) = | x | . Atunci, dacă atunci f"(x0) = sgnx0, unde sgn denotă funcția semn. Dacă x0 = 0, atunci f"(x0) nu există

Slide nr. 11

Descriere slide:

Reguli de diferențiere Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere. Atunci când efectuați această operație, de multe ori trebuie să lucrați cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care ușurează această lucrare. (derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale) (de aici, în special, rezultă că derivata produsului unei funcții și unei constante este egală cu produsul derivatei acestei funcții și unei constante ) Dacă funcția este dată parametric: atunci,

Istoria apariției conceptului de derivat

Funcțiile, limitele, derivatele și integralele sunt concepte de calcul de bază predate în cursurile de liceu. Și conceptul de derivată este indisolubil legat de conceptul de funcție.

Termenul „funcție” a fost propus pentru prima dată de un filozof și matematician german pentru a caracteriza diferite segmente care leagă punctele unei anumite curbe în 1692. Prima definiție a unei funcții, care nu mai era asociată cu conceptele geometrice, a fost formulată în 1718. Elevul lui Johann Bernoulli

în 1748. a clarificat definiţia funcţiei. Euler este creditat cu introducerea simbolului f(x) pentru a desemna o funcție.

O definiție strictă a limitei și continuității unei funcții a fost formulată în 1823 de către matematicianul francez Augustin Louis Cauchy . Definiția continuității unei funcții a fost formulată chiar mai devreme de Cauchy de către matematicianul ceh Bernard Bolzano. Conform acestor definiții, pe baza teoriei numerelor reale s-a efectuat o justificare riguroasă a principiilor de bază ale analizei matematice.

Descoperirea abordărilor și fundamentelor calculului diferențial a fost precedată de munca unui matematician și avocat francez, care în 1629 a propus metode pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcțiilor, desenând tangente la curbe arbitrare și, de fapt, bazându-se pe utilizarea derivatelor. Acest lucru a fost facilitat și de munca care a dezvoltat metoda coordonatelor și fundamentele geometriei analitice. Abia în 1666 și ceva mai târziu au construit teoria calculului diferențial independent unul de celălalt. Newton a ajuns la conceptul de derivată prin rezolvarea problemelor despre viteza instantanee și , luând în considerare problema geometrică a desenării unei tangente la o curbă. și a investigat problema maximelor și minimelor funcțiilor.

Calculul integral și însuși conceptul de integrală au apărut din nevoile de calcul a ariilor figurilor plane și a volumelor corpurilor arbitrare. Ideile de calcul integral își au originea în lucrările matematicienilor antici. Cu toate acestea, acest lucru este dovedit de „metoda de epuizare” a lui Eudoxus, pe care a folosit-o mai târziu în secolul al III-lea. î.Hr Esența acestei metode a fost să se calculeze aria unei figuri plate și, prin creșterea numărului de laturi ale poligonului, să se găsească limita în care au fost direcționate zonele figurilor în trepte. Cu toate acestea, pentru fiecare cifră, calculul limitei depindea de alegerea unei tehnici speciale. Dar problema unei metode generale de calcul a suprafețelor și volumelor cifrelor a rămas nerezolvată. Arhimede nu utilizase încă în mod explicit conceptul general de graniță și integrală, deși aceste concepte erau folosite implicit.

În secolul al XVII-lea , care a descoperit legile mișcării planetare, prima încercare de a dezvolta idei a fost realizată cu succes. Kepler a calculat ariile figurilor plate și volumele corpurilor, pe baza ideii de a descompune o figură și un corp într-un număr infinit de părți infinitezimale. Aceste părți, ca urmare a adăugării, au constat dintr-o figură a cărei zonă este cunoscută și permite să se calculeze aria celei dorite. Așa-numitul „principiu Cavaglieri” a intrat în istoria matematicii, cu ajutorul căruia au fost calculate ariile și volumele. Acest principiu a primit justificare teoretică mai târziu cu ajutorul calculului integral.
Ideile altor oameni de știință au devenit baza pe care Newton și Leibniz au descoperit calculul integral. Dezvoltarea calculului integral a continuat mult mai târziu. Pafnutiy Lvovich Cebyshev au dezvoltat metode de integrare a anumitor clase de funcţii iraţionale.

Definiția modernă a unei integrale ca limită a sumelor integrale se datorează lui Cauchy. Simbol

Ramura matematicii care studiază derivatele funcțiilor și aplicațiile acestora se numește calcul diferențial. Acest calcul a apărut din rezolvarea problemelor de desenare a tangentelor la curbe, calculul vitezei de mișcare și găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții.

O serie de probleme de calcul diferențial au fost rezolvate în antichitate de către Arhimede, care a dezvoltat o metodă de trasare a liniilor tangente. Arhimede a construit o tangentă la spirala care îi poartă numele. Arhimede (c. 287 - 212 î.Hr.) este un mare om de știință. Descoperitorul multor fapte și metode de matematică și mecanică, un inginer genial.

Problema găsirii ratei de schimbare a unei funcții a fost rezolvată mai întâi de Newton. Problema găsirii ratei de schimbare a unei funcții a fost rezolvată mai întâi de Newton. El a numit funcția fluent, i.e. Valoarea curentă. Derivat - flux. El a numit funcția fluent, i.e. Valoarea curentă. Derivat - flux. Newton a ajuns la conceptul de derivată bazat pe probleme de mecanică. Isaac Newton (1643 – 1722) – fizician și matematician englez.

Pe baza rezultatelor lui Fermat și a unor alte concluzii, Leibniz a publicat prima lucrare despre calculul diferențial în 1684, care a subliniat regulile de bază ale diferențierii. Leibniz Gottfried Friedrich (1646 - 1716) - mare om de știință german, filozof, matematician, fizician, avocat, lingvist

Aplicarea derivatei: Aplicarea derivatei: 1) Puterea este derivata muncii în raport cu timpul P = A" (t). 2) Forța curentului este derivata sarcinii în raport cu timpul I = g" (t). 3) Forța este derivata muncii în raport cu deplasarea F = A" (x). 4) Capacitatea termică este derivata cantității de căldură în raport cu temperatura C = Q" (t). 5) Presiunea este derivata forței față de aria P = F"(S) 6) Circumferința este derivata ariei cercului față de raza l aprox = S" cr (R). 7) Rata de creștere a productivității muncii este derivata productivității muncii în raport cu timpul. 8) Ai succes la studii? Derivat al creșterii cunoștințelor.

Aplicarea derivatelor în fizică Problemă: Două corpuri se mișcă rectiliniu după legile: S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 și S 2 (t) = 1,5t 2 + 3t –6. În ce moment vor fi egale vitezele corpurilor? Problemă: Două corpuri se mișcă rectiliniu conform legilor: S 1 (t) = 3,5t 2 – 5t + 10 și S 2 (t) = 1,5t 2 + 3t –6. În ce moment vor fi egale vitezele corpurilor?

Aplicarea derivatelor în economie Problemă: O întreprindere produce lunar X unități dintr-un produs omogen. S-a stabilit că dependenţa economiilor financiare ale unei întreprinderi de volumul producţiei se exprimă prin formula Problemă: Întreprinderea produce lunar X unităţi din unele produse omogene. S-a stabilit că dependența economiilor financiare ale unei întreprinderi de volumul producției este exprimată prin formula Explorează potențialul întreprinderii. Explorați potențialul întreprinderii. 15