Variabila aleatoare este dată de funcția f x. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue. Exemplu de soluție. Găsiți funcția de distribuție F(x)

Valorea estimata

Dispersia variabila aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin întregii axe Ox, este determinată de egalitatea:

Atribuirea serviciului. Calculator online menite să rezolve probleme în care fie densitatea distributiei f(x) sau funcția de distribuție F(x) (vezi exemplu). De obicei, în astfel de sarcini este necesar să se găsească valorea estimata, abaterea standard, reprezentați grafic funcțiile f(x) și F(x).

Instruire. Selectați tipul de date de intrare: densitatea de distribuție f(x) sau funcția de distribuție F(x) .

Densitatea distribuției f(x) este dată:

Funcția de distribuție F(x) este dată:

O variabilă aleatoare continuă este definită de o densitate de probabilitate
(Legea distribuției Rayleigh - folosită în ingineria radio). Găsiți M(x) , D(x) .

Se numește variabila aleatoare X continuu , dacă funcția sa de distribuție F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este utilizată pentru a calcula probabilitățile ca o variabilă aleatoare să se încadreze într-un interval dat:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
în plus, pentru o variabilă aleatoare continuă, nu contează dacă limitele sale sunt incluse sau nu în acest interval:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densitatea de distribuție variabila aleatoare continuă se numește funcție
f(x)=F'(x) , derivată a funcției de distribuție.

Proprietăți de densitate de distribuție

1. Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare este nenegativă (f(x) ≥ 0) pentru toate valorile lui x.
2. Condiție de normalizare:

Sensul geometric al condiției de normalizare: aria de sub curba densității distribuției este egală cu unu.
3. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare X în intervalul de la α la β poate fi calculată prin formula

Geometric, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X să cadă în intervalul (α, β) este egală cu aria trapezului curbiliniu sub curba densității distribuției bazată pe acest interval.
4. Funcția de distribuție se exprimă în termeni de densitate astfel:

Valoarea densității distribuției în punctul x nu este egală cu probabilitatea de a lua această valoare; pentru o variabilă aleatoare continuă, putem vorbi doar despre probabilitatea de a cădea într-un interval dat. Lasa :

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate în intervalul de la A inainte de b:

.

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă este cunoscută funcția de densitate f(X) :

.

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție a acesteia (fig. de mai jos).

Aria figurii (umbrită în figură), delimitată de o curbă, linii drepte trase din puncte AȘi b perpendicular pe axa absciselor, iar pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X este în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii, care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenței distribuției, valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele două cele mai importante în practică tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) o variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, atunci aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției densității distribuției este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului, iar atunci când se îndepărtează de centru, sunt colectate mai diferite de medii (graficul funcției seamănă cu o tăietură de un clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1 Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Găsiți o caracteristică f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul funcției F(X) - parabola:

Graficul funcției f(X) - linie dreapta:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2 Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați factorul C. Găsiți o caracteristică F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Integrând, găsim funcția F(X) distribuții de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

.

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul funcției f(X) :

Graficul funcției F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3 Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitate , în timp ce . Găsiți coeficientul DAR, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X ia o anumită valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție, ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde. Asa de,

.

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4 Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .