teorema lui Vieta. Exemple de soluții. Teorema lui Vieta: exemple de utilizare a acesteia atunci când lucrați cu ecuații pătratice Exemple de teorema lui Vieta cu o soluție

Orice ecuație pătratică completă ax2 + bx + c = 0 poate fi adus în minte x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, dacă mai întâi împărțim fiecare termen la coeficientul a înainte x2. Și dacă introducem o nouă notație (b/a) = pȘi (c/a) = q, atunci vom avea ecuația x 2 + px + q = 0, care în matematică se numește ecuație pătratică redusă.

Rădăcinile ecuației pătratice reduse și coeficienții pȘi q interconectate. Este confirmat teorema lui Vieta, numit după matematicianul francez Francois Vieta, care a trăit la sfârșitul secolului al XVI-lea.

Teorema. Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 egal cu al doilea coeficient p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor - la termenul liber q.

Scriem aceste rapoarte în următoarea formă:

Lăsa x 1Și x2 diverse rădăcini ale ecuației reduse x 2 + px + q = 0. Conform teoremei lui Vieta x1 + x2 = -pȘi x 1 x 2 = q.

Pentru a demonstra acest lucru, să substituim fiecare dintre rădăcinile x 1 și x 2 în ecuație. Obținem două egalități adevărate:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Scădeți a doua din prima egalitate. Primim:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Extindem primii doi termeni conform formulei diferenței pătratelor:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

După condiție, rădăcinile x 1 și x 2 sunt diferite. Prin urmare, putem reduce egalitatea cu (x 1 - x 2) ≠ 0 și exprimăm p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Prima egalitate este dovedită.

Pentru a demonstra a doua egalitate, înlocuim în prima ecuație

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 în loc de coeficientul p, numărul său egal este (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Transformând partea stângă a ecuației, obținem:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, ceea ce urma să fie demonstrat.

Teorema lui Vieta este bună pentru că, chiar și fără a cunoaște rădăcinile ecuației pătratice, putem calcula suma și produsul lor .

Teorema lui Vieta ajută la determinarea rădăcinilor întregi ale ecuației pătratice date. Dar pentru mulți elevi, acest lucru provoacă dificultăți din cauza faptului că nu cunosc un algoritm clar de acțiune, mai ales dacă rădăcinile ecuației au semne diferite.

Deci, ecuația pătratică dată are forma x 2 + px + q \u003d 0, unde x 1 și x 2 sunt rădăcinile sale. Conform teoremei Vieta x 1 + x 2 = -p și x 1 x 2 = q.

Putem trage următoarea concluzie.

Dacă în ecuație ultimul termen este precedat de semnul minus, atunci rădăcinile x 1 și x 2 au semne diferite. În plus, semnul rădăcinii mai mici este același cu semnul celui de-al doilea coeficient din ecuație.

Pe baza faptului că atunci când adăugați numere cu semne diferite, modulele acestora sunt scăzute, iar semnul numărului mai mare este pus în fața rezultatului, ar trebui să procedați după cum urmează:

1. determinați astfel de factori ai numărului q astfel încât diferența lor să fie egală cu numărul p;
2. pune semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației în fața celui mai mic dintre numerele obținute; a doua rădăcină va avea semnul opus.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația x 2 - 2x - 15 = 0.

Soluţie.

Să încercăm să rezolvăm această ecuație folosind regulile propuse mai sus. Atunci putem spune cu siguranță că această ecuație va avea două rădăcini diferite, deoarece D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Acestea vor fi numerele 3 și 5. Punem semnul minus în fața numărului mai mic. , adică semnul celui de-al doilea coeficient al ecuației. Astfel, obținem rădăcinile ecuației x 1 \u003d -3 și x 2 \u003d 5.

Răspuns. x 1 = -3 și x 2 = 5.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația x 2 + 5x - 6 = 0.

Soluţie.

Să verificăm dacă această ecuație are rădăcini. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ecuația are două rădăcini diferite.

Factorii posibili ai numărului 6 sunt 2 și 3, 6 și 1. Diferența este 5 pentru o pereche de 6 și 1. În acest exemplu, coeficientul celui de-al doilea termen are semnul plus, deci numărul mai mic va avea acelasi semn. Dar înainte de al doilea număr va apărea un semn minus.

Răspuns: x 1 = -6 și x 2 = 1.

Teorema lui Vieta poate fi scrisă și pentru o ecuație pătratică completă. Deci dacă ecuația pătratică ax2 + bx + c = 0 are rădăcini x 1 și x 2 , atunci ele satisfac egalitățile

x 1 + x 2 = -(b/a)Și x 1 x 2 = (c/a). Cu toate acestea, aplicarea acestei teoreme în ecuația pătratică completă este destul de problematică, deoarece dacă există rădăcini, cel puțin una dintre ele este un număr fracționar. Și lucrul cu selecția fracțiilor este destul de dificil. Dar totuși există o cale de ieșire.

Se consideră ecuația pătratică completă ax 2 + bx + c = 0. Înmulțiți laturile sale stânga și dreapta cu coeficientul a. Ecuația va lua forma (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Acum să introducem o nouă variabilă, de exemplu t = ax.

În acest caz, ecuația rezultată se transformă într-o ecuație pătratică redusă de forma t 2 + bt + ac = 0, ale cărei rădăcini t 1 și t 2 (dacă există) pot fi determinate de teorema Vieta.

În acest caz, rădăcinile ecuației pătratice originale vor fi

x 1 = (t 1 / a) și x 2 = (t 2 / a).

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Soluţie.

Facem o ecuație auxiliară. Să înmulțim fiecare termen al ecuației cu 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Facem schimbarea t = 15x. Avem:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Conform teoremei Vieta, rădăcinile acestei ecuații vor fi t 1 = 5 și t 2 = 6.

Revenim la înlocuirea t = 15x:

5 = 15x sau 6 = 15x. Astfel x 1 = 5/15 și x 2 = 6/15. Reducem și obținem răspunsul final: x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Răspuns. x 1 = 1/3 și x 2 = 2/5.

Pentru a stăpâni soluția ecuațiilor pătratice folosind teorema Vieta, elevii trebuie să exerseze cât mai mult posibil. Acesta este tocmai secretul succesului.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice, pe lângă formulele rădăcinilor, există și alte relații utile care sunt date de teorema lui Vieta. În acest articol, vom oferi o formulare și o demonstrație a teoremei lui Vieta pentru o ecuație pătratică. În continuare, considerăm o teoremă inversă cu teorema lui Vieta. După aceea, vom analiza soluțiile celor mai caracteristice exemple. În cele din urmă, notăm formulele Vieta care definesc legătura dintre rădăcinile reale ecuație algebrică gradul n și coeficienții săi.

Navigare în pagină.

Teorema lui Vieta, formulare, demonstrație

Din formulele rădăcinilor ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0 de forma , unde D=b 2 −4 a c , relațiile x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Aceste rezultate sunt confirmate teorema lui Vieta:

Teorema.

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice a x 2 +b x+c=0, atunci suma rădăcinilor este egală cu raportul dintre coeficienții b și a, luați cu semnul opus, și produsul dintre rădăcinile este egală cu raportul dintre coeficienții c și a, adică .

Dovada.

Vom demonstra teorema Vieta după următoarea schemă: vom compune suma și produsul rădăcinilor ecuației pătratice folosind formulele rădăcinilor cunoscute, apoi vom transforma expresiile rezultate, și ne vom asigura că sunt egale cu −b /a și, respectiv, c/a.

Să începem cu suma rădăcinilor, să o compunem. Acum aducem fracțiile la un numitor comun, avem. În numărătorul fracţiei rezultate , după care : . În cele din urmă, după 2, obținem . Aceasta dovedește prima relație a teoremei lui Vieta pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să trecem la al doilea.

Compunem produsul rădăcinilor ecuației pătratice:. Conform regulii înmulțirii fracțiilor, ultimul produs se poate scrie ca. Acum înmulțim paranteza cu paranteza din numărător, dar este mai rapid să restrângem acest produs cu formula diferenței de pătrate, Asa de . Apoi, amintindu-ne, efectuăm următoarea tranziție. Și întrucât formula D=b 2 −4 a·c corespunde discriminantului ecuației pătratice, atunci b 2 −4·a·c poate fi înlocuit în ultima fracție în loc de D, obținem . După deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ajungem la fracția , iar reducerea ei cu 4·a dă . Aceasta dovedește a doua relație a teoremei lui Vieta pentru produsul rădăcinilor.

Dacă omitem explicațiile, atunci demonstrația teoremei Vieta va lua o formă concisă:
,
.

Rămâne doar de observat că atunci când discriminantul este egal cu zero, ecuația pătratică are o rădăcină. Totuși, dacă presupunem că ecuația în acest caz are două rădăcini identice, atunci sunt valabile și egalitățile din teorema Vieta. Într-adevăr, pentru D=0 rădăcina ecuației pătratice este , atunci și , și deoarece D=0 , adică b 2 −4·a·c=0 , de unde b 2 =4·a·c , atunci .

În practică, teorema lui Vieta este folosită cel mai des în raport cu ecuația pătratică redusă (cu cel mai mare coeficient a egal cu 1 ) de forma x 2 +p·x+q=0 . Uneori se formulează doar pentru ecuații pătratice de acest tip, ceea ce nu limitează generalitatea, deoarece orice ecuație pătratică poate fi înlocuită cu o ecuație echivalentă prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero a. Iată formula corespunzătoare a teoremei lui Vieta:

Teorema.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 + p x + q \u003d 0 este egală cu coeficientul de la x, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este un termen liber, adică x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teoremă inversă teoremei lui Vieta

A doua formulare a teoremei Vieta, dată în paragraful precedent, indică faptul că dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0, atunci relațiile x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Pe de altă parte, din relațiile scrise x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q rezultă că x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x 2 +p x+q=0. Cu alte cuvinte, afirmația inversă la teorema lui Vieta este adevărată. O formulăm sub forma unei teoreme și o demonstrăm.

Teorema.

Dacă numerele x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 +x 2 =−p și x 1 x 2 =q, atunci x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0 .

Dovada.

După înlocuirea coeficienților p și q în ecuația x 2 +p x+q=0 ai expresiei lor prin x 1 și x 2, se transformă într-o ecuație echivalentă.

Inlocuim numarul x 1 in loc de x in ecuatia rezultata, avem egalitatea x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, care pentru orice x 1 și x 2 este egalitatea numerică corectă 0=0, deoarece x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 1 este rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ceea ce înseamnă că x 1 este rădăcina ecuației echivalente x 2 +p x+q=0 .

Dacă în ecuație x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0înlocuiți numărul x 2 în loc de x, apoi obținem egalitatea x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Aceasta este ecuația corectă deoarece x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Prin urmare, x 2 este și rădăcina ecuației x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, și de aici ecuațiile x 2 +p x+q=0 .

Aceasta completează demonstrația teoremei inverse la teorema lui Vieta.

Exemple de utilizare a teoremei lui Vieta

Este timpul să vorbim despre aplicarea practică a teoremei lui Vieta și a teoremei sale inverse. În această subsecțiune, vom analiza soluțiile câtorva dintre cele mai tipice exemple.

Începem prin a aplica o teoremă inversă teoremei lui Vieta. Este convenabil să îl utilizați pentru a verifica dacă cele două numere date sunt rădăcinile unei ecuații pătratice date. În acest caz, se calculează suma și diferența lor, după care se verifică valabilitatea relațiilor. Dacă ambele relații sunt satisfăcute, atunci, în virtutea teoremei inverse teoremei lui Vieta, se ajunge la concluzia că aceste numere sunt rădăcinile ecuației. Dacă cel puțin una dintre relații nu este satisfăcută, atunci aceste numere nu sunt rădăcinile ecuației pătratice. Această abordare poate fi folosită la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru a verifica rădăcinile găsite.

Exemplu.

Care dintre perechile de numere 1) x 1 =−5, x 2 =3 sau 2) sau 3) este o pereche de rădăcini a ecuației pătratice 4 x 2 −16 x+9=0?

Soluţie.

Coeficienții ecuației pătratice date 4 x 2 −16 x+9=0 sunt a=4 , b=−16 , c=9 . Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice trebuie să fie egală cu −b/a, adică 16/4=4, iar produsul rădăcinilor trebuie să fie egal cu c/a, adică 9 /4.

Acum să calculăm suma și produsul numerelor din fiecare dintre cele trei perechi date și să le comparăm cu valorile tocmai obținute.

În primul caz, avem x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Valoarea rezultată este diferită de 4, deci nu se poate efectua o verificare ulterioară, dar prin teoremă, inversul teoremei lui Vieta, putem concluziona imediat că prima pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice date.

Să trecem la al doilea caz. Aici, adică prima condiție este îndeplinită. Verificăm a doua condiție: , valoarea rezultată este diferită de 9/4 . Prin urmare, a doua pereche de numere nu este o pereche de rădăcini ale unei ecuații pătratice.

Ultimul caz rămâne. Aici și . Ambele condiții sunt îndeplinite, astfel încât aceste numere x 1 și x 2 sunt rădăcinile ecuației pătratice date.

Răspuns:

Teorema, reversul teoremei lui Vieta, poate fi folosită în practică pentru a selecta rădăcinile unei ecuații pătratice. De obicei, sunt selectate rădăcini întregi ale ecuațiilor pătratice date cu coeficienți întregi, deoarece în alte cazuri acest lucru este destul de dificil de realizat. În același timp, folosesc faptul că, dacă suma a două numere este egală cu al doilea coeficient al ecuației pătratice, luată cu semnul minus, iar produsul acestor numere este egal cu termenul liber, atunci aceste numere sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice. Să ne ocupăm de asta cu un exemplu.

Să luăm ecuația pătratică x 2 −5 x+6=0 . Pentru ca numerele x 1 și x 2 să fie rădăcinile acestei ecuații, trebuie îndeplinite două egalități x 1 +x 2 \u003d 5 și x 1 x 2 \u003d 6. Rămâne de ales astfel de numere. În acest caz, acest lucru este destul de simplu de făcut: astfel de numere sunt 2 și 3, deoarece 2+3=5 și 2 3=6 . Astfel, 2 și 3 sunt rădăcinile acestei ecuații pătratice.

Teorema, reversul teoremei lui Vieta, este deosebit de convenabil de aplicat pentru găsirea celei de-a doua rădăcini a ecuației pătratice reduse, atunci când una dintre rădăcini este deja cunoscută sau evidentă. În acest caz, a doua rădăcină se găsește din oricare dintre relații.

De exemplu, să luăm ecuația pătratică 512 x 2 −509 x−3=0 . Aici este ușor de observat că unitatea este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților acestei ecuații pătratice este zero. Deci x 1 =1 . A doua rădăcină x 2 poate fi găsită, de exemplu, din relația x 1 x 2 =c/a. Avem 1 x 2 =−3/512 , de unde x 2 =−3/512 . Deci am definit ambele rădăcini ale ecuației pătratice: 1 și −3/512.

Este clar că selectarea rădăcinilor este oportună numai în cele mai simple cazuri. În alte cazuri, pentru a găsi rădăcinile, puteți aplica formulele rădăcinilor ecuației pătratice prin discriminant.

O altă aplicație practică a teoremei, inversa teoremei lui Vieta, este compilarea ecuațiilor pătratice pentru rădăcinile date x 1 și x 2. Pentru a face acest lucru, este suficient să calculați suma rădăcinilor, care dă coeficientul lui x cu semnul opus al ecuației pătratice date, și produsul rădăcinilor, care dă termenul liber.

Exemplu.

Scrieți o ecuație pătratică ale cărei rădăcini sunt numerele -11 și 23.

Soluţie.

Notăm x 1 =−11 și x 2 =23 . Calculăm suma și produsul acestor numere: x 1 + x 2 \u003d 12 și x 1 x 2 \u003d −253. Prin urmare, aceste numere sunt rădăcinile ecuației pătratice date cu al doilea coeficient -12 și termenul liber -253. Adică, x 2 −12·x−253=0 este ecuația dorită.

Răspuns:

x 2 −12 x−253=0 .

Teorema lui Vieta este foarte des folosită în rezolvarea sarcinilor legate de semnele rădăcinilor ecuațiilor pătratice. Cum este teorema lui Vieta legată de semnele rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +p x+q=0? Iată două afirmații relevante:

• Dacă intersecția q este un număr pozitiv și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci fie ambele sunt pozitive, fie ambele sunt negative.
• Dacă termenul liber q este un număr negativ și dacă ecuația pătratică are rădăcini reale, atunci semnele acestora sunt diferite, cu alte cuvinte, o rădăcină este pozitivă și cealaltă negativă.

Aceste afirmații rezultă din formula x 1 x 2 =q, precum și din regulile de înmulțire a numerelor pozitive, negative și a numerelor cu semne diferite. Luați în considerare exemple de aplicare a acestora.

Exemplu.

R este pozitiv. Conform formulei discriminante, găsim D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , valoarea expresiei r 2 +8 este pozitiv pentru orice r real, deci D>0 pentru orice r real. Prin urmare, ecuația pătratică originală are două rădăcini pentru orice valoare reală a parametrului r.

Acum să aflăm când rădăcinile au semne diferite. Dacă semnele rădăcinilor sunt diferite, atunci produsul lor este negativ, iar după teorema Vieta, produsul rădăcinilor ecuației pătratice date este egal cu termenul liber. Prin urmare, ne interesează acele valori ale lui r pentru care termenul liber r−1 este negativ. Astfel, pentru a găsi valorile lui r care ne interesează, trebuie rezolva o inegalitate liniara r−1<0 , откуда находим r<1 .

Răspuns:

la r<1 .

formule Vieta

Mai sus, am vorbit despre teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică și am analizat relațiile pe care le afirmă. Dar există formule care conectează rădăcinile și coeficienții reale nu numai ai ecuațiilor pătratice, ci și ai ecuațiilor cubice, ecuațiilor cvadruple și, în general, ecuații algebrice gradul n. Ei sunt numiti, cunoscuti formule Vieta.

Scriem formulele Vieta pentru o ecuație algebrică de grad n a formei, în timp ce presupunem că are n rădăcini reale x 1, x 2, ..., x n (printre ele pot fi aceleași):

Obține formule Vieta permite teorema de factorizare polinomială, precum și definirea polinoamelor egale prin egalitatea tuturor coeficienților corespunzători acestora. Deci polinomul și expansiunea lui în factori liniari de formă sunt egale. Deschizând parantezele din ultimul produs și echivalând coeficienții corespunzători, obținem formulele Vieta.

În special, pentru n=2 avem deja formule Vieta familiare pentru ecuația pătratică .

Pentru o ecuație cubică, formulele Vieta au forma

Rămâne doar de observat că în partea stângă a formulelor Vieta se află așa-numitele elementare polinoame simetrice.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 2010.- 368 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-022771-1.

În această prelegere, ne vom familiariza cu relațiile curioase dintre rădăcinile unei ecuații pătratice și coeficienții ei. Aceste relații au fost descoperite pentru prima dată de matematicianul francez Francois Viet (1540-1603).

De exemplu, pentru ecuația Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, fără a-i găsi rădăcinile, puteți, folosind teorema Vieta, să spuneți imediat că suma rădăcinilor este , iar produsul rădăcinilor este
adică - 2. Și pentru ecuația x 2 - 6x + 8 \u003d 0 concluzionăm: suma rădăcinilor este 6, produsul rădăcinilor este 8; apropo, nu este greu de ghicit cu ce sunt egale rădăcinile: 4 și 2.
Dovada teoremei lui Vieta. Rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice ax 2 + bx + c \u003d 0 se găsesc prin formule

Unde D \u003d b 2 - 4ac este discriminantul ecuației. Așezând aceste rădăcini
primim

Acum calculăm produsul rădăcinilor x 1 și x 2 Avem

A doua relatie se dovedeste:
Cometariu. Teorema lui Vieta este valabilă și în cazul în care ecuația pătratică are o rădăcină (adică când D \u003d 0), doar că în acest caz se consideră că ecuația are două rădăcini identice, cărora li se aplică relațiile de mai sus. .
Relațiile dovedite pentru ecuația pătratică redusă x 2 + px + q \u003d 0 iau o formă deosebit de simplă. În acest caz, obținem:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
acestea. suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.
Folosind teorema Vieta, se pot obține și alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Fie, de exemplu, x 1 și x 2 rădăcinile ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0. Atunci

Totuși, scopul principal al teoremei lui Vieta nu este că ea exprimă anumite relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. Mult mai important este faptul că cu ajutorul teoremei lui Vieta se derivă o formulă de factorizare a unui trinom pătrat, fără de care nu ne vom descurca în viitor.

Dovada. Avem

Exemplul 1. Factorizează trinomul pătrat 3x 2 - 10x + 3.
Soluţie. După ce am rezolvat ecuația Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Folosind teorema 2, obținem

În schimb, are sens să scriem Zx - 1. Apoi obținem în sfârșit Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Rețineți că trinomul pătrat dat poate fi factorizat fără a utiliza teorema 2, folosind metoda de grupare:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Dar, după cum puteți vedea, cu această metodă succesul depinde dacă putem găsi o grupare reușită sau nu, în timp ce cu prima metodă succesul este garantat.
Exemplul 1. Reduceți fracția

Soluţie. Din ecuația 2x 2 + 5x + 2 = 0 găsim x 1 = - 2,

Din ecuația x2 - 4x - 12 = 0 găsim x 1 = 6, x 2 = -2. De aceea
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Acum să reducem fracția dată:

Exemplul 3. Factorizați expresiile:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rezolvare.a) Introducem o noua variabila y = x 2 . Acest lucru ne va permite să rescriem expresia dată sub forma unui trinom pătrat în raport cu variabila y, și anume, în forma y 2 + by + 6.
După ce am rezolvat ecuația y 2 + bу + 6 \u003d 0, găsim rădăcinile trinomului pătrat y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Acum folosim teorema 2; primim

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Rămâne să ne amintim că y \u003d x 2, adică reveniți la expresia dată. Asa de,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Să introducem o nouă variabilă y = . Acest lucru vă va permite să rescrieți expresia dată sub forma unui trinom pătrat față de variabila y, și anume, sub forma 2y 2 + y - 3. După ce am rezolvat ecuația
2y 2 + y - 3 = 0, găsiți rădăcinile trinomului pătrat 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . În plus, folosind teorema 2, obținem:

Rămâne să ne amintim că y \u003d, adică reveniți la expresia dată. Asa de,

Secțiunea se încheie cu câteva considerații, din nou legate de teorema Vieta, sau mai degrabă, de afirmația inversă:
dacă numerele x 1, x 2 sunt astfel încât x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, atunci aceste numere sunt rădăcinile ecuației
Folosind această afirmație, puteți rezolva multe ecuații pătratice pe cale orală, fără a utiliza formule greoaie ale rădăcinilor și, de asemenea, puteți compune ecuații pătratice cu rădăcini date. Să dăm exemple.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aici x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Este ușor de ghicit că x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aici x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Este ușor de ghicit că x 1 = -5, x 2 = -6.
Vă rugăm să rețineți: dacă termenul liber al ecuației este un număr pozitiv, atunci ambele rădăcini sunt fie pozitive, fie negative; acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.

3) x 2 + x - 12 = 0. Aici x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Este ușor de ghicit că x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Vă rugăm să rețineți: dacă termenul liber al ecuației este un număr negativ, atunci rădăcinile sunt diferite ca semn; acest lucru este important de luat în considerare atunci când alegeți rădăcini.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Este ușor de observat că x = 1 satisface ecuația, adică. x 1 \u003d 1 - rădăcina ecuației. Deoarece x 1 x 2 \u003d - și x 1 \u003d 1, obținem acel x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aici x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Dacă acordați atenție faptului că 2830 = 283. 10 și 293 \u003d 283 + 10, atunci devine clar că x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (acum imaginați-vă ce calcule ar trebui efectuate pentru a rezolva această ecuație pătratică folosind formule standard).

6) Să compunem o ecuație pătratică, astfel încât numerele x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 să servească drept rădăcini. De obicei, în astfel de cazuri, ele alcătuiesc ecuația pătratică redusă x 2 + px + q \u003d 0.
Avem x 1 + x 2 \u003d -p, prin urmare 8 - 4 \u003d -p, adică p \u003d -4. În plus, x 1 x 2 = q, adică. 8"(-4) = q, de unde obținem q = -32. Deci, p \u003d -4, q \u003d -32, ceea ce înseamnă că ecuația pătratică dorită are forma x 2 -4x-32 \u003d 0.

Aproape orice ecuație pătratică \ poate fi convertită în forma \ Totuși, acest lucru este posibil dacă fiecare termen este inițial împărțit la coeficientul \ în fața \ În plus, se poate introduce o nouă notație:

\[(\frac (b)(a))= p\] și \[(\frac (c)(a)) = q\]

Datorită acestui fapt, vom avea o ecuație \ numită în matematică ecuație pătratică redusă. Rădăcinile acestei ecuații și coeficienții \ sunt interconectați, ceea ce este confirmat de teorema Vieta.

Teorema lui Vieta: Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse \ este egală cu al doilea coeficient \ luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este termenul liber \

Pentru claritate, rezolvăm ecuația de următoarea formă:

Rezolvăm această ecuație pătratică folosind regulile scrise. După analizarea datelor inițiale, putem concluziona că ecuația va avea două rădăcini diferite, deoarece:

Acum, din toți factorii numărului 15 (1 și 15, 3 și 5), îi selectăm pe cei a căror diferență este egală cu 2. Numerele 3 și 5 se încadrează în această condiție. Punem semnul minus în fața celui mai mic. număr. Astfel, obținem rădăcinile ecuației \

Răspuns: \[ x_1= -3 și x_2 = 5\]

Unde pot rezolva ecuația folosind teorema lui Vieta online?

Puteți rezolva ecuația pe site-ul nostru https: // site-ul. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați o ecuație online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faci este să introduci datele în solutor. De asemenea, puteți viziona instrucțiunile video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Alăturați-vă grupului nostru, suntem întotdeauna bucuroși să vă ajutăm.

2.5 Formula Vieta pentru polinoame (ecuații) de grade superioare

Formulele derivate de Vieta pentru ecuațiile pătratice sunt valabile și pentru polinoamele de grade superioare.

Fie polinomul

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Are n rădăcini distincte x 1 , x 2 …, x n .

În acest caz, are o factorizare de forma:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Să împărțim ambele părți ale acestei egalități cu a 0 ≠ 0 și să extindem parantezele din prima parte. Obținem egalitatea:

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n) -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Dar două polinoame sunt identic egale dacă și numai dacă coeficienții la aceleași puteri sunt egali. De aici rezultă că egalitatea

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

De exemplu, pentru polinoamele de gradul trei

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Avem identități

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

În ceea ce privește ecuațiile pătratice, această formulă se numește formulele Vieta. Părțile din stânga acestor formule sunt polinoame simetrice din rădăcinile x 1 , x 2 ..., x n ale ecuației date, iar părțile din dreapta sunt exprimate în termeni de coeficientul polinomului.

2.6 Ecuații reductibile la pătrate (biquadratice)

Ecuațiile de gradul al patrulea sunt reduse la ecuații pătratice:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

numită biquadratic, în plus, a ≠ 0.

Este suficient să puneți x 2 \u003d y în această ecuație, prin urmare,

ay² + prin + c = 0

găsiți rădăcinile ecuației pătratice rezultate

y 1,2 =

Pentru a găsi imediat rădăcinile x 1, x 2, x 3, x 4, înlocuiți y cu x și obțineți

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Dacă ecuația de gradul al patrulea are x 1, atunci are și o rădăcină x 2 \u003d -x 1,

Dacă are x 3, atunci x 4 \u003d - x 3. Suma rădăcinilor unei astfel de ecuații este zero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Înlocuim ecuația în formula pentru rădăcinile ecuațiilor biquadratice:

x 1,2,3,4 = ,

știind că x 1 \u003d -x 2 și x 3 \u003d -x 4, atunci:

x 3,4 =

Răspuns: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =

2.7 Studiul ecuațiilor biquadratice

Să luăm ecuația biquadratică

ax 4 + bx 2 + c = 0,

unde a, b, c sunt numere reale și a > 0. Prin introducerea unei necunoscute auxiliare y = x², examinăm rădăcinile acestei ecuații și introducem rezultatele într-un tabel (vezi Anexa nr. 1)

2.8 Formula Cardano

Dacă folosim simbolismul modern, atunci derivarea formulei Cardano poate arăta astfel:

x =

Această formulă determină rădăcinile ecuației generale de gradul al treilea:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Această formulă este foarte greoaie și complexă (conține mai mulți radicali complecși). Nu se aplică întotdeauna, pentru că. foarte greu de completat.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Enumerați sau alegeți dintre 2-3 texte cele mai interesante locuri. Astfel, am avut în vedere prevederile generale pentru crearea și desfășurarea cursurilor opționale, care vor fi luate în considerare la elaborarea unui curs opțional de algebră pentru clasa a 9-a „Ecuații și inegalități cuadriculare cu parametru”. Capitolul II. Metodologia de desfășurare a unui curs opțional „Ecuații și inegalități cuadratice cu un parametru” 1.1. Sunt comune...

Rezolvari din metode de calcul numeric. Pentru a determina rădăcinile ecuației, nu este necesară cunoașterea teoriilor lui Abel, Galois, grupele Lie etc. și utilizarea unei terminologii matematice speciale: inele, câmpuri, idealuri, izomorfisme etc. Pentru a rezolva o ecuație algebrică de gradul al n-lea, aveți nevoie doar de capacitatea de a rezolva ecuații pătratice și de a extrage rădăcini dintr-un număr complex. Rădăcinile pot fi determinate cu...

Cu unități de măsură ale mărimilor fizice în sistemul MathCAD? 11. Descrieți în detaliu blocurile text, grafice și matematice. Cursul numărul 2. Probleme de algebră liniară și rezolvarea ecuațiilor diferențiale în mediul MathCAD În problemele de algebră liniară, aproape întotdeauna devine necesară efectuarea diferitelor operații cu matrice. Panoul operator matrice este situat pe panoul Math. ...