Formule de puteri și rădăcini. Detalii despre grad și exponențiere Exponentiație la formula de putere a 3-a

poate fi găsit folosind înmulțirea. De exemplu: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ei spun despre o astfel de expresie că suma termenilor egali a fost împăturită într-un produs. Și invers, dacă citim această egalitate de la dreapta la stânga, obținem că am extins suma termenilor egali. În mod similar, puteți îndoi produsul mai multor factori egali 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Adică, în loc să înmulțească șase factori identici 5x5x5x5x5x5, ei scriu 5 6 și spun „cinci la a șasea putere”.

Expresia 5 6 este o putere a unui număr, unde:

5 - baza gradului;

6 - exponent.

Se numesc operațiile prin care produsul factorilor egali este pliat într-o putere exponentiare.

În general, o putere cu baza „a” și exponentul „n” se scrie ca

Ridicarea numărului a la puterea lui n înseamnă găsirea produsului a n factori, fiecare dintre care este egal cu a

Dacă baza gradului „a” este 1, atunci valoarea gradului pentru orice n natural va fi egală cu 1. De exemplu, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Dacă ridicați numărul „a” ridicați la primul grad, atunci obținem numărul a însuși: a 1 = a

Dacă ridici orice număr la grad zero, apoi ca rezultat al calculelor obținem unul. a 0 = 1

A doua și a treia putere a unui număr sunt considerate speciale. Au venit cu nume pentru ei: se numește gradul doi pătratul unui număr, al treilea - cub acest număr.

Orice număr poate fi ridicat la o putere - pozitivă, negativă sau zero. Cu toate acestea, următoarele reguli nu sunt utilizate:

La aflarea gradului unui număr pozitiv se obține un număr pozitiv.

Când calculăm zero în natură, obținem zero.

x m х n = x m + n

de exemplu: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

La împărțiți puterile cu aceeași bază nu schimbam baza, ci scadem exponentii:

x m / x n \u003d x m - n , Unde, m > n

ex: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

La calcul exponentiare Nu schimbăm baza, ci înmulțim exponenții unul cu celălalt.

(la m )n = y m n

de exemplu: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · m ,

de exemplu: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

La efectuarea calculelor pentru exponentiarea unei fractii ridicăm numărătorul și numitorul fracției la puterea dată

(x/y)n = x n / y n

de exemplu: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Secvența de efectuare a calculelor atunci când se lucrează cu expresii care conțin un grad.

La efectuarea calculelor expresiilor fără paranteze, dar care conțin puteri, în primul rând se efectuează exponențiarea, apoi operațiile de înmulțire și împărțire și abia apoi operațiile de adunare și scădere.

Dacă este necesar să evaluăm o expresie care conține paranteze, atunci mai întâi, în ordinea indicată mai sus, facem calculele între paranteze, iar apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Foarte larg în calculele practice, pentru a simplifica calculele, sunt utilizate tabele de grade gata făcute.

Când numărul se înmulțește singur pentru mine, muncă numit grad.

Deci 2,2 = 4, pătrat sau a doua putere a lui 2
2.2.2 = 8, cub sau a treia putere.
2.2.2.2 = 16, gradul al patrulea.

De asemenea, 10,10 = 100, a doua putere este 10.
10.10.10 = 1000, gradul trei.
10.10.10.10 = 10000 gradul al patrulea.

Și a.a = aa, a doua putere a lui a
a.a.a = aaa, a treia putere a lui a
a.a.a.a = aaaa, a patra putere a lui a

Se numește numărul inițial rădăcină grade ale acelui număr, deoarece acesta este numărul din care au fost create gradele.

Nu este însă foarte convenabil, mai ales în cazul puterilor mari, să notăm toți factorii care compun puterile. Prin urmare, se utilizează o metodă de notare abreviată. Rădăcina gradului se scrie o singură dată, iar în dreapta și puțin mai sus lângă ea, dar într-un font puțin mai mic se scrie de câte ori rădăcina acționează ca un factor. Acest număr sau literă este numit exponent sau grad numerele. Deci, a 2 este egal cu a.a sau aa, deoarece rădăcina lui a trebuie înmulțită cu ea însăși de două ori pentru a obține puterea lui aa. De asemenea, un 3 înseamnă aaa, adică aici a se repetă de trei ori ca multiplicator.

Exponentul primei puteri este 1, dar de obicei nu este scris. Deci, un 1 se scrie ca a.

Nu trebuie să confundați grade cu coeficienți. Coeficientul arată cât de des este luată valoarea ca parteîntreg. Exponentul indică cât de des este luată valoarea ca factorîn lucru.
Deci, 4a = a + a + a + a. Dar a 4 = a.a.a.a

Notația exponențială are avantajul deosebit de a ne permite să exprimăm necunoscut grad. În acest scop, în locul unui număr, se scrie exponentul scrisoare. În procesul de rezolvare a problemei, putem obține o valoare care, după cum știm, este niste grad de altă magnitudine. Dar până acum nu știm dacă este un pătrat, un cub sau un alt grad, mai mare. Deci, în expresia a x , exponentul înseamnă că această expresie are niste grad, deși nu este definit ce grad. Deci, b m și d n sunt ridicate la puterile lui m și n. Când se găsește exponentul, numărînlocuit cu o scrisoare. Deci, dacă m=3, atunci b m = b 3 ; dar dacă m = 5 atunci b m =b 5 .

Metoda de scriere a valorilor cu exponenți este, de asemenea, un mare avantaj la utilizare expresii. Astfel, (a + b + d) 3 este (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), adică cubul trinomului (a + b + d) . Dar dacă scriem această expresie după cub, va arăta ca
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Dacă luăm o serie de puteri ai căror exponenți cresc sau scad cu 1, constatăm că produsul crește cu factor comun sau redus cu divizor comun, iar acest factor sau divizor este numărul inițial care este ridicat la o putere.

Deci, în seria aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
sau a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
indicatorii, dacă sunt numărați de la dreapta la stânga, sunt 1, 2, 3, 4, 5; iar diferența dintre valorile lor este 1. Dacă începem pe dreapta multiplica pe a, vom obține cu succes mai multe valori.

Deci a.a = a 2 , al doilea termen. Și a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , al treilea termen. a 4 .a = a 5 .

Dacă începem stânga divide pe o,
obținem un 5:a = a 4 și a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Dar un astfel de proces de divizare poate fi continuat mai departe și obținem un nou set de valori.

Deci, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rândul complet va fi: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Sau a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Aici valori pe dreapta din unitate este verso valorile din stânga unuia. Prin urmare, aceste grade pot fi numite puteri inverse A. Se mai poate spune că puterile din stânga sunt inversul puterilor din dreapta.

Deci, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. Și 1:(1/a 3) = a 3 .

Se poate aplica același plan de înregistrare polinomiale. Deci, pentru a + b, obținem o mulțime,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Pentru comoditate, se folosește o altă formă de scriere a puterilor inverse.

Conform acestei forme, 1/a sau 1/a 1 = a -1 . Și 1/aaa sau 1/a 3 = a -3 .
1/aa sau 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa sau 1/a 4 = a -4 .

Și pentru a face din exponenți o serie completă cu 1 ca diferență totală, a/a sau 1 este considerat ca atare care nu are grad și se scrie ca 0 .

Apoi, ținând cont de puterile directe și inverse
în loc de aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
se poate scrie un 4 , un 3 , un 2 , un 1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
Sau a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Și o serie de grade luate numai separat va avea forma:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rădăcina gradului poate fi exprimată prin mai multe litere.

Astfel, aa.aa sau (aa) 2 este a doua putere a lui aa.
Și aa.aa.aa sau (aa) 3 este a treia putere a lui aa.

Toate gradele numărului 1 sunt aceleași: 1.1 sau 1.1.1. va fi egal cu 1.

Exponentiația înseamnă găsirea valorii oricărui număr prin înmulțirea acelui număr cu el însuși. Regula exponentiatiei:

Înmulțiți valoarea cu ea însăși de câte ori este indicat în puterea numărului.

Această regulă este comună tuturor exemplelor care pot apărea în procesul de exponențiere. Dar va fi corect să explicăm cum se aplică în anumite cazuri.

Dacă un singur termen este ridicat la o putere, atunci acesta este înmulțit cu el însuși de câte ori indică exponentul.

A patra putere a este un 4 sau aaaa. (Art. 195.)
A șasea putere a lui y este y 6 sau yyyyyy.
Puterea a n-a a lui x este x n sau xxx..... de n ori repetate.

Dacă este necesar să se ridice o expresie a mai multor termeni unei puteri, principiul că gradul produsului mai multor factori este egal cu produsul acestor factori ridicați la o putere.

Deci (ay) 2 =a 2 y 2 ; (da) 2 = ay.ay.
Dar ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Deci, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prin urmare, în găsirea gradului unui produs, putem fie să operam pe întregul produs deodată, fie să putem opera pe fiecare factor separat și apoi să le înmulțim valorile cu grade.

Exemplul 1. A patra putere a lui dhy este (dhy) 4 sau d 4 h 4 y 4 .

Exemplul 2. A treia putere a lui 4b este (4b) 3 , sau 4 3 b 3 , sau 64b 3 .

Exemplul 3. Puterea a n-a a lui 6ad este (6ad) n sau 6 n și d n .

Exemplul 4. A treia putere a lui 3m.2y este (3m.2y) 3 sau 27m 3 .8y 3 .

Gradul unui binom, format din termeni legați prin + și -, se calculează prin înmulțirea termenilor săi. Da,

(a + b) 1 = a + b, prima putere.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , a doua putere (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, gradul al treilea.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, gradul al patrulea.

Pătrat a - b, există a 2 - 2ab + b 2 .

Pătratul a + b + h este a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Exercițiul 1. Aflați cubul a + 2d + 3

Exercițiul 2. Aflați a patra putere b + 2.

Exercițiul 3. Aflați puterea a cincea a lui x + 1.

Exercițiul 4. Aflați gradul al șaselea 1 - b.

Sumă pătrate sumeȘi diferență binomele sunt atât de comune în algebră încât este necesar să le cunoaștem foarte bine.

Dacă înmulțim a + h cu el însuși sau a - h cu el însuși,
obținem: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 de asemenea, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Aceasta arată că, în fiecare caz, primul și ultimul termen sunt pătratele lui a și h, iar termenul mijlociu este de două ori produsul dintre a și h. Prin urmare, pătratul sumei și diferenței binomurilor poate fi găsit folosind următoarea regulă.

Pătratul unui binom ai cărui ambii termeni sunt pozitivi este egal cu pătratul primului termen + de două ori produsul ambilor termeni, + pătratul ultimului termen.

Pătrat diferență binom este egal cu pătratul primului termen minus de două ori produsul ambilor termeni plus pătratul celui de-al doilea termen.

Exemplul 1. Pătrat 2a + b, există 4a 2 + 4ab + b 2 .

Exemplul 2. Pătratul ab + cd este a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Exemplul 3. Pătratul 3d - h este 9d 2 + 6dh + h 2 .

Exemplul 4. Pătratul a - 1 este a 2 - 2a + 1.

Pentru o metodă de găsire a puterilor mai mari ale binoamelor, consultați secțiunile următoare.

În multe cazuri, este eficient să scrii grad nici o multiplicare.

Deci, pătratul a + b este (a + b) 2 .
Puterea a n-a bc + 8 + x este (bc + 8 + x) n

În astfel de cazuri, suporturile acoperă toate membri sub grad.

Dar dacă rădăcina gradului este formată din mai multe multiplicatori, parantezele pot acoperi întreaga expresie sau pot fi aplicate separat factorilor, în funcție de comoditate.

Astfel, pătratul (a + b)(c + d) este fie [(a + b).(c + d)] 2, fie (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Pentru prima dintre aceste expresii, rezultatul este pătratul produsului a doi factori, iar pentru a doua, produsul pătratelor acestora. Dar sunt egali unul cu celălalt.

Cubul a.(b + d), este 3 sau a 3 .(b + d) 3 .

De asemenea, este necesar să se țină cont de semnul din fața membrilor implicați. Este foarte important să ne amintim că atunci când rădăcina unei puteri este pozitivă, toate puterile sale pozitive sunt de asemenea pozitive. Dar când rădăcina este negativă, valorile de la ciudat puterile sunt negative, în timp ce valorile chiar gradele sunt pozitive.

A doua putere (- a) este +a 2
Al treilea grad (-a) este -a 3
A patra putere (-a) este +a 4
A cincea putere (-a) este -a 5

De aici orice ciudat exponentul are același semn ca și numărul. Dar chiar gradul este pozitiv, indiferent dacă numărul are semn negativ sau pozitiv.
Deci, +a.+a = +a 2
ȘI -a.-a = +a 2

O valoare deja ridicată la o putere este ridicată din nou la o putere prin înmulțirea exponenților.

A treia putere a unui 2 este a 2.3 = a 6 .

Pentru a 2 = aa; cubul aa este aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; care este a șasea putere a lui a, dar a treia putere a lui a 2 .

A patra putere a 3 b 2 este a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

A treia putere a lui 4a 2 x este 64a 6 x 3 .

Puterea a cincea a lui (a + b) 2 este (a + b) 10 .

Puterea a N-a a unui 3 este un 3n

Puterea a n-a a lui (x - y) m este (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Regula se aplică în egală măsură negativ grade.

Exemplul 1. A treia putere a lui a -2 este a -3.3 =a -6 .

Pentru a -2 = 1/aa, iar a treia putere a acesteia
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

A patra putere a 2 b -3 este a 8 b -12 sau a 8 / b 12 .

Pătratul b 3 x -1 este b 6 x -2 .

A n-a putere ax -m este x -mn sau 1/x .

Cu toate acestea, trebuie amintit aici că dacă un semn anterior gradul este „-”, apoi ar trebui schimbat în „+” ori de câte ori gradul este un număr par.

Exemplul 1. Pătratul -a 3 este +a 6 . Pătratul lui -a 3 este -a 3 .-a 3 , care, după regulile semnelor de înmulțire, este +a 6 .

2. Dar cubul -a 3 este -a 9 . Pentru -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. Puterea a N-a a lui -a 3 este un 3n .

Aici rezultatul poate fi pozitiv sau negativ, în funcție de faptul că n este par sau impar.

Dacă fracțiune ridicat la putere, numărătorul și numitorul sunt ridicate la putere.

Pătratul a/b este a 2 /b 2 . Conform regulii înmulțirii fracțiilor,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

A doua, a treia și a n-a putere a lui 1/a sunt 1/a 2 , 1/a 3 și 1/a n .

Exemple binoame unde unul dintre termeni este o fracție.

1. Aflați pătratul x + 1/2 și x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Pătratul a + 2/3 este a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Pătrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Pătratul x - b/m este x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Anterior, s-a arătat că coeficient fracționar poate fi mutat de la numărător la numitor sau de la numitor la numărător. Folosind schema de scriere a puterilor inverse, se poate observa că orice multiplicator poate fi de asemenea mutat dacă se schimbă semnul gradului.

Deci, în fracția ax -2 /y, putem muta x de la numărător la numitor.
Atunci ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

În fracția a/cu 3 putem muta y de la numitor la numărător.
Atunci a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

În același mod, putem muta un factor care are un exponent pozitiv la numărător, sau un factor cu un exponent negativ la numitor.

Deci, ax 3 / b = a / bx -3 . Pentru x 3 inversul este x -3 , care este x 3 = 1/x -3 .

Prin urmare, numitorul oricărei fracții poate fi eliminat complet, sau numărătorul poate fi redus la unul fără a schimba sensul expresiei.

Deci, a/b = 1/ba -1 sau ab -1.

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce ​​număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr într-o putere negativă este inversul aceluiași număr în grad pozitiv. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem cercul de numere „potrivit” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

1. Nu uitați de proprietățile obișnuite ale gradelor:

2. . Aici ne amintim că am uitat să învățăm tabelul de grade:

la urma urmei – asta sau. Soluția se găsește automat: .

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Rezultă că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prin definitie:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este, de asemenea, atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un număr întreg negativ - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina relației este egal cu raportul divizibil și divizor de rădăcini:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real darîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr dar.

În continuarea conversației despre gradul unui număr, este logic să ne ocupăm de găsirea valorii gradului. Acest proces a fost numit exponentiare. În acest articol, vom studia doar modul în care se realizează exponențiarea, în timp ce vom atinge toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și prin tradiție, vom lua în considerare în detaliu soluțiile la exemple de creștere a numerelor în diferite grade.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă „exponentiare”?

Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.

Definiție.

Exponentiatie este de a afla valoarea puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii lui a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea lui r este același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea lui 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.

Ridicarea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică, atunci când se ridică numărul a la o putere fracțională m / n, se extrage mai întâi rădăcina gradului al n-lea din numărul a, după care rezultatul este ridicat la o putere întreagă m.

Luați în considerare soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.

Exemplu.

Calculați valoarea gradului.

Soluţie.

Vă prezentăm două soluții.

Prima cale. Prin definiția gradului cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului sub semnul rădăcinii, după care extragem rădăcina cubă: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, egalitățile sunt adevărate . Acum extrageți rădăcina În cele din urmă, ridicăm la o putere întreagă .

Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că exponentul fracționar poate fi scris ca fracție zecimală sau un număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția obișnuită corespunzătoare, după care trebuie efectuată exponențiarea.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5 .

Soluţie.

Scriem exponentul sub forma unei fracții obișnuite (dacă este necesar, vezi articolul): . Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de laborios (mai ales atunci când numărătorul și numitorul exponentului fracționar sunt numere destul de mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia computerizată.

În încheierea acestui paragraf, ne vom opri asupra construcției numărului zero într-o putere fracțională. Am dat următorul sens gradului fracționar de zero al formei: căci avem , în timp ce zero la puterea m/n nu este definit. Deci, zero la o putere fracțională pozitivă este zero, de exemplu, . Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile și 0 -4,3 nu au sens.

Ridicarea la o putere irațională

Uneori devine necesar să se afle valoarea gradului unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice, de obicei este suficientă obținerea valorii gradului până la un anumit semn. Observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind tehnologia de calcul electronic, deoarece ridicarea manuală la o putere irațională necesită un numar mare calcule greoaie. Dar cu toate acestea vom descrie în termeni generali esența acțiunilor.

Pentru a obține o valoare aproximativă a exponentului lui a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea exponentului. Această valoare este valoarea aproximativă a gradului numărului a cu un exponent irațional. Cu cât este mai precisă aproximarea zecimală a numărului inițial, cu atât mai precisă va fi valoarea gradului în final.

Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a unui indicator irațional: . Acum ridicăm 2 la o putere rațională de 1,17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1,17 ≈ 2,250116. În acest fel, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a unui exponent irațional, de exemplu, , atunci obținem o valoare mai precisă a gradului inițial: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică Zh pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 7 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 9 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).