Ce este cosinus sinus tangentă și cotangentă. Reguli pentru găsirea funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Cosinusul unui unghi ascuțit poate fi determinat folosind un triunghi dreptunghic - este egal cu raportul dintre piciorul adiacent și hyp

FOLOSIȚI pentru 4? Nu ești plin de fericire?

Întrebarea, după cum se spune, este interesantă... Poți, poți da mai departe 4! Și, în același timp, nu sparge... Condiția principală este să exersezi în mod regulat. Iată pregătirea de bază pentru examenul de matematică. Cu toate secretele și misterele examenului unificat de stat, despre care nu veți citi în manuale... Studiați această secțiune, rezolvați mai multe sarcini din diverse surse - și totul va funcționa! Se presupune că secțiunea de bază „Destul pentru tine și trei!” nu vă provoacă probleme. Dar dacă dintr-o dată... Urmărește linkurile, nu fi leneș!

Și vom începe cu un subiect grozav și teribil.

Trigonometrie

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest subiect dă o mulțime de probleme studenților. Este considerat unul dintre cele mai severe. Ce este sinus și cosinus? Ce este tangenta si cotangenta? Ce este un cerc numeric? Merită să pui aceste întrebări inofensive, deoarece o persoană devine palidă și încearcă să devieze conversația într-o parte... Dar în zadar. Acestea sunt concepte simple. Și acest subiect nu este mai dificil decât alții. Trebuie doar să înțelegeți clar răspunsurile la aceste întrebări chiar de la început. Este foarte important. Dacă v-ați dat seama, vă va plăcea trigonometria. Asa de,

Ce este sinus și cosinus? Ce este tangenta si cotangenta?

Să începem din cele mai vechi timpuri. Nu vă faceți griji, vom trece prin toate cele 20 de secole de trigonometrie în 15 minute și, imperceptibil pentru noi înșine, vom repeta o bucată de geometrie din clasa a 8-a.

Desenați un triunghi dreptunghic cu laturile a, b, cși unghi X. Iată una.

Permiteți-mi să vă reamintesc că laturile care formează un unghi drept se numesc picioare. a și c- patine. Sunt doi dintre ei. Cealaltă parte se numește ipotenuză. din- ipotenuza.

Triunghi și triunghi, gândește-te! Ce să faci cu el? Dar oamenii din vechime știau ce să facă! Să le repetăm ​​acțiunile. Să măsurăm partea laterală în. În figură, celulele sunt desenate special, ca în USE sarcini se întâmplă. Latură în este egal cu patru celule. BINE. Să măsurăm partea laterală dar. Trei celule.

Acum să împărțim lungimea laturii dar pe lungimea laturii în. Sau, după cum se spune, să luăm raportul dar la în. a/c= 3/4.

Alternativ, puteți partaja în pe dar. Primim 4/3. Poate sa înîmparte la din. ipotenuză din nu numărăm după celule, dar este egal cu 5. Obținem a/c= 4/5. Pe scurt, puteți împărți lungimile laturilor între ele și puteți obține câteva numere.

Și ce dacă? Care este sensul acestei activități interesante? Până acum niciunul. O treabă proastă, să fiu sincer.)

Și acum să facem asta. Să mărim triunghiul. Să extindem părțile laterale la și de la, dar astfel încât triunghiul să rămână dreptunghic. Injecţie X, desigur, nu se schimbă. Pentru a o vedea, plasați mouse-ul peste imagine sau atingeți-o (dacă aveți o tabletă). Petreceri a, b și c A se transforma în m, n, k, și, desigur, lungimile laturilor se vor schimba.

Dar relația lor nu este!

Atitudine a/c A fost: a/c= 3/4, a devenit m/n= 6/8 = 3/4. Relațiile celorlalte părți relevante, de asemenea nu se va schimba . Puteți modifica în mod arbitrar lungimile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic, creșteți, micșorați, fără a modifica unghiul x – relația părților respective nu se va schimba . Puteți verifica, sau puteți accepta cuvântul oamenilor din vechime.

Acum acest lucru este foarte important! Raporturile laturilor dintr-un triunghi dreptunghic nu depind în niciun fel de lungimile laturilor (pentru același unghi). Acest lucru este atât de important încât relațiile părților și-au câștigat numele lor speciale. Numele lor, ca să spunem așa.) Faceți cunoștință.

Care este sinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

sinx = a/c

Care este cosinusul unghiului x ? Acesta este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză:

dinosx= a/c

Care este tangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent:

tgx=a/c

Care este cotangenta unghiului x ? Acesta este raportul dintre piciorul adiacent și opusul:

ctgx = in/a

Totul este foarte simplu. Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt câteva numere. Fără dimensiuni. Doar numere. Pentru fiecare colț - al lor.

De ce mă repet atât de plictisitor? Atunci ce este trebuie să-ți amintești. Amintește-ți în mod ironic. Memorarea poate fi ușoară. Expresia „Să începem de departe...” este familiară? Așa că începe de departe.

Sinusul unghiul este raportul îndepărtat de la unghiul catetei la ipotenuză. Cosinus este raportul dintre cele mai apropiate de ipotenuză.

Tangentă unghiul este raportul îndepărtat de la unghiul cateterului până la cel mai apropiat. Cotangentă- viceversa.

Deja mai ușor, nu?

Ei bine, dacă vă amintiți că doar picioarele stau în tangentă și cotangentă, iar ipotenuza apare în sinus și cosinus, atunci totul va deveni destul de simplu.

Toată această familie glorioasă - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă se mai numește funcții trigonometrice.

Și acum o întrebare de luat în considerare.

De ce spunem sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ? Vorbim despre relația părților, de genul... Ce legătură are injecţie?

Să ne uităm la a doua poză. Exact la fel ca primul.

Treceți mouse-ul peste imagine. Am schimbat unghiul X. l-a mărit din x la x. Toate relațiile s-au schimbat! Atitudine a/c a fost 3/4, iar raportul corespunzător staniu a devenit 6/4.

Și toate celelalte relații au devenit diferite!

Prin urmare, raporturile laturilor nu depind în niciun fel de lungimile lor (la un unghi x), ci depind în mod puternic chiar de acest unghi! Și numai de la el. Prin urmare, se referă termenii sinus, cosinus, tangentă și cotangentă colţ. Colțul de aici este cel principal.

Trebuie înțeles în mod ironic că unghiul este indisolubil legat de funcțiile sale trigonometrice. Fiecare unghi are propriul sinus și cosinus. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. Este important. Se crede că dacă ni se dă un unghi, atunci sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta acestuia noi stim ! Si invers. Având în vedere un sinus sau orice altă funcție trigonometrică, atunci cunoaștem unghiul.

Există tabele speciale în care pentru fiecare unghi sunt scrise funcțiile sale trigonometrice. Mesele Bradys sunt numite. Sunt realizate de foarte mult timp. Pe vremea când nu existau calculatoare sau calculatoare...

Desigur, funcțiile trigonometrice ale tuturor unghiurilor nu pot fi memorate. Trebuie să le cunoașteți doar pentru câteva unghiuri, mai multe despre asta mai târziu. Dar vraja Cunosc un unghi, deci îi cunosc funcțiile trigonometrice" - merge mereu!

Așa că am repetat o bucată de geometrie din clasa a VIII-a. Avem nevoie de el pentru examen? Necesar. Iată o problemă tipică de la examen. Pentru rezolvarea căreia este suficientă clasa a VIII-a. Poza oferita:

Tot. Nu mai sunt date. Trebuie să aflăm lungimea piciorului BC.

Celulele ajută puțin, triunghiul este oarecum poziționat incorect .... Intenționat, presupun... Din informații există lungimea ipotenuzei. 8 celule. Din anumite motive, este dat un unghi.

Aici trebuie să ne amintim imediat despre trigonometrie. Există un unghi, așa că îi cunoaștem toate funcțiile trigonometrice. Care dintre cele patru funcții ar trebui pusă în aplicare? Să vedem ce știm, nu? Știm ipotenuza, unghiul, dar trebuie să găsim adiacent la acest colt catet! În mod clar, cosinusul trebuie pus în acțiune! Aici lansăm. Scriem doar, prin definiția cosinusului (raport adiacent picior la ipotenuză):

cosC = BC/8

Unghiul C este de 60 de grade și cosinusul său este 1/2. Trebuie să știi asta, fără tabele! Acesta este:

1/2 = soare/8

elementar ecuație liniară. Necunoscut - soare. Cine a uitat cum să rezolve ecuații, face o plimbare pe link, restul rezolvă:

soare = 4

Când oamenii antici și-au dat seama că fiecare colț are propriul său set funcții trigonometrice, au avut o întrebare rezonabilă. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta nu sunt cumva legate între ele? Deci, cunoscând o funcție a unghiului, puteți găsi restul? Fără a calcula unghiul în sine?

Așa erau neliniștiți...)

Legătura dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi.

Desigur, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt legate. Orice legătură între expresii este dată în matematică prin formule. În trigonometrie, există un număr mare de formule. Dar aici ne vom uita la cele mai elementare. Aceste formule se numesc: identități trigonometrice de bază. Aici sunt ei:

Aceste formule trebuie să cunoască fierul. Fără ele, nu există nimic de făcut în trigonometrie. Din aceste identități de bază urmează încă trei identități auxiliare:

Vă avertizez imediat că ultimele trei formule ies repede din memorie. Din anumite motive.) Puteți, desigur, să derivați aceste formule din primele trei. Dar, într-un moment dificil... Înțelegi.)

În sarcinile standard, cum ar fi cele de mai jos, există o modalitate de a ocoli aceste formule de uitat. ȘI reduce drastic erorile din uitare, dar și în calcule. Această practică este în Secțiunea 555, lecția „Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi”.

În ce sarcini și cum sunt utilizate identitățile trigonometrice de bază? Cea mai populară sarcină este să găsești o anumită funcție a unghiului, dacă este dată o alta. În examen, o astfel de sarcină este prezentă de la an la an.) De exemplu:

Aflați valoarea lui sinx dacă x este un unghi ascuțit și cosx=0,8.

Sarcina este aproape elementară. Căutăm o formulă în care există sinus și cosinus. Iată acea formulă:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Inlocuim aici o valoare cunoscuta, si anume, 0,8 in loc de cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Ei bine, luăm în considerare, ca de obicei:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x \u003d 1 - 0,64

Aici, aproape totul. Am calculat pătratul sinusului, rămâne să extragem rădăcina pătrată și răspunsul este gata! Rădăcina lui 0,36 este 0,6.

Sarcina este aproape elementară. Dar cuvântul „aproape” nu este în zadar aici... Faptul este că răspunsul sinx = - 0,6 este de asemenea potrivit... (-0,6) 2 va fi și 0,36.

Se obțin două răspunsuri diferite. Și ai nevoie de unul. Al doilea este greșit. cum sa fii!? Da, ca de obicei.) Citiți cu atenție sarcina. Din anumite motive se spune... daca x este un unghi ascutit...Și în sarcini, fiecare cuvânt are un sens, da ... Această expresie este o informație suplimentară pentru soluție.

Un unghi ascuțit este un unghi mai mic de 90°. Și în astfel de unghiuri toate funcții trigonometrice - atât sinus, cât și cosinus și tangentă cu cotangentă - pozitiv. Acestea. pur și simplu aruncăm răspunsul negativ aici. Avem dreptul.

De fapt, elevii de clasa a opta nu au nevoie de asemenea subtilități. Funcționează doar cu triunghiuri dreptunghiulare, unde colțurile pot fi doar acute. Și nu știu, fericiți, că există unghiuri negative și unghiuri de 1000 ° ... Și toate aceste unghiuri de coșmar au propriile lor funcții trigonometrice cu plus și minus ...

Dar pentru elevii de liceu fără să țină cont de semn - în niciun caz. Multe cunoștințe înmulțesc necazurile, da...) Și pentru rezolvarea corectă, sarcina trebuie să conțină informații suplimentare (dacă este cazul). De exemplu, ar putea fi dat ca:

Sau într-un alt mod. Veți vedea în exemplele de mai jos.) Pentru a rezolva astfel de exemple, trebuie să știți în ce sfert cade unghiul dat x şi ce semn are funcţia trigonometrică dorită în acest trimestru.

Aceste elemente de bază ale trigonometriei sunt discutate în lecții ce este un cerc trigonometric, numărarea unghiurilor pe acest cerc, măsura în radian a unui unghi. Uneori trebuie să cunoașteți și tabelul sinusurilor cosinusurilor tangentelor și cotangentelor.

Deci, să notăm cele mai importante:

Sfaturi practice:

1. Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Foarte util.

2. Asimilăm clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiuri. Știm un lucru, așa că știm altceva.

3. Asimilăm clar: sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi sunt interconectate prin identități trigonometrice de bază. Cunoaștem o funcție, ceea ce înseamnă că le putem calcula (dacă avem informațiile suplimentare necesare) pe toate celelalte.

Și acum să decidem, ca de obicei. În primul rând, sarcini în volumul clasei a VIII-a. Dar elevii de liceu pot și...)

1. Calculați valoarea tgA dacă ctgA = 0,4.

2. β - unghi într-un triunghi dreptunghic. Aflați valoarea lui tgβ dacă sinβ = 12/13.

3. Determinați sinusul unui unghi ascuțit x dacă tgx \u003d 4/3.

4. Găsiți valoarea unei expresii:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Găsiți valoarea unei expresii:

(1-cosx)(1+cosx), dacă sinx = 0,3

Răspunsuri (separate prin punct și virgulă, în dezordine):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

S-a întâmplat? Amenda! Elevii de clasa a opta își pot urma deja A.)

Nu a mers totul? Sarcinile 2 și 3 nu sunt cumva foarte...? Nici o problemă! Există o tehnică frumoasă pentru astfel de sarcini. Totul se decide, practic, fara formule deloc! Și, prin urmare, fără erori. Această tehnică este descrisă în lecția: „Relația dintre funcțiile trigonometrice ale unui unghi” din Secțiunea 555. Toate celelalte sarcini sunt, de asemenea, demontate acolo.

Acestea erau puzzle-uri. tip USE, dar într-o versiune trunchiată. UTILIZARE - lumina). Și acum aproape aceleași sarcini, dar într-o formă cu drepturi depline. Pentru elevii de liceu împovărați de cunoștințe.)

6. Aflați valoarea lui tgβ dacă sinβ = 12/13 și

7. Determinați sinx dacă tgx = 4/3, iar x aparține intervalului (- 540°; - 450°).

8. Aflați valoarea expresiei sinβ cosβ dacă ctgβ = 1.

Răspunsuri (în dezordine):

0,8; 0,5; -2,4.

Aici, în problema 6, unghiul este dat cumva nu foarte clar... Dar în problema 8, nu este setat deloc! este intenționat). Informații suplimentare sunt preluate nu numai de la sarcină, ci și de la cap.) Dar dacă decideți, o sarcină corectă este garantată!

Dacă nu te-ai hotărât? Hm... Ei bine, secțiunea 555 va ajuta aici. Acolo, soluțiile pentru toate aceste sarcini sunt descrise în detaliu, este greu de înțeles.

În această lecție, este dat un concept foarte limitat de funcții trigonometrice. În clasa a VIII-a. Seniorii au intrebari...

De exemplu, dacă unghiul X(vezi a doua poză de pe această pagină) - fă-o prost!? Triunghiul se va destrama! Și cum să fii? Nu va exista picior, nici ipotenuză... Sinusul a dispărut...

Dacă oamenii din antichitate nu ar fi găsit o cale de ieșire din această situație, nu am avea acum telefoane mobile, televizor sau electricitate. Da Da! Baza teoretică a tuturor acestor lucruri fără funcții trigonometrice este zero fără baghetă. Dar oamenii antici nu au dezamăgit. Cum au ieșit - în lecția următoare.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Cosinusul este o funcție trigonometrică binecunoscută, care este, de asemenea, una dintre funcțiile principale ale trigonometriei. Cosinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent triunghiului și ipotenuza triunghiului. Cel mai adesea, definiția cosinusului este asociată cu un triunghi exact de tip dreptunghiular. Dar se întâmplă și ca unghiul pentru care este necesar să se calculeze cosinusul într-un triunghi de tip dreptunghiular să nu fie situat chiar în acest triunghi de tip dreptunghiular. Atunci ce să faci? Cum se află cosinusul unghiului unui triunghi?

Dacă doriți să calculați cosinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghiular, atunci totul este foarte simplu. Trebuie doar să vă amintiți definiția cosinusului, în care se află soluția acestei probleme. Trebuie doar să găsiți același raport între catetul adiacent, precum și ipotenuza triunghiului. Într-adevăr, aici nu este greu de exprimat cosinusul unui unghi. Formula arată astfel: - cosα = a/c, aici „a” este lungimea catetei, iar latura „c”, respectiv, este lungimea ipotenuzei. De exemplu, cosinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic poate fi găsit folosind această formulă.

Dacă sunteți interesat de ceea ce este egal cu cosinusul unui unghi dintr-un triunghi arbitrar, atunci teorema cosinusului vine în ajutor, care ar trebui folosită în astfel de cazuri. Teorema cosinusului afirmă că pătratul unei laturi a unui triunghi este a priori egal cu suma pătratelor celorlalte laturi ale aceluiași triunghi, dar fără produsul acestor laturi de două ori cu cosinusul unghiului dintre ele.

1. Dacă trebuie să găsiți cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi, atunci trebuie să utilizați următoarea formulă: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Dacă într-un triunghi este necesar să găsiți cosinusul unui unghi obtuz, atunci trebuie să utilizați următoarea formulă: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Denumirile din formulă - a și b - sunt lungimile laturilor care sunt adiacente unghiului dorit, c este lungimea laturii care este opusă unghiului dorit.

De asemenea, cosinusul unui unghi poate fi calculat folosind teorema sinusului. Se spune că toate laturile unui triunghi sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor care sunt opuse. Folosind teorema sinusului, puteți calcula elementele rămase dintr-un triunghi, cunoscând doar două laturi și un unghi care este opus unei laturi, sau două unghiuri și o latură. Luați în considerare un exemplu. Condiții de problemă: a=1; b=2; c=3. Unghiul care este opus laturii "A", notăm - α, apoi, conform formulelor, avem: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3²) -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Raspunsul 1.

Dacă cosinusul unghiului trebuie calculat nu într-un triunghi, ci într-o altă figură geometrică arbitrară, atunci totul devine puțin mai complicat. Valoarea unghiului trebuie mai întâi determinată în radiani sau grade și abia apoi se calculează cosinusul din această valoare. Cosinusul după valoarea numerică este determinat folosind tabele Bradis, calculatoare de inginerie sau aplicații matematice speciale.

Aplicațiile matematice speciale pot avea funcții precum calculul automat al cosinusurilor unghiurilor dintr-o anumită figură. Frumusețea unor astfel de aplicații este că dau răspunsul corect, iar utilizatorul nu își petrece timpul rezolvând probleme uneori destul de complexe. Pe de altă parte, odată cu utilizarea constantă a aplicațiilor exclusiv pentru rezolvarea problemelor, se pierd toate abilitățile de lucru cu rezolvarea problemelor matematice pentru găsirea cosinusurilor unghiurilor în triunghiuri, precum și a altor figuri arbitrare.

Cosinus este una dintre funcțiile trigonometrice de bază. Cosinus ohm ascuțit unghiîntr-un triunghi dreptunghic se numește raportul catetei adiacente la ipotenuză. Definiția cosinusului este legată de un triunghi dreptunghic, dar adesea unghiul al cărui cosinus trebuie determinat nu este situat într-un triunghi dreptunghic. Cum să găsiți valoarea cosinusului oricărui unghi ?

Instruire

1. unghiîntr-un triunghi dreptunghic, trebuie să utilizați definiția cosinusului și să găsiți raportul catetei adiacente la ipotenuză: cos? = a/c, unde a este lungimea catetei, c este lungimea ipotenuzei.

2. Dacă trebuie să găsiți cosinusul unghiîntr-un triunghi arbitrar, trebuie să utilizați teorema cosinusului: dacă unghiul este ascuțit: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); dacă unghiul este obtuz: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), unde a, b sunt lungimile laturilor adiacente colțului, c este lungimea laturii opuse colțului.

3. Dacă trebuie să găsiți cosinusul unghiîntr-o figură geometrică arbitrară, trebuie să determinați valoarea unghiîn grade sau radiani și cosinusul unghi găsiți după valoarea sa cu suportul unui calculator de inginerie, tabele Bradis sau orice altă aplicație matematică.

Cosinus este funcția trigonometrică de bază a unghiului. Știind cum să determinăm cosinusul se va potrivi în algebra vectorială atunci când se determină proiecțiile vectorilor pe diferite axe.

Instruire

1. Cosinus Ohmul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent unghiului și ipotenuză. Deci într-un dreptunghiular triunghiul ABC(ABC - Unghi drept) Cosinusul unghiului BAC este egal cu raportul dintre AB și AC. Pentru unghiul ACB: cos ACB = BC/AC.

2. Dar nu invariabil unghiul aparține triunghiului, în plus, există unghiuri obtuze care, evident, nu pot face parte dintr-un triunghi dreptunghic. Să luăm în considerare cazul când unghiul este dat de raze. Pentru a calcula cosinusul unghiului în acest caz, procedați după cum urmează. Un sistem de coordonate este legat de colț, prefața de coordonate este calculată din vârful colțului, axa X merge de-a lungul unei laturi a colțului, axa Y este construită perpendicular pe axa X. După aceea, un cerc cu raza unitară este construit cu centrul la vârful colțului. A doua latură a unghiului intersectează cercul în punctul A. Arbori perpendiculara din punctul A la axa X, marcați punctul de intersecție al perpendicularei cu axa Ax. Apoi obțineți un triunghi dreptunghic AAxO, iar cosinusul unghiului este AAx/AO. Din faptul că cercul are o rază unitară, atunci AO = 1 și cosinusul unghiului este primitiv egal cu AAx.

3. În cazul unui unghi obtuz, se execută toate aceleași construcții. Cosinus unghiul obtuz este negativ, dar este și egal cu Ax.

Videoclipuri similare

Notă!
Cosinusurile unor unghiuri sunt prezentate în tabelele lui Bradys.

Este puțin probabil să se găsească adesea reprezentări precum sinus, cosinus, tangentă Viata de zi cu zi. Totuși, dacă te-ai așezat să rezolvi probleme de matematică cu fiul tău de liceu, ar fi bine să-ți amintești care sunt aceste reprezentări și cum să detectezi, să zicem, cosinusul.

Instruire

Videoclipuri similare

Adesea în problemele geometrice (trigonometrice) este necesară detectarea cosinus unghi în triunghi, deoarece cosinus unghiul vă permite să determinați în mod unic valoarea unghiului în sine.

Instruire

1. A descoperi cosinus unghi în triunghi, ale căror lungimi laturilor sunt cunoscute, se poate folosi teorema cosinus ov. Conform acestei teoreme, pătratul lungimii unei laturi a unui triunghi arbitrar este egal cu suma pătratelor celorlalte 2 laturi ale sale fără a dubla produsul lungimilor acestor laturi cu cosinus unghiul dintre ele: a? = b? + c? -2 * b * c * cos?, unde: a, b, c - laturile triunghiului (sau mai degrabă lungimile lor),? - injectare, partea opusă a (valoarea sa). Din egalitatea de mai sus, este ușor de găsit сos?: сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c) Exemplul 1. Există un triunghi cu laturile a , b, c egal cu 3 , respectiv 4,5 mm.Detect cosinus unghiul cuprins între laturile mari.Rezolvare: În funcție de starea problemei, avem: a \u003d 3, b \u003d 4, c \u003d 5. Să notăm unghiul opus laturii a prin ?, atunci , conform formulei derivate mai sus, avem: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5? )=(16+25-9)/40=32/40=0, 8Răspuns: 0,8.

2. Dacă triunghiul este un triunghi dreptunghic, atunci pentru a găsi cosinusși este suficient să cunoașteți lungimile fiecărei 2 laturi ale unui unghi ( cosinus unghi drept egal cu 0).Fie un triunghi dreptunghic cu laturile a,b,c, unde c este ipotenuza.Să ne uităm la toate opțiunile: Exemplul 2. Aflați cos ?, dacă lungimile laturilor a și b (catetele triunghiului) sunt cunoscute =b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b ?+b?+a?-a ?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b /v(b?+a?) Pentru a verifica corectitudinea formulei obținute, înlocuim în ea valorile din exemplul 1, adică a \u003d 3, b \u003d 4. După ce am făcut calcule elementare, obținem: cos? \u003d 0,8.

3. Similar este localizat cosinusîntr-un dreptunghi triunghiîn alte cazuri: Exemplul 3. Faimoșii a și c (ipotenuză și picior opus), găsiți cos? b? = c? huh?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a? )/(2*c*v(c?-a?))=(2*c?-2*a ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a ?)/c. Înlocuind valorile a=3 și c=5 din primul exemplu, obținem: cos?=0,8 .

4. Exemplul 4. Știm b și c (ipotenuza și catetul adiacent).Găsiți cos? cosinusîn triunghi se calculează după o formulă ușoară: cos? = b / s. Simplitatea formulei derivate este explicată elementar: într-adevăr, adiacent colțului? catetul este o proiecție a ipotenuzei, prin urmare lungimea sa este egală cu lungimea ipotenuzei înmulțită cu cos?. Înlocuind valorile b=4 și c=5 din primul exemplu, obținem: cos?=0,8 Deci , toate formulele noastre sunt corecte.

Sfat 5: Cum să detectați un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Direct carbonic triunghiul, aparent, este unul dintre cele mai cunoscute, din punct de vedere istoric, forme geometrice. „Pantalonii” pitagoreici pot concura doar cu „Eureka!” Arhimede.

Vei avea nevoie

• - desenarea unui triunghi;
• - rigla;
• - raportor.

Instruire

1. Ca de obicei, vârfurile colțurilor unui triunghi sunt indicate prin litere latine majuscule (A, B, C), iar laturile opuse prin litere mici latine (a, b, c) sau prin numele vârfurilor triunghiului care formează această parte (AC, BC, AB).

2. Suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade. într-un dreptunghi triunghi un unghi (dreapta) va fi invariabil de 90 de grade, iar restul va fi acut, i.e. sub 90 de grade toate. Pentru a determina ce unghi într-un dreptunghi triunghi este drept, măsurați latura triunghiului cu sprijinul riglei și determinați-l pe cel mai mare. Se numește ipotenuză (AB) și este situată opus unghiului drept (C). Cele două laturi rămase formează un unghi drept și se numesc picioare (AC, BC).

3. Odată ce ați determinat ce unghi este ascuțit, puteți fie măsura unghiul cu un raportor, fie calcula cu ajutorul formulelor matematice.

4. Pentru a determina valoarea unghiului cu ajutorul raportorului, aliniați vârful acestuia (notat cu litera A) cu un semn special pe riglă din centrul raportorului, piciorul AC trebuie să coincidă cu marginea superioară. Marcați pe partea semicirculară a raportorului punctul prin care trece ipotenuza AB. Valoarea în acest punct corespunde valorii unghiului în grade. Dacă 2 valori sunt indicate pe raportor, atunci pentru un unghi acut este necesar să alegeți unul mai mic, pentru unul contondent - unul mare.

6. Găsiți valoarea rezultată în tabelele de referință Bradis și determinați cărui unghi îi corespunde valoarea numerică rezultată. Bunicile noastre au folosit această metodă.

7. În zilele noastre, este suficient să luați un calculator cu o funcție pentru calcularea formulelor trigonometrice. Să presupunem că calculatorul Windows încorporat. Lansați aplicația „Calculator”, în elementul de meniu „Vizualizare”, selectați elementul „Inginerie”. Calculați sinusul unghiului dorit, să spunem sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

8. Comutați calculatorul în modul funcție inversă făcând clic pe butonul INV de pe afișajul calculatorului, apoi faceți clic pe butonul pentru calcularea funcției arcsinus (marcat ca sin la minus un grad pe afișaj). O altă inscripție va apărea în fereastra de calcul: asind (0,5) = 30. Adică valoarea unghiului dorit este de 30 de grade.

Teorema cosinusului în matematică este folosită cel mai des în cazul în care trebuie să găsiți o a treia latură printr-un unghi și două laturi. Cu toate acestea, uneori, starea problemei este setată opus: este necesar să se detecteze un unghi cu 3 laturi date.

Instruire

1. Imaginați-vă că vi se oferă un triunghi cu lungimi cunoscute de 2 laturi și valoarea unui unghi. Toate unghiurile acestui triunghi nu sunt egale între ele, iar laturile sale sunt, de asemenea, diferite ca mărime. Injecţie? se află opus laturii triunghiului, denumit AB, care este baza acestei figuri. Prin acest unghi, precum și prin laturile rămase AC și BC, este posibil să găsim acea latură a triunghiului care este necunoscută, conform teoremei cosinusului, derivând următoarea formulă pe baza sa: a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cos ?, unde a=BC, b=AB, c=AC Teorema cosinusului, pe de altă parte, se numește teorema generalizată a lui Pitagora.

2. Acum imaginați-vă că sunt date toate cele trei laturi ale figurii, dar în același timp unghiul acesteia? necunoscut Știind că formula are forma a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, transformați această expresie în așa fel încât unghiul să devină valoarea dorită: b^2+c^2=2bc*cos ?+a ^ 2. După aceea, aduceți ecuația prezentată mai sus într-o formă ușor diferită: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?. După aceea, această expresie ar trebui convertită în următoarea: cos ?=?b^2+c ^2-a^2/2bc.Rămâne să înlocuim numerele din formulă și să efectuați calculele.

3. Pentru a afla cosinusul unghiului unui triunghi, notat cu ?, acesta trebuie exprimat prin funcția trigonometrică inversă, numită cosinus invers. Arccosinusul numărului m este valoarea unghiului ?, pentru care cosinusul unghiului? este egal cu m. Funcția y=arccos m este descrescătoare. Imaginați-vă, să spunem, care este cosinusul unui unghi? este egal cu un al 2-lea. Apoi colțul? poate fi definit în termeni de arc cosinus după cum urmează: \u003d arccos, m \u003d arccos 1/2 \u003d 60 °, unde m \u003d 1/2. În mod similar, este posibil să se detecteze unghiurile rămase ale triunghiului cu alte 2 laturi necunoscute.

4. În cazul în care unghiurile sunt în radiani, convertiți-le în grade folosind următoarea relație:? radiani = grade 180. Amintiți-vă că marea majoritate a calculatoarelor de inginerie sunt echipate cu capacitatea de a schimba unitățile de unghi.

Sinusul și cosinusul sunt două funcții trigonometrice numite „linii drepte”. Ei sunt aduși să calculeze mai des decât alții, iar pentru a rezolva această problemă astăzi, fiecare dintre noi are o selecție largă de opțiuni. Mai jos sunt câteva metode deosebit de primitive.

Instruire

1. Folosiți un raportor, creion și hârtie dacă nu sunt disponibile alte mijloace de calcul. Una dintre definițiile cosinusului este dată prin unghiuri ascuțite într-un triunghi dreptunghic - valoarea sa este egală cu raportul dintre lungimea catetei situată vizavi de acest unghi și lungimea ipotenuzei. Desenați un triunghi în care unul dintre unghiuri este drept (90°), iar celălalt este egal cu unghiul al cărui cosinus doriți să îl calculați. Lungimea laturilor nu contează în acest caz - desenați-le în așa fel încât să fiți mai confortabil să măsurați. Măsurați lungimea piciorului și ipotenuzei dorite și împărțiți primul la al doilea folosind orice metodă confortabilă.

2. Profitați de capacitatea de a determina valorile funcțiilor trigonometrice cu ajutorul calculatorului încorporat în motorul de căutare Nigma, dacă aveți acces la Internet. Să presupunem că, dacă doriți să calculați cosinusul unui unghi de 20 °, atunci după încărcarea paginii principale de serviciu http://nigma.ru, introduceți în câmpul de căutare „cosinus de 20 de grade” și faceți clic pe „Detectare! butonul ". Este permisă omiterea cuvântului „grade” și înlocuirea cuvântului „cosinus” cu cos - în orice caz, motorul de căutare va afișa rezultatul cu o precizie de 15 zecimale (0,939692620785908).

3. Deschideți programul de calculator standard instalat cu sistemul de operare Windows dacă nu există acces la Internet. Acest lucru se poate face, să zicem, apăsând simultan tastele win și r, apoi introducând comanda calc și făcând clic pe butonul OK. Pentru a calcula funcțiile trigonometrice, aici este furnizată o interfață, cu numele „inginer” sau „scientist” (în funcție de versiunea sistemului de operare) - selectați elementul necesar în secțiunea „Vizualizare” a meniului calculatorului. După aceea, introduceți valoarea unghiului în grade și faceți clic pe butonul cos din interfața programului.

Videoclipuri similare

Sfat 8: Cum să determinați unghiurile într-un triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este caracterizat de anumite rapoarte între unghiuri și laturi. Cunoscând valorile unora dintre ele, este permis să se calculeze altele. Pentru aceasta se folosesc formule bazate, la randul lor, pe axiomele si teoremele geometriei.

Instruire

1. Din chiar numele unui triunghi dreptunghic este clar că unul dintre unghiurile sale este drept. Indiferent dacă un triunghi dreptunghic este isoscel sau nu, acesta are invariabil un unghi egal cu 90 de grade. Dacă este dat un triunghi dreptunghic, care este în același timp și isoscel, atunci, pe baza faptului că figura are un unghi drept, găsiți două unghiuri la baza ei. Aceste unghiuri sunt egale între ele, prin urmare fiecare dintre ele are o valoare egală cu:? = 180 ° - 90 ° / 2 = 45 °

2. Pe lângă cele de mai sus, admitem și un alt caz când triunghiul este dreptunghic, dar nu isoscel. În multe probleme, unghiul unui triunghi este de 30°, iar celălalt 60°, din faptul că suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi trebuie să fie egală cu 180°. Dacă sunt date ipotenuza unui triunghi dreptunghic și catetul acestuia, atunci unghiul poate fi găsit din corespondența acestor 2 laturi: sin ?=a/c, unde a este catetul opus ipotenuzei triunghiului, c este ipotenuza triunghiului ) De asemenea, unghiul poate fi detectat prin formula pentru aflarea cosinusului: cos ?=b/c, unde b este catetul adiacent ipotenuzei triunghiului

3. Dacă se cunosc doar două picioare, atunci unghiul? poate fi găsit folosind formula tangentei. Tangenta acestui unghi este egală cu raportul catetului opus față de cel alăturat: tg ?=a/bResultă că?=arctg(a/b) Când se dă un unghi drept și unul dintre unghiurile găsite prin metoda de mai sus , al 2-lea se găsește mai departe:?= 180°-(90°+?)

Cuvântul „cosinus” se referă la una dintre funcțiile trigonometrice, care, atunci când este scrisă, este desemnată cos. Este deosebit de comun să se ocupe de el atunci când se rezolvă probleme de găsire a parametrilor figurilor corecte în geometrie. În astfel de probleme, unghiurile de la vârfurile poligoanelor sunt notate, ca de obicei, litere mari alfabet grecesc. Dacă vorbim despre un triunghi dreptunghic, atunci din această singură literă este uneori posibil să aflăm care dintre colțuri este înțeles.

Instruire

1. Dacă valoarea unghiului indicat de litera ? este cunoscută din condițiile problemei, atunci pentru a găsi valoarea corespunzătoare cosinusului alfa, puteți utiliza calculatorul standard Windows. Se lansează prin meniul principal al sistemului de operare - apăsați butonul Win, deschideți secțiunea „Toate programele” din meniu, mergeți la subsecțiunea „Tipic”, apoi la secțiunea „Utilități”. Acolo veți găsi linia „Calculator” - faceți clic pe ea pentru a lansa aplicația.

2. Apăsați combinația de taste Alt + 2 pentru a comuta interfața aplicației la opțiunea „inginerie” (în alte versiuni ale sistemului de operare - „scientist”). Apoi introduceți valoarea unghiului? și faceți clic pe butonul etichetat cos cu indicatorul mouse-ului - calculatorul va calcula funcția și va afișa rezultatul.

3. Dacă calculezi cosinusul unui unghi? necesar într-un triunghi dreptunghic, atunci probabil că este unul dintre cele 2 unghiuri ascuțite. Cu desemnarea corectă a laturilor unui astfel de triunghi, ipotenuza (cea mai lungă latură) este notată cu litera c, iar unghiul drept aflat vizavi este notat cu litera greacă ?. Celelalte două laturi (picioare) sunt notate cu literele a și b, iar unghiurile ascuțite aflate în fața lor sunt ? Și?. Pentru mărimile unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic, există relații care vă vor permite să calculați cosinusul fără să cunoașteți măcar mărimea unghiului în sine.

4. Dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc lungimile laturilor b (categul adiacent colțului?) și c (ipotenuza), atunci să se calculeze cosinusul? se împarte lungimea acestui catet la lungimea ipotenuzei: cos(?)=b/c.

5. Într-un triunghi arbitrar, valoarea cosinusului unghiului? o valoare necunoscută poate fi calculată dacă lungimile tuturor laturilor sunt date în condiții. Pentru a face acest lucru, mai întâi pătrați lungimile tuturor laturilor, apoi valorile rezultate pentru 2 laturi adiacente colțului? adunați și scădeți valoarea rezultată pentru partea opusă din total. După aceea, împărțiți valoarea rezultată cu de două ori produsul lungimilor adiacente colțului? laturile - acesta va fi cosinusul dorit al unghiului?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). Această soluție decurge din teorema cosinusului.

Sfat util
Notația matematică pentru cosinus este cos. Valoarea cosinusului nu poate fi mai mare de 1 și mai mică de -1.

Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din cauza necesității de a calcula mărimi în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că dacă nu se modifică valoarea gradului de măsură a unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic, atunci raportul de aspect, oricât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.

Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul catetului opus față de ipotenuză, iar cosinusul este raportul catetului adiacent și ipotenuză.

Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor

Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite nu numai în triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau ascuțit, latura oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusului și sinusului.

Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele”.

Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit micului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.

Derivate

O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.

Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar derivata cosinusului este sinusul, dar cu semnul minus.

Aplicație în matematică

Mai ales des, sinusurile și cosinusurile sunt folosite în rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare și a problemelor legate de acestea.

Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, împărțind forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii și, adesea ocupându-se de calculele raportului de aspect și al măsurilor de grade, au petrecut mult timp și efort calculând cosinus și sinusuri ale unghiurilor care nu sunt de tip tabel.

Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. ÎN ora sovietică unii profesori și-au forțat pupiile să memoreze paginile tabelelor Bradys.

Radian - valoarea unghiulară a arcului, pe lungimea egală cu raza sau 57,295779513 ° grade.

Gradul (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 dintr-un unghi drept.

π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui pi).

În acest articol, vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de înregistrări, vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmăm cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă curs şcolar matematică. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și a numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Vă prezentăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.

Acolo este introdusă și notația sinus, cosinus, tangente și cotangente - sin, cos, tg și respectiv ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi, găsiți lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3 și ipotenuza AB este 7 , atunci am putea calcula cosinusul unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Unghiul de rotație

În trigonometrie, încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Unghiul de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitat la cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1 , în care trece așa-numitul punct inițial A(1, 0) după ce se rotește printr-un unghi α în jurul punctului O - începutul unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1 , adică sinα=y .

Definiție.

cosinus al unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1 , adică cosα=x .

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα=y/x .

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y .

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α , deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata unui punct, care se obține prin rotirea punctului de plecare prin unghiul α . Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul inițial merge într-un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) , iar aceasta are loc la unghiurile 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor de 180° k , k ∈Z (π k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notațiile deja cunoscute nouă apar în definițiile sin, cos, tg și ctg, ele sunt folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentele unghiului de rotație (uneori puteți găsi notația tan și cot corespunzătoare tangentei și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, înregistrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, notația „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rads este de obicei notat cos3 π .

În încheierea acestui paragraf, este de remarcat faptul că, vorbind despre sinus, cosinus, tangentă și cotangente ale unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, este de obicei folosită expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurtă - „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus și tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90. grade. Vom fundamenta acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 π rad. Și cosinusul unghiului în 8 π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este egal cu 1.

Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se atribuie un punct al cercului unitar centrat la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele cercului:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0) ;
• un număr pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului din punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• un număr negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum să trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct al cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul unui număr t este ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t , adică sint=y .

Definiție.

Cosinusul unui număr t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t , adică cost=x .

Definiție.

Tangenta unui număr t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost .

Definiție.

Cotangente a unui număr t este raportul dintre abscisă și ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt=x/y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t : ctgt=cost/sint .

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în acord cu definiția dată la începutul acestei subsecțiuni. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare printr-un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegeți dacă sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani este în discuție? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu contează.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definiţiilor date în paragraful precedent, fiecărui unghi de rotaţie α îi corespunde o valoare bine definită sin α , precum şi valoarea cos α . În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) corespund valorilor tgα și altele decât 180° k, k∈Z (π k rad) sunt valorile ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori bine definite a sint , precum și costului . În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k , k∈Z corespund valorilor tgt , iar numerele π·k , k∈Z corespund valorilor ctgt .

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, din context, este clar că avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argumentul unghiului), cât și ca argument numeric.

Totuși, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim de funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin în concordanță cu definițiile sinusului, cosinusului , tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să argumentăm acest lucru.

Desenați un cerc unitar în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Observați punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y) . Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opus unghiului este egala cu ordonata punctului A 1 , adica |A 1 H|=y , iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egala cu unu. , deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. pentru invatamantul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butozov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. a 20-a. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: Proc. pentru 7-9 celule. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Iluminismul, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și funcții elementare: Tutorial pentru elevii clasei a IX-a liceu/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La 2 p. Ch. 1: un tutorial pentru institutii de invatamant(nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adag. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru invatamantul general instituții: de bază și de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.