Acasă » Iudovskaia » Proprietăți generale ale rădăcinilor polinoamelor. Definiția rădăcinii unui polinom. Schema de împărțire a unghiurilor

Proprietăți generale ale rădăcinilor polinoamelor. Definiția rădăcinii unui polinom. Schema de împărțire a unghiurilor

§ 13. Funcţii întregi (polinoame) şi proprietăţile lor de bază. Rezolvarea ecuațiilor algebrice pe mulțimea numerelor complexe 165

13.1. Definiții de bază 165

13.2. Proprietățile de bază ale polinoamelor întregi 166

13.3. Proprietățile de bază ale rădăcinilor unei ecuații algebrice 169

13.4. Rezolvarea ecuațiilor algebrice de bază pe mulțimea numerelor complexe 173

13.5. Exerciții pentru muncă independentă 176

Întrebări de autotest 178

Glosar 178

Definiții de bază

O întreagă funcție algebrică sau polinom algebric (polinom ) argument X se numeste functie de forma urmatoare

Aici n–gradul polinom ( număr natural sau 0), X – variabilă (reala sau complexă), A 0 , A 1 , …, A n –coeficienți polinomiali (numere reale sau complexe), A 0  0.

De exemplu,

;
;
,
este un trinom pătrat;

,
;.

Număr X 0 astfel încât P n (X 0)0 se numește funcția zero P n (X) sau rădăcina ecuației
.

De exemplu,

rădăcinile sale
,
,
.

deoarece
Și
.

Observație (despre definiția zerourilor unei întregi funcții algebrice)

În literatură, zerourile funcției sunt adesea
se numesc rădăcinile sale. De exemplu, numerele
Și
se numesc rădăcinile funcţiei pătratice
.

Proprietățile de bază ale polinoamelor întregi

 Identitatea (3) este valabilă pentru  X 
(sau X  ), prin urmare, este valabil pentru
; substituind
, primim dar n = b n. Să anihilăm reciproc termenii din (3) dar nȘi b nși împărțiți ambele părți la X:

Această identitate este valabilă și pentru  X, inclusiv când X= 0, deci presupunând X= 0, obținem dar n – 1 = b n – 1 .

Anihilați reciproc în termeni de (3") dar n– 1 și b n– 1 și împărțiți ambele părți la X, ca rezultat obținem

Continuând argumentul în mod similar, obținem asta dar n – 2 = b n –2 , …, dar 0 = b 0 .

Astfel, s-a demonstrat că egalitatea identică a două polinoame întregi implică coincidența coeficienților lor la aceleași puteri. X.

Afirmația inversă este destul de evidentă, adică dacă două polinoame au aceiași toți coeficienții, atunci ele sunt aceleași funcții definite în mulțime
prin urmare, valorile lor sunt aceleași pentru toate valorile argumentului
, ceea ce înseamnă că sunt identice. Proprietatea 1 este dovedită complet.

Exemplu (egalitatea identitară a polinoamelor)

 Să scriem formula împărțirii cu rest: P n (X) = (X – X 0)∙Q n – 1 (X) + A,

Unde Q n – 1 (X) - polinom de grad ( n – 1), A- restul, care este un număr datorat algoritmului binecunoscut de împărțire a unui polinom într-un binom „în coloană”.

Această egalitate este adevărată pentru  X, inclusiv când X = X 0; presupunând
, primim

P n (X 0) = (X 0 – X 0)Q n – 1 (X 0) + A  A = P n (X 0) 

O consecință a proprietății dovedite este afirmația despre împărțirea fără rest a unui polinom printr-un binom, cunoscută sub numele de teorema lui Bezout.

Teorema lui Bezout (la împărțirea unui polinom întreg la un binom fără rest)

Dacă numărul este zero al polinomului
, atunci acest polinom este divizibil fără rest prin diferență
, adică egalitatea



(5)

 Demonstrarea teoremei lui Bezout poate fi efectuată fără a utiliza proprietatea demonstrată anterior la împărțirea unui polinom întreg
într-un binom
. Într-adevăr, scriem formula de împărțire a unui polinom
într-un binom
cu restul A=0:

Acum luăm în calcul asta este zero al polinomului
, și scrieți ultima egalitate pentru
:

Exemple (factorizarea unui polinom folosind t. Bezout)

1), deoarece P 3 (1)0;

2) pentru că P 4 (–2)0;

3), din moment ce P 2 (–1/2)0.

Dovada acestei teoreme depășește scopul cursului nostru. Prin urmare, acceptăm teorema fără demonstrație.

Să lucrăm la această teoremă și la teorema lui Bezout cu un polinom P n (X):

după n-plierea acestor teoreme, obținem că

Unde A 0 este coeficientul la X nîn notația polinomială P n (X).

Dacă în egalitate (6) k numere din set X 1 ,X 2 , …X n coincid între ele și cu numărul , apoi în produsul din dreapta obținem un factor ( X–) k. Apoi numărul X= se numește rădăcină polinomială de k-fold P n (X ) , sau o rădăcină a multiplicității k . Dacă k= 1, apoi numărul
numit o rădăcină simplă a unui polinom P n (X ) .

Exemple (factorizarea unui polinom în factori liniari)

1) P 4 (X) = (X – 2)(X – 4) 3  X 1 \u003d 2 - o rădăcină simplă, X 2 \u003d 4 - rădăcină triplă;

2) P 4 (X) = (X – i) 4  X = i- rădăcina multiplicității 4.

Dacă funcția f(x) este un polinom, atunci toate rădăcinile sale pot fi determinate folosind funcția încorporată

unde v este un vector compus din coeficienții polinomului.

Deoarece polinomul de gradul al n-lea are exact n rădăcini (unele dintre ele pot fi multipli), vectorul v trebuie să aibă n+1 elemente. Rezultatul funcției polyroots() este un vector compus din n rădăcini ale polinomului considerat. În acest caz, nu este nevoie să introduceți nicio aproximare inițială, ca pentru funcția rădăcină (). Un exemplu de căutare a rădăcinilor unui polinom de gradul al patrulea este prezentat în Fig. 4.6:

Orez. 4.6. Găsirea rădăcinii unui polinom

Coeficienții polinomului considerat în exemplu se scriu ca un vector coloană începând de la termenul liber și terminând cu coeficientul de gradul cel mai înalt x n .

Pentru funcția polyroots(), puteți alege una dintre cele două metode numerice - metoda polinomului Lugger (este instalată implicit) sau metoda matricei perechi. Pentru a schimba metoda, trebuie să apelați meniul contextual făcând clic dreapta pe cuvântul polyroots și selectați fie elementul LaGuerre (Lagger) fie Companion Matrix (Matrice pereche) din partea de sus a meniului contextual. Apoi trebuie să faceți clic în afara acțiunii funcției polyroots - și dacă modul de calcul automat este activat, rădăcinile polinomiale vor fi recalculate în conformitate cu metoda nou selectată.

Pentru a lăsa alegerea metodei de soluție la Mathcad, trebuie să bifați caseta de selectare AutoSelect selectând elementul cu același nume în același meniu contextual.

Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Se consideră soluția unui sistem de n ecuații neliniare cu m necunoscute

f 1 (x 1,..., x m) = 0,

f n (x 1 ,..., x m) = 0,

Aici f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., fn (x 1 ,... ,х m) sunt câteva funcții scalare ale variabilelor scalare x 1 ,... ,х m și eventual , din orice alte variabile. Ecuațiile pot fi mai mari sau mai mici decât numărul de variabile. Rețineți că sistemul de mai sus poate fi rescris oficial ca

unde x este un vector compus din variabile x 1 ,..., x m , iar f (x) este funcția vectorială corespunzătoare.

Pentru a rezolva sisteme, există o unitate de calcul specială, constând din trei părți, care merg secvențial una după alta:

Dat este un cuvânt cheie;

Un sistem scris folosind operatori booleeni ca egalități și eventual inegalități;

Find(x 1 ,... ,x m) este o funcție încorporată pentru rezolvarea sistemului în raport cu variabilele x 1 ,... ,x m .

Blocul Given/Find folosește metode iterative pentru a găsi o soluție, așa că, în ceea ce privește funcția root(), trebuie să specificați valorile initiale pentru toate x 1 ,... ,х m . Acest lucru trebuie făcut înainte de a scrie cuvântul cheie dat. Valoarea funcției Găsiți este un vector format din soluția pentru fiecare variabilă. Astfel, numărul de elemente vectoriale este egal cu numărul de argumente Find.

Luați în considerare un exemplu. Rezolvați un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

cu o precizie de 0,01. Separați grafic rădăcinile.

Să reprezentăm ecuațiile sistemului sub forma următoarelor funcții ale unei variabile:

Să alegem valori discrete variabile:

Să găsim rădăcinile ecuației folosind blocul Given - Find():

Pe fig. 4.7 arată un alt exemplu de rezolvare a unui sistem de două ecuații:

Orez. 4.7. Rezolvarea unui sistem de ecuații

La început fig. 4.7, sunt introduse funcții care definesc un sistem de ecuații. Apoi variabilelor x și y, în raport cu care se va decide, li se atribuie valori inițiale. Acesta este urmat de cuvântul cheie dat și doi operatori de egalitate booleenă care exprimă sistemul de ecuații în cauză. Blocul de calcul este terminat de funcția Find, a cărei valoare este atribuită vectorului v. După aceea, se imprimă conținutul vectorului v, adică soluția sistemului. Primul element al vectorului este primul argument al funcției Găsiți, al doilea element este al doilea argument al acestuia. La final s-a verificat corectitudinea soluționării ecuațiilor. Rețineți că ecuațiile pot fi definite direct în blocul de calcul.

Interpretarea grafică a sistemului considerat este prezentată în fig. 4.8. Fiecare dintre ecuații este prezentată pe planul xy printr-un grafic. Prima ecuație este prezentată ca o curbă, a doua ca o linie continuă. Două puncte de intersecție ale curbelor corespund îndeplinirii simultane a ambelor ecuații, adică rădăcinilor reale dorite ale sistemului. După cum este ușor de observat, în fig. 4.7, se găsește doar una dintre cele două soluții - situată în partea dreaptă jos a graficului. Pentru a găsi a doua soluție, ar trebui să repetați calculele, schimbând valorile inițiale, astfel încât acestea să fie mai aproape de un alt punct de intersecție al graficele, de exemplu x=-1, y=-1.

Orez. 4.8. Rezolvarea grafică a unui sistem de două ecuații

S-a luat în considerare un exemplu de sistem de două ecuații și același număr de necunoscute, care apare cel mai des. Cu toate acestea, există cazuri în care numărul de ecuații și necunoscute poate să nu coincidă. Mai mult decât atât, la blocul de calcul pot fi adăugate condiții suplimentare sub formă de inegalități. De exemplu, introducerea unei restricții de căutare numai a valorilor negative ale lui x în exemplul de mai sus va duce la găsirea unei alte soluții, așa cum se arată în Fig. 4.9:

Orez. 4.9. Rezolvarea unui sistem de ecuații și inegalități

În ciuda acelorași valori inițiale ca în Fig. 4.8, în fig. 4.9 se obține o altă rădăcină. Acest lucru s-a întâmplat tocmai datorită introducerii unei inegalități suplimentare, care este definită în Dat (x< 0).

Dacă se încearcă rezolvarea unui sistem incompatibil, Mathcad va emite un mesaj de eroare care afirmă că nu a fost găsită nicio soluție și trebuie să încercați să modificați valorile inițiale sau valoarea erorii.

Unitatea de calcul folosește constanta CTOL ca estimare a erorii în rezolvarea ecuațiilor introduse după cuvântul cheie dat. De exemplu, dacă CTOL=0,001, atunci ecuația x=10 va fi considerată îndeplinită atât la x=10,001, cât și la x=9,999. O altă constantă TOL definește condiția pentru terminarea iterațiilor prin algoritmul numeric. Valoarea CTOL poate fi setată de utilizator în același mod ca TOL, de exemplu, CTOL:=0,01. Valoarea implicită este CTOL=TOL=0,001, dar le puteți suprascrie dacă doriți.

O atenție deosebită trebuie acordată la rezolvarea sistemelor cu mai multe necunoscute decât numărul de ecuații. De exemplu, una dintre cele două ecuații poate fi eliminată din fig. 4.7 încercând să rezolvăm singura ecuație g(x, y)=0 cu două necunoscute x și y. În această formulare, problema are un număr infinit de rădăcini: pentru orice x și, în consecință, y \u003d -x / 2, condiția care determină ecuația unică este îndeplinită. Totuși, chiar dacă există infinit de rădăcini, metoda numerică va efectua calcule doar până când expresiile logice din blocul de calcul sunt îndeplinite (în marja de eroare). După aceea, iterațiile vor fi oprite și va fi emisă o soluție. Ca rezultat, va fi găsită o singură pereche de valori (x, y), care a fost găsită prima.

Unitatea de calcul cu funcția Găsește poate găsi și rădăcina unei ecuații cu o necunoscută. Acțiunea Găsiți în acest caz este exact aceeași cu exemplele deja discutate în această secțiune. Problema găsirii rădăcinii este considerată ca o soluție a unui sistem format dintr-o ecuație. Singura diferență va fi mai degrabă scalarul decât tipul vectorial al numărului returnat de funcția Find(). Un exemplu de rezolvare a ecuației din secțiunea anterioară este prezentat în fig. 4.10.

Orez. 4.10. Găsirea rădăcinii unei ecuații cu o necunoscută folosind funcția Find().

Mathcad oferă trei tipuri diferite de metode de gradient pentru rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare folosind blocul Given – Find(). Pentru a schimba metoda numerică, trebuie să:

Faceți clic dreapta pe numele funcției Găsiți;

Selectați elementul Neliniar (Neliniar) din meniul contextual care apare;

Alegeți una dintre cele trei metode: Gradient de conjugare (Gradienți de conjugare, instalat implicit), Quasi-Newton (Cvasi-Newton) sau Levenberg-Marquardt (Levenberg).

Proprietăți

unde - (în cazul general, complexe) rădăcini ale polinomului, eventual cu repetări, în timp ce dacă printre rădăcinile polinomului sunt egale, atunci valoarea lor comună se numește rădăcină multiplă.

Găsirea rădăcinilor

Metoda de găsire a rădăcinilor polinoamelor liniare și pătratice, adică metoda de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice, era deja cunoscută în lumea antica. Căutarea unei formule pentru soluția exactă a ecuației generale de gradul al treilea a continuat multă vreme (trebuie menționată metoda propusă de Omar Khayyam), până când au fost încununate cu succes în prima jumătate a secolului al XVI-lea în lucrările lui Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia și Gerolamo Cardano. Formulele pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice și cubice au făcut relativ ușor obținerea de formule pentru rădăcinile unei ecuații de gradul al patrulea.

Că rădăcinile ecuație generală gradul cinci și mai sus nu sunt exprimate folosind funcții raționale, iar radicalii coeficienților a fost dovedit de matematicianul norvegian Niels Abel în 1826. Acest lucru nu înseamnă deloc că rădăcinile unei astfel de ecuații nu pot fi găsite. În primul rând, în cazuri speciale, cu unele combinații de coeficienți, rădăcinile ecuației pot fi determinate cu o oarecare ingeniozitate. În al doilea rând, există formule pentru rădăcinile ecuațiilor de gradul 5 și mai sus, care, totuși, folosesc funcții speciale - eliptice sau hipergeometrice (vezi, de exemplu, rădăcina Aduceți).

Dacă toți coeficienții unui polinom sunt raționali, atunci găsirea rădăcinilor sale duce la găsirea rădăcinilor unui polinom cu coeficienți întregi. Pentru rădăcinile raționale ale unor astfel de polinoame, există algoritmi pentru găsirea candidaților prin enumerare folosind schema lui Horner, iar la găsirea rădăcinilor întregi, enumerarea poate fi redusă semnificativ prin curățarea rădăcinilor. De asemenea, în acest caz, puteți utiliza algoritmul polinomial LLL.

Pentru a aproxima (cu orice precizie necesară) rădăcinile reale ale unui polinom cu coeficienți reali, se folosesc metode iterative, de exemplu, metoda secantei, metoda bisecției, metoda lui Newton. Numărul de rădăcini reale ale unui polinom într-un interval poate fi estimat folosind teorema lui Sturm.

Vezi si

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

Canalizare
Glosar de termeni de vexilologie

Vedeți ce este „Rădăcina polinomului” în alte dicționare:

Rădăcina unei ecuații algebrice

Rădăcina ecuației- Rădăcina polinomului peste câmpul k este un element care, după înlocuirea lui x, transformă ecuația într-o identitate. Proprietăți Dacă c este o rădăcină a polinomului p(x ... Wikipedia

Bringa Root- Verificați informațiile. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor și fiabilitatea informațiilor prezentate în acest articol. Ar trebui să existe explicații pe pagina de discuție. În algebră, rădăcina Bring sau ultraradical este o funcție analitică astfel încât pentru ... ... Wikipedia

Rădăcină (dezambiguizare)- Rădăcină: Wikționarul are o intrare pentru „rădăcină” Rădăcină (în botanică) un organ subteran vegetativ axial al unei plante care are o sp ... Wikipedia

Rădăcină (la matematică)- Rădăcina în matematică, 1) K. gradul n din numărul a ≈ numărul x (notat), al cărui grad al n-lea este egal cu a (adică xn \u003d a). Acțiunea de a găsi K. se numește extragerea rădăcinii. Pentru un ¹ 0, există n valori diferite ale lui K. (în general vorbind, ......

Rădăcină- I Rădăcina (radix) este unul dintre principalele organe vegetative ale plantelor cu frunze (cu excepția mușchilor), care servește la fixarea de substrat, absorbția apei și a nutrienților din acesta, transformarea primară a unui număr de substanțe absorbite, . .. ... Marea Enciclopedie Sovietică

RĂDĂCINĂ- 1) K. de gradul n de la numărul un număr n i gradul x n la rogo este egal cu a. 2) K. a unei ecuații algebrice peste un câmp K, elementul k, după ce îl înlocuiește în locul lui x, transformă ecuația într-o identitate. K. din această ecuaţie se numeşte. de asemenea K. a polinomului If este ...... Enciclopedie matematică

rădăcină multiplă- polinomul f (x) = a0xn + a1xn 1 +... + an, un număr c astfel încât f (x) să fie divizibil fără rest cu puterea a doua sau mai mare a binomului (x c). În acest caz, c se numește rădăcina multiplicității dacă f (x) este divizibil cu (x c) k, dar nu ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

rădăcină conjugată- Dacă se dă un polinom ireductibil peste un inel și se alege o parte din rădăcina acestuia în extensie, atunci rădăcina conjugată pentru o rădăcină polinom dată este orice rădăcină polinomală ... Wikipedia

Rădăcina pătrată a lui 2 - egal cu lungimea ipotenuza in triunghi dreptunghic cu lungimea piciorului 1. Rădăcina pătrată a lui 2 este pozitivă ... Wikipedia

2 Schema lui Horner

3 funcții de formă liberă

4 Găsirea rădăcinilor polinoamelor

Lista surselor de informare utilizate

1 Găsirea rădăcinilor ecuațiilor (Ecuația Secțiunea 1)

Una dintre cele mai comune metode de găsire a rădăcinilor ecuațiilor este metoda lui Newton și modificările acesteia. Să fie necesar pentru a rezolva ecuația

. Vom presupune că x este o soluție a ecuației. Să extindem funcția f(x) într-o serie în punctul x0 aproape de punctul x și să ne limităm doar la primii doi termeni ai expansiunii.

Deoarece x este rădăcina ecuației, atunci

. Prin urmare,

Astfel, dacă cunoaștem valoarea aproximativă a rădăcinii ecuației, atunci ecuația rezultată ne permite să o rafinăm. Este clar că procesul de rafinare poate fi repetat de multe ori până când valoarea funcției diferă de zero cu o valoare mai mică decât precizia de căutare specificată. Următorul k-th aproximarea se găsește prin formula

Restricționând expansiunea la numai primii doi termeni, am înlocuit de fapt funcția f(x) cu o linie dreaptă tangentă în punctul x0, așa că metoda lui Newton este numită și metoda tangentelor. Nu este întotdeauna convenabil să găsiți o expresie analitică pentru derivata unei funcții. Cu toate acestea, acest lucru nu este deosebit de necesar: deoarece la fiecare pas obținem o valoare aproximativă a rădăcinii, putem folosi valoarea aproximativă a derivatei pentru a o calcula.

Ca cantitate mică

puteți lua, de exemplu, precizia de calcul dată, apoi formula de calcul va lua forma (1.1)

Pe de altă parte, pentru a calcula derivata, puteți utiliza valorile funcției obținute în cei doi pași anteriori,

(1.2)

În această formă, metoda se numește metoda secantei. În acest caz, însă, există o problemă cu calculul primei aproximări. De obicei se presupune că

, adică primul pas de calcul este efectuat folosind formula (1.1), iar toți pașii ulterioare sunt efectuate folosind formula (1.2). Această schemă de calcul este implementată în pachetul Mathcad. Folosind metoda secantei, nu putem garanta că rădăcina se află între ultimele două aproximări. Este posibil, totuși, să se calculeze următoarea aproximare folosind limitele intervalului pe care funcția își schimbă semnul. Această metodă se numește metoda acordurilor (metoda poziției false).

Ideea metodei secantei este dezvoltată în metoda lui Muller. Cu toate acestea, în această metodă, trei puncte anterioare sunt utilizate pentru a găsi următoarea aproximare. Cu alte cuvinte, metoda folosește interpolarea funcției nu liniară, ci pătratică. Formulele de calcul ale metodei sunt următoarele:

Semnul dinaintea rădăcinii este ales astfel încât valoarea absolută a numitorului să fie maximă.

Pentru că căutarea rădăcină se termină atunci când condiția este îndeplinită

, atunci pot apărea rădăcini false. De exemplu, pentru o ecuație, va apărea o rădăcină falsă dacă precizia căutării este setată la mai puțin de 0,0001. Prin creșterea preciziei căutării, puteți scăpa de rădăcinile false. Cu toate acestea, această abordare nu funcționează pentru toate ecuațiile. De exemplu, pentru o ecuație care în mod evident nu are rădăcini reale, pentru orice precizie, arbitrar de mică, există o valoare x care satisface criteriul de încheiere a căutării. Exemplele date arată că rezultatele calculelor computerizate trebuie întotdeauna tratate critic și analizate pentru plauzibilitate. Pentru a evita „capcanele” atunci când utilizați orice pachet standard care implementează metode numerice, trebuie să aveți cel puțin o idee minimă despre ce fel de metodă numerică este implementată pentru a rezolva o anumită problemă.

În cazul în care se cunoaște intervalul pe care se află rădăcina, puteți folosi alte metode pentru găsirea unei soluții a ecuației.

În metoda Ridder, valoarea funcției este calculată la mijlocul intervalului

. Apoi caută o funcție exponențială astfel încât apoi să aplice metoda acordurilor, folosind valorile. Următoarea valoare este calculată cu formula (1.5)

Metoda Brent combină viteza metodei Ridder cu convergența garantată a metodei bisecției. Metoda folosește interpolarea pătratică inversă, adică caută x ca funcție pătratică a lui y. La fiecare pas, se verifică localizarea rădăcinii. Formulele metodei sunt destul de greoaie și nu le vom prezenta.

Sunt folosite metode speciale pentru a găsi rădăcinile unui polinom. În acest caz, toate rădăcinile pot fi găsite. După ce se găsește una dintre rădăcinile polinomului, se poate scădea gradul polinomului, după care se repetă căutarea rădăcinii.

Metoda lui Lobachevsky, o metodă pentru rezolvarea aproximativă (numerică) a ecuațiilor algebrice, găsită independent de matematicianul belgian J. Dandelin, matematicianul rus N. I. Lobachevsky (în 1834 în cea mai perfectă formă) și matematicianul elvețian K. Greffe. Esența lui L. m. este de a construi ecuația f1(x) = 0, ale cărei rădăcini sunt pătratele rădăcinilor ecuației inițiale f(x) = 0. Atunci ecuația f2(x) = 0 este construite, ale căror rădăcini sunt pătratele rădăcinilor ecuației f1(x) = 0. Repetând acest proces de mai multe ori, se obține o ecuație ale cărei rădăcini sunt puternic separate. Dacă toate rădăcinile ecuației inițiale sunt reale și diferite în valoare absolută, există scheme simple de calcul ale metrilor liniari pentru găsirea valorilor aproximative ale rădăcinilor. În cazul rădăcinilor egale în valoare absolută, precum și al rădăcinilor complexe, schemele de calcul ale matricelor liniare sunt foarte complexe.

Metoda lui Laguerre se bazează pe următoarele relații pentru polinoame

Semnul din fața rădăcinii este ales în așa fel încât să obțină cea mai mare valoare numitor.

O altă metodă care este folosită pentru a găsi rădăcinile polinoamelor este metoda matricei însoțitoare. Se poate arăta că matricea

numită matrice însoțitoare pentru polinom

, are valori proprii egale cu rădăcinile polinomului. Reamintim că valorile proprii ale unei matrice sunt acele numere  pentru care egalitatea sau este adevărată. Există metode foarte eficiente de găsire a valorilor proprii, dintre care unele le vom discuta mai jos. Astfel, problema găsirii rădăcinilor unui polinom poate fi redusă la problema găsirii valorilor proprii ale matricei însoțitoare.

2 Schema lui Horner

Calculul conform schemei Horner se dovedește a fi mai eficient și nu devine foarte complicat. Această schemă se bazează pe următoarea reprezentare polinomială:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Să luăm un polinom general de forma:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Vom presupune că toți coeficienții an, ..., a0 sunt cunoscuți, constanți și stocați într-o matrice. Aceasta înseamnă că singura intrare pentru a evalua polinomul este valoarea lui x, iar rezultatul programului trebuie să fie valoarea polinomului la x.

Definițiile și afirmațiile la 2.2 pot fi găsite în .

Rădăcina unui polinom este un număr astfel încât
.

teorema lui Bezout. Pentru orice functie
si numere
egalitatea este corectă:

Unde
.

Consecinţă. Număr este o rădăcină dacă și numai dacă
impartit de
fără urmă.

Convenabil pentru împărțirea la polinoame de forma (
) este schema Horner. Desenăm un tabel, în primul rând al căruia notăm toți coeficienții
(inclusiv zero).

- coeficienții coeficientului parțial din împărțire
pe (
);- restul diviziunii, care, conform teoremei lui Bezout, este egală cu
. Dacă = 0, atunci spunem că
impartit de (
) și - rădăcina polinomială
.

Exemplul 33Împarte la
.

Soluţie. Să folosim schema lui Horner. Desenați un tabel și faceți calculele.

Deci unde - coeficienții coeficientului incomplet. Prin urmare,.

Exemplul 34 Găsiți valoarea funcției
la punct

X = ‑2.

Soluţie. Folosind schema lui Horner, ne despărțim
la un polinom
. La completarea tabelului, ținem cont de faptul că coeficienții la puterea a patra și a doua, precum și termenul liber din polinom, sunt egali cu 0.


	2

Ca rezultat al calculelor, am obținut restul egal cu -8. După teorema Bezout, este egal cu valoarea
la punct X = ‑2.

Răspuns: (-8).

Algoritmul de împărțire discutat în 2.1 este aplicabil împărțirii printr-un polinom de orice grad, în timp ce schema lui Horner este aplicabilă numai împărțirii prin (
).

Polinoame ireductibile

Definițiile și afirmațiile pentru 2.3 pot fi găsite în . Polinom cu coeficienți reali
este ireductibil dacă nu există polinoame
Și
cu coeficienţi reali de grad mai mic
, astfel încât
. Adică, un polinom ireductibil nu poate fi descompus într-un produs de polinoame de grade inferioare.

Afirmație. Polinoamele ireductibile cu coeficienți reali sunt polinoame de gradul 1 sau 2 cu discriminant negativ și numai ele.

Factorizarea unui polinom este reprezentarea acestuia ca produs de polinoame ireductibile.

Metode de bază pentru factorizarea polinoamelor:

1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

2. Folosind formule de înmulțire prescurtate.

Exemplul 35
.

=. La descompunere, am folosit formula.

3. Metoda grupării.

Exemplul 36 Factorizați un polinom
.

Grupăm termenii care conțin factorul 5:

=
=
=

= [scoate factorul comun dintre paranteze] =

Exemplul 37 Factorizați un polinom
.

Grupăm termenii, începând cu primul:

Factorizăm trinomul pătrat găsindu-i rădăcinile:

. În cele din urmă

4. Metoda de selectare a rădăcinilor.

Această metodă se bazează pe următoarele afirmații:

Afirmația 1. Dacă pentru un polinom

numerele
sunt rădăcini, atunci egalitatea este adevărată.

Afirmația 2. Un polinom cu un coeficient de conducere egal cu 1 poate avea rădăcini întregi doar ca divizori ai termenului liber.

Exemplul 38 Posibile rădăcini întregi ale unui polinom
pot fi numere
. Prin selecție se poate stabili că
și, prin urmare, 1 este rădăcina polinomului.

Exemplul 39 Factorizați un polinom.

Soluţie. Conform afirmației 2, numai divizorii lui -5 pot fi rădăcini întregi posibile ale unui polinom. Acestea sunt numerele
. Aflați valoarea polinomului în punct X = ‑ 1:

Prin urmare, rădăcina polinomului
este o X = -unu. Împărțiți polinomul
pe ( X + 1). Conform teoremei lui Bezout,
ar trebui să fie divizibil cu ( X + 1) întreg, adică restul diviziunii trebuie să fie zero. Pentru împărțire, folosim schema Horner.

Numărul obținut în ultima coloană vă permite să verificați corectitudinea calculelor. Dacă se obține zero, atunci toate calculele sunt corecte. Dacă numărul din ultima coloană este diferit de zero, atunci fie rădăcina a fost găsită incorect, fie calculele conform schemei lui Horner au fost efectuate incorect.

Asa de: . Din moment ce polinomul rezultat
nu este ireductibil, atunci procesul de factorizare trebuie continuat. Pentru polinom
rădăcinile posibile sunt numerele
. Găsim:. Prin urmare, 1 este rădăcina polinomului
. Să-l împărțim în ( X - 1) conform schemei lui Horner.