Ecuația Perelman. Conjectura Poincaré: formularea și demonstrarea. Muzica multidimensională a sferelor

Aproape fiecare persoană, chiar și cea care nu are nimic de-a face cu matematica, a auzit cuvintele „conjectura Poincaré”, dar nu toată lumea poate explica care este esența ei. Pentru mulți, matematica superioară pare a fi ceva foarte complex și inaccesibil înțelegerii. Prin urmare, să încercăm să ne dăm seama ce înseamnă ipoteza Poincaré în cuvinte simple.

Conţinut:

Care este conjectura lui Poincaré?

Formularea originală a ipotezei sună astfel: „ Fiecare varietate tridimensională compactă pur și simplu conectată fără graniță este homeomorfă unei sfere tridimensionale».

O minge este un corp geometric tridimensional, suprafața sa se numește sferă, este bidimensională și este formată din puncte din spațiu tridimensional care sunt echidistante de un punct care nu aparține acestei sfere - centrul bilei . Pe lângă sferele bidimensionale, există și sfere tridimensionale, formate din multe puncte ale spațiului cu patru dimensiuni, care sunt și echidistante de un punct care nu aparține sferei - centrul acesteia. Dacă putem vedea sferele bidimensionale cu proprii noștri ochi, atunci cele tridimensionale nu sunt supuse percepției noastre vizuale.

Deoarece nu avem ocazia să vedem Universul, putem presupune că acesta este sfera tridimensională în care trăiește întreaga umanitate. Aceasta este esența conjecturii Poincaré. Și anume, că Universul are următoarele proprietăți: tridimensionalitate, nemărginire, pur și simplu conexiune, compactitate. Conceptul de „homeomorfie” din ipoteză înseamnă cel mai înalt grad de asemănare, asemănare, în cazul Universului - indistinguire.

Cine este Poincare?

Jules Henri Poincaré- cel mai mare matematician care s-a născut în 1854 în Franța. Interesele sale nu s-au limitat doar la știința matematică, el a studiat fizica, mecanica, astronomia și filozofia. A fost membru a peste 30 de academii științifice din întreaga lume, inclusiv a Academiei de Științe din Sankt Petersburg. Istoricii din toate timpurile și popoarele îi plasează pe David Hilbert și Henri Poincaré printre cei mai mari matematicieni ai lumii. În 1904, omul de știință a publicat o lucrare celebră care conținea o presupunere cunoscută astăzi ca „conjectura Poincaré”. Era un spațiu tridimensional care sa dovedit a fi foarte dificil de studiat pentru matematicieni; găsirea dovezilor pentru alte cazuri nu a fost dificilă. Pe parcursul a aproximativ un secol, adevărul acestei teoreme a fost dovedit.

La începutul secolului XXI, la Cambridge a fost stabilit un premiu de un milion de dolari SUA pentru rezolvarea acestei probleme științifice, care a fost inclusă în lista problemelor mileniului. Doar un matematician rus din Sankt Petersburg, Grigory Perelman, a fost capabil să facă acest lucru pentru o sferă tridimensională. În 2006, i s-a acordat medalia Fields pentru această realizare, dar a refuzat să o primească.

Spre meritele activităților științifice ale lui Poincaré Se pot atribui următoarele realizări:

• fundamentul topologiei (dezvoltarea fundamentelor teoretice ale diverselor fenomene și procese);
• crearea unei teorii calitative a ecuațiilor diferențiale;
• dezvoltarea teoriei funcțiilor amorfe, care a devenit baza teoriei relativității speciale;
• prezentarea teoremei returului;
• dezvoltarea celor mai noi și eficiente metode de mecanică cerească.

Dovada ipotezei

Un spațiu tridimensional simplu conectat i se atribuie proprietăți geometrice și este împărțit în elemente metrice care au distanțe între ele pentru a forma unghiuri. Pentru a simplifica, luăm ca eșantion o varietate unidimensională, în care pe planul euclidian, vectori tangenți egali cu 1 sunt desenați în fiecare punct la o curbă netedă închisă.La parcurgerea curbei, vectorul se rotește cu o anumită viteză unghiulară. egal cu curbura. Cu cât linia se îndoaie mai mult, cu atât curbura este mai mare. Curbura are o pantă pozitivă dacă vectorul viteză este rotit spre interiorul planului pe care linia îl împarte și o pantă negativă dacă este rotit spre exterior. În locurile de inflexiune, curbura este egală cu 0. Acum, fiecărui punct al curbei i se atribuie un vector perpendicular pe vectorul viteză unghiulară și cu o lungime egală cu valoarea curburii. Este întors spre interior când curbura este pozitivă și spre exterior când este negativă. Vectorul corespunzător determină direcția și viteza cu care se mișcă fiecare punct din plan. Dacă desenați o curbă închisă oriunde, atunci cu o astfel de evoluție se va transforma într-un cerc. Acest lucru este valabil pentru spațiul tridimensional, ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Când este deformat fără a se rupe, un balon poate fi făcut în diferite forme. Dar nu puteți face un covrigi; pentru a face acest lucru, trebuie doar să îl tăiați. Și invers, având un bagel, nu poți face o minge solidă. Deși de pe orice altă suprafață fără discontinuități în timpul deformării este posibil să se obțină o sferă. Aceasta indică faptul că această suprafață este homeomorfă unei mingi. Orice minge poate fi legată cu un fir cu un singur nod, dar acest lucru este imposibil de făcut cu o gogoașă.

O minge este cel mai simplu plan tridimensional care poate fi deformat și pliat într-un punct și invers.

Important! Conjectura Poincaré afirmă că o varietate n-dimensională închisă este echivalentă cu o sferă n-dimensională dacă este homeomorfă cu aceasta. A devenit punctul de plecare în dezvoltarea teoriei planurilor multidimensionale.

Care este esența teoremei lui Poincaré?

1. E a fost dovedit de Sophia, roșcată, dar este și roșcată....
2. Concluzia este că Universul nu are forma unei sferă, ci ca o gogoașă.
3. Sensul conjecturii Poincaré în formularea sa originală este că pentru orice corp tridimensional fără găuri există o transformare care îi va permite să fie transformat într-o minge fără tăiere și lipire. Dacă acest lucru pare evident, atunci ce se întâmplă dacă spațiul nu este tridimensional, ci conține zece sau unsprezece dimensiuni (adică vorbim despre o formulare generalizată a conjecturii Poincaré, pe care Perelman a demonstrat-o)
4. nu o poti spune in 2 cuvinte
5. În 1900, Poincaré a sugerat că o varietate tridimensională cu toate grupurile de omologie ale unei sfere este homeomorfă unei sfere. În 1904, el a găsit și un contraexemplu, numit acum sfera Poincaré, și a formulat versiunea finală a ipotezei sale. Încercările de a demonstra conjectura Poincaré au condus la numeroase progrese în topologia varietăților.

   Dovezi ale conjecturii generalizate Poincaré pentru n #10878; 5 au fost obținute la începutul anilor 1960 și 1970 aproape simultan de către Smale, independent și prin alte metode de către Stallings (engleză) (pentru n #10878; 7, demonstrația sa a fost extinsă la cazurile n = 5 și 6 de către Zeeman (engleză)) . O dovadă a cazului mult mai dificil n = 4 a fost obținută abia în 1982 de către Friedman. Din teorema lui Novikov asupra invarianței topologice a claselor caracteristice ale lui Pontriagin rezultă că există varietăți echivalente de homotopie, dar nu homeomorfe, în dimensiuni mari.

   Dovada conjecturii originale Poincaré (și mai generală conjectura Trston) a fost găsită abia în 2002 de Grigory Perelman. Ulterior, dovada lui Perelman a fost verificată și prezentată în formă extinsă de cel puțin trei grupuri de oameni de știință. 1 Dovada folosește fluxul Ricci cu intervenții chirurgicale și urmează în mare măsură planul conturat de Hamilton, care a fost și primul care a folosit fluxul Ricci.

6. cine este aceasta
7. Teorema lui Poincare:
   Teorema lui Poincaré asupra câmpurilor vectoriale
   Teorema lui Poincaré a lui Bendixson
   Teorema lui Poincaré privind clasificarea homeomorfismelor cercurilor
   Conjectura lui Poincaré asupra sferei de homotopie
   Teorema de întoarcere a lui Poincaré

   Despre care intrebi?

8. În teoria sistemelor dinamice, teorema lui Poincaré privind clasificarea homeomorfismelor cercului descrie posibile tipuri de dinamică inversabilă pe cerc, în funcție de numărul de rotație p(f) al mapării iterate f. Aproximativ vorbind, se dovedește că dinamica iterațiilor de cartografiere este într-o anumită măsură similară cu dinamica rotației după unghiul corespunzător.
   Și anume, să fie dat un homeomorfism cerc f. Apoi:
   1) Numărul de rotație este rațional dacă și numai dacă f are puncte periodice. În acest caz, numitorul numărului de rotație este perioada oricărui punct periodic, iar ordinea ciclică pe cercul punctelor oricărei orbite periodice este aceeași cu cea a punctelor orbitei de rotație de pe p(f). În plus, orice traiectorie tinde spre o anumită periodicitate atât în ​​timp înainte, cât și în timp invers (traiectoriile limită a- și -w pot fi diferite).
   2) Dacă numărul de rotație f este irațional, atunci sunt posibile două opțiuni:
   i) fie f are o orbită densă, caz în care homeomorfismul lui f este conjugat la o rotație cu p(f). În acest caz, toate orbitele lui f sunt dense (deoarece acest lucru este valabil pentru rotația irațională);
   ii) fie f are o mulțime invariantă Cantor C, care este singura mulțime minimă a sistemului. În acest caz, toate traiectorii tind spre C atât în ​​timp înainte cât și înapoi. În plus, maparea f este semiconjugată cu rotația prin p(f): pentru unele mapări h de gradul 1, p o f =R p (f) o h

   Mai mult, mulțimea C este exact mulțimea punctelor de creștere ale lui h; cu alte cuvinte, din punct de vedere topologic, h prăbușește intervalele de complement ale lui C.

9. chestiunea problemei este de 1 milion de dolari
10. Faptul că nimeni nu o înțelege în afară de o persoană
11. În politica externă a Franței...
12. Aici Lka a răspuns cel mai bine http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. Un matematician genial, profesorul parizian Henri Poincaré a lucrat într-o varietate de domenii ale acestei științe. Independent și independent de lucrările lui Einstein din 1905, el a prezentat principiile principale ale Teoriei Speciale a Relativității. Și și-a formulat celebra ipoteză încă din 1904, așa că a fost nevoie de aproximativ un secol pentru a o rezolva.

    Poincaré a fost unul dintre fondatorii topologiei, știința proprietăților figurilor geometrice care nu se schimbă sub deformații care apar fără întreruperi. De exemplu, un balon poate fi ușor deformat într-o varietate de forme, așa cum se întâmplă în cazul copiilor din parc. Dar va trebui să tăiați mingea pentru a o răsuci într-o gogoașă (sau, în limbaj geometric, un tor); nu există altă cale. Și invers: ia o gogoașă de cauciuc și încearcă să o transformi într-o sferă. Totuși, încă nu va funcționa. Conform proprietăților lor topologice, suprafețele unei sfere și ale unui tor sunt incompatibile sau nehomeomorfe. Dar orice suprafețe fără găuri (suprafețe închise), dimpotrivă, sunt homeomorfe și sunt capabile să se deformeze și să se transforme într-o sferă.

    Dacă totul a fost decis cu privire la suprafețele bidimensionale ale sferei și torusului în secolul al XIX-lea, a durat mult mai mult pentru cazuri mai multidimensionale. Aceasta este, de fapt, esența conjecturii Poincaré, care extinde tiparul la cazuri multidimensionale. Simplificand puțin, conjectura Poincaré afirmă: Fiecare varietate n-dimensională închisă pur și simplu conectată este homeomorfă unei sfere n-dimensionale. E amuzant că varianta cu suprafețe tridimensionale s-a dovedit a fi cea mai dificilă. În 1960, ipoteza a fost dovedită pentru dimensiunile 5 și mai mari, în 1981 pentru n=4. Piesa de poticnire a fost tocmai tridimensionalitatea.

    Dezvoltând ideile lui William Trsten și Richard Hamilton, propuse de aceștia în anii 1980, Grigory Perelman a aplicat suprafețelor tridimensionale o ecuație specială a evoluției netede. Și a reușit să arate că suprafața tridimensională inițială (dacă nu există discontinuități în ea) va evolua neapărat într-o sferă tridimensională (aceasta este suprafața unei mingi cu patru dimensiuni și există în 4 dimensiuni). spaţiu). Potrivit unui număr de experți, aceasta a fost o idee a unei noi generații, a cărei soluție deschide noi orizonturi pentru știința matematică.

    Este interesant că, din anumite motive, Perelman însuși nu s-a obosit să-și aducă decizia la strălucire finală. După ce a descris soluția ca un întreg în pretipărirea Formula de entropie pentru fluxul Ricci și aplicațiile sale geometrice în noiembrie 2002, în martie 2003 a completat dovada și a prezentat-o ​​în pretipărirea fluxului Ricci cu intervenție chirurgicală pe trei colectoare și, de asemenea, a raportat asupra metodei din seria de prelegeri pe care le-a susținut în 2003 la invitația mai multor universități. Niciunul dintre recenzori nu a putut găsi erori în versiunea propusă de el, dar Perelman nu a publicat o publicație într-o publicație științifică evaluată de colegi (care, în special, era o condiție necesară pentru a primi Premiul Clay Mathematical Institute). Dar în 2006, pe baza metodei sale, a fost lansat un întreg set de dovezi, în care matematicienii americani și chinezi au examinat problema în detaliu și complet, au completat punctele omise de Perelman și au dat dovada finală a conjecturii Poincaré.

14. Conjectura generalizată de Poincaré afirmă că:
    Pentru orice n, orice varietate de dimensiune n este homotopie echivalentă cu o sferă de dimensiune n dacă și numai dacă este homeomorfă pentru aceasta.
    Conjectura originală Poincaré este un caz special al conjecturii generalizate pentru n = 3.
    Pentru clarificare, mergeți în pădure să culegeți ciuperci, acolo merge Grigory Perelman)
15. Teorema de întoarcere a lui Poincaré este una dintre teoremele de bază ale teoriei ergodice. Esența sa este că, odată cu o mapare a spațiului pe sine care păstrează măsura, aproape fiecare punct se va întoarce în vecinătatea sa inițială. Formularea completă a teoremei este următoarea: 1:
    Fie o transformare care păstrează măsura a unui spațiu cu măsură finită și fie o mulțime măsurabilă. Apoi pentru orice natural
    .
    Această teoremă are o consecință neașteptată: se dovedește că, dacă într-un vas împărțit de o partiție în două compartimente, dintre care unul este umplut cu gaz, iar celălalt este gol, partiția este îndepărtată, atunci după ceva timp toate moleculele de gaz vor se adună din nou în partea originală a vasului. Soluția la acest paradox este că un timp este de ordinul miliardelor de ani.
16. are teoreme precum câinii tăiați în Coreea...

    universul este sferic... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri

    Oamenii de știință au anunțat ieri că universul este o substanță înghețată... și au cerut mulți bani pentru a dovedi acest lucru... din nou, Merikos va porni tipografia... pentru amuzamentul capetelor de ouă...

17. Încercați să demonstrați unde este sus și jos în gravitate zero.
18. Ieri a fost un film minunat despre CULTURA, în care a fost explicată în detaliu această problemă. Poate că mai au?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Conectați-vă la Yandex și scrieți Film despre Perelman și mergeți la film

În 1904, Henri Poincaré a propus că orice obiect tridimensional care are anumite proprietăți ale unei sfere tridimensionale poate fi transformat într-o sferă tridimensională. A fost nevoie de 99 de ani pentru a demonstra această ipoteză. (Atenție! Sfera tridimensională nu este ceea ce crezi tu că este.) Matematicianul rus a dovedit conjectura Poincaré enunțată cu un secol în urmă și a finalizat crearea unui catalog de forme ale spațiilor tridimensionale. Poate că va primi un bonus de un milion de dolari.

Priveste in jur. Obiectele din jurul tău, ca și tine însuți, sunt o colecție de particule care se mișcă în spațiul tridimensional (3-varietate), care se extinde în toate direcțiile pentru multe miliarde de ani lumină.

Varietățile sunt construcții matematice. Încă din vremea lui Galileo și Kepler, oamenii de știință au descris cu succes realitatea în termeni de o ramură sau alta a matematicii. Fizicienii cred că totul în lume se întâmplă în spațiul tridimensional și poziția oricărei particule poate fi specificată prin trei numere, de exemplu, latitudine, longitudine și altitudine (să lăsăm deoparte deocamdată ipoteza făcută în teoria corzilor că, în plus la cele trei dimensiuni pe care le observăm, există mai multe suplimentare).

Potrivit fizicii cuantice clasice și tradiționale, spațiul este fix și neschimbător. În același timp, teoria generală a relativității îl consideră un participant activ la evenimente: distanța dintre două puncte depinde de undele gravitaționale care trec și de cât de multă materie și energie se află în apropiere. Dar atât în ​​fizica newtoniană cât și în cea einsteiniană, spațiul - infinit sau finit - este în orice caz o varietate de 3. Prin urmare, pentru a înțelege pe deplin bazele pe care se sprijină aproape toată știința modernă, este necesar să înțelegem proprietățile 3-varietăților (4-varietățile nu prezintă un interes mai mic, deoarece spațiul și timpul împreună formează una dintre ele).

Ramura matematicii în care sunt studiate varietățile se numește topologie. Topologii au pus mai întâi întrebări fundamentale: care este cel mai simplu (adică, cel mai puțin complex) tip de 3-varietate? Are frați la fel de simpli sau este unic? Ce fel de 3-variete există?

Răspunsul la prima întrebare se știe de multă vreme: cea mai simplă varietate compactă de 3 este un spațiu numit 3 sfere (varietățile necompacte sunt infinite sau au muchii. Mai jos, sunt luate în considerare doar varietățile compacte). Alte două întrebări au rămas deschise timp de un secol. Abia în 2002 le-a răspuns matematicianul rus Grigory Perelman, care, se pare, a putut să demonstreze conjectura Poincaré.

În urmă cu exact o sută de ani, matematicianul francez Henri Poincaré a propus că 3-sfera este unică și că nicio altă 3-varietate compactă nu are proprietățile care o fac atât de simplă. Mai multe 3-variete mai complexe au granițe care se ridică ca un zid de cărămidă sau conexiuni multiple între anumite zone, ca o potecă forestieră care se ramifică și apoi se unește din nou. Orice obiect tridimensional cu proprietățile unei 3 sfere poate fi transformat în el însuși, astfel încât pentru topologi pare a fi pur și simplu o copie a acestuia. Dovada lui Perelman ne permite, de asemenea, să răspundem la a treia întrebare și să clasificăm toate cele 3-variete existente.

Veți avea nevoie de o cantitate suficientă de imaginație pentru a vă imagina o 3 sfere (vezi MUZICA MULTI-DIMENSIONALĂ A SFERELOR). Din fericire, are multe în comun cu 2-sfere, un exemplu tipic al căruia este cauciucul unui balon rotund: este bidimensional, deoarece orice punct de pe acesta este definit de doar două coordonate - latitudine și longitudine. Dacă examinați o zonă destul de mică a acesteia sub o lupă puternică, va părea o bucată dintr-o foaie plată. Pentru o insectă mică care se târăște pe un balon, aceasta va părea a fi o suprafață plană. Dar dacă mucul se mișcă în linie dreaptă suficient de lungă, în cele din urmă se va întoarce la punctul său de plecare. În același mod, am percepe o 3 sfere de dimensiunea Universului nostru ca spațiu tridimensional „obișnuit”. După ce am zburat suficient de departe în orice direcție, în cele din urmă l-am fi „circumnavigat” și am fi ajuns înapoi la punctul nostru de plecare.

După cum probabil ați ghicit, o sferă n-dimensională se numește n-sferă. De exemplu, 1-sfera este familiară tuturor: este doar un cerc.

Grigory Perelman își prezintă dovada conjecturii Poincaré și finalizarea programului de geometrizare al lui Thurston la un seminar la Universitatea Princeton în aprilie 2003.

Testarea ipotezelor

A trecut o jumătate de secol până când problema conjecturii Poincaré a declanșat. În anii 60 secolul XX Matematicienii au dovedit afirmații similare cu ea pentru sfere de cinci sau mai multe dimensiuni. În fiecare caz, n-sfera este într-adevăr singura și cea mai simplă n-varietate. Destul de ciudat, s-a dovedit a fi mai ușor de obținut rezultate pentru sferele multidimensionale decât pentru 3 și 4 sfere. Dovada pentru patru dimensiuni a apărut în 1982. Și doar conjectura originală a lui Poincaré despre cele 3 sfere a rămas neconfirmată.

Pasul decisiv a fost făcut în noiembrie 2002, când Grigory Perelman, un matematician de la filiala din Sankt Petersburg a Institutului de Matematică. Steklov, a trimis articolul pe site-ul www.arxiv.org, unde fizicienii și matematicienii din întreaga lume discută rezultatele activităților lor științifice. Topologii au înțeles imediat legătura dintre munca omului de știință rus și conjectura Poincaré, deși autorul nu a menționat-o în mod direct. În martie 2003, Perelman a publicat un al doilea articol și în primăvara acelui an a vizitat Statele Unite și a susținut mai multe seminarii la Massachusetts Institute of Technology și la Universitatea de Stat din New York la Stony Brook. Mai multe grupuri de matematicieni de la institute de conducere au început imediat un studiu detaliat al lucrărilor prezentate și să caute erori.

RECENZIE: DOVADA IPOTEZEI POINCARES

• Timp de un secol întreg, matematicienii au încercat să demonstreze presupunerea lui Henri Poincaré cu privire la simplitatea și unicitatea excepțională a sferei 3 dintre toate obiectele tridimensionale.
• Motivul pentru conjectura Poincaré a apărut în cele din urmă în opera tânărului matematician rus Grigory Perelman. El a finalizat, de asemenea, un program extins de clasificare a varietăților tridimensionale.
• Poate că Universul nostru are forma unei 3 sfere. Există și alte conexiuni interesante între matematică și fizica particulelor și relativitatea generală.

În Stony Brook, Perelman a ținut mai multe prelegeri timp de două săptămâni, vorbind de la trei până la șase ore pe zi. A prezentat materialul foarte clar și a răspuns la toate întrebările care au apărut. Mai rămâne un mic pas până la obținerea rezultatului final, dar nu există nicio îndoială că este pe cale să fie făcut. Primul articol introduce cititorul în ideile de bază și este considerat pe deplin verificat. Al doilea articol acoperă probleme aplicate și nuanțe tehnice; nu inspiră încă aceeași încredere deplină ca predecesorul său.

În 2000, Institutul de Matematică a dat numele. Clay din Cambridge, Massachusetts, a stabilit un premiu de 1 milion de dolari pentru a demonstra fiecare dintre cele șapte probleme ale mileniului, dintre care una este considerată a fi conjectura Poincaré. Înainte ca un om de știință să poată revendica un premiu, dovada sa trebuie publicată și revizuită cu atenție timp de doi ani.

Activitatea lui Perelman extinde și completează programul de cercetare desfășurat în anii 90. secolul trecut de Richard S. Hamilton de la Universitatea Columbia. La sfârșitul anului 2003, lucrările matematicianului american au primit premiul Clay Institute. Perelman a reușit să depășească cu brio o serie de obstacole cărora Hamilton nu le-a putut face față.

De fapt, dovada lui Perelman, a cărei corectitudine nimeni nu a putut încă să pună la îndoială, rezolvă o gamă mult mai largă de probleme decât conjectura Poincaré însăși. Procedura de geometrizare propusă de William P. Thurston de la Universitatea Cornell permite o clasificare completă a 3-varietăților bazată pe 3-sfere, unică prin simplitatea sa sublimă. Dacă conjectura Poincaré ar fi falsă, i.e. Dacă ar exista multe spații la fel de simple ca o sferă, atunci clasificarea 3-varietăților s-ar transforma în ceva infinit mai complex. Datorită lui Perelman și Thurston, avem un catalog complet al tuturor formelor matematice posibile ale spațiului tridimensional pe care le-ar putea lua Universul nostru (dacă luăm în considerare doar spațiul fără timp).

Covrigi de cauciuc

Pentru a înțelege mai bine conjectura Poincaré și demonstrația lui Perelman, ar trebui să aruncați o privire mai atentă asupra topologiei. În această ramură a matematicii, forma unui obiect nu contează, de parcă ar fi făcut din aluat care poate fi întins, comprimat și îndoit în orice fel. De ce ar trebui să ne gândim la lucruri sau spații făcute din aluat imaginar? Faptul este că forma exactă a unui obiect - distanța dintre toate punctele sale - se referă la un nivel structural numit geometrie. Examinând un obiect dintr-un test, topologii identifică proprietățile fundamentale ale acestuia care nu depind de structura geometrică. Studierea topologiei este similară cu căutarea celor mai comune trăsături pe care le au oamenii, uitându-se la un „om din plastic” care poate fi transformat în orice individ specific.

În literatura populară, există deseori o afirmație urâtă că, din punct de vedere topologic, o ceașcă nu este diferită de o gogoașă. Faptul este că o cană de aluat poate fi transformată într-o gogoașă prin simpla zdrobire a materialului, adică. fără a orbi nimic sau a face găuri (vezi TOPOLOGIA SURFACEȚEI). Pe de altă parte, pentru a face o gogoașă dintr-o minge, trebuie neapărat să faci o gaură în ea sau să o rulezi într-un cilindru și să modelezi capetele, așa că o minge nu este deloc o gogoașă.

Topologii sunt cei mai interesați de suprafețele sferei și gogoșilor. Prin urmare, în loc de corpuri solide, ar trebui să vă imaginați baloane. Topologia lor este încă diferită, deoarece un balon sferic nu poate fi transformat într-unul în formă de inel, care se numește torus. În primul rând, oamenii de știință au decis să descopere câte obiecte cu topologii diferite există și cum pot fi caracterizate. Pentru 2-variete, pe care suntem obișnuiți să le numim suprafețe, răspunsul este elegant și simplu: totul este determinat de numărul de „găuri” sau, ceea ce este la fel, de numărul de mânere (vezi TOPOLOGIA SUPRAFEȚELOR). sfârşitul secolului al XIX-lea. matematicienii și-au dat seama cum să clasifice suprafețele și au stabilit că cea mai simplă dintre ele era sfera. Desigur, topologii au început să se gândească la 3-variete: este 3-sfera unică în simplitatea ei? Istoria de un secol a căutării unui răspuns este plină de pași greșiți și dovezi eronate.

Henri Poincaré a abordat îndeaproape această problemă. A fost unul dintre cei mai puternici doi matematicieni de la începutul secolului al XX-lea. (celălalt era David Gilbert). A fost numit ultimul universalist - a lucrat cu succes în toate domeniile matematicii pure și aplicate. În plus, Poincaré a adus contribuții enorme la dezvoltarea mecanicii cerești, la teoria electromagnetismului, precum și la filosofia științei, despre care a scris mai multe cărți populare.

Poincaré a devenit fondatorul topologiei algebrice și, folosind metodele acesteia, în 1900 a formulat o caracteristică topologică a unui obiect, numită homotopie. Pentru a determina homotopia unei varietăți, trebuie să scufundați mental o buclă închisă în ea (vezi TOPOLOGIA SUPRAFEȚELOR). Apoi ar trebui să aflați dacă este întotdeauna posibil să contractați bucla până la un punct prin mișcarea acesteia în interiorul colectorului. Pentru un tor, răspunsul va fi negativ: dacă plasați o buclă în jurul circumferinței torului, nu o veți putea strânge până la un punct, deoarece „gaura” gogoșii va sta în cale. Homotopia este numărul de căi diferite care pot împiedica contractarea unei bucle.

MUZICA MULTI-DIMENSIONALĂ A SFERELOR

Nu este atât de ușor să-ți imaginezi o 3-sfere. Matematicienii care demonstrează teoreme despre spațiile de dimensiuni superioare nu trebuie să-și imagineze obiectul de studiu: ei se ocupă de proprietăți abstracte, ghidați de intuiții bazate pe analogii cu mai puține dimensiuni (asemenea analogii trebuie tratate cu prudență și nu luate literal). Vom lua în considerare și 3-sfera, pe baza proprietăților obiectelor cu dimensiuni mai puține.

1. Să începem prin a privi un cerc și cercul care îl înconjoară. Pentru matematicieni, un cerc este o minge bidimensională, iar un cerc este o sferă unidimensională. Mai mult, o minge de orice dimensiune este un obiect umplut, care amintește de un pepene verde, iar o sferă este suprafața sa, mai mult ca un balon. Un cerc este unidimensional deoarece poziția unui punct pe el poate fi specificată printr-un singur număr.

2. Din două cercuri putem construi o sferă bidimensională, transformând unul dintre ele în emisfera nordică și celălalt în emisfera sudică. Tot ce rămâne este să le lipiți împreună, iar cele 2 sfere sunt gata.

3. Să ne imaginăm o furnică târându-se de la Polul Nord de-a lungul unui cerc mare format din meridianele prim și 180 (stânga). Dacă îi cartografiam traseul pe cele două cercuri inițiale (în dreapta), vedem că insecta se deplasează în linie dreaptă (1) până la marginea cercului nordic (a), apoi traversează granița, lovește punctul corespunzător de pe cercul sudic și continuă să urmeze linia dreaptă (2 și 3). Apoi furnica ajunge din nou la marginea (b), o traversează și se găsește din nou pe cercul nordic, repezindu-se spre punctul de plecare - Polul Nord (4). Rețineți că atunci când călătoriți în jurul lumii pe o 2-sfere, direcția de mișcare este inversată când treceți dintr-un cerc în altul.

4. Acum luați în considerare sfera noastră 2 și volumul pe care îl conține (o bilă tridimensională) și faceți cu ele același lucru ca și cu un cerc și un cerc: luați două copii ale mingii și lipiți-le limitele împreună. Este imposibil și nu este necesar să se arate clar cum bilele sunt distorsionate în patru dimensiuni și se transformă într-un analog al emisferelor. Este suficient să știm că punctele corespunzătoare de pe suprafețe, adică. 2-sfere sunt conectate între ele în același mod ca și în cazul cercurilor. Rezultatul conectării a două bile este o sferă de 3 - suprafața unei mingi cu patru dimensiuni. (În patru dimensiuni, unde există o sferă cu 3 sfere și o bilă cu 4 bile, suprafața unui obiect este tridimensională.) Să numim una dintre bile emisfera nordică și cealaltă emisfera sudică. Prin analogie cu cercurile, polii sunt acum localizați în centrul bilelor.

5. Imaginează-ți că bilele în cauză sunt regiuni mari goale ale spațiului. Să presupunem că un astronaut pleacă de la Polul Nord cu o rachetă. În timp, ajunge la ecuator (1), care este acum o sferă care înconjoară bila nordică. Traversându-l, racheta intră în emisfera sudică și se deplasează în linie dreaptă prin centrul său - Polul Sud - spre partea opusă a ecuatorului (2 și 3). Acolo are loc din nou tranziția către emisfera nordică, iar călătorul se întoarce la Polul Nord, adică. până la punctul de plecare (4). Acesta este scenariul pentru a călători în jurul lumii pe suprafața unei mingi cu 4 dimensiuni! Sfera tridimensională luată în considerare este spațiul la care se face referire în conjectura Poincaré. Poate că Universul nostru este tocmai o 3 sfere.
Raționamentul poate fi extins la cinci dimensiuni și poate construi o 4-sfere, dar acest lucru este extrem de greu de imaginat. Dacă lipiți două n-bile de-a lungul sferelor (n–1) care le înconjoară, obțineți o n-sferă care mărginește bila (n+1).

Pe sfera n, orice buclă, chiar și una complicat răsucită, poate fi întotdeauna desfăcută și trasă împreună până la un punct. (Bucla este lăsată să treacă prin ea însăși.) Poincaré a presupus că 3-sfera este singura 3-varietate pe care orice buclă poate fi contractată la un punct. Din păcate, nu a putut să-și demonstreze niciodată conjectura, care mai târziu a devenit cunoscută sub numele de conjectura Poincaré. În ultima sută de ani, mulți au oferit propria lor versiune a dovezii, dar numai pentru a se convinge de eroarea acesteia. (Pentru ușurința expunerii, neglijez două cazuri speciale: așa-numitele varietăți neorientabile și varietăți cu muchii. De exemplu, o sferă cu un segment tăiat din ea are o margine, iar o buclă Möbius nu are doar muchii. , dar este și neorientabil.)

Geometrizare

Analiza lui Perelman a 3-varietăților este strâns legată de procedura de geometrizare. Geometria se ocupă de forma reală a obiectelor și a varietăților, nu mai sunt făcute din aluat, ci din ceramică. De exemplu, o ceașcă și o gogoașă sunt diferite din punct de vedere geometric, deoarece suprafețele lor sunt curbate diferit. Se spune că o ceașcă și o gogoașă sunt două exemple de tor topologic căruia îi sunt date diferite forme geometrice.

Pentru a înțelege de ce Perelman a folosit geometrizarea, luați în considerare clasificarea 2-varietăților. Fiecărei suprafețe topologice i se atribuie o geometrie unică a cărei curbură este distribuită uniform în întreaga varietate. De exemplu, pentru o sferă, aceasta este o suprafață perfect sferică. O altă geometrie posibilă pentru o sferă topologică este un ou, dar curbura sa nu este distribuită uniform peste tot: capătul ascuțit este mai curbat decât capătul contondent.

2-varietățile formează trei tipuri geometrice (vezi GEOMETRIZARE). Sfera se caracterizează prin curbură pozitivă. Un tor geometrizat este plat și are curbură zero. Toate celelalte 2-variete cu două sau mai multe „găuri” au curbură negativă. Ele corespund unei suprafețe asemănătoare unei șau, care se curbează în sus în față și în spate și în jos în stânga și în dreapta. Poincaré a dezvoltat această clasificare geometrică (geometrizare) a 2-varietăților împreună cu Paul Koebe și Felix Klein, după care poartă numele sticlei Klein.

Există o dorință naturală de a aplica o metodă similară la 3-variete. Este posibil să găsim pentru fiecare dintre ele o configurație unică în care curbura să fie distribuită uniform pe întreaga varietate?

S-a dovedit că 3-varietățile sunt mult mai complexe decât omologii lor bidimensionali și celor mai multe dintre ele nu li se poate atribui o geometrie omogenă. Ele ar trebui să fie împărțite în părți care corespund uneia dintre cele opt geometrii canonice. Această procedură amintește de descompunerea unui număr în factori primi.

TOPOLOGIA SURFACEȚEI

ÎN TOPOLOGIE forma exactă, adică. geometria este irelevantă: obiectele sunt tratate ca și cum ar fi făcute din aluat și pot fi întinse, comprimate și răsucite. Cu toate acestea, nimic nu poate fi tăiat sau lipit. Astfel, orice obiect cu o gaură, cum ar fi o ceașcă de cafea (stânga), este echivalent cu o gogoașă sau torus (dreapta).

ORICE colector sau suprafață BIDIMENSIONAL (limitat la obiecte compacte orientabile) poate fi realizat prin adăugarea de mânere la sfera (a). Să lipim unul și să facem o suprafață de primul fel, adică. un torus sau o gogoașă (dreapta sus), adăugați un al doilea - obținem o suprafață de al 2-lea fel (b), etc.

Unicitatea celei 2-sfere între suprafețe este că orice buclă închisă încorporată în ea poate fi contractată la punctul (a). Pe un tor, acest lucru poate fi prevenit prin gaura din mijloc (b). Orice suprafață, cu excepția celei 2 sfere, are mânere care împiedică strângerea buclei. Poincaré a sugerat că 3-sfera este unică printre varietățile tridimensionale: numai pe ea poate fi contractată orice buclă la un punct.

Această procedură de clasificare a fost propusă pentru prima dată de Thurston la sfârșitul anilor '70. ultimul secol. Împreună cu colegii săi, el a fundamentat cea mai mare parte, dar aceștia nu au putut demonstra unele puncte cheie (inclusiv conjectura Poincaré). Cele 3 sfere sunt unice? Un răspuns de încredere la această întrebare a apărut pentru prima dată în articolele lui Perelman.

Cum poate fi geometrizată o varietate și să i se dea o curbură uniformă peste tot? Trebuie să luați o geometrie arbitrară cu diferite proeminențe și adâncituri, apoi neteziți toate neregulile. La începutul anilor 90. secolul XX Hamilton a început să analizeze 3-varietăți folosind ecuația de curgere Ricci, numită după matematicianul Gregorio Ricci-Curbastro. Este oarecum similară cu ecuația de conducere a căldurii, care descrie fluxurile de căldură care curg într-un corp încălzit neuniform până când temperatura acestuia devine aceeași peste tot. În același mod, ecuația de curgere Ricci specifică o modificare a curburii colectorului care duce la alinierea tuturor proeminențelor și adânciturilor. De exemplu, dacă începeți cu un ou, acesta va deveni treptat sferic.

GEOMETRIZARE

PENTRU A CLASIFICA 2-variete, puteți folosi uniformizarea sau geometrizarea: atribuiți-le o anumită geometrie, o formă rigidă. În special, fiecare varietate poate fi transformată astfel încât curbura sa să fie distribuită uniform. Sfera (a) este o formă unică cu curbură pozitivă constantă: este curbată peste tot ca vârful unui deal. Torul (b) poate fi făcut plat, adică peste tot având curbură zero. Pentru a face acest lucru, trebuie să o tăiați și să o îndreptați. Cilindrul rezultat trebuie tăiat pe lungime și desfășurat pentru a forma un plan dreptunghiular. Cu alte cuvinte, un tor poate fi mapat pe un avion. Suprafețelor de tip 2 și superioare (c) li se poate da o curbură negativă constantă, iar geometria lor va depinde de numărul de mânere. Mai jos este o suprafață în formă de șa cu curbură negativă constantă.

CLASIFICAREA A 3-SOIURI este mult mai dificilă. Varietatea tridimensională trebuie împărțită în părți, fiecare dintre acestea putând fi transformată într-una dintre cele opt geometrii tridimensionale canonice. Exemplul de mai jos (prezentat ca o varietate 2 în albastru pentru simplitate) este compus din 3 geometrii cu curbură constantă pozitivă (a), zero (b) și negativă constantă (c), precum și „produsele” unui 2. -sfera si un cerc (d) si suprafete cu curbura negativa si cercuri (e).

Cu toate acestea, Hamilton a întâmpinat anumite dificultăți: în unele cazuri, fluxul Ricci duce la compresia colectorului și formarea unui gât infinit de subțire. (Acest lucru este diferit de fluxul de căldură: în punctele de prindere temperatura ar fi infinit de ridicată.) Un exemplu este un colector în formă de gantere. Sferele cresc prin extragerea materialului de pe punte, care se îngustează într-un punct în mijloc (vezi CARACTERISTICI DE COMBATE). Într-un alt caz, când o tijă subțire iese din colector, fluxul Ricci provoacă apariția unei așa-numite singularități în formă de trabuc. Într-o varietate 3 obișnuită, vecinătatea oricărui punct este o bucată de spațiu tridimensional obișnuit, ceea ce nu poate fi spus despre punctele de prindere singulare. Munca unui matematician rus a ajutat la depășirea acestei dificultăți.

În 1992, după ce și-a susținut teza de doctorat, Perelman a ajuns în Statele Unite și a petrecut câteva semestre la Universitatea de Stat din New York la Stony Brook, iar apoi doi ani la Universitatea din California din Berkeley. El și-a câștigat rapid o reputație de stea în devenire, obținând câteva rezultate importante și profunde într-una dintre ramurile geometriei. Perelman a primit un premiu de la Societatea Europeană de Matematică (pe care a refuzat-o) și a primit o invitație prestigioasă de a vorbi la Congresul Internațional al Matematicienilor (pe care l-a acceptat).

În primăvara lui 1995, i s-au oferit posturi la mai multe instituții de matematică proeminente, dar a ales să se întoarcă la Sankt Petersburg natal și, în esență, a dispărut din vedere. Timp de mulți ani, singurul semn al activității sale au fost scrisorile către foști colegi care indicau erori comise în articolele pe care le-au publicat. Întrebările despre statutul propriilor lucrări au rămas fără răspuns. Și apoi, la sfârșitul anului 2002, mai multe persoane au primit un e-mail de la Perelman prin care le informa despre un articol pe care l-a trimis pe un server matematic. Astfel a început atacul său asupra conjecturii Poincaré.

LUPTA CU CARACTERISTICI

ÎNCERCARE A UTILIZA Ecuația de curgere Ricci pentru a demonstra conjectura Poincaré și geometrizarea 3-varietăților, oamenii de știință au întâmpinat dificultăți pe care Grigory Perelman a reușit să le depășească. Utilizarea fluxului Ricci pentru a schimba treptat forma unei 3-variete duce uneori la singularități. De exemplu, atunci când o parte a unui obiect are forma unei gantere (a), tubul dintre sfere poate fi strâns într-o secțiune punctuală, încălcând proprietățile colectorului (b). De asemenea, este posibil să apară așa-numita caracteristică în formă de trabuc.

PERELMAN A ARAT, că „operațiile” pot fi efectuate pe caracteristici. Când colectorul începe să se ciupească, tăiați secțiuni mici de fiecare parte a punctului de constrângere (c), acoperiți punctele tăiate cu sfere mici și apoi utilizați din nou fluxul Ricci (d). Dacă prinderea apare din nou, procedura trebuie repetată. Perelman a demonstrat, de asemenea, că trăsătura în formă de trabuc nu apare niciodată.

Perelman a adăugat un nou termen la ecuația de curgere a lui Ricci. Această modificare nu a eliminat problema particularității, dar a permis o analiză mult mai aprofundată. Un om de știință rus a arătat că o operație „chirurgicală” poate fi efectuată pe un colector în formă de gantere: tăiați un tub subțire de ambele părți ale constricției emergente și etanșați tuburile deschise care ies din bile cu capace sferice. Apoi ar trebui să continuați schimbarea colectorului „operat” în conformitate cu ecuația de curgere Ricci și să aplicați procedura de mai sus la toate constrângerile emergente. Perelman a mai arătat că trăsăturile în formă de trabuc nu pot apărea. Astfel, orice 3-varietă poate fi redusă la un set de piese cu geometrie omogenă.

Când fluxul Ricci și „chirurgia” sunt aplicate tuturor posibilelor 3-variete, oricare dintre ele, dacă este la fel de simplă ca o 3-sferă (cu alte cuvinte, caracterizată de aceeași homotopie), se reduce în mod necesar la aceeași geometrie omogenă. ca si 3-sfera. Aceasta înseamnă, din punct de vedere topologic, varietatea în cauză este o 3-sfere. Astfel, 3-sfera este unică.

Valoarea articolelor lui Perelman constă nu numai în demonstrarea conjecturii Poincaré, ci și în noi metode de analiză. Oamenii de știință din întreaga lume folosesc deja rezultatele obținute de matematicianul rus în munca lor și aplică metodele pe care le-a dezvoltat în alte domenii. S-a dovedit că fluxul Ricci este asociat cu așa-numitul grup de renormalizare, care determină modul în care puterea interacțiunilor se modifică în funcție de energia de coliziune a particulelor. De exemplu, la energii joase puterea interacțiunii electromagnetice este caracterizată de numărul 0,0073 (aproximativ 1/137). Cu toate acestea, atunci când doi electroni se ciocnesc frontal la aproape viteza luminii, forța se apropie de 0,0078. Matematica care descrie schimbarea forțelor fizice este foarte asemănătoare cu matematica care descrie geometrizarea varietăților.

Creșterea energiei de coliziune este echivalentă cu studierea forței la distanțe mai mici. Prin urmare, grupul de renormalizare este similar cu un microscop cu un factor de mărire variabil, ceea ce vă permite să studiați procesul la diferite niveluri de detaliu. De asemenea, Ricci flow este un microscop pentru vizualizarea colectoarelor. Proeminențele și depresiunile vizibile la o mărire dispar la alta. Este probabil ca pe scara lungimii Planck (aproximativ $10^(–35)$ m) spațiul în care trăim să arate ca o spumă cu o structură topologică complexă (vezi articolul „Atomii spațiului și timpului”, „În lume”. al Științei”, nr. 4, 2004). În plus, ecuațiile relativității generale, care descriu caracteristicile gravitației și structura pe scară largă a Universului, sunt strâns legate de ecuația fluxului Ricci. În mod paradoxal, termenul Perelman adăugat la expresia folosită de Hamilton își are originea în teoria corzilor, care se pretinde a fi o teorie cuantică a gravitației. Este posibil ca în articolele matematicianului rus, oamenii de știință să găsească informații mult mai utile nu numai despre 3-varietăți abstracte, ci și despre spațiul în care trăim.

Graham P. Collins, Ph.D., este editor la Scientific American. Mai multe informații despre teorema lui Poincaré sunt disponibile la www.sciam.com/ontheweb.

LITERATURA SUPLIMENTARE:

1. Conjectura Poincare 99 de ani mai târziu: un raport de progres. John W. Milnor. februarie 2003. Disponibil la www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
2. Jules Henri Poincare' (biografie). octombrie 2003. Disponibil la www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
3. Probleme ale mileniului. Institutul de Matematică Clay: www.claymath.org/millennium/
4. Note și comentarii la lucrările lui Perelman Ricci flow. Compilat de Bruce Kleiner și John Lott. Disponibil la www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
5. Topologie. Eric W. Weisstein în Mathworld-A Wolfram Web Resource. Disponibil la

Un matematician genial, profesorul parizian Henri Poincaré a lucrat într-o varietate de domenii ale acestei științe. Independent și independent de lucrările lui Einstein din 1905, el a prezentat principiile principale ale Teoriei Speciale a Relativității. Și și-a formulat celebra ipoteză încă din 1904, așa că a fost nevoie de aproximativ un secol pentru a o rezolva.

Poincaré a fost unul dintre fondatorii topologiei - știința proprietăților figurilor geometrice care nu se schimbă sub deformații care apar fără întreruperi. De exemplu, un balon poate fi deformat cu ușurință într-o varietate de forme, la fel ca și pentru copiii din parc. Dar va trebui să tăiați mingea pentru a o răsuci într-o gogoașă (sau, în limbaj geometric, un tor) - nu există altă cale. Și invers: luați o gogoașă de cauciuc și încercați să o „transformați” într-o sferă. Totuși, încă nu va funcționa. Conform proprietăților lor topologice, suprafețele unei sfere și ale unui tor sunt incompatibile sau nehomeomorfe. Dar orice suprafețe fără „găuri” (suprafețe închise), dimpotrivă, sunt homeomorfe și sunt capabile să se deformeze și să se transforme într-o sferă.

Dacă totul a fost decis cu privire la suprafețele bidimensionale ale sferei și torusului în secolul al XIX-lea, a durat mult mai mult pentru cazuri mai multidimensionale. Aceasta este, de fapt, esența conjecturii Poincaré, care extinde tiparul la cazuri multidimensionale. Simplificand puțin, conjectura Poincaré afirmă: „Orice varietate n-dimensională închisă pur și simplu conectată este homeomorfă unei sfere n-dimensionale.” E amuzant că varianta cu suprafețe tridimensionale s-a dovedit a fi cea mai dificilă. În 1960, ipoteza a fost dovedită pentru dimensiunile 5 și mai mari, în 1981 - pentru n=4. Piesa de poticnire a fost tocmai tridimensionalitatea.

Dezvoltând ideile lui William Thurstan și Richard Hamilton, propuse de aceștia în anii 1980, Grigory Perelman a aplicat o ecuație specială de „evoluție lină” suprafețelor tridimensionale. Și a reușit să arate că suprafața tridimensională inițială (dacă nu există discontinuități în ea) va evolua neapărat într-o sferă tridimensională (aceasta este suprafața unei mingi cu patru dimensiuni și există în 4 dimensiuni). spaţiu). Potrivit unui număr de experți, aceasta a fost o idee de „nouă generație”, a cărei soluție deschide noi orizonturi pentru știința matematică.

Este interesant că, din anumite motive, Perelman însuși nu s-a obosit să-și aducă decizia la strălucire finală. După ce a descris soluția „în general” în pretipărirea Formula de entropie pentru fluxul Ricci și aplicațiile sale geometrice în noiembrie 2002, în martie 2003 a completat dovada și a prezentat-o ​​în pretipărirea fluxului Ricci cu intervenție chirurgicală pe trei colectoare și, de asemenea, a raportat despre metodă într-o serie de prelegeri pe care le-a susținut în 2003 la invitația mai multor universități. Niciunul dintre recenzori nu a putut găsi erori în versiunea propusă de el, dar Perelman nu a publicat o publicație într-o publicație științifică evaluată de colegi (care, în special, era o condiție necesară pentru primirea premiului). Dar în 2006, pe baza metodei sale, a fost lansat un întreg set de dovezi, în care matematicienii americani și chinezi au examinat problema în detaliu și complet, au completat punctele omise de Perelman și au produs „dovada finală” a conjecturii Poincaré.

Trei grupuri independente de matematicieni susțin că au dovedit complet conjectura Poincaré, una dintre cele mai dificile probleme ale secolului al XX-lea. Verdictul final ar putea fi anunțat în curând la Congresul Internațional al Matematicienilor.

Procesul de demonstrare a conjecturii Poincaré intră acum aparent în stadiul final. Trei grupuri de matematicieni și-au dat seama în sfârșit de ideile lui Grigory Perelman și, în ultimele două luni, și-au prezentat versiunile unei dovezi complete a acestei ipoteze.

Pentru demonstrarea ipotezei, lui Poincare i s-a acordat un premiu de un milion de dolari, ceea ce poate părea surprinzător: la urma urmei, vorbim despre un fapt foarte privat, neinteresant. De fapt, ceea ce este important pentru matematicieni nu sunt atât proprietățile unei suprafețe tridimensionale, cât și faptul că demonstrarea în sine este dificilă. Această problemă formulează într-o formă concentrată ceea ce nu a putut fi dovedit folosind idei și metode de geometrie și topologie existente anterior. Vă permite să priviți la un nivel mai profund, în acel strat de probleme care pot fi rezolvate doar cu ajutorul ideilor „noii generații”.