Suprafața laterală S. Cum se calculează aria unei piramide: bază, laterală și plină? Problemă cu suprafața cunoscută
tipic probleme geometriceîn plan și în spațiul tridimensional sunt problemele determinării suprafețelor diferitelor figuri. În acest articol, vă prezentăm formula pentru suprafața laterală piramida corecta patruunghiular.
Ce este o piramidă?
Să dăm o definiție geometrică strictă a unei piramide. Să presupunem că există un poligon cu n laturi și n colțuri. Alegem un punct arbitrar din spațiu care nu va fi în planul n-gonului specificat și îl conectăm la fiecare vârf al poligonului. Vom obține o figură care are un anumit volum, care se numește piramidă n-gonală. De exemplu, să arătăm în figura de mai jos cum arată o piramidă pentagonală.
Două elemente importante ale oricărei piramide sunt baza (n-gon) și vârful acesteia. Aceste elemente sunt legate între ele prin n triunghiuri, care în general nu sunt egale între ele. Perpendiculara coborâtă de la vârf la bază se numește înălțimea figurii. Dacă intersectează baza în centrul geometric (coincide cu centrul de masă al poligonului), atunci o astfel de piramidă se numește linie dreaptă. Dacă, pe lângă această condiție, baza este un poligon regulat, atunci întreaga piramidă se numește regulată. Figura de mai jos arată cum arată piramidele regulate cu baze triunghiulare, patrulatere, pentagonale și hexagonale.
Suprafața piramidei
Înainte de a trece la problema zonei suprafeței laterale a unei piramide patruunghiulare obișnuite, ar trebui să ne oprim mai detaliat asupra conceptului de suprafață în sine.
După cum s-a menționat mai sus și se arată în figuri, orice piramidă este formată dintr-un set de fețe sau laturi. O latură este baza și n laturi sunt triunghiuri. Suprafața întregii figuri este suma ariilor fiecăreia dintre laturile sale.
Este convenabil să studiezi suprafața folosind exemplul unei figuri care se desfășoară. O scanare pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită este prezentată în figurile de mai jos.
Vedem că suprafața sa este egală cu suma a patru arii de triunghiuri isoscele identice și aria unui pătrat.
Aria totală a tuturor triunghiurilor care formează laturile figurii se numește aria suprafeței laterale. În continuare, vom arăta cum să o calculăm pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită.
Suprafața laterală a unei piramide regulate dreptunghiulare
Pentru a calcula suprafața laterală a figurii specificate, ne întoarcem din nou la măturarea de mai sus. Să presupunem că știm latura bazei pătrate. Să o notăm prin simbolul a. Se poate observa că fiecare dintre cele patru triunghiuri identice are o bază de lungime a. Pentru a calcula aria lor totală, trebuie să cunoașteți această valoare pentru un triunghi. Din cursul geometriei se știe că aria triunghiului S t este egală cu produsul bazei și al înălțimii, care ar trebui împărțit la jumătate. adica:
Unde h b - înălțime triunghi isoscel trasă la bază a. Pentru o piramidă, această înălțime este apotema. Acum rămâne să înmulțim expresia rezultată cu 4 pentru a obține aria S b a suprafeței laterale pentru piramida în cauză:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Această formulă conține doi parametri: apotema și latura bazei. Dacă acesta din urmă este cunoscut în majoritatea condițiilor problemelor, atunci primul trebuie calculat cunoscând alte cantități. Iată formulele pentru calcularea apotemului h b pentru două cazuri:
- când se cunoaște lungimea nervurii laterale;
- când se cunoaşte înălţimea piramidei.
Dacă notăm lungimea muchiei laterale (latura unui triunghi isoscel) cu simbolul L, atunci apotema h b este determinată de formula:
h b \u003d √ (L 2 - a 2 / 4).
Această expresie este rezultatul aplicării teoremei lui Pitagora pentru triunghiul suprafeței laterale.
Dacă înălțimea h a piramidei este cunoscută, atunci apotema h b poate fi calculată după cum urmează:
h b = √(h 2 + a 2 /4).
De asemenea, nu este greu de obținut această expresie dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic în interiorul piramidei formate din catetele h și a / 2 și ipotenuza h b.
Vom arăta cum să aplicăm aceste formule prin rezolvarea a două probleme interesante.
Problemă cu suprafața cunoscută
Se știe că aria suprafeței laterale a unui patruunghiular este de 108 cm 2 . Este necesar să se calculeze valoarea lungimii apotemei sale h bi dacă înălțimea piramidei este de 7 cm.
Scriem formula pentru aria S b a suprafeței laterale prin înălțime. Avem:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.
Aici am înlocuit pur și simplu formula apotema corespunzătoare în expresia pentru S b . Să pătram ambele părți ale ecuației:
S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.
Pentru a afla valoarea lui a, facem o schimbare de variabile:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Acum înlocuim valorile cunoscute și rezolvăm ecuația pătratică:
t 2 + 196*t - 11664 = 0.
Am scris doar rădăcina pozitivă a acestei ecuații. Atunci laturile bazei piramidei vor fi egale cu:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Pentru a obține lungimea apotemului, trebuie doar să utilizați formula:
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.
Suprafața laterală a piramidei lui Keops
Să determinăm valoarea laturii pentru cea mai mare piramidă egipteană. Se știe că la baza sa se află un pătrat cu lungimea laturii de 230,363 metri. Înălțimea structurii a fost inițial de 146,5 metri. Înlocuind aceste numere în formula corespunzătoare pentru S b , obținem:
S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a \u003d 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.
Valoarea găsită este puțin mai multă zonă 17 terenuri de fotbal.
Definiție. Fața laterală- acesta este un triunghi în care un unghi se află în vârful piramidei, iar partea opusă a acestuia coincide cu latura bazei (poligon).
Definiție. Coaste laterale sunt laturile comune ale fețelor laterale. O piramidă are atâtea muchii câte colțuri există într-un poligon.
Definiție. înălțimea piramidei este o perpendiculară coborâtă de la vârf la baza piramidei.
Definiție. Apotema- aceasta este perpendiculara feței laterale a piramidei, coborâtă din vârful piramidei până în lateralul bazei.
Definiție. Secțiune diagonală- aceasta este o secțiune a piramidei printr-un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.
Definiție. Piramida corectă- Aceasta este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea coboară până în centrul bazei.
Volumul și suprafața piramidei
Formulă. volumul piramidei prin zona de bază și înălțimea:
proprietățile piramidei
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendiculara căzută din vârf trece prin centrul bazei (cercului).
Dacă toate nervurile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate față de planul de bază la aceleași unghiuri.
Nervele laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul bazei sau dacă se poate descrie un cerc în jurul bazei piramidei.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la un unghi, atunci un cerc poate fi înscris la baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.
Dacă fețele laterale sunt înclinate față de planul de bază la un unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.
Proprietățile unei piramide obișnuite
1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.
2. Toate marginile laterale sunt egale.
3. Toate nervurile laterale sunt înclinate la aceleași unghiuri față de bază.
4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.
5. Suprafețele tuturor fețelor laterale sunt egale.
6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedrice (plate).
7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei descrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.
8. O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă. Centrul sferei înscrise va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.
9. Dacă centrul sferei înscrise coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plate de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.
Legătura piramidei cu sfera
O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei când la baza piramidei se află un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele medii ale marginilor laterale ale piramidei.
O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.
O sferă poate fi înscrisă într-o piramidă dacă planurile bisectoare ale unghiurilor diedrice interne ale piramidei se intersectează într-un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.
Legătura piramidei cu conul
Un con se numește înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este înscrisă în baza piramidei.
Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale.
Se spune că un con este circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.
Un con poate fi descris în jurul unei piramide dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.
Legătura unei piramide cu un cilindru
Se spune că o piramidă este înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.
Un cilindru poate fi circumscris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi circumscris în jurul bazei piramidei.
Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase muchii, unde oricare două muchii nu au vârfuri comune, dar nu se ating.
Fiecare vârf este format din trei fețe și muchii care se formează unghi triedric.
Segmentul care leagă vârful tetraedrului cu centrul feței opuse se numește mediana tetraedrului(GM).
Bimedian se numește un segment care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu se ating (KL).
Toate bimedianele și medianele unui tetraedru se intersectează într-un punct (S). În acest caz, bimedianele sunt împărțite în jumătate, iar medianele într-un raport de 3: 1 începând de sus.
Definiție. Piramidă unghiulară acută este o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiție. piramidă obtuză este o piramidă în care apotema este mai mică de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiție. tetraedru regulat Un tetraedru ale cărui patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. El este unul din cinci poligoane regulate. Într-un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrice (la un vârf) sunt egale.
Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește un tetraedru care are un unghi drept între trei muchii la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe unghi triedric dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fețe este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.
Definiție. Tetraedru izoedric Se numește tetraedru în care fețele laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Fețele unui astfel de tetraedru sunt triunghiuri isoscele.
Definiție. tetraedru ortocentric se numește un tetraedru în care toate înălțimile (perpendicularele) care sunt coborâte de la vârf la fața opusă se intersectează într-un punct.
Definiție. piramida stelare Un poliedru a cărui bază este o stea se numește.
Un cilindru este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol, vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme, de exemplu.
Un cilindru are trei suprafețe: o suprafață de sus, una de jos și o suprafață laterală.
Partea superioară și inferioară a cilindrului sunt cercuri și sunt ușor de identificat.
Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2 . Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (sus și jos a cilindrului) va arăta ca πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a reprezenta mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginați-vă că un cilindru este o cutie de conserve obișnuită care nu are capac superior și fund. Să facem o incizie verticală pe peretele lateral de sus până jos al borcanului (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).
După deschiderea completă a borcanului rezultat, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru o clipă la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.
Când peretele lateral al cilindrului este complet extins, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am obținut o formulă pentru calcularea suprafeței laterale a unui cilindru.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru
partea S = 2prh
Suprafața completă a unui cilindru
În cele din urmă, dacă adunăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața cilindrului este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori această expresie este scrisă cu formula identică 2πr (r + h).
Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r este raza cilindrului, h este înălțimea cilindrului
Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru
Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.
1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.
Suprafața totală se calculează cu formula: partea S. = 2prh
partea S = 2 * 3,14 * 2 * 34,6 . Evaluări totale primite: 990.
Când se pregătesc pentru examenul de matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la bază și fețele laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația este clară cu fețele laterale, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.
Ce să faceți când găsiți zona bazei piramidei?
Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o cifră obișnuită sau una incorectă. În temele USE de interes pentru școlari, există doar teme cu cifrele corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.
triunghi dreptunghic
Asta este echilateral. Una în care toate laturile sunt egale și notate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Pătrat
Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:
N-gon regulat arbitrar
Latura unui poligon are aceeași denumire. Pentru numărul de colțuri se folosește litera latină n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cum se procedează la calcularea suprafeței laterale și totale?
Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. În plus, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, aveți nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.
Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generală pentru suprafața laterală este:
S \u003d ½ P * A, unde P este perimetrul bazei piramidei.
Există situații în care laturile bazei nu sunt cunoscute, dar sunt date marginile laterale (c) și unghiul plat la vârful acesteia (α). Apoi ar trebui să se folosească o astfel de formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:
S = n/2 * în 2 sin α .
Sarcina 1
Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza acesteia are o latură de 4 cm, iar apotema are o valoare de √3 cm.
Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Deoarece apotema este cunoscută, puteți calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Pentru un triunghi la bază, se va obține următoarea valoare a ariei: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Răspuns. 10√3 cm2.
Sarcina #2
Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii bazei este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Trebuie să-i cunoști suprafața.
Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, atunci baza lui este un pătrat. După ce ați învățat zonele fețelor de bază și laterale, va fi posibil să se calculeze aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și la fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.
Primele calcule sunt simple și duc la acest număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.
Rezultă: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.
Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.
Sarcina #3
Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. În el, latura pătratului este de 6 cm și înălțimea este de 4 cm.
Soluţie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotema. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este puțin mai dificil.
Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm că este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.
Apotema dorită (ipotenuză triunghi dreptunghic) este egal cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Acum puteți calcula valoarea dorită: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Răspuns. 96 cm2.
Sarcina #4
Condiție. Partea corectă a bazei sale este de 22 mm, nervurile laterale sunt de 61 mm. Care este aria suprafeței laterale a acestui poliedru?
Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în problema nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.
În primul rând, aria bazei este calculată folosind formula de mai sus: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este o față laterală. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Rămâne să calculăm aria unui astfel de triunghi folosind formula Heron, apoi înmulțiți-o cu șase și adăugați-o la cea care a rezultat pentru baza.
Calcule folosind formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Calcule care vor da suprafața laterală: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.
Răspuns. Baza - 726√3 cm 2, suprafata laterala - 3960 cm 2, intreaga suprafata - 5217 cm 2.
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
