Desenați un grafic al funcției y x 8. Funcțiile și graficele lor. Grafice ale altor funcții

1. Funcția fracțională liniară și graficul acesteia

O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.

Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. În mod similar funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca un coeficient de două polinoame.

Dacă o funcție rațională fracțională este un coeficient de două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. funcția de vizualizare

y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.

Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este o constantă). Funcția liniar-fracțională este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniar-fracționale nu diferă ca formă de graficul pe care îl cunoașteți y = 1/x. Se numește curba care este graficul funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade la nesfârșit în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de axa absciselor: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă se apropie de jos. Liniile abordate de ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.

Exemplul 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Decizie.

Să selectăm partea întreagă: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întindere de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasare cu 2 segmente de unitate în sus.

Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă în același mod, evidențiind „întreaga parte”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare-fracționale sunt hiperbole, în diverse moduri deplasat de-a lungul axelor de coordonate și întins de-a lungul axei Oy.

Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții liniar-fracționale arbitrare, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.

Exemplul 2

Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).

Decizie.

Funcția nu este definită, pentru x = -1. Prin urmare, linia x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.

Pentru a face acest lucru, împărțim numărătorul și numitorul fracției la x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ca x → ∞ fracția tinde spre 3/2. Prin urmare, asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.

Exemplul 3

Trasează funcția y = (2x + 1)/(x + 1).

Decizie.

Selectăm „întreaga parte” a fracției:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare de 1 unitate la stânga, un afișaj simetric față de Ox și o deplasare de 2 unităţi de intervale în sus de-a lungul axei Oy.

Domeniul definiției D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește pe fiecare dintre intervalele domeniului de definiție.

Răspuns: figura 1.

2. Funcția fracțională-rațională

Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) sau y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Dacă funcția y = P(x) / Q(x) este un coeficient de două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complicat și uneori poate fi dificil să îl construiți exact. , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să aplicați tehnici similare cu cele cu care ne-am întâlnit deja mai sus.

Fie fracția proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.

Trasarea funcțiilor raționale fracționale

Luați în considerare mai multe moduri de a reprezenta o funcție fracțională-rațională.

Exemplul 4

Trasează funcția y = 1/x 2 .

Decizie.

Folosim graficul funcției y \u003d x 2 pentru a reprezenta graficul y \u003d 1 / x 2 și folosim metoda de „împărțire” a graficelor.

Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Interval de valori E(y) = (0; +∞).

Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este egală. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.

Răspuns: figura 2.

Exemplul 5

Trasează funcția y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Decizie.

Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.

Răspuns: figura 3.

Exemplul 6

Trasează funcția y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Decizie.

Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de axa y. Înainte de a trasa, transformăm din nou expresia prin evidențierea părții întregi:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Rețineți că selectarea părții întregi în formula unei funcții raționale fracționale este una dintre cele mai importante atunci când se trasează grafice.

Dacă x → ​​±∞, atunci y → 1, adică linia y = 1 este o asimptotă orizontală.

Răspuns: figura 4.

Exemplul 7

Luați în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și încercați să găsiți exact valoarea ei cea mai mare, adică. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Este evident că curba noastră nu poate „urca” foarte sus, din moment ce numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Deci presupunerea noastră este greșită. Pentru a găsi cele mai multe mare importanță funcție, trebuie să aflați pentru care cea mai mare A ecuația A \u003d x / (x 2 + 1) va avea o soluție. Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 - x + A \u003d 0. Această ecuație are o soluție când 1 - 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A \u003d 1/2.

Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să construiți grafice de funcții?
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și trasăm valorile argumentului pe axa absciselor X, iar pe axa y - valorile funcției y = f(x).

Graficul funcției y = f(x) se numește mulțimea tuturor punctelor, pentru care abscisele aparțin domeniului funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y \u003d f (x) este mulțimea tuturor punctelor din plan, coordonatele X, la care satisfac relatia y = f(x).

Pe fig. 45 și 46 sunt grafice ale funcțiilor y = 2x + 1și y \u003d x 2 - 2x.

Strict vorbind, ar trebui să distingem între graficul unei funcții (a cărui definiție matematică exactă a fost dată mai sus) și curba desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu a întregului grafic, ci numai a părții sale situate în părțile finale ale planului). În cele ce urmează, totuși, ne vom referi de obicei la „diagramă” mai degrabă decât la „schiță diagramă”.

Folosind un grafic, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului funcției y = f(x), apoi pentru a găsi numărul fa)(adică valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să facă acest lucru. Trebuie printr-un punct cu o abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu axa y; această linie va intersecta graficul funcției y = f(x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu fa)(Fig. 47).

De exemplu, pentru funcție f(x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 etc.

Un grafic al funcției ilustrează vizual comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, dintr-o considerație a fig. 46 este clar că funcţia y \u003d x 2 - 2x ia valori pozitive când X< 0 iar la x > 2, negativ - la 0< x < 2; cea mai mică valoare funcţie y \u003d x 2 - 2x acceptă la x = 1.

Pentru a reprezenta o funcție f(x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele X,la care satisfac ecuația y = f(x). În cele mai multe cazuri, acest lucru este imposibil, deoarece există o infinitate de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de reprezentare în mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul X dați un număr finit de valori - să spunem, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k și faceți un tabel care să includă valorile selectate ale funcției.

Tabelul arată astfel:

După ce am compilat un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte pe graficul funcției y = f(x). Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f(x).

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele marcate și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre punctele extreme luate rămâne necunoscut.

Exemplul 1. Pentru a reprezenta o funcție y = f(x) cineva a compilat un tabel cu valorile argumentelor și ale funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.

Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 printr-o linie punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Cu excepția cazului în care există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.

Pentru a susține afirmația noastră, luăm în considerare funcția

.

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise doar de tabelul de mai sus. Totuși, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu este funcția y = x + l + sinx; semnificațiile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.

Aceste exemple arată că, în forma sa „pură”, metoda de reprezentare în mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a reprezenta o funcție dată, de regulă, procedați după cum urmează. În primul rând, sunt studiate proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia se poate construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile setate ale funcției), se găsesc punctele corespunzătoare ale graficului. Și, în sfârșit, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.

Vom lua în considerare câteva (cele mai simple și mai frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță a unui grafic mai târziu, dar acum vom analiza câteva metode utilizate în mod obișnuit pentru trasarea graficelor.

Graficul funcției y = |f(x)|.

De multe ori este necesar să reprezentați o funcție y = |f(x)|, unde f(x) - funcţie dată. Amintiți-vă cum se face acest lucru. Prin definiția valorii absolute a unui număr, se poate scrie

Aceasta înseamnă că graficul funcției y=|f(x)| pot fi obținute din grafic, funcții y = f(x) astfel: toate punctele graficului funcţiei y = f(x), ale căror ordonate sunt nenegative, trebuie lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f(x), având coordonate negative, se construiesc punctele corespunzătoare ale graficului funcției y = -f(x)(adică o parte a graficului funcției
y = f(x), care se află sub axă X, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei X).

Exemplul 2 Trasează o funcție y = |x|.

Luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte din acest grafic când X< 0 (întins sub ax X) este reflectată simetric în jurul axei X. Ca rezultat, obținem graficul funcției y = |x|(Fig. 50, b).

Exemplul 3. Trasează o funcție y = |x 2 - 2x|.

Mai întâi graficăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa absciselor în punctele 0 și 2. Pe intervalul (0; 2). ) funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului se reflectă simetric față de axa x. Figura 51 prezintă un grafic al funcției y \u003d |x 2 -2x |, pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x

Graficul funcției y = f(x) + g(x)

Luați în considerare problema reprezentării grafice a funcției y = f(x) + g(x). dacă sunt date grafice ale funcţiilor y = f(x)și y = g(x).

Rețineți că domeniul funcției y = |f(x) + g(x)| este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x) și y = g(x), adică acest domeniu de definiție este intersecția domeniilor de definiție, funcțiile f(x). ) și g(x).

Lasă punctele (x 0, y 1) și (x 0, y 2) aparţin respectiv graficelor de funcţii y = f(x)și y = g(x), adică y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Atunci punctul (x0;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f(x) + g(x)(pentru f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. și orice punct al graficului funcției y = f(x) + g(x) pot fi obtinute in acest mod. Prin urmare, graficul funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f(x). și y = g(x) prin înlocuirea fiecărui punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f(x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g(x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f(x) de-a lungul axei la prin suma y 1 \u003d g (x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte. X n pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x)și y = g(x).

Această metodă de a reprezenta graficul unei funcții y = f(x) + g(x) se numește adunarea graficelor de funcții y = f(x)și y = g(x)

Exemplul 4. În figură, prin metoda adunării grafice, se construiește un grafic al funcției
y = x + sinx.

La trasarea unei funcții y = x + sinx am presupus că f(x) = x, A g(x) = sinx. Pentru a construi un grafic al funcției, selectăm puncte cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx vom calcula la punctele selectate și vom plasa rezultatele în tabel.

y (x) = e x, a cărui derivată este egală cu funcția în sine.

Exponentul este notat ca , sau .

e numărul

Baza gradului exponentului este e numărul. Acesta este un număr irațional. Este aproximativ egal
e ≈ 2,718281828459045...

Numărul e este determinat prin limita secvenței. Acest așa-zis a doua limită minunată:
.

De asemenea, numărul e poate fi reprezentat ca o serie:
.

Graficul expozantului

Graficul exponentului, y = e x .

Graficul arată exponentul, e in masura X.
y (x) = e x
Graficul arată că exponentul crește monoton.

Formule

Formulele de bază sunt aceleași ca pentru funcția exponențială cu o bază de gradul e.

;
;
;

Exprimarea unei funcții exponențiale cu o bază arbitrară de gradul a prin exponent:
.

Valori private

Lasă y (x) = e x. Apoi
.

Proprietățile exponentului

Exponentul are proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază de grad e > 1 .

Domeniu de definiție, set de valori

Exponentul y (x) = e x definit pentru toate x .
Domeniul său de aplicare este:
- ∞ < x + ∞ .
Setul său de semnificații:
0 < y < + ∞ .

Extreme, crește, scade

Exponentul este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele sale proprietăți sunt prezentate în tabel.

Funcție inversă

Reciproca exponentului este logaritmul natural.
;
.

Derivată a exponentului

Derivat e in masura X este egal cu e in masura X :
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Numere complexe

Acțiuni cu numere complexe efectuat prin Formule Euler:
,
unde este unitatea imaginară:
.

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

; ;
.

Expresii în termeni de funcții trigonometrice

; ;
;
.

Extinderea seriei de putere

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

În regulă? Foarte bine!

Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:

Găsite? Comparaţie:

A fost de acord? Foarte bine!

Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce sa întâmplat:

Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Control răspunsuri:

1. , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. pentru că nu poți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...

Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:

observat? Cuvântul „doar” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degete.

Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . Când, înlocuim această valoare în „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Cert este că, atunci când calculăm, avem un singur joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus într-o conversație unde locuiește:

De acord, este destul de realist că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să locuiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. i.e un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.

Să vă testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înţeles? Și iată răspunsuri:

• Funcția este - B,E.
• Nu este o funcție - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

În toate cifrele, cu excepția LA)și E) sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, să spuneți ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, să determinați sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?

Modalități de a seta o funcție

Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Mod analitic de definire a unei funcții

Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.

Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru, va arăta astfel:

Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, la.

Sunt sigur că la început, te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , dacă
2. , dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Iată cum l-am construit.

Cu ce ​​ecuație am ajuns?

Corect! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa este, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Mod tabelar de definire a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina „gândește foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:

Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!

Mod grafic de a construi o funcție

Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de a specifica o funcție pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte usor!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „sunt atât de multe funcții complexe pe care pur și simplu este imposibil să-l întrebați verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecărei valori naturale a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la cele mai interesante - vom lua în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat/lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și le da descriere scurta. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

O funcție a formei, unde sunt numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, astfel încât construcția unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziție directă pe plan de coordonate depinde de factorul de pantă.

Domeniul de aplicare al funcției (denumit și intervalul de argumente) - .

Gama de valori este .

funcţie pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori este .

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - variabilă, sau argument;
• - valoare dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după o formulă specifică care reflectă dependența unei valori față de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.

3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.

4. Există 4 moduri de a seta funcția:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.