Scrieți numărul z în algebrică. Numere complexe. Forma algebrică a unui număr complex. Numere conjugate complexe

Numere complexe

Imaginar Și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. trigonometric

formă de număr complex. Operatii cu complexe

numere în formă trigonometrică. Formula Moivre.

Informații de bază despre imaginar Și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь Deste discriminantul ecuației pătratice). Multă vreme aceste numere nu au fost găsite aplicare fizică, motiv pentru care sunt numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii.

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise ca:a+bi. Aici AȘi b – numere reale , dar i – unitate imaginară. e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b - ordonatănumăr complexa + b .Două numere complexea+biȘi a-bi numit conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realdarpoate fi scris și sub formănumăr complex:un + 0 i sau A - 0 i. De exemplu, intrările 5 + 0iși 5 - 0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Înregistrarebiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Șic + disunt considerate egale dacăa = cȘi b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biȘi c + dise numește număr complex (a+c ) + (b+d ) eu .În acest fel, când se adaugă numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție urmează regulile pentru tratarea polinoamelor obișnuite.

Scădere. Diferența dintre două numere complexea+bi(redus) și c + di(scăzut) se numește număr complex (a-c ) + (b-d ) eu .

În acest fel, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele acestora se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biȘi c + di se numește număr complex.

(ac-bd ) + (ad+bc ) eu .Această definiție provine din două cerințe:

1) numere a+biȘi c + diar trebui să se înmulțească ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + fi(chat), care, atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, ceea ce are ca rezultat dividendula + b .

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8+i ) : (2 – 3 i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3i

ȘI după efectuarea tuturor transformărilor, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punctB este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte plan de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (vezi fig.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

modul număr complex se numește lungimea vectoruluiOP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( cuprinzător) avion. Modulul numărului complexa+bi notat cu | a+bi| sau scrisoare r

Luați în considerare o ecuație pătratică.

Să-i definim rădăcinile.

Nu există un număr real al cărui pătrat este -1. Dar dacă formula definește operatorul i ca unitate imaginară, atunci soluția acestei ecuații poate fi scrisă sub forma . în care Și - numere complexe, în care -1 este partea reală, 2 sau în al doilea caz -2 este partea imaginară. Partea imaginară este, de asemenea, un număr real (real). Partea imaginară înmulțită cu unitatea imaginară înseamnă deja număr imaginar.

În general, un număr complex are forma

z = X + iy ,

Unde X y sunt numere reale, este o unitate imaginară. Într-o serie de științe aplicate, de exemplu, în inginerie electrică, electronică, teoria semnalului, unitatea imaginară este notată cu j. Numere reale x = Re(z)Și y=Sunt(z) numit părți reale și imaginare numerele z. Expresia se numește forma algebrică notarea unui număr complex.

Orice număr real este un caz special al unui număr complex în formă . Un număr imaginar este, de asemenea, un caz special al unui număr complex. .

Definiția mulțimii numerelor complexe C

Această expresie se citește după cum urmează: set DIN, constând din elemente astfel încât XȘi y aparțin mulțimii numerelor reale Rși este unitatea imaginară. Rețineți că etc.

Două numere complexe Și sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. Și .

Numerele și funcțiile complexe sunt utilizate pe scară largă în știință și tehnologie, în special în mecanică, analiza și calculul circuitelor de curent alternativ, electronică analogică, teoria și procesarea semnalelor, teoria controlului automat și alte științe aplicate.

1. Aritmetica numerelor complexe

Adunarea a două numere complexe constă în adăugarea părților lor reale și imaginare, adică.

În consecință, diferența a două numere complexe

Număr complex numit complex conjuga număr z=x +i.y.

Numerele complexe conjugate z și z * diferă în semnele părții imaginare. Este evident că

.

Orice egalitate între expresii complexe rămâne valabilă dacă în această egalitate peste tot i inlocuit de - i, adică mergi la egalitatea numerelor conjugate. Numerele iȘi – i sunt algebric indistinguibile deoarece .

Produsul (înmulțirea) a două numere complexe poate fi calculat după cum urmează:

Împărțirea a două numere complexe:

Exemplu:

1. Plan complex

Un număr complex poate fi reprezentat grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Să setăm un sistem de coordonate dreptunghiular în plan (X y).

pe osie Bou vom aranja piesele reale X, se numeste axa reală (reala)., pe axă Oi– părți imaginare y numere complexe. Ea poartă numele axa imaginară. În plus, fiecărui număr complex îi corespunde un anumit punct al planului și se numește un astfel de plan plan complex. punct DAR planul complex va corespunde vectorului OA.

Număr X numit abscisă număr complex, număr y – ordonată.

O pereche de numere conjugate complexe este afișată ca puncte situate simetric față de axa reală.

Dacă în avionul setat sistem de coordonate polare, apoi fiecare număr complex z determinate de coordonatele polare. în care modul numerele este raza polară a punctului și unghiul - unghiul său polar sau argumentul numărului complex z.

Modulul numărului complex întotdeauna nenegativ. Argumentul unui număr complex nu este definit în mod unic. Valoarea principală a argumentului trebuie să satisfacă condiția . Fiecărui punct al planului complex îi mai corespunde sens general argument . Argumentele care diferă cu un multiplu de 2π sunt considerate egale. Argumentul număr zero nu este definit.

Valoarea principală a argumentului este determinată de expresiile:

Este evident că

în care
, .

Reprezentarea numerelor complexe z la fel de

numit formă trigonometrică număr complex.

Exemplu.

1. Forma exponențială a numerelor complexe

Descompunerea în Seria Maclaurin pentru funcții argument reale se pare ca:

Pentru funcţia exponenţială a unui argument complex z descompunerea este similară

.

Expansiunea seriei Maclaurin pentru funcția exponențială a argumentului imaginar poate fi reprezentată ca

Identitatea rezultată este numită Formula lui Euler.

Pentru un argument negativ, se pare că

Combinând aceste expresii, putem defini următoarele expresii pentru sinus și cosinus

.

Folosind formula Euler, din forma trigonometrică a reprezentării numerelor complexe

disponibil demonstrativ(exponențială, polară) formă a unui număr complex, adică reprezentarea ei în formă

,

Unde - coordonatele polare ale unui punct cu coordonate dreptunghiulare ( X,y).

Conjugatul unui număr complex se scrie în formă exponențială după cum urmează.

Pentru forma exponențială, este ușor să definiți următoarele formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe

Adică, în formă exponențială, produsul și împărțirea numerelor complexe este mai ușor decât în ​​formă algebrică. La înmulțire, modulele factorilor sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate. Această regulă se aplică oricărui număr de factori. În special, la înmulțirea unui număr complex z pe i vector z se rotește în sens invers acelor de ceasornic cu 90

În împărțire, modulul numărătorului este împărțit la modulul numitorului, iar argumentul numitorului este scăzut din argumentul numărătorului.

Folosind forma exponențială a numerelor complexe, se pot obține expresii pentru identitățile trigonometrice binecunoscute. De exemplu, din identitate

folosind formula lui Euler, putem scrie

Echivalând părțile reale și imaginare din această expresie, obținem expresii pentru cosinusul și sinusul sumei unghiurilor

1. Puterile, rădăcinile și logaritmii numerelor complexe

Ridicarea unui număr complex la o putere naturală n produs conform formulei

Exemplu. Calcula .

Imaginați-vă un număr în formă trigonometrică

’

Aplicând formula de exponențiere, obținem

Punerea valorii în expresie r= 1, obținem așa-numitul formula lui De Moivre, cu care puteți determina expresiile pentru sinusurile și cosinusurile unghiurilor multiple.

Rădăcină n puterea a unui număr complex z Are n diferite valori determinate de expresie

Exemplu. Sa gasim .

Pentru a face acest lucru, exprimăm numărul complex () în forma trigonometrică

.

Conform formulei de calcul a rădăcinii unui număr complex, obținem

Logaritmul unui număr complex z este un număr w, pentru care . Logaritmul natural al unui număr complex are un număr infinit de valori și se calculează prin formula

Constă din părți reale (cosinus) și imaginare (sinus). O astfel de solicitare poate fi reprezentată ca un vector de lungime Hm , faza initiala(unghi) care se rotește cu viteză unghiulară ω .

Mai mult, dacă se adaugă funcții complexe, atunci se adaugă părțile lor reale și imaginare. Dacă o funcție complexă este înmulțită cu o constantă sau cu o funcție reală, atunci părțile ei reale și imaginare sunt înmulțite cu același factor. Diferențierea/integrarea unei astfel de funcții complexe se reduce la diferențierea/integrarea părților reale și imaginare.

De exemplu, diferențierea expresiei stresului complex

este să o înmulțim cu iω este partea reală a funcției f(z), și este partea imaginară a funcției. Exemple: .

Sens z este reprezentată de un punct în planul complex z și valoarea corespunzătoare w- un punct din planul complex w. Când este afișat w = f(z) liniile plane z trece în liniile avionului w, figurile unui plan în figurile altuia, dar formele liniilor sau figurilor se pot schimba semnificativ.

		Forma algebrică de scriere a unui număr complex ................................................ ... ...................
		Planul numerelor complexe ............................................................. ............................. ................................. ................... ...
		Numere conjugate complexe ............................................................. .................................................. ...............
	Operații cu numere complexe în formă algebrică ................................................ ................... ....
		Adunarea numerelor complexe ............................................................. ............................. ................................. ...................
		Scăderea numerelor complexe ............................................................. ............ ................................................ ..........
		Înmulțirea numerelor complexe ............................................................. ............ ................................................ .........
		Împărțirea numerelor complexe ............................................................. .................................................. ............... ...
	Forma trigonometrică a unui număr complex ............................................. .............. ..........
	Operații cu numere complexe în formă trigonometrică ................................................ ............
		Înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică.................................................. .........................
		Împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică ............................................. ................... ...
		Ridicarea unui număr complex la o putere întreagă pozitivă
		Extracția întregii rădăcini grad pozitiv dintr-un număr complex ..........................
		Ridicarea unui număr complex la o putere rațională .......................................... .................... .....
		Serii complexe ............................................................. ................. ................................ ................. ....................
		Serii de numere complexe ............................................................. .................................................. ...............
		Seria de puteri în plan complex ............................................. .............................................................
		Serii de puteri cu două fețe în plan complex ................................................ ..................... ...
		Funcțiile unei variabile complexe .................................................. ..................... ................................ ...................
		Funcții elementare de bază ............................................................. ................................................... ..........
		Formule lui Euler ................................................. .. ................................................ ....................
		Forma exponențială a reprezentării unui număr complex ........................................ ...... .
		Relația dintre funcțiile trigonometrice și hiperbolice ................................................
		Funcția logaritmică ................................................. ................. ................................ ................. ...
		Funcții generale exponențiale și puteri generale ................................................ ......................................
	Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe............................................. .................... ...
		Condiții Cauchy-Riemann ................................................. .......................................................... ......... ............
		Formule de calcul a derivatei ................................................. ............. .................................
		Proprietăți ale operației de diferențiere ................................................ .............................................................
		Proprietăți ale părților reale și imaginare ale unei funcții analitice ....................................... .......

	Recuperarea unei funcții a unei variabile complexe din real sau imaginar al acesteia
		Metoda numărul 1. Utilizarea integralei curbilinii ................................................. ......... .......
		Metoda numărul 2. Aplicarea directă a condițiilor Cauchy-Riemann..................................................
		Metoda numărul 3. Prin derivata funcției dorite .................................................. ................... .........
	Integrarea funcțiilor unei variabile complexe.................................................. ................... ...........
	Formula integrală a lui Cauchy ................................................. ................................................. . ..
	Extinderea funcțiilor în seriile Taylor și Laurent ................................................ .... .........................
	Zerouri și puncte singulare ale unei funcții a unei variabile complexe ................................ ....... ......
		Zerurile unei funcții a unei variabile complexe ................................................ .............................................
		Puncte singulare izolate ale unei funcții ale unei variabile complexe .................................. ......

14.3 Punct la infinit ca punct singular al unei funcții a unei variabile complexe

	Retrageri ................................................................. ................................................. . ...............................................
		Deducerea la punctul final ................................................. ............................................................. ............ ......
		Reziduul unei funcții într-un punct la infinit ............................................... ..................... .................
	Calculul integralelor folosind reziduuri ............................................. .............................................
	Întrebări pentru autoexaminare ............................................. ................. ................................ ................. .......
	Literatură................................................. ................................................. . ................................
	Index de subiecte................................................... ................................................. . .............

cuvânt înainte

Este destul de dificil să aloci corect timp și efort în pregătirea pentru părțile teoretice și practice ale unui examen sau certificare de modul, mai ales că întotdeauna nu este suficient timp în timpul sesiunii. Și așa cum arată practica, nu toată lumea poate face față acestui lucru. Ca urmare, în timpul examenului, unii studenți rezolvă corect probleme, dar le este greu să răspundă la cele mai simple întrebări teoretice, în timp ce alții pot formula o teoremă, dar nu o pot aplica.

Aceste recomandări metodologice de pregătire pentru examenul la cursul de Teoria funcțiilor unei variabile complexe (TFV) reprezintă o încercare de a rezolva această contradicție și de a asigura repetarea simultană a materialului teoretic și practic al cursului. Ghidate de principiul „Teoria fără practică este moartă, practica fără teorie este oarbă”, ele conțin atât pozițiile teoretice ale cursului la nivelul definițiilor și formulărilor, cât și exemple care ilustrează aplicarea fiecărei poziții teoretice date și, prin urmare, facilitând memorarea și înțelegerea acestuia.

Scopul propus instrucțiuni- ajuta elevul să se pregătească pentru examen la un nivel de bază. Cu alte cuvinte, a fost alcătuit un ghid de lucru extins care conține punctele principale utilizate în cursurile TFCT și necesare pentru implementare. teme pentru acasăși pregătirea pentru măsuri de control. În afară de muncă independentă studenților, această publicație educațională electronică poate fi utilizată la desfășurarea cursurilor într-o formă interactivă folosind o tablă electronică sau pentru plasarea într-un sistem de învățământ la distanță.

Vă rugăm să rețineți că această lucrare nu înlocuiește manualele sau notele de curs. Pentru un studiu aprofundat al materialului, se recomandă să consultați secțiunile relevante ale publicației publicate la Universitatea Tehnică de Stat din Moscova. N.E. Manual de bază Bauman.

La sfârșitul manualului există o listă de literatură recomandată și un index de subiecte, care include toate cele evidențiate în text. cursiv aldine termeni. Indexul constă din hyperlinkuri către secțiuni în care acești termeni sunt strict definiți sau descriși și în care sunt date exemple pentru a ilustra utilizarea lor.

Manualul este destinat studenților din anul II ai tuturor facultăților din MSTU. N.E. Bauman.

1. Forma algebrică de scriere a unui număr complex

Înregistrarea formei z \u003d x + iy, unde x, y sunt numere reale, i este o unitate imaginară (adică i 2 = − 1)

se numește forma algebrică a numărului complex z. În acest caz, x se numește partea reală a numărului complex și se notează Re z (x = Re z ), y se numește partea imaginară a numărului complex și se notează Im z (y = Im z ).

Exemplu. Partea reală a numărului complex z = 4 − 3i este Re z = 4 , iar partea imaginară este Im z = − 3 .

2. Planul numerelor complexe

ÎN teoriile funcţiilor unei variabile complexe considerăplan numeric complex, care se notează fie, fie se folosesc literele care denotă numere complexe z, w etc.

Axa orizontală a planului complex se numește axa reală, pe el sunt situate numere reale z = x + 0 i = x.

Axa verticală a planului complex se numește axa imaginară, are

3. Numere complexe conjugate

Se numesc numerele z = x + iy și z = x − iy conjugare complexa. Pe planul complex, ele corespund punctelor care sunt simetrice față de axa reală.

4. Operații cu numere complexe în formă algebrică

4.1 Adunarea numerelor complexe

Suma a două numere complexe

z 1 = x 1 + iy 1

iar z 2 = x 2 + iy 2 se numește număr complex

z1 + z2

= (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) .

Operațiune

adaosuri

numerele complexe este similară cu operația de adunare a binoamelor algebrice.

Exemplu. Suma a două numere complexe z 1 = 3 + 7i și z 2

= −1 +2 i

va fi un număr complex

z 1 + z 2 = (3 +7 i ) +(−1 +2 i ) = (3 −1 ) +(7 +2 ) i = 2 +9 i .

Evident,

suma intr-un complex

conjugat

este o

valabil

z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x = 2 Rez .

4.2 Scăderea numerelor complexe

Diferența a două numere complexe z 1 = x 1 + iy 1

X 2 + iy 2

numit

cuprinzător

numărul z 1 − z 2 = (x 1 + iy 1 ) − (x 2 + iy 2 ) = (x 1 − x 2 ) + i (y 1 − y 2 ) .

Exemplu. Diferența dintre două numere complexe

z 1 = 3 −4 i

și z2

= −1 +2 i

va exista o cuprinzătoare

numărul z 1 − z 2 = (3 − 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3 − (− 1) ) + (− 4 − 2) i = 4 − 6i .

diferență

conjugare complexa

este o

z − z = (x + iy) − (x − iy) = 2 iy = 2 i Im z .

4.3 Înmulțirea numerelor complexe

Produsul a două numere complexe

z 1 = x 1 + iy 1

și z 2 = x 2 + iy 2

se numeste complex

z 1z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1x 2 + iy 1x 2 + iy 2 x 1 + i 2 y 1 y 2

= (x 1x 2 − y 1 y 2 ) + i (y 1x 2 + y 2 x ) .

Astfel, operația de înmulțire a numerelor complexe este similară cu operația de înmulțire a binoamelor algebrice, ținând cont de faptul că i 2 = − 1.

Numerele complexe sunt o extensie a mulțimii numerelor reale, de obicei notate cu . Orice număr complex poate fi reprezentat ca o sumă formală, unde și sunt numere reale, este o unitate imaginară.

Scrierea unui număr complex sub forma , , se numește forma algebrică a unui număr complex.

Proprietățile numerelor complexe. Interpretarea geometrică a unui număr complex.

Acțiuni asupra numerelor complexe date sub formă algebrică:

Luați în considerare regulile prin care se efectuează operațiile aritmetice pe numere complexe.

Dacă sunt date două numere complexe α = a + bi și β = c + di, atunci

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (unsprezece)

Aceasta rezultă din definiția operațiilor de adunare și scădere a două perechi ordonate de numere reale (vezi formulele (1) și (3)). Am obținut regulile de adunare și scădere a numerelor complexe: pentru a adăuga două numere complexe, trebuie să se adună separat părțile reale ale acestora și, în consecință, părțile imaginare; pentru a scădea altul dintr-un număr complex, este necesar să se scadă părțile lor reale și, respectiv, imaginare.

Numărul - α \u003d - a - bi se numește opusul numărului α \u003d a + bi. Suma acestor două numere este zero: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Pentru a obține regula înmulțirii pentru numere complexe, folosim formula (6), adică faptul că i2 = -1. Ținând cont de acest raport, găsim (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

Această formulă corespunde formulei (2), care a definit înmulțirea perechilor ordonate de numere reale.

Rețineți că suma și produsul a două numere conjugate complexe sunt numere reale. Într-adevăr, dacă α = a + bi, = a – bi, atunci α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, adică.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Când împărțim două numere complexe în formă algebrică, ar trebui să ne așteptăm ca câtul să fie exprimat și printr-un număr de același tip, adică α/β = u + vi, unde u, v R. Să derivăm o regulă pentru împărțirea complexului numerele. Să fie date numere α = a + bi, β = c + di și β ≠ 0, adică c2 + d2 ≠ 0. Ultima inegalitate înseamnă că c și d nu dispar simultan (cazul când c = 0, d = 0). Aplicând formula (12) și a doua a egalităților (13), găsim:

Prin urmare, câtul a două numere complexe este dat de:

formula corespunzătoare (4).

Folosind formula obținută pentru numărul β = c + di, puteți găsi reciproca acestuia β-1 = 1/β. Presupunând în formula (14) a = 1, b = 0, obținem

Această formulă determină reciproca unui număr complex diferit de zero; și acest număr este complex.

De exemplu: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Acțiuni asupra numerelor complexe în formă algebrică.

55. Argumentul unui număr complex. Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex (ieșire).

Arg.comm.number. – între direcția pozitivă a axei X reale de către vectorul care reprezintă numărul dat.

formula trigon. Numere: ,