Picior cunoscut găsi a2. Cum se găsesc laturile unui triunghi dreptunghic? Fundamentele geometriei. Teorema lui Pitagora pentru a afla catetul unui triunghi dreptunghic

Un triunghi este un număr geometric format din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Punctele care formează un triunghi se numesc punctele sale, iar segmentele sunt una lângă alta.

În funcție de tipul de triunghi (dreptunghiular, monocrom etc.), puteți calcula latura triunghiului în diferite moduri, în funcție de datele de intrare și de condițiile problemei.

Navigare rapidă pentru un articol

Pentru a calcula laturile triunghi dreptunghic, se folosește teorema lui Pitagora, conform căreia pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetei.

Dacă etichetăm catetele cu „a” și „b” și ipotenuza cu „c”, atunci paginile pot fi găsite cu următoarele formule:

Dacă unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic (a și b) sunt cunoscute, laturile sale pot fi găsite cu următoarele formule:

triunghi decupat

Un triunghi se numește triunghi echilateral în care ambele laturi sunt aceleași.

Cum se găsește ipotenuza în două catete

Dacă litera „a” este identică cu aceeași pagină, „b” este baza, „b” este colțul opus bazei, „a” este colțul adiacent, următoarele formule pot fi folosite pentru a calcula paginile:

Două colțuri și lateral

Dacă se cunosc o pagină (c) și două unghiuri (a și b) ale oricărui triunghi, se utilizează formula sinusului pentru a calcula paginile rămase:

Trebuie să găsiți a treia valoare y = 180 - (a + b) deoarece

suma tuturor unghiurilor unui triunghi este 180°;

Două laturi și un unghi

Dacă sunt cunoscute două laturi ale unui triunghi (a și b) și unghiul dintre ele (y), teorema cosinusului poate fi folosită pentru a calcula a treia latură.

Cum se determină perimetrul unui triunghi dreptunghic

Un triunghi triunghiular este un triunghi, dintre care unul are 90 de grade, iar celelalte două sunt acute. plată perimetru astfel de triunghiîn funcţie de cantitatea de informaţii cunoscute despre aceasta.

Veți avea nevoie de el

• În funcție de ocazie, abilitățile 2 din cele trei laturi ale triunghiului, precum și unul dintre colțurile sale ascuțite.

instrucțiuni

primul Metoda 1. Dacă toate cele trei pagini sunt cunoscute triunghi Atunci, indiferent dacă este perpendicular sau nu triunghiular, perimetrul se calculează astfel: P = A + B + C, acolo unde este posibil, c este ipotenuza; a și b sunt picioare.

al doilea Metoda 2.

Dacă un dreptunghi are doar două laturi, atunci folosind teorema lui Pitagora, triunghi poate fi calculat folosind formula: P = v (a2 + b2) + a + b sau P = v (c2 - b2) + b + c.

al treilea Metoda 3. Fie ipotenuza c și un unghi ascuțit? Având în vedere un triunghi dreptunghic, se va putea găsi perimetrul în acest fel: P = (1 + sin?

Al patrulea Metoda 4. Se spune că în triunghiul dreptunghic lungimea unui catete este egală cu a și, dimpotrivă, are un unghi ascuțit. Apoi calculează perimetru acest triunghi se va efectua după formula: P = a * (1 / tg?

1/fiule? + 1)

a cincea Metoda 5.

Calcul online triunghiular

Lăsați piciorul nostru să conducă și să fiți inclus în el, apoi intervalul va fi calculat ca: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Videoclipuri similare

Teorema lui Pitagora este baza oricărei matematici. Specifică relația dintre laturile unui triunghi adevărat. Acum există 367 de dovezi ale acestei teoreme.

instrucțiuni

primul Formularea școlară clasică a teoremei lui Pitagora sună astfel: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Pentru a găsi ipotenuza într-un triunghi dreptunghic de două Cateți, trebuie să întoarceți la pătrat lungimea catetelor, să le asamblați și să luați rădăcina pătrată a sumei. În formularea originală a afirmației sale, piața se bazează pe ipotenuză, egală cu suma pătratelor a 2 pătrate produsă de Catete. Cu toate acestea, formularea algebrică modernă nu necesită introducerea unei reprezentări de domeniu.

al doilea De exemplu, un triunghi dreptunghic ale cărui catete au 7 cm și 8 cm.

Apoi, conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza pătrată este R + S = 49 + 64 = 113 cm.Ipotenuza este egală cu rădăcina pătrată a lui 113.

Unghiurile unui triunghi dreptunghic

Rezultatul a fost un număr nerezonabil.

al treilea Dacă triunghiurile sunt catetele 3 și 4, atunci ipotenuza = 25 = 5. Când luați rădăcina pătrată, obțineți un număr natural. Numerele 3, 4, 5 formează un triplu Pygagoreean, deoarece satisfac relația x? +Y? = Z, ceea ce este natural.

Alte exemple de triplet pitagoreic sunt: ​​6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Al patruleaÎn acest caz, dacă picioarele sunt identice între ele, teorema lui Pitagora se transformă într-o ecuație mai primitivă. De exemplu, fie o astfel de mână egală cu numărul A și ipotenuza este definită pentru C și apoi c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. În acest caz, nu aveți nevoie de A.

a cincea Teorema lui Pitagora este un caz special care este mai mare decât teorema generală a cosinusului, care stabilește o relație între cele trei laturi ale unui triunghi pentru orice unghi între două dintre ele.

Sfat 2: Cum să determinați ipotenuza pentru catete și unghiuri

Ipotenuza se numește latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade.

instrucțiuni

primulÎn cazul cateterelor binecunoscute, precum și a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, dimensiunea ipotenuzei poate fi egală cu raportul dintre catetere și cosinus / sinus al acestui unghi, dacă unghiul a fost opus / e includ: H = C1 (sau C2) / sin, H = C1 (sau С2 ?) / cos ?. Exemplu: Fie ABC un triunghi neregulat cu ipotenuza AB și unghi drept C.

Fie B 60 de grade și A 30 de grade. Lungimea tulpinii BC este de 8 cm.Ar trebui găsită lungimea ipotenuzei AB. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza una dintre metodele de mai sus: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Ipotenuza este cea mai lungă latură a dreptunghiului triunghi. Este situat în unghi drept. Metoda de aflare a ipotenuzei unui dreptunghi triunghi in functie de sursa datelor.

instrucțiuni

primul Dacă picioarele tale sunt perpendiculare triunghi, apoi lungimea ipotenuzei dreptunghiului triunghi poate fi găsită de analogul pitagoreic - pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimii catetelor: c2 = a2 + b2, unde a și b sunt lungimea catetelor dreptei triunghi .

al doilea Dacă este cunoscut și unul dintre catete este la un unghi ascuțit, formula pentru găsirea ipotenuzei va depinde de prezența sau absența la un anumit unghi față de catetul cunoscut - adiacent (piciorul este situat în apropiere), sau vice invers (cazul opus este situat nego.V din unghiul specificat este egal cu ipotenuza catetei de fracție în unghi cosinus: a = a / cos; E, pe de altă parte, ipotenuza este aceeași cu raportul unghiurilor sinusoidale: da = a / sin.

Videoclipuri similare

Sfaturi utile
Un triunghi unghiular ale cărui laturi sunt conectate ca 3:4:5, numit delta egipteană, datorită faptului că aceste figuri au fost utilizate pe scară largă de arhitecții Egiptului antic.

Acesta este, de asemenea, cel mai simplu exemplu de triunghiuri ale lui Jeron, cu paginile și zona reprezentate ca numere întregi.

Un triunghi se numește dreptunghi al cărui unghi este de 90°. Latura opusă colțului drept se numește ipotenuză, cealaltă parte se numește catete.

Dacă doriți să aflați cum este format un triunghi dreptunghic din unele proprietăți ale triunghiurilor regulate, și anume faptul că suma unghiurilor acute este de 90°, ceea ce este folosit și faptul că lungimea catetului opus este jumătate din ipotenuză este de 30°.

Navigare rapidă pentru un articol

triunghi decupat

Una dintre proprietățile unui triunghi egal este că cele două unghiuri ale sale sunt aceleași.

Pentru a calcula unghiul unui triunghi dreptunghic echilateral, trebuie să știți că:

• Nu este mai rău de 90°.
• Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, adică

  Unghiurile α și β sunt de 45°.

Dacă se cunoaște valoarea cunoscută a unuia dintre unghiurile ascuțite, celălalt poate fi găsit folosind formula: β = 180º-90º-α sau α = 180º-90º-β.

Acest raport este cel mai frecvent utilizat dacă unul dintre unghiuri este de 60° sau 30°.

Concepte cheie

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180°.

Pentru că este un nivel, doi rămân ascuțiți.

Calculați triunghiul online

Dacă vrei să le găsești, trebuie să știi că:

alte metode

Valorile unghiului ascuțit ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate din valoarea medie - cu o linie de la un punct la partea opusă triunghi, iar înălțimea - linia este o perpendiculară, coborâtă de la ipotenuză în unghi drept.

Fie mediana să se extindă din colțul din dreapta până la mijlocul ipotenuzei și h să fie înălțimea. În acest caz, rezultă că:

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sinα = h / b; sin β = h / a.

Două pagini

Dacă lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic sau din două laturi, atunci identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru a determina valorile unghiurilor ascuțite:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Lungimea unui triunghi dreptunghic

Aria și aria unui triunghi

perimetru

Circumferința oricărui triunghi este egală cu suma lungimilor celor trei laturi. Formula generală pentru găsirea unui triunghi triunghiular este:

unde P este circumferința triunghiului, a, b și c sunt laturile sale.

Perimetrul unui triunghi egal poate fi găsită prin combinarea succesivă a lungimilor laturilor sale, sau înmulțirea lungimii laturii cu 2 și adăugarea lungimii bazei la produs.

Formula generală pentru găsirea unui triunghi de echilibru va arăta astfel:

unde P este perimetrul unui triunghi egal, dar fie b, b sunt baza.

Perimetrul unui triunghi echilateral poate fi găsită combinând succesiv lungimile laturilor sale sau înmulțind lungimea oricărei pagini cu 3.

Formula generală pentru găsirea marginii triunghiurilor echilaterale ar arăta astfel:

unde P este perimetrul unui triunghi echilateral, a este oricare dintre laturile sale.

regiune

Dacă doriți să măsurați aria unui triunghi, o puteți compara cu un paralelogram. Luați în considerare triunghiul ABC:

Dacă luăm același triunghi și îl fixăm astfel încât să obținem un paralelogram, obținem un paralelogram cu aceeași înălțime și bază ca acest triunghi:

În acest caz, latura comună a triunghiurilor este pliată împreună de-a lungul diagonalei paralelogramului turnat.

Din proprietățile unui paralelogram. Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt întotdeauna împărțite în două triunghiuri egale, apoi suprafața fiecărui triunghi este egală cu jumătate din intervalul paralelogramului.

Deoarece aria paralelogramului este produsul înălțimii bazei sale, aria triunghiului va fi jumătate din acel produs. Deci pentru ΔABC aria va fi aceeași

Acum considerăm un triunghi dreptunghic:

Două triunghiuri dreptunghiulare identice pot fi îndoite într-un dreptunghi dacă acesta se sprijină de ele, care este orice altă ipotenuză.

Deoarece suprafața dreptunghiului coincide cu suprafața laturilor adiacente, aria acestui triunghi este aceeași:

Din aceasta putem concluziona că suprafața oricărui triunghi dreptunghic este egală cu produsul catetelor împărțit la 2.

Din aceste exemple, putem concluziona că suprafața fiecărui triunghi este aceeași cu produsul lungimii, iar înălțimea se reduce la baza împărțită la 2.

Formula generală pentru găsirea ariei unui triunghi ar arăta astfel:

unde S este aria triunghiului, dar baza acestuia, dar înălțimea scade în partea de jos a.

Cunoscând unul dintre catetele dintr-un triunghi dreptunghic, puteți găsi al doilea catete și ipotenuza folosind relații trigonometrice - sinusul și tangenta unui unghi cunoscut. Deoarece raportul catetului opus unghiului față de ipotenuză este egal cu sinusul acestui unghi, prin urmare, pentru a găsi ipotenuza, catetul trebuie împărțit la sinusul unghiului. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Al doilea catet poate fi găsit din tangenta unghiului cunoscut, ca raport dintre catetul cunoscut și tangenta. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Pentru a calcula unghiul necunoscut într-un triunghi dreptunghic, trebuie să scădeți unghiul α de la 90 de grade. β=90°-α

Perimetrul și aria unui triunghi dreptunghic prin catete și unghiul opus acestuia pot fi exprimate prin înlocuirea expresiilor obținute anterior pentru al doilea catet și ipotenuză în formule. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Înălțimea se poate calcula și prin relații trigonometrice, dar deja în triunghiul dreptunghic intern cu latura a, pe care îl formează. Pentru a face acest lucru, aveți nevoie de latura a, ca ipotenuză a unui astfel de triunghi, înmulțită cu sinusul unghiului β sau cosinusul α, deoarece conform identități trigonometrice sunt echivalente. (fig. 79.2) h=a cos⁡α

Mediana ipotenuzei este egală cu jumătate din ipotenuză sau catetul cunoscut a împărțit la două sinusuri α. Pentru a găsi medianele catetelor, aducem formulele la forma corespunzătoare pentru latura și unghiurile cunoscute. (fig.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Deoarece bisectoarea unui unghi drept dintr-un triunghi este produsul a două laturi și rădăcina a două, împărțit la suma acestor laturi, înlocuind unul dintre catete cu raportul catetului cunoscut și tangentei, obținem următorul expresie. În mod similar, înlocuind raportul în a doua și a treia formulă, se pot calcula bisectoarele unghiurilor α și β. (fig.79.4) l_с=(aa/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+ca))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+cb))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Linia de mijloc este paralelă cu una dintre laturile triunghiului, formând în același timp un alt triunghi dreptunghic similar cu aceleași unghiuri, în care toate laturile au jumătate din dimensiunea celui original. Pe baza acesteia, liniile de mijloc pot fi găsite folosind următoarele formule, cunoscând doar piciorul și unghiul opus acestuia. (fig.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Raza cercului înscris este egală cu diferența dintre catete și ipotenuză, împărțită la doi, iar pentru a găsi raza cercului circumscris, trebuie să împărțiți ipotenuza la două. Inlocuim al doilea catet si ipotenuza cu rapoartele catetului a la sinus si, respectiv, tangenta. (Fig. 79.5, 79.6) r=(a+bc)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Instruire

Unghiurile opuse catetelor a și b vor fi notate cu A și, respectiv, B. Ipotenuza, prin definiție, este latura unui triunghi dreptunghic care este opus unghi drept(în același timp, ipotenuza formează unghiuri ascuțite cu celelalte laturi ale triunghiului). Să notăm lungimea ipotenuzei cu s.

Vei avea nevoie:
Calculator.

Folosiți următoarea expresie pentru catetul: a=sqrt(c^2-b^2), dacă cunoașteți valorile ipotenuzei și ale celuilalt catet. Această expresie este derivată din teorema lui Pitagora, care afirmă că pătratul ipotenuzei unui triunghi este egal cu suma pătratelor catetelor. Operatorul sqrt înseamnă luarea rădăcinii pătrate. Semnul „^2” înseamnă ridicarea la a doua putere.

Utilizați formula a=c*sinA dacă cunoașteți ipotenuza (c) și unghiul opus catetei dorite (am desemnat acest unghi drept A).
Utilizați expresia a=c*cosB pentru a găsi catetul dacă cunoașteți ipotenuza (c) și unghiul adiacent catetei dorite (am desemnat acest unghi drept B).
Calculați cateta folosind formula a = b * tgA în cazul în care sunt date cateta b și unghiul opus catetului dorit (am convenit să notăm acest unghi A).

Notă:
Dacă în sarcina dvs. piciorul nu este găsit prin niciuna dintre metodele descrise, cel mai probabil poate fi redus la una dintre ele.

Sfaturi utile:
Toate aceste expresii sunt obținute din binecunoscutele definiții ale funcțiilor trigonometrice, așa că, chiar dacă ați uitat una dintre ele, puteți oricând să o derivați rapid cu operații simple. De asemenea, este util să cunoaștem valorile funcțiilor trigonometrice pentru cele mai tipice unghiuri 30, 45, 60, 90, 180 de grade.

După ce au studiat subiectul triunghiurilor dreptunghiulare, elevii deseori aruncă din cap toate informațiile despre ele. Inclusiv cum să găsiți ipotenuza, ca să nu mai vorbim despre ce este.

Și degeaba. Pentru că în viitor, diagonala dreptunghiului se dovedește a fi chiar această ipotenuză și trebuie găsită. Sau diametrul cercului coincide cu cea mai mare latură a triunghiului, unul dintre unghiurile căruia este drept. Și este imposibil să-l găsești fără această cunoaștere.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza unui triunghi. Alegerea metodei depinde de setul de date inițial din problema cantităților.

Metoda numărul 1: sunt date ambele picioare

Aceasta este cea mai memorabilă metodă deoarece folosește teorema lui Pitagora. Doar uneori elevii uită că această formulă este pătratul ipotenuzei. Deci, pentru a găsi latura în sine, va trebui să luați rădăcina pătrată. Prin urmare, formula pentru ipotenuză, care este de obicei notă cu litera „c”, va arăta astfel:

c = √ (a 2 + a 2), unde literele „a” și „b” sunt scrise ambele catete ale unui triunghi dreptunghic.

Metoda numărul 2: se cunosc piciorul și unghiul adiacent acestuia

Pentru a învăța cum să găsiți ipotenuza, trebuie să vă amintiți funcții trigonometrice. Și anume cosinus. Pentru comoditate, vom presupune că piciorul „a” și unghiul α adiacent acestuia sunt date.

Acum trebuie să ne amintim că cosinusul unghiului unui triunghi dreptunghic este egal cu raportul celor două laturi. Numătorul va fi valoarea catetei, iar numitorul va fi ipotenuza. Din aceasta rezultă că acesta din urmă poate fi calculat prin formula:

c = a / cos α.

Metoda numărul 3: dat fiind piciorul și unghiul care se află opus

Pentru a nu ne confunda în formule, introducem denumirea pentru acest unghi - β și lăsăm latura „a”. În acest caz, este necesară o altă funcție trigonometrică - sinusul.

Ca și în exemplul anterior, sinusul este egal cu raportul catetei la ipotenuză. Formula pentru această metodă arată astfel:

c \u003d a / sin β.

Pentru a nu fi confundat în funcțiile trigonometrice, vă puteți aminti o regulă mnemonică simplă: dacă problema este de aproximativ despre colțul opus, atunci trebuie să utilizați cu Și nous dacă - oh pr Și mincind, apoi să despre sinusului. Acordați atenție primelor vocale din cuvintele cheie. Ei formează perechi Oh si sau și despre.

Metoda numărul 4: de-a lungul razei cercului circumscris

Acum, pentru a afla cum să găsiți ipotenuza, trebuie să vă amintiți proprietatea cercului, care este descrisă în jurul unui triunghi dreptunghic. Se citește după cum urmează. Centrul cercului coincide cu mijlocul ipotenuzei. Cu alte cuvinte, cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic este egală cu diagonala cercului. Adică dublarea razei. Formula pentru această sarcină ar arăta astfel:

c = 2 * r, unde r denotă raza cunoscută.

Toate acestea sunt modalități posibile de a găsi ipotenuza unui triunghi dreptunghic. În fiecare sarcină specifică, trebuie să utilizați metoda care este mai potrivită pentru setul de date.

Exemplu de sarcină #1

Condiție: într-un triunghi dreptunghic, medianele sunt trase pe ambele picioare. Lungimea celui desenat pe latura mai mare este √52. Cealaltă mediană are o lungime de √73. Trebuie să calculați ipotenuza.

Deoarece medianele sunt desenate într-un triunghi, ele împart catetele în două segmente egale. Pentru comoditatea raționamentului și a găsirii modului de a găsi ipotenuza, trebuie să introduceți mai multe notații. Lăsați ambele jumătăți ale piciorului mai mare să fie marcate cu litera „x”, iar cealaltă cu „y”.

Acum trebuie să luăm în considerare două triunghiuri dreptunghiulare, ale căror ipotenuze sunt mediane cunoscute. Pentru ei, trebuie să scrieți de două ori formula teoremei lui Pitagora:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Aceste două ecuații formează un sistem cu două necunoscute. După ce le-am rezolvat, va fi ușor să găsiți catetele triunghiului original și ipotenuza acestuia din ele.

Mai întâi trebuie să ridici totul la al doilea grad. Se dovedește:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Din a doua ecuație se poate observa că y 2 \u003d 73 - 4x 2. Această expresie trebuie înlocuită în prima și calculați „x”:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

După conversie:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 sau 15 x 2 \u003d 240.

Din ultima expresie x = √16 = 4.

Acum puteți calcula „y”:

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Conform condiției, se dovedește că catetele triunghiului inițial sunt 6 și 8. Deci, puteți utiliza formula din prima metodă și puteți găsi ipotenuza:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Răspuns: ipotenuza este 10.

Exemplul de sarcină #2

Condiție: se calculează diagonala desenată într-un dreptunghi cu latura mai mică egală cu 41. Dacă se știe că împarte unghiul în cele care sunt legate ca 2 la 1.

În această problemă, diagonala unui dreptunghi este cea mai lungă latură dintr-un triunghi de 90º. Deci totul se reduce la modul de a găsi ipotenuza.

Problema este legata de colturi. Aceasta înseamnă că va trebui să utilizați una dintre formulele în care există funcții trigonometrice. Și mai întâi trebuie să determinați valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite.

Fie ca cel mai mic dintre unghiurile la care se face referire în condiție să fie notat cu α. Atunci unghiul drept, care este împărțit la diagonală, va fi egal cu 3α. Notația matematică pentru aceasta arată astfel:

Din această ecuație este ușor de determinat α. Va fi egal cu 30º. Mai mult, se va afla opus laturii mai mici a dreptunghiului. Prin urmare, va fi necesară formula descrisă în metoda nr. 3.

Ipotenuza este egală cu raportul catetei la sinusul unghiului opus, adică:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Răspuns: ipotenuza este 82.

Înainte de a găsi ipotenuza unui triunghi, trebuie să vă dați seama ce caracteristici are această figură. Să le luăm în considerare pe cele principale:

1. Într-un triunghi dreptunghic, ambele unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
2. Un picior situat opus unui unghi de 30º va fi egal cu jumătate din ipotenuză.
3. Dacă catetul este egal cu ½ din valoarea ipotenuzei, atunci al doilea unghi va avea aceeași valoare - 30º.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza într-un triunghi dreptunghic. cu cel mai mult solutie simpla este calculul prin picioare. Să presupunem că cunoașteți valorile catetelor laturilor A și B. Atunci teorema lui Pitagora vine în ajutor, spunându-ne că dacă pătram valoarea fiecărui catete și însumăm datele obținute, vom afla care este ipotenuza este. Astfel, trebuie doar să extragem valoarea rădăcinii pătrate:

De exemplu, dacă piciorul A = 3 cm și piciorul B = 4 cm, atunci calculul ar arăta astfel:

Cum se găsește ipotenuza printr-un unghi?

O altă modalitate de a ajuta să aflați cu ce este egală ipotenuza dintr-un triunghi dreptunghic este să calculați printr-un unghi dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivăm valoarea prin formula sinusului. Să presupunem că știm valoarea catetei (A) și valoarea unghiului opus (α). Atunci întreaga soluție este într-o singură formulă: С=А/sin(α).

De exemplu, dacă lungimea catetei este de 40 cm și unghiul este de 45°, atunci lungimea ipotenuzei poate fi derivată după cum urmează:

De asemenea, puteți determina valoarea dorită prin cosinusul unui unghi dat. Să presupunem că cunoaștem valoarea unui picior (B) și a unui unghi ascuțit inclus (α). Atunci este nevoie de o formulă pentru a rezolva problema: С=В/ cos(α).

De exemplu, dacă lungimea catetei este de 50 cm și unghiul este de 45°, atunci ipotenuza poate fi calculată după cum urmează:

Astfel, am examinat principalele modalități de a afla ipotenuza într-un triunghi. În cursul rezolvării sarcinii, este important să se concentreze asupra datelor disponibile, apoi găsirea valorii necunoscute va fi destul de simplă. Trebuie să știi doar câteva formule și procesul de rezolvare a problemelor va deveni simplu și plăcut.