Inegalități logaritmice. Ecuații și inegalități logaritmice Inegalități mixte cu logaritmi

solutie inegalitatiiîn mod pe net soluţie aproape orice inegalitate dată pe net. Matematic inegalități online pentru a rezolva matematica. Găsiți repede solutie inegalitatiiîn mod pe net. Site-ul www.site vă permite să găsiți soluţie aproape orice dat algebric, trigonometric sau inegalitate transcendentă online. Când studiezi aproape orice secțiune de matematică în diferite etape, trebuie să te decizi inegalități online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc www.site rezolva inegalitatea online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvăm matematică inegalități online- este viteza și acuratețea răspunsului emis. Site-ul este capabil să rezolve orice inegalități algebrice online, inegalități trigonometrice online, inegalități transcendentale online, și inegalităților cu parametri necunoscuți în modul pe net. inegalităților servesc ca un puternic aparat matematic solutii sarcini practice. Cu ajutor inegalități matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea la prima vedere confuze și complexe. cantități necunoscute inegalităților poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă inegalitățilorȘi decide sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice inegalitatea algebrică, inegalitatea trigonometrică sau inegalităților conținând transcendental te prezintă cu ușurință decide online și obțineți răspunsul corect. Studiind științele naturii, se întâlnește inevitabil nevoia rezolvarea inegalităților. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie primit imediat în modul pe net. Prin urmare, pentru Rezolvarea inegalităților matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră indispensabil pentru rezolvarea inegalităților algebrice online, inegalități trigonometrice online, și inegalități transcendentale online sau inegalităților cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de găsire a soluţiilor intravol de diverse inegalități matematice resursa www.. Rezolvarea inegalități online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluția online a inegalităților pe site-ul www.site. Este necesar să notați corect inegalitatea și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparăm răspunsul cu soluția ta la inegalitate. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, suficient rezolva inegalitatea onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie si corecteaza raspunsul la timp rezolvarea inegalităților online fie algebric, trigonometric, transcendent sau inegalitate cu parametri necunoscuți.

La hotărâre inegalități logaritmice luăm ca bază proprietățile funcțiilor logaritmice. Și anume că funcția la=log un x la A> 1 va fi în creștere monoton, iar la 0< A< 1 - монотонно убывающей.

Să analizăm transformări necesare pentru a rezolva inegalitatea

log 1/5 (x - l) > - 2.

Mai întâi trebuie să echilibrezi bazele logaritmilor, în acest caz, arată partea dreaptă sub forma unui logaritm cu necesarul bază. Să ne transformăm -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25, atunci indicăm inegalitatea aleasă sub forma:

log 1/5 (x-l) > log 1/5 25.

Funcţie la= log 1/5 X va fi monoton în scădere. Rezultă că valoarea mai mare a acestei funcții corespunde valorii mai mici a argumentului. Și în consecință avem X—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство X- 1 > 0 corespunzător faptului că sub semn logaritm nu poate fi decât pozitiv. Rezultă că această inegalitate este identică cu sistemul a două inegalități liniare. Având în vedere că baza logaritmului este mai mică de unu, într-un sistem identic, semnul inegalității este inversat:

Rezolvând ceea ce vedem că:

1 < х < 26.

Este de mare importanță să nu uităm condiția x-1 > 0, altfel concluzia nu va fi corectă: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.

Obiectivele lecției:

Didactic:

• Nivelul 1 - învață cum să rezolvi cele mai simple inegalități logaritmice, folosind definiția unui logaritm, proprietățile logaritmilor;
• Nivelul 2 - rezolvați inegalitățile logaritmice, alegând propria metodă de rezolvare;
• Nivelul 3 - să fie capabil să aplice cunoștințele și abilitățile în situații non-standard.

În curs de dezvoltare: dezvolta memoria, atentia, gandirea logica, abilitatile de comparare, sa poata generaliza si sa traga concluzii

Educational: a cultiva acuratețea, responsabilitatea pentru sarcina îndeplinită, asistența reciprocă.

Metode de predare: verbal , vizual , practic , căutare parțială , autoguvernare , Control.

Forme de organizare a activității cognitive a elevilor: frontal , individual , lucra in perechi.

Echipament: un set de sarcini de testare, o notă de referință, foi goale pentru soluții.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric. Se anunță tema și scopurile lecției, schema lecției: fiecărui elev i se dă o fișă de evaluare, pe care elevul o completează în timpul lecției; pentru fiecare pereche de elevi - materiale tipărite cu sarcini, trebuie să finalizați sarcinile în perechi; foi albe pentru decizii; fișe de referință: definiția logaritmului; graficul unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm de rezolvare a inegalităților logaritmice.

Toate deciziile după autoevaluare sunt transmise profesorului.

Fișa de punctaj a elevului

2. Actualizarea cunoștințelor.

Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă definiția logaritmului, graficul funcției logaritmice și proprietățile acesteia. Pentru a face acest lucru, citiți textul de la pp. 88–90, 98–101 din manualul „Algebra și începutul analizei 10–11”, editat de Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin și alții.

Elevilor li se dau foi pe care sunt scrise: definiția logaritmului; prezintă un grafic al unei funcții logaritmice, proprietățile acesteia; proprietățile logaritmilor; algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice, un exemplu de rezolvare a unei inegalități logaritmice care se reduce la un pătrat.

3. Învățarea de material nou.

Soluția inegalităților logaritmice se bazează pe monotonitatea funcției logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice:

A) Aflați domeniul de definire al inegalității (expresia sublogaritmică este mai mare decât zero).
B) Prezentați (dacă este posibil) părțile din stânga și din dreapta ale inegalității ca logaritmi în aceeași bază.
C) Determinați dacă funcția logaritmică este crescătoare sau descrescătoare: dacă t>1, atunci crește; daca 0 1, apoi în scădere.
D) Treceți la o inegalitate mai simplă (expresii sublogaritmice), având în vedere că semnul de inegalitate va rămâne dacă funcția este în creștere și se va modifica dacă este în scădere.

Elementul de învățare #1.

Scop: stabilirea soluției celor mai simple inegalități logaritmice

Forma de organizare a activității cognitive a elevilor: munca individuală.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute. Pentru fiecare inegalitate, există mai multe răspunsuri, trebuie să îl alegeți pe cel potrivit și să verificați după cheie.

CHEIE: 13321, maxim puncte - 6 p.

Elementul de învățare #2.

Scop: fixarea soluției inegalităților logaritmice prin aplicarea proprietăților logaritmilor.

Instrucțiunile profesorului. Amintiți-vă proprietățile de bază ale logaritmilor. Pentru a face acest lucru, citiți textul manualului de la p.92, 103–104.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute.

CHEIE: 2113, numărul maxim de puncte este de 8 b.

Elementul de învățare #3.

Scop: studierea soluției inegalităților logaritmice prin metoda reducerii la pătrat.

Instrucțiunile profesorului: metoda de reducere a inegalității la un pătrat constă în transformarea inegalității într-o astfel de formă încât o anumită funcție logaritmică să fie notată printr-o nouă variabilă, obținând în același timp o inegalitate pătrată în raport cu această variabilă.

Să folosim metoda intervalului.

Ai trecut de primul nivel de asimilare a materialului. Acum va trebui să alegeți independent o metodă de rezolvare a ecuațiilor logaritmice, folosind toate cunoștințele și capacitățile dumneavoastră.

Elementul de învățare numărul 4.

Scop: consolidarea soluției inegalităților logaritmice prin alegerea unei modalități raționale de a o rezolva singur.

Sarcini pentru muncă independentă timp de 10 minute

Elementul de învățare numărul 5.

Instrucțiunile profesorului. Bine făcut! Ai stăpânit soluția ecuațiilor de al doilea nivel de complexitate. Scopul muncii dvs. ulterioare este de a vă aplica cunoștințele și abilitățile în situații mai complexe și non-standard.

Sarcini pentru soluție independentă:

Instrucțiunile profesorului. Este grozav dacă ai făcut toată munca. Bine făcut!

Nota pentru întreaga lecție depinde de numărul de puncte obținute pentru toate elementele educaționale:

• dacă N ≥ 20, atunci obțineți un scor de „5”,
• pentru 16 ≤ N ≤ 19 – scor „4”,
• pentru 8 ≤ N ≤ 15 – scor „3”,
• la N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Vulpi estimate de predat profesorului.

5. Tema pentru acasă: dacă ați obținut mai mult de 15 b - lucrați la greșeli (soluțiile pot fi luate de la profesor), dacă ați obținut mai mult de 15 b - faceți o sarcină creativă pe tema „Inegalități logaritmice”.

INEGALITATI LOGARITMICE ÎN UTILIZARE

Sechin Mihail Alexandrovici

Mica Academie de Științe pentru Studenții din Republica Kazahstan „Căutător”

MBOU „Școala secundară sovietică Nr. 1”, clasa a 11-a, or. Districtul Sovietic Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, profesor de MBOU „Școala secundară sovietică nr. 1”

districtul Sovietsky

Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a inegalităților logaritmice C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante despre logaritm.

Subiect de studiu:

3) Învață să rezolvi inegalitățile logaritmice specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Conţinut

Introducere…………………………………………………………………………………………….4

Capitolul 1. Context………………………………………………………….5

Capitolul 2. Colecția de inegalități logaritmice ………………………… 7

2.1. Tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor…………… 7

2.2. Metoda raționalizării …………………………………………………… 15

2.3. Înlocuirea non-standard.............................................................................................. 22

2.4. Sarcini cu capcane……………………………………………………… 27

Concluzie……………………………………………………………………………… 30

Literatură……………………………………………………………………. 31

Introducere

Sunt în clasa a XI-a și plănuiesc să intru într-o universitate în care matematica este o materie de bază. Și de aceea lucrez mult cu sarcinile din partea C. În sarcina C3, trebuie să rezolvați o inegalitate non-standard sau un sistem de inegalități, de obicei asociat cu logaritmi. În timpul pregătirii pentru examen, m-am confruntat cu problema lipsei de metode și tehnici de rezolvare a inegalităților logaritmice de examen oferite în C3. Metodele care sunt studiate în programa școlară pe această temă nu oferă o bază pentru rezolvarea sarcinilor C3. Profesorul de matematică mi-a sugerat să lucrez singur cu temele C3, sub îndrumarea ei. În plus, m-a interesat întrebarea: există logaritmi în viața noastră?

Având în vedere acest lucru, a fost aleasă tema:

„Inegalități logaritmice la examen”

Scopul lucrării: studiul mecanismului de rezolvare a problemelor C3 folosind metode non-standard, dezvăluind fapte interesante despre logaritm.

Subiect de studiu:

1) Găsiți informațiile necesare despre metodele nestandard de rezolvare a inegalităților logaritmice.

2) Găsiți informații suplimentare despre logaritmi.

3) Învață să rezolvi probleme specifice C3 folosind metode non-standard.

Rezultate:

Semnificația practică constă în extinderea aparatului de rezolvare a problemelor C3. Acest material poate fi folosit în unele lecții, pentru conducerea cercurilor, ore opționale de matematică.

Produsul proiectului va fi colecția „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”.

Capitolul 1. Context

În timpul secolului al XVI-lea, numărul de calcule aproximative a crescut rapid, în primul rând în astronomie. Îmbunătățirea instrumentelor, studiul mișcărilor planetare și alte lucrări au necesitat calcule colosale, uneori mulți ani. Astronomia era în pericol real de a se îneca în calcule neîmplinite. Au apărut dificultăți și în alte domenii, de exemplu, în domeniul asigurărilor, au fost necesare tabele de dobândă compusă pentru diferite valori procentuale. Principala dificultate a fost înmulțirea, împărțirea numerelor cu mai multe cifre, în special a cantităților trigonometrice.

Descoperirea logaritmilor sa bazat pe proprietățile binecunoscute ale progresiilor până la sfârșitul secolului al XVI-lea. Arhimede a vorbit despre legătura dintre membrii progresiei geometrice q, q2, q3, ... și progresia aritmetică a indicatorilor lor 1, 2, 3, ... în Psalmit. O altă condiție prealabilă a fost extinderea conceptului de grad la exponenți negativi și fracționari. Mulți autori au subliniat că înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere și extragerea unei rădăcini corespund exponențial în aritmetică - în aceeași ordine - adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Aici a fost ideea logaritmului ca exponent.

În istoria dezvoltării doctrinei logaritmilor au trecut mai multe etape.

Etapa 1

Logaritmii au fost inventați nu mai târziu de 1594 independent de baronul scoțian Napier (1550-1617) și zece ani mai târziu de mecanicul elvețian Burgi (1552-1632). Ambele au vrut să ofere un nou mijloc convenabil de calcule aritmetice, deși au abordat această problemă în moduri diferite. Napier a exprimat cinematic funcția logaritmică și a intrat astfel într-un nou domeniu al teoriei funcțiilor. Bürgi a rămas pe baza luării în considerare a progresiilor discrete. Cu toate acestea, definiția logaritmului pentru ambele nu este similară cu cea modernă. Termenul „logaritm” (logaritm) îi aparține lui Napier. A luat naștere dintr-o combinație de cuvinte grecești: logos – „relație” și ariqmo – „număr”, care însemna „număr de relații”. Inițial, Napier a folosit un alt termen: numeri artificiales - „numere artificiale”, spre deosebire de numeri naturalts - „numere naturale”.

În 1615, într-o conversație cu Henry Briggs (1561-1631), profesor de matematică la Gresh College din Londra, Napier a sugerat să se ia zero pentru logaritmul lui unu și 100 pentru logaritmul lui zece sau, ceea ce înseamnă același, doar 1. Așa au apărut logaritmii zecimali și primele tabele logaritmice au fost tipărite. Mai târziu, tabelele Briggs au fost completate de librarul și matematicianul olandez Andrian Flakk (1600-1667). Napier și Briggs, deși au ajuns la logaritmi înaintea oricui, și-au publicat tabelele mai târziu decât alții - în 1620. Semnele log și Log au fost introduse în 1624 de I. Kepler. Termenul de „logaritm natural” a fost introdus de Mengoli în 1659, urmat de N. Mercator în 1668, iar profesorul londonez John Spadel a publicat tabele de logaritmi naturali ai numerelor de la 1 la 1000 sub denumirea de „New Logarithms”.

În limba rusă, primele tabele logaritmice au fost publicate în 1703. Dar în toate tabelele logaritmice au fost făcute erori în calcul. Primele tabele fără erori au fost publicate în 1857 la Berlin în prelucrarea matematicianului german K. Bremiker (1804-1877).

Etapa 2

Dezvoltarea ulterioară a teoriei logaritmilor este asociată cu o aplicare mai largă a geometriei analitice și calculului infinitezimal. Până în acel moment, a fost stabilită legătura dintre cuadratura unei hiperbole echilaterale și logaritmul natural. Teoria logaritmilor din această perioadă este asociată cu numele unui număr de matematicieni.

Matematicianul, astronomul și inginerul german Nikolaus Mercator în eseul său

„Logaritmotehnica” (1668) oferă o serie care dă expansiunea lui ln(x + 1) în termeni de

puteri x:

Această expresie corespunde exact cursului gândirii sale, deși, desigur, nu a folosit semnele d, ..., ci simboluri mai greoaie. Odată cu descoperirea seriei logaritmice, tehnica de calcul a logaritmilor s-a schimbat: au început să fie determinate folosind serii infinite. În prelegerile sale „Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior”, citite în 1907-1908, F. Klein a sugerat folosirea formulei ca punct de plecare pentru construirea teoriei logaritmilor.

Etapa 3

Definirea unei funcții logaritmice ca funcție a inversului

exponențial, logaritmul ca exponent al unei baze date

nu a fost formulată imediat. Opera lui Leonhard Euler (1707-1783)

„Introducere în analiza infinitezimale” (1748) a servit ca mai departe

dezvoltarea teoriei funcţiei logaritmice. Prin urmare,

Au trecut 134 de ani de când logaritmii au fost introduși pentru prima dată

(numărând din 1614) înainte ca matematicienii să vină cu o definiție

conceptul de logaritm, care stă acum la baza cursului școlar.

Capitolul 2. Colecția inegalităților logaritmice

2.1. Tranziții echivalente și metoda generalizată a intervalelor.

Tranziții echivalente

dacă a > 1

daca 0 < а < 1

Metoda intervalului generalizat

Această metodă este cea mai universală în rezolvarea inegalităților de aproape orice tip. Schema de soluții arată astfel:

1. Aduceți inegalitatea într-o astfel de formă, unde funcția este situată în partea stângă
, și 0 în dreapta.

2. Găsiți domeniul de aplicare al funcției
.

3. Aflați zerourile unei funcții
, adică rezolvați ecuația
(și rezolvarea unei ecuații este de obicei mai ușoară decât rezolvarea unei inegalități).

4. Desenați domeniul de definiție și zerourile funcției pe o dreaptă reală.

5. Determinați semnele funcției
la intervalele primite.

6. Selectați intervalele în care funcția preia valorile necesare și notați răspunsul.

Exemplul 1

Soluţie:

Aplicați metoda intervalului

Unde

Pentru aceste valori, toate expresiile sub semnele logaritmilor sunt pozitive.

Răspuns:

Exemplul 2

Soluţie:

1 cale . ODZ este determinat de inegalitate X> 3. Luarea de logaritmi pentru astfel de Xîn baza 10, obținem

Ultima inegalitate ar putea fi rezolvată prin aplicarea regulilor de descompunere, i.e. compararea factorilor cu zero. Cu toate acestea, în acest caz este ușor de determinat intervalele de constanță ale funcției

deci se poate aplica metoda intervalului.

Funcţie f(X) = 2X(X- 3.5)lgǀ X- 3ǀ este continuă pt X> 3 și dispare în puncte X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Astfel, determinăm intervalele de constanță ale funcției f(X):

Răspuns:

a 2-a cale . Să aplicăm ideile metodei intervalelor direct inegalității inițiale.

Pentru aceasta, amintim că expresiile A b- A c și ( A - 1)(b- 1) au un singur semn. Apoi inegalitatea noastră pentru X> 3 este echivalent cu inegalitatea

sau

Ultima inegalitate se rezolvă prin metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 3

Soluţie:

Aplicați metoda intervalului

Răspuns:

Exemplul 4

Soluţie:

Din 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 pentru toate reale X, Acea

Pentru a rezolva a doua inegalitate, folosim metoda intervalului

În prima inegalitate, noi facem schimbarea

atunci ajungem la inegalitatea 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, care satisfac inegalitatea -0,5< y < 1.

De unde, pentru că

obținem inegalitatea

care se realizează cu X, pentru care 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Acum, ținând cont de soluția celei de-a doua inegalități a sistemului, obținem în sfârșit

Răspuns:

Exemplul 5

Soluţie:

Inegalitatea este echivalentă cu un set de sisteme

sau

Aplicați metoda intervalului sau

Răspuns:

Exemplul 6

Soluţie:

Inegalitatea echivalează cu un sistem

Lăsa

Apoi y > 0,

și prima inegalitate

sistemul ia forma

sau, extinderea

trinom pătrat în factori,

Aplicând metoda intervalului la ultima inegalitate,

vedem că soluțiile sale satisfac condiția y> 0 va fi tot y > 4.

Astfel, inegalitatea originală este echivalentă cu sistemul:

Deci, soluțiile inegalității sunt toate

2.2. metoda de raționalizare.

Anterior, metoda de raționalizare a inegalității nu a fost rezolvată, nu era cunoscută. Aceasta este „o nouă metodă modernă eficientă pentru rezolvarea inegalităților exponențiale și logaritmice” (citat din cartea lui Kolesnikova S.I.)
Și chiar dacă profesorul l-a cunoscut, era o teamă - dar expertul USE îl cunoaște și de ce nu-l dau la școală? Au fost situații când profesorul i-a spus elevului: "De unde l-ai luat? Stai jos - 2."
Acum metoda este promovată peste tot. Și pentru experți, există linii directoare asociate cu această metodă, iar în „Cele mai complete ediții de opțiuni standard...” în soluția C3, se folosește această metodă.
METODA ESTE GENIALĂ!

„Masa magică”

În alte surse

Dacă a >1 și b >1, apoi log a b >0 și (a -1)(b -1)>0;

Dacă a >1 și 0

daca 0<A<1 и b >1, apoi log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

daca 0<A<1 и 00 și (a -1)(b -1)>0.

Raționamentul de mai sus este simplu, dar simplifică considerabil soluția inegalităților logaritmice.

Exemplul 4

log x (x 2 -3)<0

Soluţie:

Exemplul 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Soluţie:

Răspuns. (0; 0,5) U.

Exemplul 6

Pentru a rezolva această inegalitate, scriem (x-1-1) (x-1) în loc de numitor și produsul (x-1) (x-3-9 + x) în loc de numărător.

Răspuns : (3;6)

Exemplul 7

Exemplul 8

2.3. Înlocuire non-standard.

Exemplul 1

Exemplul 2

Exemplul 3

Exemplul 4

Exemplul 5

Exemplul 6

Exemplul 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Să facem înlocuirea y=3 x -1; atunci această inegalitate ia forma

log 4 log 0,25
.

Deoarece log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , apoi rescriem ultima inegalitate ca 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Să facem o înlocuire t =log 4 y și să obținem inegalitatea t 2 -2t +≥0, a cărei soluție este intervalele - .

Astfel, pentru a găsi valorile lui y, avem un set de două cele mai simple inegalități
Soluția acestei colecții este intervalele 0<у≤2 и 8≤у<+.

Prin urmare, inegalitatea originală este echivalentă cu mulțimea a două inegalități exponențiale,
adică agregate

Soluția primei inegalități a acestei mulțimi este intervalul 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Astfel, inegalitatea originală este valabilă pentru toate valorile lui x din intervalele 0<х≤1 и 2≤х<+.

Exemplul 8

Soluţie:

Inegalitatea echivalează cu un sistem

Soluția celei de-a doua inegalități, care determină ODZ, va fi mulțimea celor X,

pentru care X > 0.

Pentru a rezolva prima inegalitate, facem schimbarea

Apoi obținem inegalitatea

sau

Mulțimea soluțiilor ultimei inegalități se găsește prin metodă

intervale: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, primim

sau

Multe dintre acestea X, care satisfac ultima inegalitate

aparține ODZ ( X> 0), prin urmare, este o soluție a sistemului,

și de aici inegalitatea inițială.

Răspuns:

2.4. Sarcini cu capcane.

Exemplul 1

.

Soluţie. ODZ a inegalității este tot x care satisface condiția 0 . Prin urmare, toți x din intervalul 0

Exemplul 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Ideea este că al doilea număr este în mod evident mai mare decât

Concluzie

Nu a fost ușor să găsești metode speciale de rezolvare a problemelor C3 dintr-o mare varietate de surse educaționale diferite. Pe parcursul lucrărilor efectuate, am putut studia metode non-standard pentru rezolvarea inegalităților logaritmice complexe. Acestea sunt: ​​tranzițiile echivalente și metoda generalizată a intervalelor, metoda raționalizării , substituție non-standard , sarcini cu capcane pe ODZ. Aceste metode sunt absente în programa școlară.

Folosind diferite metode, am rezolvat 27 de inegalități oferite la USE în partea C și anume C3. Aceste inegalități cu soluții prin metode au stat la baza colecției „Inegalități logaritmice C3 cu soluții”, care a devenit produsul de proiect al activității mele. S-a confirmat ipoteza pe care am înaintat-o ​​la începutul proiectului: problemele C3 pot fi rezolvate eficient dacă aceste metode sunt cunoscute.

În plus, am descoperit fapte interesante despre logaritmi. A fost interesant pentru mine să o fac. Produsele proiectului meu vor fi utile atât studenților, cât și profesorilor.

Concluzii:

Astfel, scopul proiectului este atins, problema este rezolvată. Și am obținut cea mai completă și versatilă experiență în activități de proiect în toate etapele de lucru. În timpul lucrului la proiect, impactul meu principal de dezvoltare a fost asupra competenței mentale, activităților legate de operații mentale logice, dezvoltarea competenței creative, inițiativa personală, responsabilitate, perseverență și activitate.

O garanție a succesului la crearea unui proiect de cercetare pt Am devenit: o experiență școlară semnificativă, capacitatea de a extrage informații din diverse surse, de a le verifica fiabilitatea, de a o clasifica în funcție de semnificația ei.

Pe lângă cunoștințele direct de la matematică, și-a extins abilitățile practice în domeniul informaticii, a dobândit noi cunoștințe și experiență în domeniul psihologiei, a stabilit contacte cu colegii de clasă și a învățat să coopereze cu adulții. Pe parcursul activităților proiectului s-au dezvoltat abilități și abilități educaționale generale organizatorice, intelectuale și comunicative.

Literatură

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sisteme de inegalități cu o variabilă (sarcini tipice C3).

2. Malkova A. G. Pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică.

3. S. S. Samarova, Rezolvarea inegalităților logaritmice.

4. Matematică. Culegere de lucrări de formare editată de A.L. Semyonov și I.V. Iascenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-

Rezolvând inegalitățile logaritmice, folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. De asemenea, folosim definiția logaritmului și formulele logaritmice de bază.

Să recapitulăm ce sunt logaritmii:

Logaritm un număr pozitiv în bază este un indicator al puterii la care trebuie să ridicați pentru a obține .

în care

Identitatea logaritmică de bază:

Formule de bază pentru logaritmi:

(Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor)

(Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor)

(Formula pentru logaritmul gradului)

Formula pentru trecerea la o nouă bază este:

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților logaritmice

Putem spune că inegalitățile logaritmice sunt rezolvate după un anumit algoritm. Trebuie să notăm intervalul de valori acceptabile (ODV) ale inegalității. Aduceți inegalitatea la forma Semnul de aici poate fi oricare: Este important ca stânga și dreapta din inegalitate să fie logaritmi în aceeași bază.

Și după aceea „aruncăm” logaritmii! Mai mult, dacă baza gradului este , semnul inegalității rămâne același. Dacă baza este astfel încât semnul inegalității este inversat.

Desigur, nu doar „eliminăm” logaritmi. Folosim proprietatea de monotonitate a funcției logaritmice. Dacă baza logaritmului este mai mare decât unu, funcția logaritmică crește monoton și atunci o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mari a expresiei.

Dacă baza este mai mare decât zero și mai mică de unu, funcția logaritmică scade monoton. O valoare mai mare a argumentului x va corespunde unei valori mai mici

Notă importantă: cel mai bine este să scrieți soluția ca un lanț de tranziții echivalente.

Să trecem la practică. Ca întotdeauna, începem cu cele mai simple inegalități.

1. Se consideră inegalitatea log 3 x > log 3 5.
Deoarece logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, x trebuie să fie pozitiv. Condiția x > 0 se numește intervalul de valori acceptabile (ODV) al inegalității date. Numai pentru un astfel de x are sens inegalitatea.

Ei bine, această formulare sună faimoasă și este ușor de reținut. Dar de ce mai putem face asta?

Suntem oameni, suntem inteligenți. Mintea noastră este aranjată în așa fel încât tot ceea ce este logic, de înțeles, având o structură internă să fie reținut și aplicat mult mai bine decât faptele întâmplătoare și fără legătură. De aceea este important să nu memorezi regulile mecanic, ca un câine matematician dresat, ci să acționezi conștient.

Deci, de ce încă „renunțăm la logaritmi”?

Răspunsul este simplu: dacă baza este mai mare decât unu (ca și în cazul nostru), funcția logaritmică crește monoton, ceea ce înseamnă că unei valori mai mari a lui x îi corespunde o valoare mai mare a lui y, iar din inegalitatea log 3 x 1 > log 3 x 2 rezultă că x 1 > x 2.


Vă rugăm să rețineți că am trecut la o inegalitate algebrică, iar semnul inegalității este păstrat în același timp.

Deci x > 5.

Următoarea inegalitate logaritmică este, de asemenea, simplă.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Să începem cu intervalul de valori acceptabile. Logaritmii sunt definiți numai pentru numere pozitive, deci

Rezolvând acest sistem, obținem: x > 0.

Acum să trecem de la inegalitatea logaritmică la cea algebrică - „aruncăm” logaritmii. Deoarece baza logaritmului este mai mare decât unu, semnul inegalității este păstrat.

15 + 3x > 2x.

Se obține: x > −15.

Răspuns: x > 0.

Dar ce se întâmplă dacă baza logaritmului este mai mică de unu? Este ușor de ghicit că în acest caz, la trecerea la o inegalitate algebrică, semnul inegalității se va schimba.

Să luăm un exemplu.

Să scriem ODZ. Expresiile din care sunt luate logaritmii trebuie să fie pozitive, adică

Rezolvând acest sistem, obținem: x > 4,5.

Deoarece , funcția logaritmică de bază scade monoton. Și asta înseamnă că o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului:


Și dacă, atunci
2x − 9 ≤ x.

Obținem că x ≤ 9.

Având în vedere că x > 4,5, scriem răspunsul:

În următoarea problemă, inegalitatea exponențială este redusă la una pătratică. Așa că vă recomandăm să repetați subiectul „inegalități pătrate”.

Acum inegalități mai complexe:

4. Rezolvați inegalitatea

5. Rezolvați inegalitatea

Daca atunci . Am fost norocosi! Știm că baza logaritmului este mai mare decât unu pentru toate valorile x din DPV.

Să facem un înlocuitor

Rețineți că mai întâi rezolvăm complet inegalitatea față de noua variabilă t. Și numai după aceea revenim la variabila x. Ține minte acest lucru și nu face greșeli la examen!

Să ne amintim de regula: dacă există rădăcini, fracții sau logaritmi în ecuație sau inegalitate, soluția trebuie să plece de la intervalul de valori acceptabile. Deoarece baza logaritmului trebuie să fie pozitivă și nu egală cu unu, obținem un sistem de condiții:

Să simplificăm acest sistem:

Acesta este intervalul de valori acceptabile pentru inegalitate.

Vedem că variabila este conținută în baza logaritmului. Să trecem la baza permanentă. Amintește-ți asta

În acest caz, este convenabil să mergeți la baza 4.

Să facem un înlocuitor

Simplificați inegalitatea și rezolvați-o folosind metoda intervalului:

Înapoi la variabilă X:

Am adăugat o condiție X> 0 (din ODZ).

7. Următoarea problemă se rezolvă și folosind metoda intervalului

Ca întotdeauna, începem soluția inegalității logaritmice din intervalul de valori acceptabile. În acest caz

Această condiție trebuie neapărat îndeplinită și vom reveni asupra ei. Să aruncăm o privire asupra inegalității în sine. Să scriem partea stângă ca logaritm de bază 3:

Partea dreaptă poate fi, de asemenea, scrisă ca logaritm la baza 3 și apoi treceți la inegalitatea algebrică:

Vedem că condiția (adică ODZ) este acum îndeplinită automat. Ei bine, acest lucru simplifică soluția inegalității.

Rezolvăm inegalitatea prin metoda intervalului:

Răspuns:

S-a întâmplat? Ei bine, să creștem nivelul de dificultate:

8. Rezolvați inegalitatea:

Inegalitatea este echivalentă cu sistemul:

9. Rezolvați inegalitatea:

Expresia 5 - X 2 se repetă obsesiv în starea problemei. Și asta înseamnă că puteți face o înlocuire:

Deoarece funcția exponențială ia doar valori pozitive, t> 0. Apoi

Inegalitatea va lua forma:

Deja mai bine. Să găsim intervalul de valori admisibile ale inegalității. Am spus deja asta t> 0. În plus, ( t− 3) (5 9 t − 1) > 0

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci și coeficientul va fi pozitiv.

Și expresia de sub logaritmul din partea dreaptă a inegalității trebuie să fie pozitivă, adică (625 t − 2) 2 .

Aceasta înseamnă că 625 t− 2 ≠ 0, adică.

Notați cu atenție ODZ

și rezolvați sistemul rezultat folosind metoda intervalului.

Asa de,

Ei bine, jumătate din bătălie este gata - ne-am dat seama de ODZ. Să rezolvăm inegalitatea. Suma logaritmilor din partea stângă este reprezentată ca logaritm al produsului.