Produs mixt al vectorilor. Produs vectorial al vectorilor. Produsul mixt al vectorilor Exprimă aria proiecției unui paralelogram pe vectori

În primul rând, să ne amintim ce este un produs vectorial.

Observație 1

arta vectoriala pentru $\vec(a)$ și $\vec(b)$ este $\vec(c)$, care este un al treilea vector $\vec(c)= ||$, iar acest vector are proprietăți speciale:

• Scalarul vectorului rezultat este produsul dintre $|\vec(a)|$ și $|\vec(b)|$ ori sinusul unghiului $\vec(c)= ||= |\vec(a) )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Toate $\vec(a), \vec(b)$ și $\vec(c)$ formează un triplu drept;
• Vectorul rezultat este ortogonal la $\vec(a)$ și $\vec(b)$.

Dacă există anumite coordonate pentru vectori ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ și $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), atunci produsul lor vectorial în sistemul de coordonate carteziene poate fi determinat prin formula:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Cel mai simplu mod de a vă aminti această formulă este să o scrieți sub forma unui determinant:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Această formulă este destul de convenabilă de utilizat, dar pentru a înțelege cum să o utilizați, mai întâi trebuie să vă familiarizați cu subiectul matricelor și determinanții acestora.

Zona paralelogramului, ale căror laturi sunt definite de doi vectori $\vec(a)$ și $vec(b)$ este egal cu la scalarul produsului încrucișat al celor doi vectori dați.

Acest raport este destul de ușor de obținut.

Amintiți-vă formula pentru găsirea ariei unui paralelogram obișnuit, care poate fi caracterizată prin segmentele sale $a$ și $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

În acest caz, lungimile laturilor sunt egale cu valorile scalare ale vectorilor $\vec(a)$ și $\vec(b)$, ceea ce este destul de potrivit pentru noi, adică scalarul produsul vectorial al acestor vectori va fi aria figurii luate în considerare.

Exemplul 1

Dați vectori $\vec(c)$ cu coordonatele $\(5;3; 7\)$ și un vector $\vec(g)$ cu coordonatele $\(3; 7;10 \)$ în coordonate carteziene. Aflați aria paralelogramului format din $\vec(c)$ și $\vec(g)$.

Soluţie:

Găsiți produsul vectorial pentru acești vectori:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Acum să găsim valoarea modulară pentru segmentul direcțional rezultat, este valoarea ariei paralelogramului construit:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Această linie de raționament este valabilă nu numai pentru găsirea zonei într-un spațiu tridimensional, ci și pentru unul bidimensional. Consultați următoarea întrebare pe acest subiect.

Exemplul 2

Calculați aria paralelogramului dacă segmentele sale generatoare sunt date de vectori $\vec(m)$ cu coordonatele $\(2; 3\)$ și $\vec(d)$ cu coordonatele $\(-5); 6\)$.

Soluţie:

Această sarcină este exemplu anume problema 1, rezolvată mai sus, dar ambii vectori se află în același plan, ceea ce înseamnă că a treia coordonată, $z$, poate fi luată ca zero.

Pentru a rezuma cele de mai sus, aria paralelogramului va fi:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Exemplul 3

Dați vectori $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Aflați aria paralelogramului pe care îl formează.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Să simplificăm conform tabelului dat pentru vectorii unitari:

Figura 1. Descompunerea unui vector în termeni de bază. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Timp de calcul:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Problemele anterioare au fost despre vectori ale căror coordonate sunt date în sistemul de coordonate carteziene, dar luați în considerare și cazul în care unghiul dintre vectorii de bază diferă de $90°$:

Exemplul 4

Vectorul $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, lungimile lui $\vec(a)$ și $\vec(b)$ sunt egale între ele și egal cu unu, iar unghiul dintre $\vec(a)$ și $\vec(b)$ este de 45°.

Soluţie:

Să calculăm produsul vectorial $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Pentru produsele vectoriale, în funcție de proprietățile lor, este adevărat: $$ și $$ sunt egale cu zero, $ = - $.

Să folosim asta pentru a simplifica:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Acum să folosim formula $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.

În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este să nu greșești CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în munca practica

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Ne amintim unul dintre formule geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât, în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghi egal. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Nu mai puțin de fapt important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca rezultat deget mare - produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate aveți o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci Și . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector și însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și aceasta sarcina printre altele, vom analiza și noi.

Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate zonă paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să fie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci avem impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a aprofundat în esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discuta si proprietatea, uneori se numeste anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

E timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresii ale vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului dorit:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în munca de control, iată un exemplu pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor în a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
dar)
b)

Soluţie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Aici, probabil, sunt toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometricși câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne aruncăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definitie produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, produsul amestecat poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

Aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu produsul dintre lungimile acestor vectori și unghiul unghiului care se află între ei.

Este bine când lungimile acestor vectori sunt date în funcție de condiții. Cu toate acestea, se întâmplă și că este posibil să se aplice formula pentru aria unui paralelogram construit pe vectori numai după calcule pe coordonate.
Dacă aveți noroc, iar lungimile vectorilor sunt date în funcție de condiții, atunci trebuie doar să aplicați formula, pe care am analizat-o deja în detaliu în articol. Aria va fi egală cu produsul modulelor și sinusul unghiului dintre ele:

Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram construit pe vectori.

O sarcină: Paralelogramul este construit pe vectorii și . Aflați aria dacă , iar unghiul dintre ele este de 30°.
Să exprimăm vectorii în termeni de valori:

Poate ai o întrebare - de unde au venit zerourile? Merită să ne amintim că lucrăm cu vectori și pentru ei . de asemenea, rețineți că dacă obținem o expresie ca rezultat, atunci aceasta va fi convertită în. Acum să facem calculele finale:

Să revenim la problema când lungimile vectorilor nu sunt specificate în condiții. Dacă paralelogramul dvs. se află în sistemul de coordonate carteziene, atunci trebuie să faceți următoarele.

Calculul lungimilor laturilor unei figuri date prin coordonate

Pentru început, găsim coordonatele vectorilor și scădem coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de sfârșit. Să presupunem coordonatele vectorului a (x1;y1;z1) și ale vectorului b (x3;y3;z3).
Acum găsim lungimea fiecărui vector. Pentru a face acest lucru, fiecare coordonată trebuie să fie pătrat, apoi adăugați rezultatele și extrageți rădăcina dintr-un număr finit. Conform vectorilor noștri se vor face următoarele calcule:


Acum trebuie să găsim produsul scalar al vectorilor noștri. Pentru a face acest lucru, coordonatele lor respective sunt înmulțite și adăugate.

Având în vedere lungimile vectorilor și produsul lor scalar, putem găsi cosinusul unghiului care se află între ei .
Acum putem găsi sinusul aceluiași unghi:
Acum avem toate cantitățile necesare și putem găsi cu ușurință aria unui paralelogram construit pe vectori folosind formula deja cunoscută.