Hexagon inscripționat. Hexagon obișnuit. De la teorie la practică

Știți cum arată un hexagon obișnuit?
Această întrebare nu a fost pusă întâmplător. Majoritatea elevilor din clasa a 11-a nu știu răspunsul.

Un hexagon regulat este unul în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt, de asemenea, egale..

Nucă de fier. Fulg de nea. O celulă de faguri în care trăiesc albinele. Moleculă de benzen. Ce au aceste obiecte în comun? - Faptul că toate au o formă hexagonală regulată.

Mulți școlari sunt pierduți când văd sarcini pentru un hexagon obișnuit și cred că sunt necesare niște formule speciale pentru a le rezolva. E chiar asa?

Desenați diagonalele unui hexagon obișnuit. Avem șase triunghiuri echilaterale.

Știm că aria unui triunghi echilateral este .

Atunci aria unui hexagon obișnuit este de șase ori mai mare.

Unde este latura unui hexagon obișnuit.

Vă rugăm să rețineți că într-un hexagon obișnuit, distanța de la centrul său la oricare dintre vârfuri este aceeași și egală cu latura hexagonului obișnuit.

Aceasta înseamnă că raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon obișnuit este egală cu latura acestuia.
Raza unui cerc înscris într-un hexagon obișnuit este ușor de găsit.
El este egal.
Acum puteți rezolva cu ușurință orice probleme de USE în care apare un hexagon obișnuit.

Aflați raza unui cerc înscris într-un hexagon regulat cu latura .

Raza unui astfel de cerc este .

Răspuns: .

Care este latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza 6?

Știm că latura unui hexagon obișnuit este egală cu raza cercului circumscris în jurul lui.

Hexagon obișnuit Un hexagon este un poligon cu șase colțuri. Orice obiect de această formă se mai numește și hexagon. Suma unghiurilor interioare ale unui hexagon convex p ... Wikipedia

Hexagonul lui Saturn- O formațiune atmosferică stabilă hexagonală la polul nord al lui Saturn, descoperită de Voyager 1 și observată din nou în 2006 și ... Wikipedia

poligon regulat- Heptagon regulat Un poligon regulat este un poligon convex în care toate laturile și unghiurile sunt egale. Definiția unui poligon obișnuit poate depinde de definiția... Wikipedia

Heptagon obișnuit Un heptagon obișnuit este un poligon regulat cu șapte laturi. Cuprins... Wikipedia

triunghi dreptunghic- Triunghi dreptunghic. Un triunghi regulat (sau echilateral) este un poligon regulat cu trei laturi, primul dintre poligoane regulate. Toate părțile... Wikipedia

Nonagon obișnuit este un poligon regulat cu nouă laturi. Regulă proprietăți... Wikipedia

17-gon obișnuit- Un șaptesprezece-gon regulat este o figură geometrică aparținând grupului de poligoane regulate. Are șaptesprezece laturi și șaptesprezece unghiuri, toate unghiurile și laturile sale sunt egale între ele, toate vârfurile se află pe un cerc. Cuprins 1 ... ... Wikipedia

Şaptesprezece obişnuit- o figură geometrică aparținând grupului poligoanelor regulate. Are șaptesprezece laturi și șaptesprezece unghiuri, toate unghiurile și laturile sale sunt egale între ele, toate vârfurile se află pe un cerc. Cuprins... Wikipedia

Octogon obișnuit- (octogon) figură geometrică din grupul poligoanelor regulate. Are opt laturi și opt unghiuri și toate unghiurile și laturile sunt egale între ele... Wikipedia

Corect 65537-gon- 65537 pătrat sau cerc? Poligonul obișnuit 65537 (șaizeci și cinci ̀syachfivesòthirty-sevengon) este o figură geometrică din grupul poligoanelor regulate, constând din 65537 ... Wikipedia

Cărți

• Seturi „Magic Edges” nr. 25,. Set pentru asamblarea a 3 cuburi cu sectiuni. Fiecare cub are părți mobile pe unde trece secțiunea. Acest lucru vă permite să vedeți cubul ca întreg și în secțiune. Trei cuburi asamblate vă permit să rezolvați probleme...

Proprietăți matematice

O caracteristică a unui hexagon regulat este egalitatea laturii sale și raza cercului circumscris, deoarece

Toate unghiurile sunt de 120°.

Raza cercului înscris este:

Perimetrul unui hexagon regulat este:

Aria unui hexagon obișnuit se calculează prin formulele:

Hexagoane care plac planul, adică pot umple planul fără goluri și suprapuneri, formând așa-numitul parchet.

Parchet hexagonal (parchet hexagonal)- teselare a planului cu hexagoane regulate egale situate unul în celălalt.

Parchetul hexagonal este dual cu parchet triunghiular: dacă conectați centrele hexagoanelor adiacente, atunci segmentele desenate vor da un parchet triunghiular. Simbolul Schläfli al unui parchet hexagonal este (6,3), ceea ce înseamnă că trei hexagoane converg la fiecare vârf al parchetului.

Parchetul hexagonal este cel mai dens pachet de cercuri din plan. În spațiul euclidian bidimensional, cea mai bună umplere este plasarea centrelor cercurilor la vârfurile unui parchet format din hexagoane regulate, în care fiecare cerc este înconjurat de alți șase. Densitatea acestui ambalaj este de . În 1940, s-a dovedit că acest ambalaj este cel mai dens.

Un hexagon obișnuit cu o latură este o acoperire universală, adică orice set de diametru poate fi acoperit de un hexagon obișnuit cu o latură (lema lui Pal).

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o busolă și o linie dreaptă. Mai jos este metoda de construcție propusă de Euclid în Elementele, Cartea IV, Teorema 15.

Hexagon obișnuit în natură, tehnologie și cultură

arată împărțirea avionului în hexagoane regulate. Forma hexagonală mai mult decât celelalte vă permite să economisiți pe pereți, adică mai puțină ceară va fi cheltuită pe fagurii cu astfel de celule.

Unele cristale și molecule complexe, cum ar fi grafitul, au o rețea cristalină hexagonală.

Se formează atunci când picăturile microscopice de apă din nori sunt atrase de particulele de praf și îngheață. Cristalele de gheață care apar în acest caz, care la început nu depășesc 0,1 mm în diametru, cad și cresc ca urmare a condensului umidității din aer pe ele. În acest caz, se formează forme cristaline cu șase vârfuri. Datorită structurii moleculelor de apă, între razele cristalului sunt posibile doar unghiuri de 60° și 120°. Cristalul principal de apă are forma unui hexagon regulat în plan. Pe vârfurile unui astfel de hexagon sunt apoi depuse cristale noi, pe ele se depun altele noi și astfel se obțin diverse forme de stele fulgi de nea.

Oamenii de știință de la Universitatea Oxford au reușit să simuleze apariția unui astfel de hexagon în laborator. Pentru a afla cum se produce o astfel de formațiune, cercetătorii au plasat o sticlă de apă de 30 de litri pe o placă turnantă. Ea a modelat atmosfera lui Saturn și rotația sa obișnuită. În interior, oamenii de știință au plasat inele mici care se rotesc mai repede decât recipientul. Acest lucru a generat vârtejuri și jeturi în miniatură, pe care experimentatorii le-au vizualizat cu vopsea verde. Cu cât inelul s-a rotit mai repede, cu atât vârtejurile deveneau mai mari, ceea ce face ca fluxul din apropiere să devieze de la o formă circulară. Astfel, autorii experimentului au reușit să obțină diverse forme – ovale, triunghiuri, pătrate și, bineînțeles, hexagonul dorit.

Un monument natural de aproximativ 40.000 de coloane bazaltice (mai rar andezitice) interconectate, format ca urmare a unei erupții vulcanice antice. Situat în nord-estul Irlandei de Nord, la 3 km nord de orașul Bushmills.

Vârfurile coloanelor formează un fel de trambulină, care începe de la poalele stâncii și dispare sub suprafața mării. Majoritatea coloanelor sunt hexagonale, deși unele au patru, cinci, șapte sau opt colțuri. Cea mai înaltă coloană are aproximativ 12 metri înălțime.

Cu aproximativ 50-60 de milioane de ani în urmă, în timpul perioadei Paleogene, situl Antrim a fost supus unei activități vulcanice intense atunci când bazaltul topit a pătruns prin depozite, formând platouri extinse de lavă. Odată cu răcirea rapidă, volumul substanței a scăzut (acest lucru se observă atunci când noroiul se usucă). Comprimarea orizontală a dus la structura caracteristică a stâlpilor hexagonali.

Secțiunea transversală a piuliței are forma unui hexagon obișnuit.

Construcția unui hexagon regulat înscris într-un cerc. Construcția unui hexagon se bazează pe faptul că latura lui este egală cu raza cercului circumscris. Prin urmare, pentru a construi, este suficient să împărțiți cercul în șase părți egale și să conectați punctele găsite între ele (Fig. 60, a).

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind un pătrat în T și un pătrat de 30X60°. Pentru a realiza această construcție, luăm diametrul orizontal al cercului ca bisectoare a unghiurilor 1 și 4 (Fig. 60, b), construim laturile 1-6, 4-3, 4-5 și 7-2, după care desenăm laturile 5-6 și 3-2.

Construcția unui triunghi echilateral înscris într-un cerc. Vârfurile unui astfel de triunghi pot fi construite folosind o busolă și un pătrat cu unghiuri de 30 și 60 °, sau doar un compas.

Luați în considerare două moduri de a construi un triunghi echilateral înscris într-un cerc.

Prima cale(Fig. 61, a) se bazează pe faptul că toate cele trei unghiuri ale triunghiului 7, 2, 3 conțin fiecare 60 °, iar linia verticală trasată prin punctul 7 este atât înălțimea, cât și bisectoarea unghiului 1. Deoarece unghiul 0-1-2 este de 30 °, atunci pentru a găsi latura

1-2, este suficient să construiți un unghi de 30 ° la punctul 1 și latura 0-1. Pentru a face acest lucru, setați pătratul în T și pătratul așa cum se arată în figură, trageți o linie 1-2, care va fi una dintre laturile triunghiului dorit. Pentru a construi partea 2-3, setați pătratul T în poziția indicată de liniile întrerupte și trageți o linie dreaptă prin punctul 2, care va defini al treilea vârf al triunghiului.

A doua cale se bazează pe faptul că, dacă construiești un hexagon obișnuit înscris într-un cerc și apoi leagă vârfurile acestuia printr-unul, obții un triunghi echilateral.

Pentru a construi un triunghi (Fig. 61, b), marchem un punct de vârf 1 pe diametru și trasăm o linie diametrală 1-4. Mai departe, din punctul 4 cu o rază egală cu D / 2, descriem arcul până când se intersectează cu cercul în punctele 3 și 2. Punctele rezultate vor fi alte două vârfuri ale triunghiului dorit.

Construcția unui pătrat înscris într-un cerc. Această construcție se poate face folosind un pătrat și o busolă.

Prima metodă se bazează pe faptul că diagonalele pătratului se intersectează în centrul cercului circumscris și sunt înclinate față de axele sale la un unghi de 45°. Pe baza acestui lucru, instalăm un pătrat în T și un pătrat cu unghiuri de 45 ° așa cum se arată în Fig. 62, a și marcați punctele 1 și 3. În continuare, prin aceste puncte, desenăm laturile orizontale ale pătratului 4-1 și 3-2 cu ajutorul unui pătrat în T. Apoi, folosind un T-pătrat de-a lungul piciorului pătratului, desenăm laturile verticale ale pătratului 1-2 și 4-3.

A doua metodă se bazează pe faptul că vârfurile pătratului bisectează arcele de cerc cuprinse între capetele diametrului (Fig. 62, b). Marcam punctele A, B și C la capetele a două diametre reciproc perpendiculare, iar din ele cu o rază y descriem arcele până se intersectează.

Mai departe, prin punctele de intersecție ale arcelor, desenăm linii auxiliare, marcate pe figură cu linii continue. Punctele lor de intersecție cu cercul vor defini vârfurile 1 și 3; 4 și 2. Vârfurile pătratului dorit astfel obținut sunt conectate în serie între ele.

Construcția unui pentagon regulat înscris într-un cerc.

Pentru a înscrie un pentagon regulat într-un cerc (Fig. 63), facem următoarele construcții.

Marcam punctul 1 pe cerc și îl luăm ca unul dintre vârfurile pentagonului. Împărțiți segmentul AO în jumătate. Pentru a face acest lucru, cu raza AO din punctul A, descriem arcul până când se intersectează cu cercul în punctele M și B. Conectând aceste puncte cu o linie dreaptă, obținem punctul K, pe care îl conectăm apoi cu punctul 1. Cu o rază egală cu segmentul A7, descriem arcul de la punctul K până la intersecția cu linia diametrală AO în punctul H. Legătura punctului H penta 1, obținem latura 1 cu punctul H. Apoi, cu o deschidere de busolă egală cu segmentul 1H, care descrie arcul de la vârful 1 până la intersecția cu cercul, găsim vârfurile 2 și 5. Făcând crestături de la vârfurile 2 și 5 cu aceeași deschidere de busolă, obținem vârfurile rămase 3 și 4. Legăm secvențial punctele găsite între ele.

Construcția unui pentagon regulat având în vedere latura sa.

Pentru a construi un pentagon regulat de-a lungul laturii date (Fig. 64), împărțim segmentul AB în șase părți egale. Din punctele A și B cu raza AB descriem arce, a căror intersecție va da punctul K. Prin acest punct și diviziunea 3 pe linia AB trasăm o linie verticală.

Obținem punctul 1-vertex al pentagonului. Apoi, cu o rază egală cu AB, de la punctul 1 descriem arcul până la intersecția cu arcele desenate anterior din punctele A și B. Punctele de intersecție ale arcelor determină vârfurile pentagonului 2 și 5. Legăm în serie vârfurile găsite între ele.

Construcția unui heptagon regulat înscris într-un cerc.

Să fie dat un cerc cu diametrul D; trebuie să înscrieți în el un heptagon obișnuit (Fig. 65). Împărțiți diametrul vertical al cercului în șapte părți egale. Din punctul 7 cu raza egală cu diametrul cercului D, descriem arcul până când acesta se intersectează cu continuarea diametrului orizontal în punctul F. Punctul F se numește polul poligonului. Luând punctul VII ca unul dintre vârfurile heptagonului, tragem raze de la polul F prin diviziuni pare ale diametrului vertical, a căror intersecție cu cercul va determina vârfurile VI, V și IV ale heptagonului. Pentru a obține vârfuri / - // - /// din punctele IV, V și VI, desenăm linii orizontale până când acestea se intersectează cu cercul. Conectăm vârfurile găsite în serie între ele. Heptagonul poate fi construit prin trasarea razelor de la polul F și prin diviziuni impare ale diametrului vertical.

Metoda de mai sus este potrivită pentru construirea de poligoane regulate cu orice număr de laturi.

Împărțirea unui cerc în orice număr de părți egale se poate face și folosind datele din tabel. 2, care prezintă coeficienții care fac posibilă determinarea dimensiunilor laturilor poligoanelor regulate înscrise.