Toate metodele de factorizare a unui polinom. Factorizarea. Exemple. Acum parerea ta

Orice polinom algebric de gradul n poate fi reprezentat ca un produs al factorilor n-liniari de forma și un număr constant, care este coeficienții polinomului la gradul cel mai înalt x, adică.

Unde - sunt rădăcinile polinomului.

Rădăcina unui polinom este un număr (real sau complex) care transformă polinomul la zero. Rădăcinile unui polinom pot fi atât rădăcini reale, cât și rădăcini complexe conjugate, apoi polinomul poate fi reprezentat sub următoarea formă:

Luați în considerare metode de extindere a polinoamelor de gradul „n” în produsul factorilor de gradul I și II.

Metoda numărul 1.Metoda coeficienților nedeterminați.

Coeficienții unei astfel de expresii transformate sunt determinați prin metoda coeficienților nedeterminați. Esența metodei este că tipul de factori în care se descompune polinomul dat este cunoscut în prealabil. Când se utilizează metoda coeficienților nedeterminați, următoarele afirmații sunt adevărate:

P.1. Două polinoame sunt identic egale dacă coeficienții lor sunt egali la aceleași puteri ale lui x.

P.2. Orice polinom de gradul trei se descompune într-un produs de factori liniari și pătrați.

P.3. Orice polinom de gradul al patrulea se descompune în produsul a două polinoame de gradul doi.

Exemplul 1.1. Este necesară factorizarea expresiei cubice:

P.1. În conformitate cu afirmațiile acceptate, egalitatea identică este adevărată pentru expresia cubică:

P.2. Partea dreaptă a expresiei poate fi reprezentată ca termeni după cum urmează:

P.3. Compunem un sistem de ecuații din condiția de egalitate a coeficienților pentru puterile corespunzătoare expresiei cubice.

Acest sistem de ecuații poate fi rezolvat prin selecția coeficienților (dacă este simplu sarcina academica) sau a folosit metode de rezolvare a sistemelor neliniare de ecuații. Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem că coeficienții nesiguri sunt definiți după cum urmează:

Astfel, expresia originală este descompusă în factori sub următoarea formă:

Această metodă poate fi folosită atât în ​​calcule analitice, cât și în programarea calculatorului pentru a automatiza procesul de găsire a rădăcinii unei ecuații.

Metoda numărul 2.formule Vieta

Formulele Vieta sunt formule care relaționează coeficienții ecuațiilor algebrice de gradul n și rădăcinile sale. Aceste formule au fost prezentate implicit în lucrările matematicianului francez Francois Vieta (1540 - 1603). Datorită faptului că Viet a considerat doar rădăcini reale pozitive, prin urmare, el nu a avut ocazia să scrie aceste formule într-o formă generală explicită.

Pentru orice polinom algebric de grad n care are n rădăcini reale,

sunt valabile următoarele relații, care leagă rădăcinile unui polinom cu coeficienții săi:

Formulele lui Vieta sunt convenabile de utilizat pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a compune un polinom din rădăcini date.

Exemplul 2.1. Luați în considerare modul în care rădăcinile unui polinom sunt legate de coeficienții săi folosind ecuația cubică ca exemplu

În conformitate cu formulele Vieta, relația dintre rădăcinile unui polinom și coeficienții acestuia este următoarea:

Relații similare se pot face pentru orice polinom de gradul n.

Metoda numărul 3. Factorizarea unei ecuații pătratice cu rădăcini raționale

Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că rădăcinile unui polinom sunt divizori ai termenului său liber și ai coeficientului conducător. În acest sens, dacă condiția problemei conține un polinom de grad n cu coeficienți întregi

atunci acest polinom are o rădăcină rațională (fracție ireductibilă), unde p este divizorul termenului liber și q este divizorul coeficientului principal. În acest caz, un polinom de grad n poate fi reprezentat ca (teorema lui Bezout):

Un polinom al cărui grad este cu 1 mai mic decât gradul polinomului inițial este determinat prin împărțirea polinomului de gradul n la un binom, de exemplu, folosind schema lui Horner sau majoritatea într-un mod simplu- „coloană”.

Exemplul 3.1. Este necesar să factorizați polinomul

P.1. Datorită faptului că coeficientul la cel mai mare termen este egal cu unu, atunci rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt divizori ai termenului liber al expresiei, adică. pot fi numere întregi . Înlocuind fiecare dintre numerele prezentate în expresia originală, aflăm că rădăcina polinomului prezentat este .

Să împărțim polinomul original la un binom:

Să folosim schema lui Horner

Coeficienții polinomului original sunt stabiliți în linia de sus, în timp ce prima celulă a liniei de sus rămâne goală.

Rădăcina găsită este scrisă în prima celulă a celei de-a doua rânduri (în acest exemplu, se scrie numărul „2”), iar următoarele valori în celule sunt calculate într-un anumit mod și sunt coeficienții de polinomul, care va rezulta din împărțirea polinomului la binom. Coeficienții necunoscuți sunt definiți după cum urmează:

Valoarea din celula corespunzătoare din primul rând este transferată în a doua celulă a celui de-al doilea rând (în acest exemplu, este scris numărul „1”).

A treia celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a doua celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a treia celulă a primului rând (în acest exemplu, 2 ∙ 1 -5 = -3) .

A patra celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule cu a treia celulă din al doilea rând plus valoarea din a patra celulă a primului rând (în acest exemplu 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

Astfel, polinomul original este factorizat:

Metoda numărul 4.Utilizarea formulelor de înmulțire scurtă

Formulele de înmulțire prescurtate sunt folosite pentru a simplifica calculele, precum și pentru descompunerea polinoamelor în factori. Formulele de multiplicare prescurtate fac posibilă simplificarea soluționării problemelor individuale.

Formule utilizate pentru factorizare

De foarte multe ori, numărătorul și numitorul unei fracții sunt expresii algebrice care trebuie mai întâi descompuse în factori, iar apoi, găsind același lucru între ei, împărțiți atât numărătorul, cât și numitorul în ele, adică reduceți fracția. Un întreg capitol al unui manual de algebră în clasa a VII-a este dedicat sarcinilor de factorizare a unui polinom. Factorizarea se poate face 3 moduri, precum și o combinație a acestor metode.

1. Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate

După cum se știe înmulțiți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt polinom și să adăugați produsele rezultate. Există cel puțin 7 (șapte) cazuri comune de înmulțire a polinoamelor care sunt incluse în concept. De exemplu,

Tabelul 1. Factorizarea în primul mod

2. Scoaterea factorului comun din paranteză

Această metodă se bazează pe aplicarea legii distributive a înmulțirii. De exemplu,

Împărțim fiecare termen al expresiei originale la factorul pe care îl scoatem și, în același timp, obținem expresia între paranteze (adică rezultatul împărțirii a ceea ce a fost la ceea ce scoatem rămâne între paranteze). În primul rând, ai nevoie determinați corect multiplicatorul, care trebuie să fie între paranteze.

Polinomul dintre paranteze poate fi, de asemenea, un factor comun:

Când efectuați sarcina de „factorizare”, trebuie să fiți deosebit de atenți cu semnele atunci când scoateți factorul comun din paranteze. Pentru a schimba semnul fiecărui termen dintr-o paranteză (b - a), scoatem factorul comun -1 , în timp ce fiecare termen din paranteză este împărțit la -1: (b - a) = - (a - b) .

În cazul în care expresia dintre paranteze este pătrată (sau la orice putere pară), atunci numerele din paranteze pot fi schimbate complet gratuit, deoarece minusurile scoase dintre paranteze se vor transforma în continuare într-un plus atunci când sunt înmulțite: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 etc…

3. Metoda grupării

Uneori nu toți termenii din expresie au un factor comun, ci doar unii. Atunci poți încerca termeni de grup între paranteze, astfel încât să poată fi scos din fiecare un factor. Metoda de grupare este dubla paranteză a factorilor comuni.

4. Folosind mai multe metode simultan

Uneori trebuie să aplicați nu una, ci mai multe moduri de a factoriza un polinom în factori simultan.

Acesta este un rezumat al subiectului. "Factorizare". Alegeți următorii pași:

• Treceți la următorul rezumat:

Având în vedere înmulțirea polinoamelor, am memorat mai multe formule și anume: formule pentru (a + b)², pentru (a - b)², pentru (a + b) (a - b), pentru (a + b)³ și pentru (a – b)³.

Dacă un anumit polinom se dovedește a coincide cu una dintre aceste formule, atunci va fi posibil să-l factorizeze. De exemplu, polinomul a² - 2ab + b², știm, este egal cu (a - b)² [sau (a - b) (a - b), adică am reușit să factorăm a² - 2ab + b² în 2 factori]; de asemenea

Luați în considerare cel de-al doilea dintre aceste exemple. Vedem că polinomul dat aici se potrivește cu formula obținută prin pătrarea diferenței a două numere (pătratul primului număr, minus produsul a doi cu primul număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr): x 6 este pătratul primului număr și, prin urmare, primul număr însuși este x 3, pătratul celui de-al doilea număr este ultimul termen al polinomului dat, adică 1, al doilea număr însuși este, prin urmare, tot 1; produsul a doi cu primul număr și al doilea este termenul -2x 3, deoarece 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Prin urmare, polinomul nostru a fost obținut prin pătrarea diferenței dintre numerele x 3 și 1, adică este egal la (x 3 - 12 . Luați în considerare un al 4-lea exemplu. Vedem că acest polinom a 2 b 2 - 25 poate fi considerat ca diferența pătratelor a două numere, și anume, pătratul primului număr este a 2 b 2, prin urmare, primul număr în sine este ab, pătratul lui al doilea număr este 25, de ce al doilea număr în sine este 5. Prin urmare, polinomul nostru poate fi considerat ca fiind obținut prin înmulțirea sumei a două numere cu diferența lor, i.e.

(ab + 5) (ab - 5).

Uneori se întâmplă ca într-un polinom dat termenii să nu fie în ordinea cu care suntem obișnuiți, de exemplu.

9a 2 + b 2 + 6ab - mental putem rearanja al doilea și al treilea termen și atunci ne va deveni clar că trinomul nostru = (3a + b) 2.

... (rearanjați mental primul și al doilea membru).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 etc.

Luați în considerare un alt polinom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vedem că primul său termen este pătratul numărului a și al treilea termen este pătratul numărului 2b, dar al doilea termen nu este produsul de două ori primul număr și al doilea, un astfel de produs ar fi egal cu 2 a 2b = 4ab. Prin urmare, este imposibil să se aplice formula pentru pătratul sumei a două numere la acest polinom. Dacă cineva a scris că a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, atunci acest lucru ar fi greșit - trebuie să luați în considerare cu atenție toți termenii polinomului înainte de a-i aplica factorizarea prin formule.

40. Combinația ambelor metode. Uneori, atunci când descompuneți polinoame în factori, este necesar să combinați atât tehnica de a scoate factorul comun din paranteze, cât și tehnica de aplicare a formulelor. Aici sunt cateva exemple:

1. 2a 3 – 2ab 2 . În primul rând, scoatem factorul comun 2a din paranteze și obținem 2a (a 2 - b 2). Factorul a 2 - b 2, la rândul său, este descompus conform formulei în factori (a + b) și (a - b).

Uneori este necesar să se aplice metoda de extindere prin formule în mod repetat:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Vedem că primul factor a 2 + b 2 nu se potrivește cu niciuna dintre formulele familiare; mai mult, amintind cazurile speciale de împărțire (Sec. 37), vom stabili că a 2 + b 2 (suma pătratelor a două numere) nu factorizează deloc. Al doilea dintre factorii obținuți a 2 - b 2 (diferența prin pătratul a două numere) se descompune în factori (a + b) și (a - b). Asa de,

41. Aplicație ocazii speciale Divizia. Pe baza articolului 37, putem scrie imediat că, de exemplu,

Factorizarea polinoamelor este transformarea identităţii, în urma căreia polinomul se transformă în produsul mai multor factori - polinoame sau monoame.

Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.

Metoda 1. Bracketing factorul comun.

Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a evidenția factorul comun din cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate” dintre paranteze.

Să factorizăm polinomul 28x 3 - 35x 4.

Soluţie.

1. Găsim un divizor comun pentru elementele 28x3 și 35x4. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 - x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x3.

2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Bracketing factorul comun
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate. „Maestria” stăpânirii acestei metode este de a observa în expresie una dintre formulele de înmulțire prescurtată.

Să factorizăm polinomul x 6 - 1.

Soluţie.

1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, reprezentăm x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. La expresia rezultată, putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Asa de,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării constă în combinarea componentelor unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra acestora (adunare, scădere, scoaterea unui factor comun).

Factorizăm polinomul x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Soluţie.

1. Grupați componentele astfel: prima cu a 2-a și a 3-a cu a 4-a
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Scoatem factorul comun x - 3 și obținem:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Asa de,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Să reparăm materialul.

Factorizați polinomul a 2 - 7ab + 12b 2 .

Soluţie.

1. Reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Grupați componentele polinomului astfel: prima cu a 2-a și a 3-a cu a 4-a. Primim:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Să scoatem factorii comuni:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Să scoatem factorul comun (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Asa de,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Pentru factorizare este necesară simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru a putea reduce în continuare. Descompunerea unui polinom are sens atunci când gradul său nu este mai mic decât al doilea. Un polinom cu gradul I se numește liniar.

Articolul va dezvălui toate conceptele de descompunere, fundamentele teoretice și metodele de factorizare a unui polinom.

Teorie

Teorema 1

Când orice polinom cu gradul n având forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , sunt reprezentate ca un produs cu un factor constant cu cel mai mare grad an și n factori liniari (x - xi) , i = 1 , 2 , ... , n , apoi P n (x) = an (x - xn) (x - xn - 1) . . . · (x - x 1) , unde x i , i = 1 , 2 , … , n - acestea sunt rădăcinile polinomului.

Teorema este destinată rădăcinilor de tip complex x i , i = 1 , 2 , … , n și pentru coeficienți complecși a k ​​, k = 0 , 1 , 2 , … , n . Aceasta este baza oricărei descompunere.

Când coeficienții de forma a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n sunt numere reale, atunci rădăcinile complexe vor apărea în perechi conjugate. De exemplu, rădăcinile x 1 și x 2 legate de un polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 sunt considerate conjugate complexe, atunci celelalte rădăcini sunt reale, deci obținem că polinomul ia forma P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, unde x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

cometariu

Rădăcinile unui polinom pot fi repetate. Luați în considerare demonstrația teoremei algebrei, consecințele teoremei lui Bezout.

Teorema fundamentală a algebrei

Teorema 2

Orice polinom cu gradul n are cel puțin o rădăcină.

teorema lui Bezout

După împărțirea unui polinom de forma P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pe (x - s) , atunci obținem restul, care este egal cu polinomul din punctul s , apoi obținem

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , unde Q n - 1 (x) este un polinom cu grad n - 1 .

Corolar din teorema lui Bezout

Când rădăcina polinomului P n (x) este considerată s , atunci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Acest corolar este suficient atunci când este utilizat pentru a descrie soluția.

Factorizarea unui trinom pătrat

Un trinom pătrat de forma a x 2 + b x + c poate fi factorizat în factori liniari. atunci obținem că a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , unde x 1 și x 2 sunt rădăcini (complexe sau reale).

Aceasta arată că descompunerea în sine se reduce la rezolvarea mai târziu a ecuației pătratice.

Exemplul 1

Factorizați un trinom pătrat.

Soluţie

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea discriminantului conform formulei, apoi obținem D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Prin urmare, avem asta

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

De aici obținem că 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Pentru a efectua verificarea, trebuie să deschideți parantezele. Apoi obținem o expresie de forma:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

După verificare, ajungem la expresia originală. Adică putem concluziona că extinderea este corectă.

Exemplul 2

Factorizați un trinom pătrat de forma 3 x 2 - 7 x - 11 .

Soluţie

Obținem că este necesar să se calculeze ecuația pătratică rezultată de forma 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Pentru a găsi rădăcinile, trebuie să determinați valoarea discriminantului. Înțelegem asta

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

De aici obținem că 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Exemplul 3

Factorizați polinomul 2 x 2 + 1.

Soluţie

Acum trebuie să rezolvați ecuația pătratică 2 x 2 + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia. Înțelegem asta

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Aceste rădăcini sunt numite conjugate complexe, ceea ce înseamnă că descompunerea în sine poate fi reprezentată ca 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Exemplul 4

Extindeți trinomul pătrat x 2 + 1 3 x + 1 .

Soluţie

Mai întâi trebuie să rezolvați o ecuație pătratică de forma x 2 + 1 3 x + 1 = 0 și să găsiți rădăcinile acesteia.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 ix 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

După ce au obținut rădăcinile, scriem

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

cometariu

Dacă valoarea discriminantului este negativă, atunci polinoamele vor rămâne polinoame de ordinul doi. De aici rezultă că nu le vom descompune în factori liniari.

Metode de factorizare a unui polinom de grad mai mare decât al doilea

Descompunerea presupune o metodă universală. Majoritatea cazurilor se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout. Pentru a face acest lucru, trebuie să selectați valoarea rădăcinii x 1 și să micșorați gradul acesteia împărțind la un polinom la 1 prin împărțirea la (x - x 1) . Polinomul rezultat trebuie să găsească rădăcina x 2 , iar procesul de căutare este ciclic până când obținem o expansiune completă.

Dacă rădăcina nu este găsită, atunci se folosesc alte metode de factorizare: grupare, termeni suplimentari. Acest subiect presupune soluția ecuațiilor cu puteri mai mari și coeficienți întregi.

Scoaterea factorului comun din paranteze

Considerăm cazul în care termenul liber este egal cu zero, atunci forma polinomului devine P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Se poate observa că rădăcina unui astfel de polinom va fi egală cu x 1 \u003d 0, atunci puteți reprezenta polinomul sub forma unei expresii P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Se consideră că această metodă elimină factorul comun din paranteze.

Exemplul 5

Factorizează polinomul de gradul al treilea 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Soluţie

Vedem că x 1 \u003d 0 este rădăcina polinomului dat, apoi putem include x din întreaga expresie. Primim:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Să trecem la găsirea rădăcinilor trinomului pătrat 4 x 2 + 8 x - 1. Să găsim discriminantul și rădăcinile:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Apoi rezultă că

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Pentru început, să luăm în considerare o metodă de descompunere care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , unde coeficientul celei mai mari puteri este 1 .

Când polinomul are rădăcini întregi, atunci ele sunt considerate divizori ai termenului liber.

Exemplul 6

Extindeți expresia f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Soluţie

Luați în considerare dacă există rădăcini întregi. Este necesar să scrieți divizorii numărului - 18. Obținem că ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Rezultă că acest polinom are rădăcini întregi. Puteți verifica conform schemei Horner. Este foarte convenabil și vă permite să obțineți rapid coeficienții de expansiune ai unui polinom:

Rezultă că x \u003d 2 și x \u003d - 3 sunt rădăcinile polinomului original, care poate fi reprezentat ca un produs de forma:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Ne întoarcem la descompunerea unui trinom pătrat de forma x 2 + 2 x + 3 .

Deoarece discriminantul este negativ, înseamnă că nu există rădăcini reale.

Răspuns: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

cometariu

Este permisă folosirea selecției rădăcinilor și împărțirea unui polinom cu un polinom în locul schemei lui Horner. Să trecem la considerarea expansiunii unui polinom care conține coeficienți întregi de forma P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dintre care cel mai mare nu este egal cu unul.

Acest caz are loc pentru fracțiile raționale fracționale.

Exemplul 7

Factorizează f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Soluţie

Este necesar să se schimbe variabila y = 2 x , se trece la un polinom cu coeficienți egali cu 1 la gradul cel mai înalt. Trebuie să începeți prin înmulțirea expresiei cu 4. Înțelegem asta

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Când funcția rezultată de forma g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 are rădăcini întregi, atunci găsirea lor se află printre divizorii termenului liber. Intrarea va arăta astfel:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Să trecem la calculul funcției g (y) în aceste puncte pentru a obține zero ca rezultat. Înțelegem asta

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Obținem că y \u003d - 5 este rădăcina ecuației de forma y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, ceea ce înseamnă că x \u003d y 2 \u003d - 5 2 este rădăcina funcției originale.

Exemplul 8

Este necesar să se împartă la o coloană 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 cu x + 5 2.

Soluţie

Scriem și obținem:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Verificarea divizorilor va dura mult timp, deci este mai profitabil să luăm factorizarea trinomului pătrat rezultat de forma x 2 + 7 x + 3. Echivalând cu zero, găsim discriminantul.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

De aici rezultă că

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Trucuri artificiale la factorizarea unui polinom

Rădăcinile raționale nu sunt inerente tuturor polinoamelor. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați metode speciale pentru a găsi factori. Dar nu toate polinoamele pot fi descompuse sau reprezentate ca produs.

Metoda de grupare

Există cazuri când este posibil să grupați termenii unui polinom pentru a găsi un factor comun și a-l scoate din paranteze.

Exemplul 9

Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Soluţie

Deoarece coeficienții sunt numere întregi, atunci rădăcinile pot fi, probabil, și numere întregi. Pentru a verifica, luăm valorile 1 , - 1 , 2 și - 2 pentru a calcula valoarea polinomului în aceste puncte. Înțelegem asta

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Acest lucru arată că nu există rădăcini, este necesar să se folosească o metodă diferită de descompunere și soluție.

Gruparea este necesară:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

După gruparea polinomului inițial, este necesar să-l reprezentăm ca produs a două trinoame pătrate. Pentru a face acest lucru, trebuie să factorizăm. înţelegem asta

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

cometariu

Simplitatea grupării nu înseamnă că este suficient de ușor să alegeți termenii. Nu există o modalitate certă de a o rezolva, de aceea este necesar să folosiți teoreme și reguli speciale.

Exemplul 10

Factorizează polinomul x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Soluţie

Polinomul dat nu are rădăcini întregi. Termenii trebuie grupați. Înțelegem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

După factoring, obținem asta

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Folosind înmulțirea abreviată și formulele binomiale ale lui Newton pentru a factoriza un polinom

Aspectul de multe ori nu indică întotdeauna clar ce mod de utilizat în timpul descompunerii. După ce au fost făcute transformările, puteți construi o linie formată din triunghiul lui Pascal, altfel se numesc binomul lui Newton.

Exemplul 11

Factorizează polinomul x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Soluţie

Este necesar să convertiți expresia în formă

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Secvența de coeficienți ai sumei dintre paranteze este indicată prin expresia x + 1 4 .

Deci avem x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

După aplicarea diferenței de pătrate, obținem

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Luați în considerare expresia care se află în a doua paranteză. Este clar că nu există cai acolo, așa că formula pentru diferența de pătrate ar trebui aplicată din nou. Primim o expresie ca

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Exemplul 12

Factorizează x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Soluţie

Să schimbăm expresia. Înțelegem asta

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi. Primim:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

O metodă pentru înlocuirea unei variabile la factorizarea unui polinom

La schimbarea unei variabile, gradul este redus și polinomul este factorizat.

Exemplul 13

Factorizați un polinom de forma x 6 + 5 x 3 + 6 .

Soluţie

Prin condiție, este clar că este necesar să se facă o înlocuire y = x 3 . Primim:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Rădăcinile ecuației pătratice rezultate sunt y = - 2 și y = - 3, atunci

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Este necesar să se aplice formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor. Obținem expresii de forma:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Adică am obținut expansiunea dorită.

Cazurile discutate mai sus vor ajuta la luarea în considerare și factorizarea unui polinom în diferite moduri.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter