Rezolvați ecuația x 0. Rezolvarea ecuațiilor liniare cu exemple. Transformări identitare ale ecuațiilor
a rezolva matematica. Găsiți repede soluție de ecuație matematicăîn mod pe net. Site-ul www.site permite rezolva ecuația aproape orice dat algebric, trigonometric sau ecuație transcendentală online. Când studiezi aproape orice secțiune de matematică în diferite etape, trebuie să te decizi ecuații online. Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns precis, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc www.site rezolva ecuatii online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului atunci când rezolvi matematica ecuații online- este viteza și acuratețea răspunsului emis. Site-ul este capabil să rezolve orice ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, ecuații transcendentale online, precum și ecuații cu parametri necunoscuți în modul pe net. Ecuații servesc ca un puternic aparat matematic solutii sarcini practice. Cu ajutor ecuatii matematice este posibil să se exprime fapte și relații care pot părea la prima vedere confuze și complexe. cantități necunoscute ecuații poate fi găsit prin formularea problemei în matematic limba în formă ecuațiiȘi rezolva sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice ecuație algebrică, ecuație trigonometrică sau ecuații conținând transcendental te prezintă cu ușurință decide online și obțineți răspunsul corect. Studiind științele naturii, se întâlnește inevitabil nevoia rezolvarea ecuatiilor. În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie primit imediat în modul pe net. Prin urmare, pentru rezolva ecuatii matematice online va recomandam site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastra indispensabil pentru rezolva ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, precum și ecuații transcendentale online sau ecuații cu parametri necunoscuți. Pentru probleme practice de găsire a rădăcinilor diverselor ecuatii matematice resursa www.. Rezolvarea ecuații online singur, este util să verificați răspunsul primit folosind soluție online a ecuațiilor pe site-ul www.site. Este necesar să scrieți corect ecuația și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparăm răspunsul cu soluția ta la ecuație. Verificarea răspunsului nu va dura mai mult de un minut, suficient rezolva ecuația onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizie si corecteaza raspunsul la timp rezolvarea de ecuații online dacă algebric, trigonometric, transcendent sau ecuația cu parametri necunoscuți.
4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0
Mai întâi trebuie să utilizați metoda de selecție pentru a găsi o rădăcină. De obicei este divizorul termenului liber. În acest caz, divizorii numărului 6 sunteți ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ număr 1
-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ număr -1 nu este o rădăcină a unui polinom
2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ număr 2 este rădăcina polinomului
Am găsit una dintre rădăcinile polinomului. Rădăcina polinomului este 2, ceea ce înseamnă că polinomul original trebuie să fie divizibil cu x - 2. Pentru a efectua împărțirea polinoamelor, folosim schema lui Horner:
4 | -19 | 19 | 6 | |
2 |
Linia de sus conține coeficienții polinomului original. În prima celulă a celui de-al doilea rând, punem rădăcina pe care am găsit-o 2. A doua linie conține coeficienții polinomului, care se vor obține ca urmare a împărțirii. Ei contează astfel:
|
În a doua celulă a celui de-al doilea rând, scrieți numărul 1, pur și simplu deplasându-l din celula corespunzătoare din primul rând. | ||||||||||
|
2 ∙ 4 - 19 = -11 | ||||||||||
|
2 ∙ (-11) + 19 = -3 | ||||||||||
|
2 ∙ (-3) + 6 = 0 |
Ultimul număr este restul împărțirii. Dacă este egal cu 0, atunci am numărat totul corect.
Astfel, am factorizat polinomul original:
4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)
Și acum, tot ce rămâne este să găsim rădăcinile ecuației pătratice
4x2 - 11x - 3 = 0
D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) \u003d 169
D > 0 ⇒ ecuația are 2 rădăcini
Am găsit toate rădăcinile ecuației.
Amintiți-vă proprietățile de bază ale unui grad. Fie a > 0, b > 0, n, m orice numere reale. Apoi
1) a n a m = a n+m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1 dacă a > 1, n > 0
8) a n 1, n
9) a n > a m , dacă 0
În practică, funcțiile de forma y = a x sunt adesea folosite, unde a este un număr pozitiv dat, x este o variabilă. Astfel de funcții sunt numite demonstrativ. Acest nume se explică prin faptul că argumentul funcției exponențiale este exponentul, iar baza gradului este un număr dat.
Definiție. O funcție exponențială este o funcție de forma y = a x , unde a este un număr dat, a > 0, \(a \neq 1\)
O funcție exponențială are următoarele proprietăți
1) Domeniul funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor reale.
Această proprietate rezultă din faptul că gradul a x unde a > 0 este definit pentru toate numerele reale x.
2) Setul de valori ale funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor pozitive.
Pentru a verifica acest lucru, trebuie să arătăm că ecuația ax = b, unde a > 0, \(a \neq 1\), nu are rădăcini dacă \(b \leq 0\) și are o rădăcină pentru orice b > 0 .
3) Funcția exponențială y \u003d a x crește pe mulțimea tuturor numerelor reale dacă a > 1 și descrește dacă 0 Aceasta rezultă din proprietățile gradului (8) și (9)
Construim grafice ale funcțiilor exponențiale y \u003d ax pentru a > 0 și pentru 0 Folosind proprietățile considerate, observăm că graficul funcției y \u003d ax pentru a > 0 trece prin punctul (0; 1) și este situat deasupra axei Ox.
Dacă x este 0.
Dacă x > 0 și |x| crește, graficul crește rapid.
Graficul funcției y \u003d a x la 0 Dacă x\u003e 0 și crește, atunci graficul se apropie rapid de axa Ox (fără a o traversa). Astfel, axa x este asimptota orizontală a graficului.
Dacă x
ecuații exponențiale
Să ne uităm la câteva exemple ecuații exponențiale, adică ecuații în care necunoscutul este conținut în exponent. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale se reduce adesea la rezolvarea ecuației a x = a b unde a > 0, \(a\neq 1\), x este necunoscutul. Această ecuație este rezolvată folosind proprietatea puterii: puterile cu aceeași bază a > 0, \(a \neq 1\) sunt egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt egali.
Rezolvați ecuația 2 3x 3 x = 576
Deoarece 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, ecuația poate fi scrisă sub forma 8 x 3 x \u003d 24 2 sau sub forma 24 x \u003d 24 2, din unde x \u003d 2.
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Punând paranteze factorul comun 3 x - 2 pe partea stângă, obținem 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25, 3 x - 2 25 \u003d 25,
de unde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 x = 7 x
Deoarece \(7^x \neq 0 \) , ecuația poate fi scrisă ca \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), de unde \(\left(\frac(3)( 7) ) \right) ^x = 1 \), x = 0
Răspuns x = 0
Rezolvați ecuația 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Prin înlocuirea 3 x \u003d t, această ecuație se reduce la o ecuație pătratică t 2 - 4t - 45 \u003d 0. Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: t 1 \u003d 9, t 2 \u003d -5, din care 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5 .
Ecuația 3 x = 9 are rădăcină x = 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Scriem ecuația sub forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de unde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Răspuns x = 2
Rezolvați ecuația 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Deoarece 3 > 0, \(3 \neq 1\), ecuația inițială este echivalentă cu ecuația |x-1| = |x+3|
Punând la pătrat această ecuație, obținem corolarul ei (x - 1) 2 = (x + 3) 2, de unde
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Verificarea arată că x = -1 este rădăcina ecuației originale.
Răspuns x = -1
O ecuație cu o necunoscută, care, după deschiderea parantezelor și reducerea termenilor similari, ia forma
ax + b = 0, unde a și b sunt numere arbitrare, se numește ecuație liniară cu unul necunoscut. Astăzi ne vom da seama cum să rezolvăm aceste ecuații liniare.
De exemplu, toate ecuațiile:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - liniar.
Se numește valoarea necunoscutului care transformă ecuația într-o egalitate adevărată decizie sau rădăcina ecuației .
De exemplu, dacă în ecuația 3x + 7 \u003d 13 înlocuim numărul 2 în loc de necunoscutul x, atunci obținem egalitatea corectă 3 2 + 7 \u003d 13. Aceasta înseamnă că valoarea x \u003d 2 este soluția sau rădăcina ecuației.
Și valoarea x \u003d 3 nu transformă ecuația 3x + 7 \u003d 13 într-o egalitate adevărată, deoarece 3 2 + 7 ≠ 13. Prin urmare, valoarea x \u003d 3 nu este o soluție sau o rădăcină a ecuației.
Rezolvarea oricărei ecuatii lineare reduce la rezolvarea ecuaţiilor de forma
ax + b = 0.
Transferăm termenul liber din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul din fața lui b la opus, obținem
Dacă a ≠ 0, atunci x = – b/a .
Exemplul 1 Rezolvați ecuația 3x + 2 =11.
Transferăm 2 din partea stângă a ecuației la dreapta, în timp ce schimbăm semnul în fața lui 2 la opus, obținem
3x \u003d 11 - 2.
Să facem scăderea, atunci
3x = 9.
Pentru a găsi x, trebuie să împărțiți produsul la un factor cunoscut, adică
x = 9:3.
Deci valoarea x = 3 este soluția sau rădăcina ecuației.
Răspuns: x = 3.
Dacă a = 0 și b = 0, atunci obținem ecuația 0x \u003d 0. Această ecuație are infinit de soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b este, de asemenea, 0. Soluția acestei ecuații este orice număr.
Exemplul 2 Rezolvați ecuația 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.
Să extindem parantezele:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
Iată membri similari:
0x = 0.
Răspuns: x este orice număr.
Dacă a = 0 și b ≠ 0, atunci obținem ecuația 0x = - b. Această ecuație nu are soluții, deoarece atunci când înmulțim orice număr cu 0, obținem 0, dar b ≠ 0.
Exemplul 3 Rezolvați ecuația x + 8 = x + 5.
Să grupăm termenii care conțin necunoscute în partea stângă și termenii liberi în partea dreaptă:
x - x \u003d 5 - 8.
Iată membri similari:
0x = - 3.
Răspuns: fără soluții.
Pe figura 1 este prezentată schema de rezolvare a ecuaţiei liniare
Să compunem o schemă generală de rezolvare a ecuațiilor cu o variabilă. Luați în considerare soluția exemplului 4.
Exemplul 4 Să rezolvăm ecuația
1) Înmulțiți toți termenii ecuației cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor, egal cu 12.
2) După reducere obținem
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) Pentru a separa membrii care conțin membri necunoscuți și liberi, deschideți paranteze:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) Grupăm într-o parte termenii care conțin necunoscute, iar în cealaltă - termeni liberi:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) Iată membri similari:
- 22x = - 154.
6) Împărțiți la - 22 , obținem
x = 7.
După cum puteți vedea, rădăcina ecuației este șapte.
În general, așa ecuațiile pot fi rezolvate după cum urmează:
a) aduceți ecuația într-o formă întreagă;
b) paranteze deschise;
c) grupează termenii care conțin necunoscutul într-o parte a ecuației, iar termenii liberi în cealaltă;
d) aduce membri similari;
e) rezolvați o ecuație de forma aх = b, care s-a obținut după aducerea unor termeni similari.
Cu toate acestea, această schemă nu este necesară pentru fiecare ecuație. Când rezolvi multe altele ecuații simple trebuie să începi nu de la prima, ci de la a doua ( Exemplu. 2), al treilea ( Exemplu. 13) și chiar din etapa a cincea, ca în exemplul 5.
Exemplul 5 Rezolvați ecuația 2x = 1/4.
Găsim necunoscutul x \u003d 1/4: 2,
x = 1/8 .
Luați în considerare soluția unor ecuații liniare întâlnite la examenul de stat principal.
Exemplul 6 Rezolvați ecuația 2 (x + 3) = 5 - 6x.
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 - 6
Răspuns: - 0,125
Exemplul 7 Rezolvați ecuația - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x - 8x = - 7 +30
Răspuns: 2.3
Exemplul 8 Rezolvați ecuația
3(3x - 4) = 4 7x + 24
9x - 12 = 28x + 24
9x - 28x = 24 + 12
Exemplul 9 Găsiți f(6) dacă f (x + 2) = 3 7
Soluţie
Deoarece trebuie să găsim f(6) și știm f (x + 2),
atunci x + 2 = 6.
Rezolvăm ecuația liniară x + 2 = 6,
obținem x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
Dacă x = 4 atunci
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Raspuns: 27.
Dacă mai aveți întrebări, există dorința de a trata mai amănunțit soluția ecuațiilor, înscrieți-vă la lecțiile mele în PROGRAM. Voi fi bucuros să vă ajut!
TutorOnline vă recomandă, de asemenea, vizionarea unui nou tutorial video de la tutorele noastre Olga Alexandrovna, care vă va ajuta să înțelegeți atât ecuațiile liniare, cât și altele.
site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.