Ceea ce se numește integrală nedefinită. Lecția Calcul integrală Integrală nedefinită și semnificația ei geometrică. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite - Document. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

O funcție restaurată din derivata sau diferențiala ei se numește primitiv.

Definiție. Funcţie F(x) numit primitiv pentru functie

f(x) pe un anumit interval, dacă în fiecare punct al acestui interval

F"(x) = f(x)

sau, care este de asemenea

dF(x) = f(x)dx

De exemplu, F(x) = sin x este un prototip pentru f(x) = cos x pe întreaga linie numerică OX, deoarece

(sin x)" = cos x

Dacă funcţia F(X) există o antiderivată pentru funcție f(X) pe [ A; b], apoi funcția F(X) + C, Unde C orice număr real este, de asemenea, o antiderivată pentru f(X) pentru orice valoare C. Într-adevăr ( F(X) + C)" = F"(X) + C" = f(X).

Exemplu.

Definiție. Dacă F(x) unul dintre antiderivatele pentru funcție f(x) pe [ A; b], apoi expresia F(x) + C, Unde C se numește constantă arbitrară integrală nedefinită din functie f(x)și este notat cu simbolul ʃ f(X)dx(a se citi: integrală nedefinită a f(x) pe dx). Asa de,

ʃ f (X ) dx=F (X ) +C ,

Unde f(x) se numește integrand, f(x)dx- integrand, X este variabila de integrare, iar simbolul ʃ este semnul integralei nedefinite.

Proprietățile integralei nedefinite și proprietățile ei geometrice.

Din definiția integralei nedefinite rezultă că:

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

Într-adevăr, F"(X) = f(X) și ʃ f(X)dx=F(X)+C. Apoi

2. Diferenţialul integralei nedefinite este egală cu integrandul

Într-adevăr,

3. Integrala nedefinită a derivatei este egală cu funcția în sine plus o constantă arbitrară:

Într-adevăr, F"(X) = f(X). Apoi,

4. Integrala nedefinită a diferenţialului este egală cu funcţia derivabilă plus o constantă arbitrară:

Într-adevăr, . Apoi,

5. Multiplicator constant k(k≠ 0) poate fi scos din semnul integralei nedefinite:

6. Integrala nedefinită a sumei algebrice a unui număr finit de funcții este egală cu suma algebrică a integralelor acestor funcții:

Să numim graficul primitiv F(x) a curbei integrale. Graficul oricărui alt antiderivat F(x) + C se obţine prin translaţia paralelă a curbei integrale F(x) de-a lungul axei OY.

Exemplu.

Tabelul integralelor de bază

Tehnici de bază de integrare

1. Integrare directă (tabulară).

Integrarea directă (tabelară) este reducerea unei integrale la o formă tabelară folosind proprietățile și formulele de bază ale matematicii elementare.

Exemplul 1

Soluţie:

Exemplu2 .

Soluţie:

Exemplu3 .

Soluţie:

2. Metoda de a aduce sub diferenţial.

Exemplul 1

Soluţie:

Exemplu2 .

Soluţie:

Exemplu3 .

Soluţie:

Exemplu4 .

Soluţie:

Exemplu5 .

Soluţie:

Exemplu6 .

Soluţie:

Exemplu7 .

Soluţie:

Exemplu8 .

Soluţie:

Exemplu9 .

Soluţie:

Exemplu10 .

Soluţie:

3. A doua modalitate de a aduce sub diferenţial.

Exemplul 1

Soluţie:

Exemplu2 .

Soluţie:

4. Metoda de înlocuire a variabilei (înlocuire).

Exemplu.

Soluţie:

5. Metoda de integrare pe piese.

Conform acestei formule, se iau următoarele tipuri de integrale:

1 tip.

, formula aplicata n‒ o dată, restul dv.

2 tip.

, formula se aplică o singură dată.

Exemplu1 .

Soluţie:

Exemplul 2

Soluţie:

Exemplu3 .

Soluţie:

Exemplu4 .

Soluţie:

INTEGRAREA FRACȚIUNILOR RAȚIONALE.

Fracția rațională este raportul dintre două polinoame - grade m și ‒ grade n,

Sunt posibile următoarele cazuri:

1. Dacă , atunci metoda împărțirii la un unghi este folosită pentru a exclude întreaga parte.

2. Dacă numitorul are și un trinom pătrat, atunci se folosește metoda completării la un pătrat complet.

Exemplul 1

Soluţie:

Exemplu2 .

Soluţie:

3. Metoda coeficienților nedeterminați în expansiunea unei fracții raționale regulate într-o sumă de fracții simple.

Orice fracție rațională adecvată, unde, poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple:

Unde A, B, C, D, E, F, M, N,...‒ coeficienți nedefiniti.

Pentru a găsi coeficienții nedeterminați, partea dreaptă trebuie redusă la un numitor comun. Deoarece numitorul coincide cu numitorul fracției din partea dreaptă, acestea pot fi aruncate și numărătorii egalați. Apoi, egalând coeficienții la aceleași puteri X pe laturile stanga si dreapta, obtinem un sistem de ecuatii liniare cu n- necunoscut. Rezolvând acest sistem, găsim coeficienții doriti A, B, C, Dși așa mai departe. Și, prin urmare, descompunem fracția rațională adecvată în fracții simple.

Să ne uităm la opțiunile posibile cu exemple:

1. Dacă factorii numitorului sunt liniari și diferiți:

2. Dacă există factori scurti între factorii numitorului:

3. Dacă printre factorii numitorului există un trinom pătrat care nu poate fi factorizat:

Exemple: Extindeți suma celor mai simple fracții raționale. Integra.

Exemplul 1.

Deoarece numitorii fracțiilor sunt egali, și numărătorii trebuie să fie egali, adică.

Exemplul 2

Exemplu3 .

Lecția 2. Calcul integral

Integrală nedefinită și semnificația ei geometrică. Proprietățile de bază ale integralei nedefinite.

Metode de bază de integrare a integralei nedefinite.

Integrală definită și semnificația ei geometrică.

formula Newton-Leibniz. Metode de calcul a unei integrale definite.

Cunoscând derivata sau diferențiala unei funcții, puteți găsi această funcție în sine (restaurează funcția). Această acțiune, inversa diferențierii, se numește integrare.

funcția antiderivatăîn raport cu această funcție se numește o astfel de funcție
, a cărei derivată este egală cu funcția dată, adică.

Pentru această funcție există un număr infinit de funcţii antiderivate, deoarece oricare dintre funcții
, este, de asemenea, antiderivat pentru .

Mulțimea tuturor antiderivatelor pentru o funcție dată se numește ei integrală nedefinită notat cu simbolul:

, Unde

se numește integrand, funcție
- functia integrand.

Sensul geometric al integralei nedefinite. Geometric, integrala nedefinită este o familie de curbe integrale în plan, obținute prin translația paralelă a graficului funcției
de-a lungul axei y (Fig. 3).

Proprietățile de bază ale integralei nedefinite

Proprietatea 1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

Proprietatea 2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

Proprietatea 3. Integrala diferenţială a unei funcţii este egală cu această funcţie plus const:

Proprietatea 4. Linearitatea integralei.

Tabelul integralelor de bază

	Integral
putere
demonstrație
trigonometric
verso trigonometric

Metode de bază de integrare

Metoda de integrare pe părți este o metodă care constă în utilizarea formulei:

.

Această metodă este utilizată atunci când integrala
este mai ușor de rezolvat decât
. De regulă, această metodă rezolvă integralele formei
, Unde
este un polinom și este una dintre următoarele funcții:
,
,
, , ,
,
.

Luați în considerare o funcție
, definit pe interval
, orez. 4. Să facem 5 operații.

1. Împărțiți intervalul cu puncte în mod arbitrar părți. Denota
, iar cea mai mare dintre lungimile acestor secțiuni parțiale va fi notat cu , va fi numit rangul de divizare.

2. Pe fiecare parcelă parțială
luați un punct arbitrar și calculați valoarea funcției din ea
.

3. Compune o lucrare

4. Adunați suma
. Această sumă se numește sumă integrală sau sumă Riemann.

5. Rafinarea zdrobirii (prin creșterea numărului de puncte de zdrobire) și în același timp tinderea gradului de zdrobire la zero (
) adică (creșterea numărului de puncte de strivire, ne asigurăm că lungimea tuturor secțiunilor parțiale scade și tinde spre zero
), vom găsi limita șirului de sume integrale

Dacă această limită există, nu depinde de metoda de împărțire și de alegerea punctelor, atunci se numește integrala definita dintr-o funcție pe un interval și se notează după cum urmează:
.

Sensul geometric al unei integrale definite. Să presupunem că funcția este continuă și pozitivă pe intervalul . Luați în considerare un trapez curbiliniu ABCD(Fig. 4). Suma integrală
ne dă suma ariilor dreptunghiurilor cu baze
și înălțimi
. Poate fi luată ca valoare aproximativă a ariei unui trapez curbiliniu ABCD , adică

,

în plus, această egalitate va fi cu atât mai precisă, cu cât zdrobirea va fi mai fină, iar în limita la n→+∞ Și λ → 0 vom obține:

.

Acesta este sensul geometric al integralei definite.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite

Proprietatea 1. O integrală definită cu aceleași limite este egală cu zero.

Proprietatea 2. Când limitele integrării sunt interschimbate, integrala definită își schimbă semnul în opus.

Proprietatea 3. Linearitatea integralei.

Proprietatea 4. Oricare ar fi numerele, dacă funcția
integrabil pe fiecare dintre intervale
,
,
(Fig. 5), apoi:

Teorema. Dacă funcția este continuă pe intervalul , atunci integrala definită a acestei funcții pe interval este egală cu diferența dintre valorile oricărei antiderivate a acestei funcții pe limitele superioare și inferioare de integrare, adică.

(formula Newton-Leibniz) .

Această formulă reduce găsirea integralelor definite la găsirea integralelor nedefinite. Diferență
se numește increment al antiderivatei și se notează
.

Luați în considerare principalele modalități de calculare a integralei definite: modificarea variabilelor (substituție) și integrarea pe părți.

Înlocuirea (înlocuirea unei variabile) într-o integrală definită - trebuie să faceți următoarele:

Și
;

Cometariu. Când se calculează integrale definite folosind substituție, nu este nevoie să se revină la argumentul inițial.

2. Integrarea pe părți într-o integrală definită se rezumă la aplicarea formulei:

.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exercitiul 1. Aflați integrala nedefinită prin integrare directă.

1.
. Folosind proprietatea integralei nedefinite, scoatem factorul constant din semnul integral. Apoi, efectuând transformări matematice elementare, aducem integrantul la o formă de putere:

.

Sarcina 2. Găsiți integrala nedefinită folosind metoda schimbării variabilei.

1.
. Să schimbăm variabila
, Apoi . Integrala originală va lua forma:

Astfel, am obținut o integrală nedefinită a unei forme tabelare: o funcție de putere. Folosind regula pentru găsirea integralei nedefinite a unei funcții de putere, găsim:

Făcând înlocuirea inversă, obținem răspunsul final:

Sarcina 3. Aflați integrala nedefinită folosind metoda integrării pe părți.

1.
. Să introducem următoarea notație: sens ... de bază concept integrală calcul- concept nedefinită integrală ... nedefinită integrală Principal proprietăți nedefinită integrală Utilizați tabelul major incert ...

Programul de lucru al disciplinei academice „Matematică superioară” Ciclul

Program de lucru

... principal legi... Integral calcul funcţiile unei variabile Antiderivate. Incert integralăȘi a lui proprietăți ... integralăȘi a lui geometric sens. Integral... coordonate. Incert integralăși... și practic clase„. Petrushko I.M.,...

Integrala este o parte importantă a calculului diferenţial. Integralele pot fi duble, triple etc. Pentru a găsi suprafața și volumul corpurilor geometrice sunt utilizate diferite tipuri de integrale.

Integrala nedefinită este de forma: \(∫f (x)\, dx\) iar integrala definită este de forma: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

Aria planului delimitată de graficul unei integrale definite:

Operațiile de integrare sunt inverse diferențierii. Din acest motiv, trebuie să ne amintim de antiderivată, funcție, tabel de derivate.

Funcția \(F (x) = x^2\) este antiderivată a funcției \(f (x) = 2x\) . Funcțiile \(f (x) = x^2+2\) și \(f (x) = x^2+7\) sunt, de asemenea, antiderivate pentru funcția \(f (x) = 2x\) . \(2\) și \(7-\) sunt constante ale căror derivate sunt egale cu zero, așa că le putem înlocui cât ne place, valoarea antiderivatei nu se va modifica. Pentru a scrie integrala nedefinită se folosește semnul \(∫\) . Integrală nedefinită este colecția tuturor antiderivate ale funcției \(f (x) = 2x\) . Operațiile de integrare sunt inverse diferențierii. \(∫2x = x^2+C\) , unde \(C\) este constanta de integrare, deci dacă calculăm derivata \(x^2\) , obținem \(2x\) , care este \ ( ∫2x\) . Ușor, nu-i așa? Dacă nu înțelegeți, atunci trebuie să repetați derivata funcției. Acum putem deriva formula prin care vom calcula integrala: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​​​≠ -1\). am scăzut 1, acum adăugăm 1, n nu poate fi 0. Există și alte reguli de integrare pentru alte funcții de bază de învățat:

Rezolvarea unei integrale nedefinite este procesul invers de găsire a antiderivatelor unei ecuații diferențiale. Găsim o funcție a cărei derivată este o integrală și nu uitați să adăugați „+ C” la sfârșit.

Principiile calculului integral au fost formulate independent de Isaac Newton și Gottfried Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Bernhard Riemann a dat o definiție matematică riguroasă a integralelor. Prima metodă sistematică documentată capabilă să determine integralele este metoda de calcul a astronomului grec antic Eudoxus, care a încercat să găsească zone și volume descompunându-le într-un număr infinit de zone și volume cunoscute. Această metodă a fost dezvoltată și utilizată în continuare de Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. e. și a fost folosit pentru a calcula ariile parabolelor și pentru a aproxima aria unui cerc.

O metodă similară a fost dezvoltată independent în China în jurul secolului al III-lea d.Hr. de către Liu Hui, care a folosit-o pentru a găsi aria unui cerc. Această metodă a fost folosită mai târziu în secolul al V-lea de matematicienii chinezi, tată și fiu, Zu Chongzhi și Zu Geng, pentru a găsi volumul unei sfere.

Următoarele dezvoltări semnificative în calculul integral nu au apărut decât în ​​secolul al XVII-lea. În acest timp, munca lui Cavalieri și Fermat a început să pună bazele calculului modern.

În special, teorema fundamentală a calculului integral face posibilă rezolvarea unei clase mult mai largi de probleme. La fel de importantă este structura matematică complexă pe care Newton și Leibniz au dezvoltat-o. Această structură a integralelor este preluată direct din lucrarea lui Leibniz și a devenit calculul integral modern.Calculul a fost modificat de Riemann folosind limite. Ulterior, au fost luate în considerare funcții mai generale, mai ales în contextul analizei Fourier, cărora nu se aplică definiția lui Riemann. Lebesgue a formulat o altă definiție a integralei bazată pe teoria măsurii (un subdomeniu al analizei reale).

Notația modernă pentru integrala nedefinită a fost introdusă de Gottfried Leibniz în 1675.

Integralele sunt utilizate pe scară largă în multe domenii ale matematicii. De exemplu, în teoria probabilității, integralele sunt folosite pentru a determina probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze într-un anumit interval.

Integralele pot fi utilizate pentru a calcula aria unei regiuni 2D care are o limită curbă, precum și pentru a calcula volumul unui obiect 3D cu o limită curbă.

Integralele sunt folosite în fizică, în domenii precum cinematica, pentru a găsi deplasarea, timpul și viteza.

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este opusul diferențierii și anume refacerea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția restabilită în acest fel F(X) se numește primitiv pentru functie f(X).

Definiție 1. Funcție F(X f(X) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile X din acest interval egalitatea F "(X)=f(X), adică această funcție f(X) este derivata funcției antiderivative F(X). .

De exemplu, funcția F(X) = păcat X este antiderivată pentru funcție f(X) = cos X pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat X)" = (cos X) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(X) este colecția tuturor antiderivatelor sale. Aceasta folosește notația

∫

f(X)dx

,

unde este semnul ∫ se numește semn integral, funcție f(X) este un integrand și f(X)dx este integrantul.

Astfel, dacă F(X) este un antiderivat pentru f(X) , Acea

∫

f(X)dx = F(X) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o ușă (o ușă tradițională de lemn). Funcția sa este „a fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Dintr-un copac. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate desemna, pt. de exemplu, o specie de copac. La fel cum o uşă este făcută din lemn cu unele unelte, derivata unei funcţii este „facut” din funcţia antiderivată cu formula pe care am învățat-o studiind derivata .

Apoi tabelul de funcții ale obiectelor comune și primitivele lor corespunzătoare ("a fi o ușă" - "a fi un copac", "a fi o lingură" - "a fi un metal", etc.) este similar cu tabelul de integrale nedefinite de bază, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. Ca parte a problemelor de găsire a unei integrale nedefinite, sunt date astfel de integranți care pot fi integrați direct fără eforturi speciale, adică conform tabelului de integrale nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat, astfel încât integralele tabelare să poată fi utilizate.

Faptul 2. Restabilind o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară Cși pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diferite constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, astfel: 5 X³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 X³+4 sau 5 X³+3 și la diferențierea 4 sau 3 sau orice altă constantă dispare.

Punem problema de integrare: pentru o functie data f(X) găsiți o astfel de funcție F(X), al cărui derivat este egal cu f(X).

Exemplul 1 Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(X) se numește antiderivată pentru funcție f(X) dacă derivata F(X) este egal cu f(X), sau, ceea ce este același lucru, diferența F(X) este egal cu f(X) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este antiderivată pentru funcția . Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Sunt și funcții

Unde CU este o constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un set infinit de antiderivate care diferă printr-un sumand constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(X) este antiderivată pentru funcție f(X) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(X) pe același interval poate fi reprezentat ca F(X) + C, Unde CU este o constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem deja la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a ne familiariza cu întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime la integrare.

Exemplul 2 Găsiți seturi de antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată, acceptați doar că există astfel de formule și vom studia tabelul integralelor nedefinite în întregime puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) la n= -1/4 găsi

Sub semnul integral, ei nu scriu funcția în sine f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica ce variabilă este căutată antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile luate în considerare se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a unei variabile X, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să fie necesar să se găsească o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta pantei tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangentei pantei tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci, trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este derivat din f(x). Condiția problemei este satisfăcută nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curbă integrală. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) este o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la origine este determinată de o constantă (constant) arbitrară de integrare C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(X) este egală cu funcția f(X) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Calcul integral.

funcţie primitivă.

Definiție: Se numește funcția F(x). funcția antiderivată funcțiile f(x) pe segmentul , dacă în orice punct al acestui segment egalitatea este adevărată:

Trebuie remarcat faptul că pot exista infinite de antiderivate pentru aceeași funcție. Ele vor diferi unele de altele printr-un număr constant.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Integrală nedefinită.

Definiție: Integrală nedefinită funcțiile f(x) este un set de funcții antiderivate, care sunt definite prin relația:

Scrie:

Condiția existenței unei integrale nedefinite pe un anumit segment este continuitatea funcției pe acest segment.

Proprietăți:

1.

2.

3.

4.

Exemplu:

Găsirea valorii integralei nedefinite este asociată în principal cu găsirea funcției antiderivative. Pentru unele funcții, aceasta este o sarcină destul de dificilă. Mai jos vom lua în considerare metode de găsire a integralelor nedefinite pentru principalele clase de funcții - raționale, iraționale, trigonometrice, exponențiale etc.

Pentru comoditate, valorile integralelor nedefinite ale majorității funcțiilor elementare sunt colectate în tabele speciale de integrale, care uneori sunt foarte voluminoase. Acestea includ diverse cele mai comune combinații de funcții. Dar cele mai multe dintre formulele prezentate în aceste tabele sunt consecințe unele ale altora, așa că mai jos este un tabel de integrale de bază, cu care puteți obține valorile integralelor nedefinite ale diferitelor funcții.

Integral		Sens	Integral		Sens
		lnsinx+ C
		ln

Metode de integrare.

Să luăm în considerare trei metode de bază de integrare.

Integrare directă.

Metoda integrării directe se bazează pe presupunerea valorii posibile a funcției antiderivate cu verificarea ulterioară a acestei valori prin diferențiere. În general, observăm că diferențierea este un instrument puternic pentru verificarea rezultatelor integrării.

Luați în considerare aplicarea acestei metode pe un exemplu:

Este necesar să se găsească valoarea integralei . Pe baza binecunoscutei formule de diferențiere
putem concluziona că integrala dorită este egală cu
, unde C este un număr constant. Cu toate acestea, pe de altă parte
. Astfel, putem concluziona în sfârșit:

Rețineți că, spre deosebire de diferențiere, în care s-au folosit tehnici și metode clare pentru a găsi derivatul, regulile pentru găsirea derivatei și, în sfârșit, definiția derivatei, astfel de metode nu sunt disponibile pentru integrare. Dacă, la găsirea derivatei, am folosit, ca să spunem așa, metode constructive, care, în baza unor reguli, au condus la un rezultat, atunci la găsirea antiderivatei trebuie să ne bazăm în principal pe cunoașterea tabelelor de derivate și antiderivate.

În ceea ce privește metoda integrării directe, aceasta este aplicabilă doar pentru unele clase foarte limitate de funcții. Există foarte puține funcții pentru care puteți găsi imediat antiderivatul. Prin urmare, în cele mai multe cazuri, sunt utilizate metodele descrise mai jos.

Metoda de substituție (înlocuirea variabilelor).

Teorema: Dacă doriți să găsiți integrala
, dar este greu de găsit antiderivată, atunci prin înlocuirea x = (t) și dx = (t)dt obținem:

Dovada : Să diferențiem egalitatea propusă:

Conform proprietății nr. 2 de mai sus din integrala nedeterminată:

f(X) dx = f[  (t)]  (t) dt

care, ținând cont de notația introdusă, este ipoteza inițială. Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Aflați integrala nedefinită
.

Să facem un înlocuitor t = sinx, dt = cosxdt.

Exemplu.

Înlocuire
Primim:

Mai jos vom lua în considerare și alte exemple de utilizare a metodei de substituție pentru diferite tipuri de funcții.

Integrare pe părți.

Metoda se bazează pe formula binecunoscută pentru derivatul unui produs:

(uv) = uv + vu

unde u și v sunt unele funcții ale lui x.

Sub formă diferenţială: d(uv) = udv + vdu

După integrare, obținem:
, și în conformitate cu proprietățile de mai sus ale integralei nedefinite:

sau
;

Am obținut o formulă de integrare pe părți care ne permite să găsim integralele multor funcții elementare.

Exemplu.

După cum puteți vedea, aplicarea consecventă a formulei de integrare pe părți vă permite să simplificați treptat funcția și să aduceți integrala la una tabelară.

Exemplu.

Se poate observa că, ca urmare a aplicării repetate a integrării pe părți, funcția nu a putut fi simplificată la o formă tabelară. Cu toate acestea, ultima integrală obținută nu este diferită de cea inițială. Prin urmare, îl transferăm în partea stângă a egalității.

Astfel, integrala a fost găsită fără a utiliza deloc tabelele de integrale.

Înainte de a analiza în detaliu metodele de integrare a diferitelor clase de funcții, mai dăm câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite prin reducerea lor la cele tabulare.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Exemplu.

Integrarea fracțiilor elementare.

Definiție: Elementar fracțiile din următoarele patru tipuri se numesc:

eu.
III.

II.
IV.

m, n sunt numere naturale (m  2, n  2) și b 2 - 4ac<0.

Primele două tipuri de integrale ale fracțiilor elementare sunt pur și simplu reduse la substituții tabelare t = ax + b.

Luați în considerare o metodă de integrare a fracțiilor elementare de forma III.

Integrala unei fracții de tip III poate fi reprezentată ca:

Aici, în termeni generali, este prezentată reducerea integralei unei fracții de forma III la două integrale tabelare.

Luați în considerare aplicarea formulei de mai sus cu exemple.

Exemplu.

În general, dacă trinomul ax 2 + bx + c are expresia b 2 - 4ac > 0, atunci fracția nu este prin definiție elementară, totuși poate fi integrată în modul de mai sus.

Exemplu.

Exemplu.

Să luăm acum în considerare metodele de integrare a celor mai simple fracții de tip IV.

Mai întâi, luăm în considerare un caz special pentru M = 0, N = 1.

Apoi integrala formei
poate fi reprezentat prin evidenţierea pătratului complet la numitor ca
. Să facem următoarea transformare:

A doua integrală inclusă în această egalitate va fi luată pe părți.

Denota:

Pentru integrala originală obținem:

Formula rezultată se numește recurent. Dacă îl aplicați de n-1 ori, obțineți o integrală de tabel
.

Să revenim acum la integrala unei fracții elementare de forma IV în cazul general.

În egalitatea rezultată, prima integrală utilizând substituția t = u 2 + s se reduce la tabelar , iar formula recurentă considerată mai sus se aplică integralei a doua.

În ciuda complexității aparente a integrării unei fracții elementare de tip IV, în practică este destul de ușor să o aplicați la fracții cu un grad mic. n, iar universalitatea și generalitatea abordării fac posibilă implementarea acestei metode foarte simplu pe un computer.

Exemplu:

Integrarea funcţiilor raţionale.

Integrarea fracțiilor raționale.

Pentru a integra o fracție rațională este necesară descompunerea ei în fracții elementare.

Teorema: Dacă
este o fracție rațională proprie, al cărei numitor P(x) este reprezentat ca un produs al factorilor liniari și pătratici (rețineți că orice polinom cu coeficienți reali poate fi reprezentat după cum urmează: P(X) = (X - A)  …(X - b)  (X 2 + px + q)  …(X 2 + rx + s)  ), atunci această fracție poate fi descompusă în fracțiuni elementare după următoarea schemă:

unde A i , B i , M i , Ni , R i , S i sunt niște valori constante.

La integrarea fracțiilor raționale se recurge la descompunerea fracției inițiale în fracții elementare. Pentru a găsi valorile A i , B i , M i , N i , R i , S i folosiți așa-numitele metoda coeficienților nedeterminați, a cărei esență este că pentru ca două polinoame să fie identic egale, este necesar și suficient ca coeficienții la aceleași puteri ale lui x să fie egali.

Vom lua în considerare aplicarea acestei metode pe un exemplu specific.

Exemplu.

Reducând la un numitor comun și echivalând numărătorii corespunzători, obținem:

Exemplu.

Deoarece Dacă fracția nu este corectă, atunci ar trebui să selectați mai întâi partea întreagă din ea:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x3 + 8x2 - 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x2-25x-25

Descompunem numitorul fracției rezultate în factori. Se poate observa că la x = 3 numitorul fracției devine zero. Apoi:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Deci 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3)(3x 2 + 5x - 2) = (x - 3)(x + 2)(3x - 1). Apoi:

Pentru a evita la găsirea coeficienților nesiguri de deschidere a parantezelor, gruparea și rezolvarea unui sistem de ecuații (care în unele cazuri se poate dovedi a fi destul de mare), așa-numitul metoda valorii arbitrare. Esența metodei este că mai multe (în funcție de numărul de coeficienți nesiguri) valori arbitrare ale lui x sunt substituite în expresia obținută mai sus. Pentru a simplifica calculele, se obișnuiește să se ia drept valori arbitrare punctele la care numitorul fracției este egal cu zero, adică. în cazul nostru - 3, -2, 1/3. Primim:

În sfârșit obținem:

=

Exemplu.

Să găsim coeficienți nedeterminați:

Atunci valoarea integralei date:

Integrarea unor trigonometrice

funcții.

Pot exista infinite integrale ale funcțiilor trigonometrice. Majoritatea acestor integrale nu pot fi calculate deloc analitic, așa că să luăm în considerare câteva dintre principalele tipuri de funcții care pot fi întotdeauna integrate.

Integrala formei
.

Aici R este desemnarea unei funcții raționale a variabilelor sinx și cosx.

Integrale de acest tip sunt calculate folosind substituția
. Această înlocuire vă permite să convertiți o funcție trigonometrică într-una rațională.

,

Apoi

Prin urmare:

Transformarea descrisă mai sus se numește substituție trigonometrică universală.

Exemplu.

Avantajul neîndoielnic al acestei substituții este că poate fi întotdeauna folosită pentru a transforma o funcție trigonometrică într-una rațională și a calcula integrala corespunzătoare. Dezavantajele includ faptul că transformarea poate avea ca rezultat o funcție rațională destul de complexă, a cărei integrare va necesita mult timp și efort.

Totuși, dacă este imposibil să se aplice o modificare mai rațională a variabilei, această metodă este singura eficientă.

Exemplu.

Integrala formei
Dacă

funcţieRcosx.

În ciuda posibilității de a calcula o astfel de integrală folosind substituția trigonometrică universală, este mai rațional să se aplice substituția t = sinx.

Funcţie
poate conține cosx doar la puteri pare și, prin urmare, poate fi convertit într-o funcție rațională în raport cu sinx.

Exemplu.

În general, pentru a aplica această metodă, este necesară doar neobișnuirea funcției față de cosinus, iar gradul sinusului inclus în funcție poate fi oricare, atât întreg cât și fracționar.

Integrala formei
Dacă

funcţieReste ciudat cu privire lasinx.

Prin analogie cu cazul considerat mai sus, substituirea t = cosx.

Exemplu.

Integrala formei

funcţieRchiar relativsinxȘicosx.

Pentru a transforma funcția R într-una rațională, se folosește substituția

t = tgx.

Exemplu.

Integrală a produsului sinusurilor și cosinusurilor

diverse argumente.

În funcție de tipul de lucru, se va aplica una dintre cele trei formule:

Exemplu.

Exemplu.

Uneori, la integrarea funcțiilor trigonometrice, este convenabil să folosiți formule trigonometrice binecunoscute pentru a reduce ordinea funcțiilor.

Exemplu.

Exemplu.

Uneori sunt folosite unele trucuri non-standard.

Exemplu.

Integrarea unor funcții iraționale.

Nu orice funcție irațională poate avea o integrală exprimată prin funcții elementare. Pentru a găsi integrala unei funcții iraționale, ar trebui să se aplice o substituție care să permită transformarea funcției într-una rațională, a cărei integrală poate fi întotdeauna găsită, după cum se știe, întotdeauna.

Luați în considerare câteva tehnici de integrare a diferitelor tipuri de funcții iraționale.

Integrala formei
Unden- numar natural.

Cu ajutorul substituirii
funcția este raționalizată.

Exemplu.

Dacă funcția irațională include rădăcini de diferite grade, atunci este rațional să se ia ca variabilă nouă rădăcina gradului egală cu cel mai mic multiplu comun al puterilor rădăcinilor incluse în expresie.

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplu.

Integrarea diferenţialelor binomiale.