Modalități de a seta funcții. Metode pentru specificarea unei funcții Metodă analitică pentru specificarea unei funcții
Ce înseamnă cuvintele „setare funcție”? Ele înseamnă: a explica tuturor, despre ce functie specifica vorbeste. Mai mult, explicați clar și fără ambiguitate!
Cum pot face acest lucru? Cum setați o funcție?
Puteți scrie o formulă. Puteți desena un grafic. Puteți face o masă. Oricum este o regulă prin care poți afla valoarea jucătorului pentru valoarea x pe care am ales-o. Acestea. "setare functie", aceasta înseamnă - a arăta legea, regula conform căreia x se transformă într-un y.
De obicei, într-o varietate de sarcini există gata funcții. Ei ne dau deja setat. Decideți singuri, dar decideți.) Dar... Cel mai adesea, școlarii (și elevii) lucrează cu formule. Se obișnuiesc, înțelegi... Se obișnuiesc atât de mult încât orice întrebare elementară legată de un alt mod de a specifica o funcție supără imediat o persoană...)
Pentru a evita astfel de cazuri, este logic să înțelegem diferitele moduri de definire a funcțiilor. Și, desigur, aplicați aceste cunoștințe la întrebări „delicate”. Este destul de simplu. Dacă știi ce este o funcție...)
Merge?)
Mod analitic de definire a unei funcții.
Cel mai versatil și mai puternic mod. Funcție definită analitic, aceasta este funcția care este dată formule. De fapt, aceasta este întreaga explicație.) Funcții familiare tuturor (vreau să cred!)), de exemplu: y=2x sau y=x2 etc. și așa mai departe. sunt date analitic.
Apropo, nu orice formulă poate defini o funcție. Nu orice formulă urmează condiția strictă a definiției funcției. Și anume - pentru fiecare x nu poate exista decât unu joc. De exemplu, în formulă y = ±x, Pentru unu valorile x=2, se dovedește Două valori y: +2 și -2. Este imposibil să definiți o funcție cu o singură valoare cu această formulă. Și cu funcții multivalorice din această secțiune a matematicii, în analiza matematică, ele nu funcționează, de regulă.
De ce este bun modul analitic de a defini o funcție? Faptul că dacă ai o formulă - știi despre funcție Toate! Puteți face o masă. Construiți un grafic. Explorați această funcție în întregime. Preziceți exact unde și cum se va comporta această funcție. Toată analiza matematică se bazează pe această metodă de definire a funcțiilor. Să spunem că este extrem de dificil să iei derivatul unui tabel...)
Metoda analitică este destul de familiară și nu creează probleme. Cu excepția, poate, a unor varietăți ale acestei metode pe care le întâlnesc elevii. Vorbesc despre atribuirea parametrică și implicită a funcțiilor.) Dar astfel de funcții sunt într-o lecție specială.
Să trecem la moduri mai puțin familiare de a defini o funcție.
Mod tabelar de definire a unei funcții.
După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. În acest tabel, fiecare x corespunde cu ( este aliniat) o anumită valoare a jucătorului. Prima linie conține valorile argumentului. A doua linie conține valorile funcției corespunzătoare, de exemplu:
Tabelul 1.
| X | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Vă rugam să acordați atentie! În acest exemplu, y depinde de x în orice caz. Am venit cu asta intenționat.) Nu există niciun model. E în regulă, se întâmplă. Mijloace, exact Am setat această funcție specială. Exact Am stabilit o regulă prin care x se transformă într-un y.
Poate fi compilat o alta o farfurie cu model. Această farfurie se va întări o alta functie, de exemplu:
Masa 2.
| X | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Ai prins modelul? Aici, toate valorile lui y sunt obținute prin înmulțirea x cu doi. Iată prima întrebare „delicată”: funcția specificată folosind Tabelul 2 poate fi considerată o funcție y = 2x? Gândește-te puțin, răspunsul va fi mai jos, într-un mod grafic. E foarte clar acolo.)
Ce este bun mod tabelar de a seta o funcție? Da, nu trebuie să numeri nimic. Totul a fost deja calculat și scris în tabel.) Și nu este nimic mai bun. Nu știm valoarea funcției pentru x, care nu sunt în tabel.În această metodă, astfel de valori x sunt pur și simplu nu exista. Apropo, acesta este un indiciu pentru întrebarea dificilă.) Nu putem afla cum se comportă funcția în afara tabelului. Nu putem face nimic. Da, iar vizibilitatea în această metodă lasă de dorit... Pentru claritate, o metodă grafică este bună.
Mod grafic de a defini o funcție.
În această metodă, funcția este reprezentată printr-un grafic. Argumentul (x) este reprezentat de-a lungul abscisei, iar valoarea funcției (y) este reprezentată de-a lungul ordonatei. După program, puteți alege și oricare Xși găsiți valoarea corespunzătoare la. Programul poate fi oricare, dar... nu oricare.) Lucrăm doar cu funcții cu o singură valoare. Definiția unei astfel de funcții spune clar: fiecare X este aliniat singurul la. unu unul, nu doi sau trei... De exemplu, să ne uităm la graficul cercului:
Un cerc este ca un cerc... De ce nu ar trebui să fie un grafic al unei funcții? Și să aflăm care y va corespunde valorii lui x, de exemplu, 6? Mutăm cursorul peste diagramă (sau atingem poza de pe tabletă) și... vedem că acest X îi corespunde Două valorile jucatorului: y=2 și y=6.
Doi și șase! Prin urmare, un astfel de grafic nu va fi o atribuire grafică a unei funcții. Pe unu x a luat în considerare Două joc. Acest grafic nu corespunde definiției funcției.
Dar dacă condiția de unicitate este îndeplinită, graficul poate fi absolut orice. De exemplu:
Aceasta chiar krivulina - și există o lege prin care puteți traduce x într-un y. Fără ambiguitate. Am dori să știm valoarea funcției pt x = 4, De exemplu. Trebuie să găsim cele patru pe axa x și să vedem care y corespunde acestui x. Treceți mouse-ul peste figură și vedeți că valoarea funcției la Pentru x=4 este egal cu cinci. Nu știm prin ce formulă este dată o astfel de transformare a lui X în Y. Și nu este necesar. Totul este stabilit de program.
Acum putem reveni la întrebarea „delicată” despre y=2x. Să diagramăm această funcție. Aici era:
Desigur, la desenarea acestui grafic, nu am luat un număr infinit de valori X. Am luat mai multe valori, numărate y, a făcut o farfurie - și gata! Cei mai alfabetizați au luat în general doar două valori ale lui X! Și pe bună dreptate. Pentru o linie dreaptă, nu ai nevoie de mai mult. De ce muncă suplimentară?
Dar noi știa exact ce poate fi x oricine. Număr întreg, fracționar, negativ... Oricare. Aceasta este conform formulei y=2x este văzut. Prin urmare, am conectat cu îndrăzneală punctele din grafic cu o linie continuă.
Dacă funcția ne este dată de Tabelul 2, atunci va trebui să luăm valorile x doar de la masă. Căci alte X (și Y) nu ne sunt date și nu există unde să le luăm. Nu există, aceste valori, în această funcție. Programul se va dovedi din puncte.Îndreptăm mouse-ul spre imagine și vedem graficul funcției din tabelul 2. Nu am scris valorile x-y pe axe, vă veți da seama, mergeți, după celule?)
Iată răspunsul la întrebarea dificilă. Funcția dată de Tabelul 2 și funcție y=2x - diferit.
Metoda grafică este bună pentru claritatea ei. Puteți vedea imediat cum se comportă funcția acolo unde crește. unde scade. Din grafic, puteți afla imediat câteva caracteristici importante ale funcției. Și în subiectul cu derivatul, sarcini cu grafice - tot timpul!
În general, modurile analitice și grafice de definire a unei funcții merg mână în mână. Lucrul cu formula ajută la construirea unui grafic. Și graficul sugerează adesea soluții pe care nu le vei observa în formulă... Vom fi prieteni cu graficele.)
Aproape orice student cunoaște cele trei moduri de a defini o funcție pe care tocmai le-am acoperit. Dar la întrebarea: „Și al patrulea!?” - îngheață bine.)
Există o astfel de cale.
Descrierea verbală a funcției.
Da Da! O funcție poate fi definită fără ambiguitate în cuvinte. Marea și puternica limbă rusă este capabilă de multe!) De exemplu, funcția y=2x i se poate da următoarea descriere verbală: fiecărei valori reale a argumentului x i se atribuie valoarea sa dublată. Ca aceasta! Regula este stabilită, funcția este stabilită.
Mai mult, este posibilă precizarea verbală a unei funcții, ceea ce este extrem de dificil, dacă nu imposibil, de precizat printr-o formulă. De exemplu: fiecărei valori a argumentului natural x i se atribuie suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x. De exemplu, dacă x=3, Acea y=3. Dacă x=257, Acea y=2+5+7=14.Și așa mai departe. Este dificil să notezi asta într-o formulă. Dar masa este ușor de făcut. Și construiește o diagramă. Apropo, graficul se dovedește a fi amuzant ...) Încercați.
Metoda descrierii verbale este o metodă destul de exotică. Dar uneori se întâmplă. Aici l-am adus pentru a vă oferi încredere în situații neașteptate și nestandardizate. Trebuie doar să înțelegi sensul cuvintelor "set de funcții..." Iată sensul:
Dacă există o lege a corespondenței unu-la-unu între XȘi laînseamnă că există o funcție. Ce lege, sub ce formă este exprimată - printr-o formulă, o tabletă, un grafic, cuvinte, cântece, dansuri - nu schimbă esența materiei. Această lege vă permite să determinați valoarea corespunzătoare a lui y cu valoarea lui x. Toate.
Acum vom aplica aceste cunoștințe profunde unor sarcini non-standard.) Așa cum am promis la începutul lecției.
Exercitiul 1:
Funcția y = f(x) este dată în tabelul 1:
Tabelul 1.
Aflați valoarea funcției p(4) dacă p(x)= f(x) - g(x)
Dacă nu vă puteți da seama ce este deloc - citiți lecția anterioară „Ce este o funcție?” Acolo, este scris foarte clar despre astfel de litere și paranteze.) Și dacă doar forma tabelară vă încurcă, atunci o vom înțelege aici.
Din lecția anterioară este clar că dacă, p(x) = f(x) - g(x), Acea p(4) = f(4) - g(4). Scrisori fȘi gînseamnă regulile conform cărora fiecărui X i se atribuie propriul Y. Pentru fiecare literă ( fȘi g) - proprii regulă. Care este dat de tabelul corespunzător.
Valoarea funcției f(4) determinată din Tabelul 1. Aceasta va fi 5. Valoarea funcției g(4) determinat de Tabelul 2. Acesta va fi 8. Cel mai dificil rămâne.)
p(4) = 5 - 8 = -3
Acesta este răspunsul corect.
Rezolvați inegalitatea f(x) > 2
Asta este! Este necesar să se rezolve o inegalitate care (în forma ei obișnuită) este genial absentă! Rămâne fie să renunți la sarcină, fie să întorci capul. O alegem pe a doua și ne certăm.)
Ce înseamnă să rezolvi o inegalitate? Aceasta înseamnă să găsim toate valorile lui x pentru care este îndeplinită condiția dată nouă f(x) > 2. Acestea. toate valorile funcției ( la) trebuie să fie mai mare de două. Și avem fiecare y pe diagramă... Și sunt mai mult de doi, și mai puțin... Și haideți, pentru claritate, să trasăm o linie pe acești doi! Mutăm cursorul peste imagine și vedem acest chenar.
Strict vorbind, această limită este graficul funcției y=2, dar nu asta este ideea. Este important ca acum pe grafic să fie foarte clar vizibil unde, la ce x, valorile funcției, de ex. y, mai mult de doi. Ele sunt mai multe X > 3. La X > 3 întreaga noastră funcție trece superior frontiere y=2. Asta e toata solutia. Dar este încă prea devreme să-ți închizi capul!) Încă trebuie să scriem răspunsul...
Graficul arată că funcția noastră nu se extinde la stânga și la dreapta la infinit. Punctele de la sfârșitul graficului vorbesc despre acest lucru. Funcția se termină acolo. Prin urmare, în inegalitatea noastră, toate x-urile care depășesc limitele funcției nu au sens. Pentru funcția acestor x-uri nu exista.Și noi, de fapt, rezolvăm inegalitatea pentru funcția ...
Răspunsul corect ar fi:
3 < X ≤ 6
Sau, sub altă formă:
X ∈ (3; 6]
Acum totul este așa cum ar trebui să fie. Triplul nu este inclus în răspuns, pentru că inegalitatea originală este strictă. Și cei șase se aprind, pentru că iar funcția la șase există, iar condiția de inegalitate este îndeplinită. Am rezolvat cu succes o inegalitate care (în forma sa obișnuită) nu există...
Acesta este modul în care unele cunoștințe și logica elementară salvează în cazuri non-standard.)
A seta o funcție înseamnă a stabili o regulă (lege) cu ajutorul căreia, în funcție de valorile date ale variabilei independente, găsim valorile corespunzătoare ale funcției. Să ne uităm la diferite moduri de a defini o funcție.
Această intrare definește temperatura T în funcție de timpul t:T=f(t). Avantajele modului tabelar de specificare a unei funcții sunt că face posibilă determinarea imediată a anumitor valori specifice ale funcției, fără modificări sau calcule suplimentare. Dezavantaje: definește funcția nu complet, ci doar pentru unele valori ale argumentului; nu oferă o reprezentare vizuală a naturii modificării funcției cu o schimbare a argumentului.
2. Mod grafic.programa funcția y=f(x) este mulțimea tuturor punctelor din plan ale căror coordonate satisfac ecuația dată. Poate fi o curbă, în special o linie dreaptă, un set de puncte pe un plan.
Avantajul este vizibilitatea, dezavantajul este că nu este posibil să se determine cu exactitate valorile argumentului. În inginerie și fizică, este adesea singura modalitate disponibilă de a seta o funcție, de exemplu, atunci când se folosesc reportofoare care înregistrează automat modificarea unei cantități față de alta (barograf, termograf etc.).
3. Metodă analitică. Conform acestei metode, funcția este specificată analitic, folosind o formulă. Această metodă face posibil ca fiecare valoare numerică a argumentului x să găsească valoarea numerică corespunzătoare a funcției y exact sau cu o oarecare precizie.
Cu metoda analitică, funcția poate fi dată prin mai multe formule diferite. De exemplu, funcția
definit în zona de definiție [- 
, 15] folosind trei formule.
Dacă relația dintre x și y este dată de o formulă care se rezolvă în raport cu y, i.e. are forma y \u003d f (x), atunci ei spun că funcția lui x este dată în mod explicit, de exemplu,. Dacă valorile x și y sunt legate printr-o ecuație de forma F(x, y) = 0, i.e. formula nu este permisă în raport cu y, atunci se spune că funcția este definită implicit. De exemplu,. Rețineți că nu orice funcție implicită poate fi reprezentată ca y \u003d f (x), dimpotrivă, orice funcție explicită poate fi întotdeauna reprezentată ca una implicită: 
. Un alt tip de specificare analitică a unei funcții este parametrică, când argumentul x și funcția y sunt funcții ale celei de-a treia mărimi - parametrul t: 
, Unde 
, T este un interval. Această metodă este utilizată pe scară largă în mecanică, în geometrie.
Modul analitic este cel mai comun mod de a defini o funcție. Compactitatea, capacitatea de a aplica aparatul de analiză matematică unei anumite funcții, capacitatea de a calcula valorile unei funcții pentru orice valoare a argumentului sunt principalele sale avantaje.
4. Mod verbal. Această metodă constă în faptul că dependența funcțională se exprimă în cuvinte. De exemplu, funcția E (x) este partea întreagă a numărului x, funcția Dirichlet, funcția Riemann, n!, r (n) este numărul de divizori ai unui număr natural n.
5. Metoda semigrafică. Aici, valorile funcției sunt reprezentate ca segmente, iar valorile argumentului sunt reprezentate ca numere la capetele segmentelor indicând valorile funcției. Deci, de exemplu, într-un termometru există o scară cu diviziuni egale, care au numere. Aceste numere sunt valorile argumentului (temperatura). Ele stau în locul care determină alungirea grafică a coloanei de mercur (valori ale funcției) datorită expansiunii sale volumetrice ca urmare a schimbărilor de temperatură.
Conceptul de funcție este unul dintre conceptele de bază ale matematicii moderne. Acest concept este adesea întâlnit în studiul proceselor reale din natură, știință și tehnologie. Cu ajutorul diferitelor funcții pot fi descrise multe procese și fenomene din lumea reală.
Definiție. Mapări , unde vom numi funcția (reala) a unei variabile reale. - domeniu de definiție - mulțimea tuturor valorilor variabilei independente x pentru care este definită funcția.
Multe valori f sau imagine f.
Definiție. Dacă fiecare element X seturi X() este asociat cu un element bine definit la seturi Y, apoi spunem asta pe platou X funcția este setată.
y \u003d f (x), y \u003d F (x) - dependența funcțională a lui x și y.
f, F- caracteristicile funcției, x - independent variabilă (argument),
y - dependent variabil.
Sunt luate în considerare trei moduri de definire a unei funcții: analitică, tabelară și grafică.
1. Analitice.
Metoda de specificare a unei funcții folosind o formulă se numește analitică.Această metodă este cea principală din mat. analiză, dar în practică nu este convenabil.
2. Mod tabelar de definire a unei funcții.
O funcție poate fi definită folosind un tabel care conține valorile argumentului și valorile funcției corespunzătoare ale acestora.
3. Mod grafic de a defini o funcție.
Funcția y = f(x) se numește dat grafic dacă graficul său este construit. Acest mod de setare a funcției face posibilă determinarea valorilor funcției numai aproximativ, deoarece construirea unui grafic și găsirea valorilor funcției pe acesta este asociată cu erori
Clasificarea funcției .
Funcțiile elementare sunt împărțite în algebric și non-algebric (transcendental).
Algebric apelați o funcție în care se efectuează un număr finit de operații algebrice asupra argumentului.
Acestea includ:
Întreaga funcție rațională (polinom, polinom)
Funcție fracțională-rațională - raport a două polinoame
O funcție irațională (printre operațiile pe argument se numără extragerea rădăcinii).
Cele transcendentale sunt: funcții exponențiale, logaritmice, trigonometrice și trigonometrice inverse.
Funcții pare și impare .
Funcţie y = f(x) se numește chiar sau ciudat, dacă este definit pe o mulțime simetrică față de punctul zero și are proprietatea asupra acestuia f(-x)=f(x) sau proprietate f(-x) = -f(x). În caz contrar, o funcție generică. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y, graficul unei funcții impare este simetric față de origine.
Produsul a două funcții pare sau a două funcții impare este o funcție pară, produsul unei funcții pare și o funcție impară este o funcție impară
Funcții monotone.
Lăsa (a,b) interval punctat AȘi b, Unde A .
Funcţie y = f(x) se numește crescător (descrescător) pe interval (a,b), dacă valoarea mai mare a argumentului din acest interval corespunde valorii mai mari (mai mici) a funcției.
Lasă și .
Apoi funcția crește intre X, dacă (înregistrați pe ( a,b)) Și scade, dacă (înregistrați pe ( a,b)) (vezi Fig. 1).
Înregistrarea și
Funcțiile care cresc și descresc sunt numite monoton. Funcțiile monotone includ, de asemenea, funcții nedescrescătoare și necrescătoare.
Caracteristici limitate.
Funcția este numită limitat intre (a,b) dacă așa că
În caz contrar, funcția se numește nemărginită.
Funcția periodică.
Funcția este numită periodic cu punct, dacă este adevărat.
Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:
Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:
În regulă? Bine făcut!
Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:
Găsite? Comparaţie:
A fost de acord? Bine făcut!
Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.
Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)
Iată ce s-a întâmplat:
Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):
Ai reușit? Control răspunsuri:
- , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
- , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
- , întrucât, respectiv, pentru toți.
- pentru că nu poți împărți la zero.
Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...
Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:
Ai observat? Cuvântul „doar” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degete.
Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . Când, înlocuim această valoare în „regula noastră” și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.
"Uite! - spui tu, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!
Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!
Cert este că, atunci când calculăm pentru, avem un joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:
Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!
Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus într-o conversație unde locuiește:
De acord, este destul de realist că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.
Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:
Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. Acesta este un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.
Să-ți testăm cunoștințele în practică.
Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:
Am înţeles? Și iată răspunsuri:
- Funcția este - B,E.
- Nu este o funcție - A, B, D, D.
Te intrebi de ce? Da, iată de ce:
În toate cifrele, cu excepția ÎN)Și E) sunt mai multe pentru unul!
Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, puteți spune ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, puteți determina sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?
Modalități de a seta o funcție
Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.
Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.
De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.
Mod analitic de definire a unei funcții
Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.
Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?
"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.
Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.
În exemplul nostru, va arăta astfel:
Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.
Găsiți valoarea expresiei, la.
Sunt sigur că la început, ți-a fost frică când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!
Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.
Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:
scurtați expresia rezultată:
Asta e tot!
Muncă independentă
Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:
- , Dacă
- , Dacă
Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma
Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.
Încercați să construiți singur această funcție.
Ai reușit?
Iată cum l-am construit.
Cu ce ecuație am ajuns?
Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:
Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.
Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:
Este ceea ce avem o funcție?
Așa e, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?
„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”
Ce concluzie putem trage din asta?
Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!
Mod tabelar de definire a unei funcții
După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:
Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina „gândește foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?
Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!
Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:
Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:
L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!
Mod grafic de a construi o funcție
Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.
Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:
De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de a specifica o funcție pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte usor!
Descrierea verbală a funcției
Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „există funcții atât de complexe, încât este pur și simplu imposibil de stabilit verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecare valoare naturală a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:
Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:
Principalele tipuri de funcții
Acum să trecem la cele mai interesante - vom lua în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat / lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și dă-le o scurtă descriere. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.
Funcție liniară
O funcție a formei, unde sunt numere reale.
Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, astfel încât construcția unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.
Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de pantă.
Domeniul de aplicare al funcției (cunoscut și sub numele de interval de argumente) - .
Gama de valori este .
funcţie pătratică
Funcția formei, unde
Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.
Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula
Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:
Domeniu
Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)
Proporționalitate inversă
Funcția dată de formula, unde
Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:
Domeniu - .
Gama de valori este .
REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ
1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.
- - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
- - variabilă, sau argument;
- - valoare dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după o formulă specifică care reflectă dependența unei valori față de alta.
2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.
3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.
4. Există 4 moduri de a seta funcția:
- analitice (folosind formule);
- tabular;
- grafic
- descriere verbală.
5. Principalele tipuri de funcții:
- : , unde, sunt numere reale;
- : , Unde;
- : , Unde.
Una dintre definițiile clasice ale conceptului de „funcție” sunt definițiile bazate pe corespondențe. Vă prezentăm o serie de astfel de definiții.
Definiția 1
Se numește o relație în care fiecare valoare a variabilei independente corespunde unei singure valori a variabilei dependente funcţie.
Definiția 2
Să fie date două seturi nevide $X$ și $Y$. Se numește o potrivire $f$ care se mapează la fiecare $x\în X$ unul și numai unul $y\în Y$ funcţie($f:X → Y$).
Definiția 3
Fie $M$ și $N$ două seturi numerice arbitrare. Se spune că o funcție $f$ este definită pe $M$, luând valori de la $N$ dacă fiecare element al lui $x\în X$ este asociat cu unul și doar un element din $N$.
Următoarea definiție este dată prin conceptul de variabilă. O variabilă este o mărime care în acest studiu ia diverse valori numerice.
Definiția 4
Fie $M$ setul de valori ale variabilei $x$. Atunci, dacă fiecare valoare $x\în M$ corespunde unei valori definite a altei variabile $y$ este o funcție a valorii $x$ definită pe mulțimea $M$.
Definiția 5
Fie $X$ și $Y$ niște seturi de numere. O funcție este o mulțime $f$ de perechi ordonate de numere $(x,\ y)$ astfel încât $x\în X$, $y\în Y$ și fiecare $x$ aparține uneia și numai uneia dintre aceste perechi. set, iar fiecare $y$ este în cel puțin o pereche de .
Definiția 6
Orice set $f=\(\left(x,\y\right)\)$ de perechi ordonate $\left(x,\y\right)$ astfel încât pentru orice perechi $\left(x",\y" \right)\în f$ și $\left(x"",\ y""\right)\în f$ rezultă din condiția $y"≠ y""$ că $x"≠x""$ este numită funcție sau afișaj.
Definiția 7
O functie $f:X → Y$ este o multime $f$ de perechi ordonate $\left(x,\y\right)\in X\time Y$ astfel incat pentru orice element $x\in X$ exista o element unic $y\in Y$ astfel încât $\left(x,\y\right)\in f$, adică funcția este un tuplu de obiecte $\left(f,\X,\Y\right) $.
În aceste definiţii
$x$ este o variabilă independentă.
$y$ este variabila dependentă.
Toate valorile posibile ale variabilei $x$ sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei $y$ sunt numite domeniul funcției.
Mod analitic de definire a unei funcții
Pentru această metodă, avem nevoie de conceptul de expresie analitică.
Definiția 8
O expresie analitică este produsul tuturor operațiilor matematice posibile asupra oricăror numere și variabile.
Modul analitic de a seta o funcție este de a o seta folosind o expresie analitică.
Exemplul 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Pro:
- Cu formule, putem determina valoarea unei funcții pentru orice valoare dată a variabilei $x$;
- Funcțiile astfel definite pot fi studiate folosind aparatul de analiză matematică.
Minusuri:
- Vizibilitate redusă.
- Uneori trebuie să efectuați calcule foarte greoaie.
Mod tabelar de definire a unei funcții
Acest mod de setare este că pentru mai multe valori ale variabilei independente, valorile variabilei dependente sunt scrise. Toate acestea sunt introduse în tabel.
Exemplul 2
Poza 1.
La care se adauga: Pentru orice valoare a variabilei independente $x$ care este introdusă în tabel, valoarea corespunzătoare a funcției $y$ este imediat recunoscută.
Minusuri:
- De cele mai multe ori, nu există o specificație completă a funcției;
- Vizibilitate redusă.
