Semnificația mecanică a primei și a doua derivate. Derivată de ordinul doi și semnificația sa mecanică. Sensul geometric, mecanic, economic al derivatului

Derivat(funcții într-un punct) - conceptul de bază al calculului diferențial, care caracterizează rata de schimbare a unei funcții (la un punct dat). Este definită ca limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero, dacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită (la un moment dat) se numește diferențiabilă (la un punct dat).

Derivat. Luați în considerare o funcție y = f (X ) în două puncte X 0 și X 0 + : f (X 0) și f (X 0 +). Aici, notat printr-o mică modificare a argumentului, numit increment de argument; respectiv, diferența dintre cele două valori ale funcției: f (X 0 + )  f (X 0 ) se numește creșterea funcției.derivat funcții y = f (X ) la punct X 0 numita limita:

Dacă această limită există, atunci funcția f (X ) se numește diferentiabil la punct X 0 . Derivată de funcție f (X ) se notează după cum urmează:

Sensul geometric al derivatului. Luați în considerare graficul funcției y = f (X ):

Din figura 1 se poate observa că pentru oricare două puncte A și B ale graficului funcției:

unde este unghiul de înclinare al secantei AB.

Astfel, raportul diferențelor este egal cu panta secantei. Dacă fixăm punctul A și deplasăm punctul B spre el, atunci acesta scade la infinit și se apropie de 0, iar secanta AB se apropie de tangentei AC. Prin urmare, limita raportului de diferență este egală cu panta tangentei în punctul A. Din aceasta rezultă: derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul acelei funcții în acel punct. Acesta este ceea ce constă sens geometric derivat.

Ecuația tangentei. Să derivăm ecuația tangentei la graficul funcției în punctul A ( X 0 , f (X 0 )). În cazul general, ecuația unei drepte cu pantă f ’(X 0 ) se pare ca:

y = f ’(X 0 ) · x + b.

A găsi b, folosim faptul că tangenta trece prin punctul A:

f (X 0 ) = f ’(X 0 ) · X 0 +b ,

de aici b = f (X 0 ) – f ’(X 0 ) · X 0 , și înlocuind această expresie cu b, vom primi ecuația tangentei:

y =f (X 0 ) + f ’(X 0 ) · ( x-x 0 ) .

Sensul mecanic al derivatului. Luați în considerare cel mai simplu caz: mișcarea unui punct material de-a lungul axei de coordonate, iar legea mișcării este dată: coordonata X punctul de mișcare este o funcție cunoscută X (t) timp t. În intervalul de timp de la t 0 la t 0 + punctul se deplasează pe o distanță: X (t 0 + )  X (t 0) = , și acesta viteza medie este egal cu: v A =  . La 0, valoarea vitezei medii tinde spre o anumită valoare, care se numește viteza instantanee v ( t 0 ) punct material în timp t 0 . Dar, prin definiția unei derivate, avem:

de aici v (t 0 ) = x' (t 0 ), adică viteza este derivata coordonatei De timp. Acesta este ceea ce constă simțul mecanic derivat . De asemenea, accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul: A = v' (t).

8. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere

Am vorbit despre ce este un derivat în articolul „Semnificația geometrică a derivatului”. Dacă o funcție este dată de un grafic, derivata ei în fiecare punct este egală cu tangentei pantei tangentei la graficul funcției. Și dacă funcția este dată de o formulă, te vor ajuta tabelul derivatelor și regulile de diferențiere, adică regulile de găsire a derivatei.

Derivat(funcții într-un punct) - conceptul de bază al calculului diferențial, care caracterizează rata de schimbare a unei funcții (la un punct dat). Este definită ca limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero, dacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită (la un moment dat) se numește diferențiabilă (la un punct dat).

Derivat. Luați în considerare o funcție y = f (X ) în două puncte X 0 și X 0 + : f (X 0) și f (X 0 +). Aici, notat printr-o mică modificare a argumentului, numit increment de argument; respectiv, diferența dintre cele două valori ale funcției: f (X 0 + )  f (X 0 ) se numește creșterea funcției.derivat funcții y = f (X ) la punct X 0 numita limita:

Dacă această limită există, atunci funcția f (X ) se numește diferentiabil la punct X 0 . Derivată de funcție f (X ) se notează după cum urmează:

Sensul geometric al derivatului. Luați în considerare graficul funcției y = f (X ):

Din figura 1 se poate observa că pentru oricare două puncte A și B ale graficului funcției:

unde este unghiul de înclinare al secantei AB.

Astfel, raportul diferențelor este egal cu panta secantei. Dacă fixăm punctul A și deplasăm punctul B spre el, atunci acesta scade la infinit și se apropie de 0, iar secanta AB se apropie de tangentei AC. Prin urmare, limita raportului de diferență este egală cu panta tangentei în punctul A. Din aceasta rezultă: derivata unei funcții într-un punct este panta tangentei la graficul acelei funcții în acel punct. Acesta este ceea ce constă sens geometric derivat.

Ecuația tangentei. Să derivăm ecuația tangentei la graficul funcției în punctul A ( X 0 , f (X 0 )). În cazul general, ecuația unei drepte cu pantă f ’(X 0 ) se pare ca:

y = f ’(X 0 ) · x + b.

A găsi b, folosim faptul că tangenta trece prin punctul A:

f (X 0 ) = f ’(X 0 ) · X 0 +b ,

de aici b = f (X 0 ) – f ’(X 0 ) · X 0 , și înlocuind această expresie cu b, vom primi ecuația tangentei:

y =f (X 0 ) + f ’(X 0 ) · ( x-x 0 ) .

Sensul mecanic al derivatului. Luați în considerare cel mai simplu caz: mișcarea unui punct material de-a lungul axei de coordonate, iar legea mișcării este dată: coordonata X punctul de mișcare este o funcție cunoscută X (t) timp t. În intervalul de timp de la t 0 la t 0 + punctul se deplasează pe o distanță: X (t 0 + ) X (t 0) = , și acesta viteza medie este egal cu: v A =  . La 0, valoarea vitezei medii tinde spre o anumită valoare, care se numește viteza instantanee v ( t 0 ) punct material în timp t 0 . Dar, prin definiția unei derivate, avem:

de aici v (t 0 ) = x' (t 0 ), adică viteza este derivata coordonatei De timp. Acesta este ceea ce constă simțul mecanic derivat . De asemenea, accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul: A = v' (t).

8. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere

Am vorbit despre ce este un derivat în articolul „Semnificația geometrică a derivatului”. Dacă o funcție este dată de un grafic, derivata ei în fiecare punct este egală cu tangentei pantei tangentei la graficul funcției. Și dacă funcția este dată de o formulă, te vor ajuta tabelul derivatelor și regulile de diferențiere, adică regulile de găsire a derivatei.

§ 2. Definiţia unei derivate.

Lasă funcția y= f(X) definit pe interval ( A;b). Luați în considerare valoarea argumentului

(A;b) . Să creștem argumentul ∆ X 0 astfel încât condiția ( X 0 +∆ X)

A;b). Să notăm valorile corespunzătoare ale funcției prin y 0 și y 1:

y 0 = f(X 0 ), y 1 = f(X 0 +∆ X). La mutarea din X 0 La X 0 +∆ X funcția va fi incrementată

∆y= y 1 -y 0 = f(X 0 +∆ X) -f(X 0 ). Dacă, în străduinţă ∆ X la zero există o limită a raportului de creștere a funcției ∆y la incrementul de argument care l-a numit ∆ X,

acestea. există o limită

=

,

atunci această limită se numește derivată a funcției y= f(X) la punct X 0 . Deci derivata funcției y= f(X) la punct X=X 0 există o limită a raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului atunci când incrementul argumentului tinde spre zero. Derivată de funcție y= f(X) la punct X notate prin simboluri (X) sau (X). Se folosesc și denumirile , , ,. Ultimele trei notații subliniază faptul că derivata este luată în raport cu variabila X.

Dacă funcţia y= f(X) are o derivată în fiecare punct al unui interval, apoi pe acest interval derivata ( X) este o funcție argument X.

§ 3. Semnificaţia mecanică şi geometrică a derivatei.

Ecuațiile normalei și tangentei la graficul funcției.

După cum se arată în § 1, viteza instantanee a unui punct este

v = .

Dar asta înseamnă că viteza v este derivata distantei parcurse S cu timpul t ,

v =. Astfel, dacă funcţia y= f(X) descrie legea mișcării rectilinie a unui punct material, unde y este calea parcursă de un punct material din momentul începerii mișcării până în momentul timpului X, apoi derivata ( X) determină viteza instantanee a unui punct la un moment dat X. Acesta este sensul mecanic al derivatului.

În § 1 am găsit și panta tangentei la graficul funcției y= f(X) k= tgα= . Această relație înseamnă că panta tangentei este egală cu derivata ( X). Mai strict vorbind, derivata ( X) funcții y= f(X) , calculat cu valoarea argumentului egală cu X, este egală cu panta tangentei la graficul acestei funcții într-un punct a cărui abscisă este egală cu X. Acesta este sensul geometric al derivatului.

Lasă la X=X 0 funcţie y= f(X) ia valoare y 0 =f(X 0 ) , iar graficul acestei funcții are o tangentă în punctul cu coordonatele ( X 0 ;y 0). Apoi panta tangentei

k = ( X 0). Folosind ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată, cunoscută din cursul geometriei analitice ( y-y 0 =k(X-X 0)), scriem ecuația tangentei:

Linia care trece prin punctul de contact perpendicular pe tangentă se numește normală la curbă. Deoarece normala este perpendiculară pe tangentă, panta acesteia k norme este legată de panta tangentei k relația cunoscută din geometria analitică: k norme = ─ , adică. pentru o normală care trece printr-un punct cu coordonate ( X 0 ;y 0),k normă = ─ . Prin urmare, ecuația pentru această normală este:

(cu conditia ca

).

§ 4. Exemple de calcul a derivatei.

Pentru a calcula derivata unei funcții y= f(X) la punct X, necesar:

Argument X increment ∆ X;

Găsiți incrementul corespunzător al funcției ∆ y=f(X+∆X) -f(X);

Compune o relație ;

Aflați limita acestui raport pentru ∆ X→0.

Exemplul 4.1. Aflați derivata unei funcții y=C=const.

Argument X dați un increment ∆ X.

Tot ceea ce X, ∆y=0: ∆y=f(X+∆X) ─f(X)=С─С=0;

De aici =0 și =0, adică =0.

Exemplul 4.2. Aflați derivata unei funcții y=X.

∆ y=f(X+∆X) ─f(X)= X+∆X– X=∆ X;

1, =1, adică =1.

Exemplul 4.3. Aflați derivata unei funcții y=X 2.

∆ y= (X+∆ X)2–X 2= 2 X∙∆ X+ (∆ X)2;

= 2 X+ ∆ X, = 2 X, adică =2 X.

Exemplul 4.4. Aflați derivata funcției y=sin X.

∆ y=păcat( X+∆X) -păcat X= 2sin cos( X+);

=

;

=



= cos X, adică = cos X.

Exemplul 4.5. Aflați derivata unei funcții y=

.

=

, adică = .

SENSUL MECANIC AL DERIVATULUI

Din fizică se știe că legea mișcării uniforme are forma s = v t, Unde s- calea parcursă până la punctul în timp t, v este viteza mișcării uniforme.

Cu toate acestea, din moment ce majoritatea mișcărilor care apar în natură sunt inegale, apoi, în general, viteza și, în consecință, distanța. s va depinde de timp t, adică va fi o funcție de timp.

Deci, lăsați punctul material să se miște în linie dreaptă într-o direcție conform legii s=s(t).

Observați un moment în timp t 0 . Până în acest moment, punctul a depășit poteca s=s(t 0 ). Să stabilim viteza v punct material la timp t 0 .

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un alt moment în timp t 0 + Δ t. Ea corespunde distanței parcurse s =s(t 0 + Δ t). Apoi pentru intervalul de timp Δ t punctul a parcurs calea Δs =s(t 0 + Δ t)–Sf).

Să luăm în considerare relația. Se numește viteza medie în intervalul de timp Δ t. Viteza medie nu poate caracteriza cu exactitate viteza de mișcare a unui punct în acest moment t 0 (deoarece mișcarea este inegală). Pentru a exprima mai precis această viteză adevărată folosind viteza medie, trebuie să luați un interval de timp mai mic Δ t.

Deci, viteza de mișcare la un moment dat t 0 (viteza instantanee) este limita vitezei medii în intervalul de la t 0 la t 0 +Δ t când Δ t→0:

,

acestea. viteza de mișcare neuniformă este derivata distantei parcurse in raport cu timpul.

SENSUL GEOMETRIC AL DERIVATULUI

Să introducem mai întâi definiția unei tangente la o curbă într-un punct dat.

Să avem o curbă și un punct fix pe ea M 0(vezi figura) Luați în considerare un alt punct M aceasta curba si traseaza o secanta M 0 M. Dacă punct Mîncepe să se miște de-a lungul curbei și punctul M 0 rămâne staționar, secanta își schimbă poziția. Dacă, cu o aproximare nelimitată a punctului M curbă la punct M 0 pe orice parte, secanta tinde să ia poziția unei anumite linii drepte M 0 T, apoi linia dreaptă M 0 T se numeste tangenta la curba in punctul dat M 0.

Acea., tangentă la curba la un punct dat M 0 numită poziție limită a secantei M 0 M când punctul M tinde de-a lungul curbei către un punct M 0.

Luați în considerare acum funcția continuă y=f(x) iar curba corespunzătoare acestei funcţii. Pentru o oarecare valoare X Funcția 0 ia o valoare y0=f(x0). Aceste valori X 0 și y 0 pe curbă corespunde unui punct M0 (x 0; y 0). Să dăm un argument x0 increment Δ X. Noua valoare a argumentului corespunde valorii incrementate a funcției y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ X). Primim un punct M(x 0+Δ X; y 0+Δ y). Să desenăm o secanta M 0 M si notam cu φ unghiul format de secanta cu directia pozitiva a axei Bou. Să facem o relație și să observăm că .

Dacă acum Δ X→0, deci, datorită continuității funcției Δ la→0 și, prin urmare, punctul M, deplasându-se de-a lungul curbei, se apropie la infinit de punct M 0. Apoi secanta M 0 M va tinde să ia poziția unei tangente la curbă în punct M 0, iar unghiul φ→α la Δ X→0, unde α reprezintă unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei Bou. Deoarece funcția tg φ depinde continuu de φ la φ≠π/2, atunci la φ→α tg φ → tg α și, prin urmare, panta tangentei va fi:

acestea. f"(x)= tgα .

Astfel, geometric y "(x 0) reprezintă panta tangentei la graficul acestei funcţii în punct x0, adică pentru o valoare dată a argumentului X, derivata este egala cu tangentei unghiului format de tangenta la graficul functiei f(x)în punctul corespunzător M0 (x; y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Exemplu. Aflați panta tangentei la curbă y = x 2 la punct M(-1; 1).

Am văzut deja că ( X 2)" = 2X. Dar panta tangentei la curbă este tg α = y„| x=-1 = - 2.

Sensul geometric, mecanic, economic al derivatului

Definiția unui derivat.

Curs №7-8

Bibliografie

1 Uhobotov, V.I. Matematică: Manual.- Chelyabinsk: Chelyab. stat un-t, 2006.- 251 p.

2 Ermakov, V.I. Culegere de probleme la matematică superioară. Tutorial. -M.: INFRA-M, 2006. - 575 p.

3 Ermakov, V.I. Curs general de matematică superioară. Manual. -M.: INFRA-M, 2003. - 656 p.

Tema „Derivată”

Ţintă: explicați conceptul de derivată, urmăriți relația dintre continuitatea și diferențiabilitatea unei funcții, arătați aplicabilitatea utilizării unei derivate cu exemple.

Această limită în economie se numește costul marginal de producție.

Definiția unui derivat. Semnificația geometrică și mecanică a derivatei, ecuația unei funcții tangente la grafic.

Am nevoie de un răspuns scurt (fără apă suplimentară)

Zăpadă_albă_moartă

Derivată este conceptul de bază al calculului diferențial, care caracterizează rata de schimbare a unei funcții.
Geometric?
Tangenta sa functioneze in punctul... .
Condiția de creștere a funcției: f "(x) > 0.
Condiția funcției descrescătoare: f "(x)< 0.
Punct de inflexiune (condiție necesară): f " " (x0) = 0.
Convex în sus: f " " (x) Convex în jos: f " " (x) >0
Ecuația normală: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Mecanic?
Viteza este derivata in raport cu distanta, acceleratia este derivata in raport cu viteza si a doua derivata in raport cu distanta...
Ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Utilizatorul a fost șters

Dacă există o limită a raportului delta y la delta x a incrementului funcției delta y la incrementul argumentului delta x care a cauzat-o, atunci când delta x tinde spre zero, atunci această limită se numește derivată a funcției y = f (x) la un punct dat x și este notat cu y "sau f" (x)
Viteza v a mișcării rectilinie este derivata traseului s în raport cu timpul t: v = ds/dt. Acesta este sensul mecanic al derivatului.
Panta tangentei la curba y \u003d f (x) în punctul cu abscisa x zero este derivata lui f "(x zero). Acesta este sensul geometric al derivatei.
Curba tangentă în punctul M zero se numește dreaptă M zero T, a cărei pantă este egală cu limita pantei secantei M zero M unu când delta x tinde spre zero.
tg phi = lim tg alfa pe măsură ce delta x se apropie de zero = lim (delta x/delta y) pe măsură ce delta x se apropie de zero
Din sensul geometric al derivatei, ecuația tangentei va lua forma:
y - y null = f "(x nul) (x - x nul)

Sensul mecanic al derivatului

Interpretarea mecanică a derivatei a fost dată mai întâi de I. Newton. Constă în următoarele: viteza de deplasare a unui punct material la un moment dat de timp este egală cu derivata traseului în raport cu timpul, adică. Astfel, dacă legea mișcării unui punct material este dată de o ecuație, atunci pentru a găsi viteza instantanee a unui punct la un anumit moment de timp, trebuie să găsiți derivata și să înlocuiți valoarea corespunzătoare a lui t în ea. .

Derivată de ordinul doi și semnificația sa mecanică

Obținem (o ecuație din ceea ce s-a făcut în manualul Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. „Matematică” p. 240):

Prin urmare, accelerația mișcării rectilinie a corpului la un moment dat este egală cu derivata a doua a drumului în raport cu timpul, calculată pentru un moment dat. Acesta este sensul mecanic al derivatei a doua.

Definiția și semnificația geometrică a diferenţialului

Definiția 4. Partea principală a incrementului unei funcții, liniară în raport cu incrementul funcției, liniară în raport cu incrementul variabilei independente, se numește diferenţial funcții și se notează cu d, adică. .

Diferenţialul funcţiei este reprezentat geometric prin incrementul ordonatei tangentei trasate în punctul M (x; y) pentru valorile date ale lui x şi ?x.

calcul diferenţial - .

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative - , valoarea aproximativă a incrementului funcției coincide cu diferența acesteia.

Teorema 1.Dacă o funcție diferențiabilă crește (descrește) într-un interval dat, atunci derivata acestei funcții nu este negativă (nu pozitivă) în acest interval.

Teorema 2.Dacă funcţia derivată este pozitiv (negativ) într-un anumit interval, atunci funcția din acest interval este monoton crescător (monoton descrescător).

Să formulăm acum regula pentru găsirea intervalelor de monotonitate ale funcției

1. Calculați derivata acestei funcții.

2. Găsiți puncte în care este egal cu zero sau nu există. Aceste puncte sunt numite critic pentru functie

3. Folosind punctele găsite, domeniul funcției se împarte în intervale, pe fiecare dintre care derivata își păstrează semnul. Aceste intervale sunt intervale de monotonitate.

4. Examinați semnul de pe fiecare dintre intervalele găsite. Dacă pe intervalul considerat, atunci pe acest interval crește; daca, atunci scade pe un astfel de interval.

În funcție de condițiile problemei, regula de găsire a intervalelor de monotonitate poate fi simplificată.

Definiția 5. Un punct se numește punct maxim (minim) al unei funcții dacă inegalitatea este valabilă, respectiv, pentru orice x dintr-o vecinătate a punctului.

Dacă este punctul de maxim (minim) al funcției, atunci ei spun că (minim) la punct. Funcțiile maxime și minime unesc numele extremum funcții, iar punctele maxime și minime sunt numite puncte extreme (puncte extreme).

Teorema 3.(semnul necesar al unui extremum). Dacă este punctul extrem al funcției și derivata există în acest punct, atunci este egală cu zero: .

Teorema 4.(semn suficient de extremum). Dacă derivata își schimbă semnul când x trece prin a, atunci a este punctul extremum al funcției.

Principalele puncte ale studiului derivatului:

1. Găsiți derivata.

2. Găsiți toate punctele critice din domeniul funcției.

3. Stabiliți semnele derivatei funcției la trecerea prin punctele critice și scrieți punctele extreme.

4. Calculați valorile funcției la fiecare punct extrem.

O funcție este complexă dacă poate fi reprezentată ca o funcție a unei funcții y = f[φ(x)], unde y = f(u), au=φ(x), unde u este un argument intermediar. Orice funcție complexă poate fi reprezentată ca funcții elementare (simple), care sunt argumentele sale intermediare.

Exemple:

Funcții simple: Funcții complexe:

y \u003d x 2 y \u003d (x + 1) 2; u \u003d (x + 1); y \u003d u 2;

y = sinx; y \u003d sin2x; u \u003d 2x; y=sinu;

y \u003d e x y \u003d e 2x; u \u003d 2x; y \u003d e u;

y \u003d lnx y \u003d ln (x + 2); u \u003d x + 2; y=lnu.

Regula generală pentru diferențierea unei funcții complexe este dată de teorema de mai sus fără demonstrație.

Dacă funcția u \u003d φ (x) are o derivată u "x \u003d φ" (x) în punctul x, iar funcția y \u003d f (u) are o derivată y "u \u003d f " (u) în punctul corespunzător u, atunci derivata funcției complexe y \u003d f [φ (x)] în punctul x se găsește prin formula: y "x \u003d f " (u) u „(x).

Este adesea folosită o formulare mai puțin precisă, dar mai scurtă a acestei teoreme. : derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei fata de variabila intermediara si derivata variabilei intermediare fata de variabila independenta.

Exemplu: y=sin2x 2 ; u \u003d 2x 2; y=sinu;

y "x \u003d (sinu)" u (2x 2) "x \u003d cosu 4x \u003d 4x cos2x 2.

3. Derivată de ordinul doi. Sensul mecanic al derivatei a doua.

Derivata funcției y \u003d f (x) se numește derivată de ordinul întâi sau pur și simplu derivata întâi a funcției. Această derivată este o funcție a lui x și poate fi diferențiată a doua oară. Derivata derivatei se numeste derivata de ordinul doi sau derivata a doua. Se notează: y „xx - (Y două lovituri pe x); f "(x) – ( eff două lovituri pe x); d 2 y / dx 2 - (de două y pe de x de două ori); d 2 f / dx 2 - (de două ef pe de x de două ori).

Pe baza definiției derivatei a doua, putem scrie:

y "xx \u003d (y" x) "x; f" (x) \u003d "x d 2 y / dx 2 \u003d d / dx (dy / dx).

A doua derivată, la rândul ei, este o funcție a lui x și poate fi diferențiată pentru a obține o derivată de ordinul trei și așa mai departe.

Exemplu: y \u003d 2x 3 + x 2; y "xx \u003d [(2x 3 + x 2)" x] "x \u003d (6x 2 + 2x)" x \u003d 12x + 2;

Semnificația mecanică a derivatei a doua este explicată pe baza accelerației instantanee, care caracterizează mișcarea variabilă.

Dacă S=f(t) este ecuația mișcării, atunci=S" t ; A cf. =;

A inst. =
A cf =
=" t ; A inst. = " t = (S" t)" t = S" tt .

Astfel, derivata a doua a traseului în raport cu timpul este egală cu accelerația instantanee a mișcării variabile. Acesta este sensul fizic (mecanic) al derivatei a 2-a.

Exemplu: Fie ca mișcarea rectilinie a unui punct material să se producă conform legii S=t 3 /3. Accelerația unui punct material va fi definită ca derivata a doua a lui S "tt: A\u003d S "tt \u003d (t 3 / 3)" \u003d 2t.

4. Diferenţial de funcţie.

Strâns legat de conceptul de derivată este conceptul de diferenţial al unei funcţii, care are aplicaţii practice importante.

Funcția f( X) are o derivată
= f " (X);

Conform teoremei (nu luăm în considerare teorema) asupra conexiunii unei mărimi infinitezimale α(∆х)(
α(∆х)=0) cu derivată: = f " (х)+ α (∆х), de unde ∆f = f " (х) ∆х+α(∆х) ∆х.

Din ultima egalitate rezultă că incrementul funcției constă dintr-o sumă, fiecare termen fiind o valoare infinitezimală ca ∆х→ 0.

Să determinăm ordinea de micime a fiecărei valori infinit de mică a acestei sume în raport cu ∆x infinit mic:

Prin urmare, infinitezimal f (х) ∆х și ∆x au același ordin de mărime.

Prin urmare, valoarea infinitezimală α(∆х)∆х are un ordin mai mare de micime în raport cu valoarea infinitezimală ∆х. Aceasta înseamnă că în expresiile pentru ∆f al doilea termen α(∆х)∆х tinde spre 0 mai repede ca ∆х→0 decât primul termen f " (x)∆x.

Acesta este primul termen f " (x)∆x se numește diferența funcției în punctul x. Se notează dy (de y) sau df (de ef). Deci dy=df= f " (x)∆x sau dy= f " (x)dx, deoarece diferența dx a argumentului este egală cu incrementul său ∆x (dacă în formula df= f " (x)dx acceptăm că f(x)=x, atunci obținem df=dx=x"x ∆x, darx"x =1, adică dx=∆x). Deci, diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul acestei funcţii şi diferenţialul argumentului.

Sensul analitic al diferenţialului constă în faptul că diferenţialul unei funcţii este partea principală a incrementului funcţiei ∆f, liniară faţă de argumentul ∆x. Diferența funcției diferă de incrementul funcției printr-o valoare infinitezimală α(∆х)∆х ordinul micșorului mai mare decât ∆х. Într-adevăr ∆f=f " (х)∆х+α(∆х)∆х sau ∆f=df+α(∆х)∆х; de unde df= ∆f- α(∆х)∆х.

Exemplu: y \u003d 2x 3 + x 2; dy \u003d? dy \u003d y "dx \u003d (2x 3 + x 2)" x dx \u003d (6x 2 + 2x) dx.

Neglijând valoarea infinit de mică α(∆x)∆x de ordin superior micimea decat ∆X, primim df≈∆f≈ f " (x)dx i.e. diferența unei funcții poate fi folosită pentru a aproxima incrementul unei funcții, deoarece diferența este de obicei mai ușor de calculat. Diferenţialul poate fi aplicat şi la calculul aproximativ al valorii unei funcţii. Să cunoaștem funcția y= f(x) și derivata ei în punctul x. Este necesar să găsim valoarea funcției f(x+∆x) într-un punct apropiat (x+∆x). Pentru a face acest lucru, folosim egalitatea aproximativă ∆у ≈dy sau ∆у ≈f " (x) ∆x. Considerând că ∆y=f(x+∆x)-f(x), obținem f(x+∆x)-f (x) ≈f " (x) dx , de unde f(х+∆х) = f(х)+f " (x) dx. Formula rezultată rezolvă problema.

Fișa de instrucțiuni nr. 20

Takyryby/Subiect: « A doua derivată și semnificația sa fizică».

Maқsaty / Scop:

Să fie capabil să găsească ecuația tangentei, precum și tangenta unghiului de înclinare a tangentei la axa OX. Să fie capabil să găsească rata de schimbare a unei funcții, precum și accelerația.

Creați o condiție pentru formarea abilităților de comparare, clasificare a faptelor și conceptelor studiate.

Educarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, voință și perseverență pentru a obține rezultate finale la găsirea ecuației tangente, precum și la găsirea ratei de schimbare a funcției și a accelerației.

Material teoretic:

(Semnificația geometrică a derivatului)

Ecuația tangentei la graficul funcției este:

Exemplul 1: Să găsim ecuația tangentei la graficul funcției în punctul cu obscisa 2.

Răspuns: y = 4x-7

Panta k a tangentei la graficul funcției în punctul cu abscisa x o este egală cu f / (x o) (k = f / (x o)). Unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției într-un punct dat este

arctg k \u003d arctg f / (x o), adică. k= f / (x o)= tg

Exemplul 2: În ce unghi se află sinusoida intersectează axa x la origine?

Unghiul la care graficul acestei funcții intersectează axa absciselor este egal cu unghiul de înclinare a tangentei trasate la graficul funcției f (x) în acest punct. Să aflăm derivata: Având în vedere semnificația geometrică a derivatei, avem: și a = 60°. Răspuns: =60 0 .

Dacă o funcție are o derivată în fiecare punct al domeniului său, atunci derivata ei este o funcție de . Funcția, la rândul ei, poate avea o derivată, care se numește derivată de ordinul doi funcții (sau derivata a doua) și sunt notate cu simbolul .

Exemplul 3: Aflați derivata a doua a funcției: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

La început, găsim prima derivată a acestei funcții f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

Apoi, găsim derivata a doua a primei derivate obținute

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. Răspuns: f""x) = 6x-8.

(Semnificația mecanică a derivatei a doua)

Dacă punctul se mișcă în linie dreaptă și este dată legea mișcării sale, atunci accelerația punctului este egală cu derivata a doua a căii în raport cu timpul:

Viteza unui corp material este egală cu prima derivată a căii, adică:

Accelerația unui corp material este egală cu derivata întâi a vitezei, adică:

Exemplul 4: Corpul se mișcă în linie dreaptă conform legii s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Determinați viteza și accelerația acestuia la momentul t = 3 s. (Calea se măsoară în metri, timpul în secunde).
Soluţie
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
A (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Raspuns: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Partea practica:

Întrebări de control:

Care credeți că este sensul fizic al derivatei - este viteza instantanee sau viteza medie?

Care este legătura dintre o tangentă trasată la graficul unei funcții prin orice punct și conceptul de derivată?

Care este definiția unei tangente la graficul unei funcții în punctul M (x 0; f (x 0))?

Care este semnificația mecanică a derivatei a doua?