Soluție generală a unui nămol omogen. Soluție de mlaștini omogene. Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții
Vom continua să ne lustruim tehnologia transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Pe baza primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și mediocru, dar această impresie este înșelătoare. Pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, vor exista o mulțime de informații noi, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.
Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?
Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:
Este absolut clar că un sistem omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, ceea ce îți atrage atenția este așa-zisul banal soluţie 
. Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă fără o prezentare. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ...De ce să ne batem prin tufiș, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:
Exemplul 1
Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să se scrie matricea sistemului iar cu ajutorul transformărilor elementare aduceți-o într-o formă treptat. Vă rugăm să rețineți că aici nu este nevoie să scrieți bara verticală și coloana zero a termenilor liberi - la urma urmei, indiferent ce faceți cu zerouri, acestea vor rămâne zero: 
(1) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu –2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –3.
(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu –1.
Împărțirea celei de-a treia rânduri la 3 nu are prea mult sens.
Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent 
, și, folosind inversul metodei Gauss, este ușor de verificat că soluția este unică.
Răspuns: 
Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are doar o solutie banala, Dacă rangul matricei sistemului(în acest caz 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz – 3 bucăți).
Să ne încălzim și să ne acordăm radioul la valul de transformări elementare:
Exemplul 2
Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare 
Pentru a consolida în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:
Exemplul 7
Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială. 
Soluţie: să notăm matricea sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă treptat: 
(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată atrag atenția asupra unei tehnici care a fost întâlnită de multe ori, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.
(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie, înmulțită cu 2, a fost adăugată la a patra linie.
(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.
Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:
– variabile de bază;
sunt variabile libere.
Să exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:
– înlocuiți în prima ecuație:
Deci solutia generala este:
Deoarece în exemplul luat în considerare există trei variabile libere, sistemul fundamental conține trei vectori.
Să înlocuim un triplu de valori 
în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte recomandabil să verificați fiecare vector primit - nu va dura mult timp, dar vă va proteja complet de erori.
Pentru un triplu de valori 
găsi vectorul
Și în sfârșit pentru triplu 
obținem al treilea vector:
Răspuns: , Unde
Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți 
și obțineți un răspuns în formă echivalentă:
Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă 
și să ne întrebăm: este posibil să simplificăm soluția ulterioară? La urma urmei, aici am exprimat mai întâi variabila de bază prin fracții, apoi prin fracții variabila de bază și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai simplu și nici cel mai plăcut.
A doua soluție:
Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci de ce să nu obții zero în vârf? Să facem încă o transformare elementară:
Sistemul liniar se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt 0.
Sub formă de matrice, sistemul omogen se scrie: 
.
Sistemul omogen (2) este întotdeauna consistent
. Evident, setul de numere 
,
,
…,
satisface fiecare ecuație a sistemului. Soluţie 
numit zero
sau banal
decizie. Astfel, un sistem omogen are întotdeauna o soluție zero.
În ce condiții sistemul omogen (2) va avea soluții diferite de zero (netriviale)?
Teorema 1.3
Sistem omogen (2) are soluții diferite de zero
dacă şi numai dacă rangul r
matricea sa principală 
mai putine necunoscute n
.
Sistemul (2) – incert 
.
Consecința 1.
Dacă numărul de ecuații m
sistemul omogen are mai puține variabile 
, atunci sistemul este incert și are multe soluții diferite de zero.
Consecința 2.
Sistem omogen pătrat 
are soluții diferite de zero dacă și când matricea principală a acestui sistem 
degenerat, adică determinant 
.
În caz contrar, dacă determinantul 
, un sistem omogen pătrat are singurul lucru
soluție zero
.
Fie rangul sistemului (2) 
adică sistemul (2) are soluții netriviale.
Lăsa 
Și 
- soluții particulare ale acestui sistem, de ex. 
Și 
.
Proprietățile soluțiilor unui sistem omogen
Într-adevăr, .
Într-adevăr, .
Combinând proprietățile 1) și 2), putem spune că dacă 
…,
- soluții ale unui sistem omogen (2), atunci orice combinație liniară a acestora este și soluția sa. Aici 
- numere reale arbitrare.
Poate fi găsit 
soluții parțiale liniar independente
sistem omogen (2), cu ajutorul căruia puteți obține orice altă soluție particulară a acestui sistem, i.e. obţine o soluţie generală a sistemului (2).
Definiție 2.2
Totalitate 
soluții parțiale liniar independente 
…,
sistem omogen (2) astfel încât fiecare soluție a sistemului (2) poate fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora se numește sistem fundamental de soluții
(FSR) a unui sistem omogen (2).
Lăsa 
…,
este un sistem fundamental de soluții, atunci soluția generală a sistemului omogen (2) poate fi reprezentată ca:
Unde 
.
Cometariu.
Pentru a obține FSR, trebuie să găsiți soluții private 
…,
, dând unei variabile libere valoarea „1” la rândul său, iar tuturor celorlalte variabile libere valoarea „0”.
Primim 
,,
…,
- FSR.
Exemplu. Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului omogen de ecuații:
Soluţie. Să notăm matricea extinsă a sistemului, după ce a pus anterior ultima ecuație a sistemului pe primul loc și să o aducem într-o formă treptată. Deoarece părțile din dreapta ecuațiilor nu se modifică ca urmare a transformărilor elementare, rămânând zero, coloana 
poate să nu fie scris.
̴ 
̴ 
̴ 
Rangul sistemului unde 
- numărul de variabile. Sistemul este incert și are multe soluții.
Minor de bază pentru variabile 
diferit de zero: 
alege 
ca variabile de bază, restul 
- variabile libere (iau orice valori reale).
Ultima matrice din lanț corespunde unui sistem treptat de ecuații:
(3)
Să exprimăm variabilele de bază 
prin variabile libere 
(reversul metodei gaussiene).
Din ultima ecuație pe care o exprimăm 
:
și înlocuiți-l în prima ecuație. O vom primi. Să deschidem parantezele, să dăm altele asemănătoare și să exprimăm 
:
.
crezând 
,
,
, Unde 
, Hai să scriem
- solutia generala a sistemului.
Să găsim un sistem fundamental de soluții
,
,
.
Apoi soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă astfel:
Cometariu.
FSR ar fi putut fi găsit în alt mod, fără a găsi mai întâi o soluție generală a sistemului. Pentru a face acest lucru, sistemul de etape rezultat (3) a trebuit să fie rezolvat de trei ori, presupunând pentru 
:
; Pentru 
:
; Pentru 
:
.
Sistem m ecuații liniare c n numite necunoscute sistem de omogen liniar ecuații dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero. Un astfel de sistem arată astfel:
Unde şi ij (eu = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numere date; x i- necunoscut.
Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece r(A) = r(). Are întotdeauna cel puțin zero ( banal) soluție (0; 0; ...; 0).
Să luăm în considerare în ce condiții sistemele omogene au soluții diferite de zero.
Teorema 1. Un sistem de ecuații liniare omogene are soluții diferite de zero dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este r mai putine necunoscute n, adică r < n.
□
1). Fie ca un sistem de ecuații liniare omogene să aibă o soluție diferită de zero. Deoarece rangul nu poate depăși dimensiunea matricei, atunci, evident, r ≤ n. Lăsa r = n. Apoi una dintre dimensiunile minore n n diferit de zero. Prin urmare, sistemul corespunzător de ecuații liniare are o soluție unică: 
. . . Asta înseamnă că nu există alte soluții decât cele banale. Deci, dacă există o soluție non-trivială, atunci r < n.
2). Lăsa r < n. Atunci sistemul omogen, fiind consistent, este incert. Aceasta înseamnă că are un număr infinit de soluții, adică. are și soluții diferite de zero. ■
Luați în considerare un sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscut:
(2)
Teorema 2. sistem omogen n ecuații liniare c n necunoscute (2) are soluții diferite de zero dacă și numai dacă determinantul său este egal cu zero: = 0.
□ Dacă sistemul (2) are o soluție diferită de zero, atunci = 0. Pentru că atunci când sistemul are o singură soluție zero. Dacă = 0, atunci rangul r matricea principală a sistemului este mai mică decât numărul de necunoscute, adică r < n. Și, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții, adică. are și soluții diferite de zero. ■
Să notăm soluția sistemului (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ca o sfoară 
.
Soluțiile unui sistem de ecuații liniare omogene au următoarele proprietăți:
1.
Dacă sfoara este o soluție pentru sistemul (1), atunci linia este o soluție pentru sistemul (1).
2.
Dacă liniile 
și sunt soluții ale sistemului (1), apoi pentru orice valoare Cu 1 și Cu 2 combinația lor liniară este, de asemenea, o soluție pentru sistemul (1).
Valabilitatea acestor proprietăți poate fi verificată prin substituirea lor directă în ecuațiile sistemului.
Din proprietățile formulate rezultă că orice combinație liniară de soluții la un sistem de ecuații liniare omogene este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.
Sistem de soluții liniar independente e 1 , e 2 , …, e r numit fundamental, dacă fiecare soluție a sistemului (1) este o combinație liniară a acestor soluții e 1 , e 2 , …, e r.
Teorema 3. Dacă rang r matricele de coeficienți pentru variabilele sistemului de ecuații liniare omogene (1) sunt mai mici decât numărul de variabile n, atunci orice sistem fundamental de soluții la sistemul (1) constă din n–r solutii.
De aceea decizie comună sistemul de ecuații liniare omogene (1) are forma:
Unde e 1 , e 2 , …, e r– orice sistem fundamental de soluții ale sistemului (9), Cu 1 , Cu 2 , …, cu p- numere arbitrare, R = n–r.
Teorema 4. Soluție generală de sistem m ecuații liniare c n necunoscute este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (1) și a unei soluții particulare arbitrare a acestui sistem (1).
Exemplu. Rezolvați sistemul
Soluţie. Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant
prin teorema 2, sistemul are doar o soluție banală: X = y = z = 0.
Exemplu. 1) Găsiți soluții generale și particulare ale sistemului
2) Găsiți sistemul fundamental de soluții.
Soluţie. 1) Pentru acest sistem m = n= 3. Determinant
prin teorema 2, sistemul are soluții diferite de zero.
Deoarece există o singură ecuație independentă în sistem
X + y – 4z = 0,
apoi din ea ne vom exprima X =4z- y. De unde obținem un număr infinit de soluții: (4 z- y, y, z) – aceasta este soluția generală a sistemului.
La z= 1, y= -1, obținem o soluție particulară: (5, -1, 1). Punând z= 3, y= 2, obținem a doua soluție particulară: (10, 2, 3), etc.
2) În soluția generală (4 z- y, y, z) variabile yȘi z sunt libere, iar variabila X- dependent de ele. Pentru a găsi sistemul fundamental de soluții, să atribuim valori variabilelor libere: mai întâi y = 1, z= 0, atunci y = 0, z= 1. Obținem soluții parțiale (-1, 1, 0), (4, 0, 1), care formează sistemul fundamental de soluții.
Ilustrații:
Orez. 1 Clasificarea sistemelor de ecuații liniare
Orez. 2 Studiul sistemelor de ecuații liniare
Prezentări:
· Soluție metoda SLAE_matrix
· Rezolvarea metodei SLAE_Cramer
· Soluție metoda SLAE_Gauss
· Pachete pentru rezolvarea problemelor matematice Mathematica: căutarea soluțiilor analitice și numerice ale sistemelor de ecuații liniare
Întrebări de control:
1. Definiți o ecuație liniară
2. Ce tip de sistem arată? m ecuații liniare cu n necunoscut?
3. Ce se numește rezolvarea sistemelor de ecuații liniare?
4. Ce sisteme se numesc echivalente?
5. Care sistem se numește incompatibil?
6. Ce sistem se numește articulație?
7. Ce sistem se numește definit?
8. Ce sistem se numește nedefinit
9. Enumeraţi transformările elementare ale sistemelor de ecuaţii liniare
10. Enumeraţi transformările elementare ale matricelor
11. Formulați o teoremă privind aplicarea transformărilor elementare la un sistem de ecuații liniare
12. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda matricei?
13. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda lui Cramer?
14. Ce sisteme pot fi rezolvate prin metoda Gauss?
15. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss
16. Descrieți metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
17. Descrieți metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
18. Descrieți metoda lui Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
19. Ce sisteme pot fi rezolvate folosind o matrice inversă?
20. Enumerați 3 cazuri posibile care apar la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Cramer
Literatură:
1. Matematică superioară pentru economiști: Manual pentru universități / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITATEA, 2005. – 471 p.
2. Curs general de matematică superioară pentru economiști: Manual. / Ed. IN SI. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.
3. Culegere de probleme de matematică superioară pentru economiști: Manual / Editat de V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.
4. Gmurman V. E. Ghid de rezolvare a problemelor în teoria probabilităților și statistica magmatică. - M.: Liceu, 2005. – 400 p.
5. Gmurman. V.E Teoria probabilității și statistică matematică. - M.: Liceu, 2005.
6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematică superioară în exerciții și probleme. Partea 1, 2. – M.: Onix secolul XXI: pace și educație, 2005. – 304 p. Partea 1; – 416 p. Partea 2.
7. Matematică în economie: Manual: În 2 părți / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanțe și Statistică, 2006.
8. Shipachev V.S. Matematică superioară: manual pentru elevi. universități - M.: Liceu, 2007. - 479 p.
Informații conexe.
Sa luam in considerare sistem omogen m ecuații liniare cu n variabile:
(15)
Un sistem de ecuații liniare omogene este întotdeauna consistent, deoarece are întotdeauna o soluție zero (trivială) (0,0,…,0).
Dacă în sistemul (15) m=n și , atunci sistemul are doar o soluție zero, care decurge din teorema și formulele lui Cramer.
Teorema 1. Sistemul omogen (15) are o soluție netrivială dacă și numai dacă rangul matricei sale este mai mic decât numărul de variabile, adică. . r(A)< n.
Dovada. Existența unei soluții netriviale a sistemului (15) este echivalentă cu o dependență liniară a coloanelor matricei sistemului (adică există numere x 1, x 2,...,x n, nu toate egale cu zero, astfel încât egalitățile (15) sunt valabile).
Conform teoremei minore a bazei, coloanele unei matrice sunt dependente liniar când nu toate coloanele acestei matrice sunt de bază, adică. când ordinul r al bazei minore a matricei este mai mic decât numărul n al coloanelor sale. etc.
Consecinţă. Un sistem omogen pătrat are soluții netriviale când |A|=0.
Teorema 2. Dacă coloanele x (1), x (2),..., x (s) sunt soluții la un sistem omogen AX = 0, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.
Dovada. Luați în considerare orice combinație de soluții:
Apoi AX=A()===0. etc.
Consecința 1. Dacă un sistem omogen are o soluție netrivială, atunci are infinite de soluții.
Acea. este necesar să se găsească astfel de soluții x (1), x (2),..., x (s) ale sistemului Ax = 0, astfel încât orice altă soluție a acestui sistem să fie reprezentată sub forma combinației lor liniare și , de altfel, într-un mod unic.
Definiție. Sistemul k=n-r (n este numărul de necunoscute din sistem, r=rg A) al soluțiilor liniar independente x (1), x (2),…, x (k) ale sistemului Ах=0 se numește sistem fundamental de soluții acest sistem.
Teorema 3. Să fie dat un sistem omogen Ах=0 cu n necunoscute și r=rg A. Atunci există o mulțime de k=n-r soluții x (1), x (2),…, x (k) ale acestui sistem, formând o sistem fundamental de soluții.
Dovada. Fără pierderea generalității, putem presupune că baza minoră a matricei A este situată în colțul din stânga sus. Apoi, după teorema minoră a bazei, rândurile rămase ale matricei A sunt combinații liniare ale rândurilor de bază. Aceasta înseamnă că dacă valorile x 1, x 2,…, x n satisfac primele r ecuații, adică. ecuații corespunzătoare rândurilor bazei minore), atunci ele satisfac și alte ecuații. În consecință, setul de soluții ale sistemului nu se va schimba dacă renunțăm la toate ecuațiile începând de la (r+1)-a. Obținem sistemul:
Să mutăm necunoscutele libere x r +1 , x r +2 ,…, x n în partea dreaptă și lăsăm pe cele de bază x 1 , x 2 ,…, x r în stânga:
(16)
Deoarece în acest caz toate b i =0, apoi în locul formulelor
c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), obținem:
c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)
Dacă setăm necunoscutele libere x r +1 , x r +2 ,…, x n la valori arbitrare, atunci față de necunoscutele de bază obținem un SLAE pătrat cu o matrice nesingulară pentru care există o soluție unică. Astfel, orice soluție a unui SLAE omogen este determinată în mod unic de valorile necunoscutelor libere x r +1, x r +2,..., x n. Luați în considerare următoarea serie k=n-r de valori ale necunoscutelor libere:
1, =0, ….,=0,
1, =0, ….,=0, (17)
………………………………………………
1, =0, ….,=0,
(Numărul seriei este indicat printr-un superscript între paranteze, iar seria de valori se scrie sub formă de coloane. În fiecare serie =1 dacă i=j și =0 dacă ij.
Seria a I-a de valori ale necunoscutelor libere corespunde în mod unic valorilor necunoscutelor de bază ,,.... Valorile necunoscutelor libere și de bază împreună oferă soluții sistemului (17).
Să arătăm că coloanele e i =,i=1,2,…,k (18)
formează un sistem fundamental de soluții.
Deoarece Aceste stâlpi, prin construcție, sunt soluții ale sistemului omogen Ax=0 și numărul lor este egal cu k, atunci rămâne de demonstrat independența liniară a soluțiilor (16). Să existe o combinație liniară de soluții e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), egal cu coloana zero:
1 e 1 + 2 e 2 +…+ k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)
Atunci partea stângă a acestei egalități este o coloană ale cărei componente cu numere r+1,r+2,…,n sunt egale cu zero. Dar componenta (r+1)-a este egală cu 1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . În mod similar, componenta (r+2) este egală cu 2 ,…, componenta k este egală cu k. Prin urmare 1 = 2 = …= k =0, ceea ce înseamnă independența liniară a soluțiilor e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).
Sistemul fundamental construit de soluții (18) se numește normal. În virtutea formulei (13), are următoarea formă:
(20)
Corolarul 2. Lăsa e 1 , e 2 ,…, e k-sistem fundamental normal de soluții ale unui sistem omogen, atunci mulțimea tuturor soluțiilor poate fi descrisă prin formula:
x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)
unde с 1,с 2,…,с k – iau valori arbitrare.
Dovada. După teorema 2, coloana (19) este o soluție a sistemului omogen Ax=0. Rămâne de demonstrat că orice soluție a acestui sistem poate fi reprezentată sub forma (17). Luați în considerare coloana X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Această coloană coincide cu coloana y în elemente cu numere r+1,...,n și este o soluție a (16). Prin urmare coloanele XȘi la coincid, pentru că soluțiile sistemului (16) sunt determinate în mod unic de setul de valori ale necunoscutelor sale libere x r +1 ,…,x n , și coloanele laȘi X aceste seturi sunt aceleași. Prin urmare, la=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, adică soluţie la este o combinație liniară de coloane e 1 ,…,y n FSR normal. etc.
Afirmația dovedită este adevărată nu numai pentru un FSR normal, ci și pentru un FSR arbitrar al unui SLAE omogen.
X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - decizie comună sisteme de ecuaţii liniare omogene
Unde X 1, X 2,…, X n - r – orice sistem fundamental de soluții,
c 1 ,c 2 ,…,c n - r sunt numere arbitrare.
Exemplu. (pag. 78)
Să stabilim o legătură între soluțiile SLAE neomogen 
(1) și SLAE omogen corespunzătoare 
(15)
Teorema 4. Suma oricărei soluții pentru sistemul neomogen (1) și sistemul omogen corespunzător (15) este o soluție pentru sistemul (1).
Dovada. Dacă c 1 ,…,c n este o soluție a sistemului (1), iar d 1 ,…,d n este o soluție a sistemului (15), atunci înlocuind numerele necunoscute c în orice (de exemplu, i-a) ecuație a sistem (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , obținem:
B i +0=b i h.t.d.
Teorema 5. Diferența dintre două soluții arbitrare ale sistemului neomogen (1) este o soluție a sistemului omogen (15).
Dovada. Dacă c 1 ,…,c n și c 1 ,…,c n sunt soluții ale sistemului (1), atunci înlocuind numerele necunoscute c în orice (de exemplu, i-a) ecuație a sistemului (1). ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , obținem:
B i -b i =0 p.t.d.
Din teoremele dovedite rezultă că soluția generală a unui sistem de m ecuații liniare omogene cu n variabile este egală cu suma soluției generale a sistemului corespunzător de ecuații liniare omogene (15) și un număr arbitrar al unei soluții particulare de acest sistem (15).
X neod. =X total unu +X frecvent mai mult de o dată (22)
Ca o soluție particulară a unui sistem neomogen, este firesc să luăm soluția care se obține dacă în formulele c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) setează toate numerele c r +1 ,…,c n egale cu zero, i.e.
X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)
Adăugând această soluție particulară la soluția generală X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r sistem omogen corespunzător, obținem:
X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+C n - r X n - r (24)
Să considerăm un sistem de două ecuații cu două variabile:
în care cel puţin unul dintre coeficienţi a ij 0.
Pentru a rezolva, eliminăm x 2 înmulțind prima ecuație cu a 22, iar a doua cu (-a 12) și adunându-le: Eliminați x 1 înmulțind prima ecuație cu (-a 21), iar a doua cu a 11 si adaugandu-le: 
Expresia dintre paranteze este determinantul
După ce a desemnat 
,
, atunci sistemul va lua forma:, adică dacă, atunci sistemul are o soluție unică:,.
Dacă Δ=0 și (sau), atunci sistemul este inconsecvent, deoarece redus la forma Dacă Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, atunci sistemul este incert, deoarece redusă la formă
Exemplul 1. Găsiți o soluție generală și un sistem fundamental de soluții pentru sistemSoluţie găsi folosind un calculator. Algoritmul de soluție este același ca și pentru sistemele de ecuații liniare neomogene.
Operând numai cu rânduri, găsim rangul matricei, baza minoră; Declarăm necunoscute dependente și libere și găsim o soluție generală.
Prima și a doua linie sunt proporționale, să tăiem una dintre ele:
.
Variabile dependente – x 2, x 3, x 5, libere – x 1, x 4. Din prima ecuație 10x 5 = 0 găsim x 5 = 0, atunci
; .
Solutia generala este:
Găsim un sistem fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții. În cazul nostru, n=5, r=3, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din două soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente. Pentru ca rândurile să fie liniar independente este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 2. Este suficient să se dea necunoscutele libere x 1 și x 4 valori din rândurile determinantului de ordinul doi, diferit de zero, și calculați x 2 , x 3 , x 5 . Cel mai simplu determinant diferit de zero este .
Deci prima soluție este:
, al doilea - 
.
Aceste două decizii constituie un sistem decizional fundamental. Rețineți că sistemul fundamental nu este unic (puteți crea oricâte determinanți non-zero doriți).
Exemplul 2. Găsiți soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului 
Soluţie.
,
rezultă că rangul matricei este 3 și egal cu numărul de necunoscute. Aceasta înseamnă că sistemul nu are necunoscute gratuite și, prin urmare, are o soluție unică - una trivială.
Exercițiu . Explorează și rezolvă un sistem de ecuații liniare.
Exemplul 4
Exercițiu . Găsiți soluțiile generale și particulare ale fiecărui sistem.
Soluţie. Să notăm matricea principală a sistemului:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Să reducem matricea la formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea lui la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia cu o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistem.
Înmulțiți a doua linie cu (-5). Să adăugăm a doua linie la prima:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Să înmulțim a doua linie cu (6). Înmulțiți a treia linie cu (-1). Să adăugăm a treia linie la a doua:
Să găsim rangul matricei.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre posibili minori) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala inversă), prin urmare rang(A) = 2.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscutele x 1 , x 2 , ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1 , x 2 sunt dependente (de bază) și x 3 , x 4 , x 5 sunt libere.
Să transformăm matricea, lăsând doar baza minoră în stânga.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Sistemul cu coeficienții acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Folosind metoda eliminării necunoscutelor, găsim soluție nebanală:
Am obținut relații exprimând variabilele dependente x 1 , x 2 prin cele libere x 3 , x 4 , x 5 , adică am găsit decizie comună:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Găsim un sistem fundamental de soluții, care constă din (n-r) soluții.
În cazul nostru, n=5, r=2, prin urmare, sistemul fundamental de soluții este format din 3 soluții, iar aceste soluții trebuie să fie liniar independente.
Pentru ca rândurile să fie liniar independente, este necesar și suficient ca rangul matricei compuse din elementele rândurilor să fie egal cu numărul de rânduri, adică 3.
Este suficient să dați necunoscutele libere x 3 ,x 4 ,x 5 valori din rândurile determinantului de ordinul 3, diferit de zero, și să calculați x 1 ,x 2 .
Cel mai simplu determinant diferit de zero este matricea de identitate.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Sarcina . Găsiți un set fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare.
