Care este marginea unui cuboid. Definiții ale unui paralelipiped. Proprietăți și formule de bază. Lecția: Cuboid

În această lecție, vom defini o cutie, vom discuta structura ei și elementele sale (diagonalele cutiei, laturile cutiei și proprietățile acestora). Și luați în considerare, de asemenea, proprietățile fețelor și diagonalelor unui paralelogram. În continuare, vom rezolva o problemă tipică pentru construirea unei secțiuni într-un paralelipiped.

Tema: Paralelismul dreptelor și planurilor

Lecția: Paralelepiped. Proprietățile fețelor și diagonalelor unei cutii

În această lecție, vom oferi o definiție a unui paralelipiped, vom discuta structura, proprietățile și elementele sale (laturile, diagonalele).

Paralepipedul se formează folosind două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 care sunt în planuri paralele. Denumire: ABCDА 1 B 1 C 1 D 1 sau AD 1 (Fig. 1.).

2. Festivalul ideilor pedagogice „Lecție deschisă” ()

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(nivelurile de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ediția a V-a, corectată și completată - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: ill.

Sarcinile 10, 11, 12 pagina 50

2. Construiți o secțiune a unui paralelipiped dreptunghiular ABCDА1B1C1D1 avion care trece prin puncte

a) A, C, B1

b) B1, D1 iar mijlocul coastei AA1.

3. Muchia cubului este egală cu a. Construiți o secțiune a cubului cu un plan care trece prin mijlocul a trei muchii care ies din același vârf și calculați perimetrul și aria acestuia.

4. Ce figuri se pot obține în urma intersecției unui paralelipiped cu un plan?

Tradus din greacă paralelogram înseamnă plan. Un paralelipiped este o prismă a cărei bază este un paralelogram. Există cinci tipuri de paralelogram: paralelipiped oblic, drept și dreptunghiular. Cubul și romboedrul aparțin și ele paralelipipedului și sunt varietatea acestuia.

Înainte de a trece la conceptele de bază, să dăm câteva definiții:

• Diagonala unui paralelipiped este un segment care unește vârfurile paralelipipedului care sunt opuse unul altuia.
• Dacă două fețe au o muchie comună, atunci le putem numi muchii adiacente. Dacă nu există o muchie comună, atunci fețele sunt numite opuse.
• Două vârfuri care nu se află pe aceeași față sunt numite opuse.

Care sunt proprietățile unui paralelipiped?

1. Fețele unui paralelipiped situat pe laturi opuse sunt paralele între ele și egale între ele.
2. Dacă desenați diagonale de la un vârf la altul, atunci punctul de intersecție al acestor diagonale le va împărți în jumătate.
3. Laturile unui paralelipiped situat la același unghi față de bază vor fi egale. Cu alte cuvinte, unghiurile laturilor codirecționale vor fi egale între ele.

Care sunt tipurile de paralelipiped?

Acum să ne dăm seama ce sunt paralelipipedele. După cum am menționat mai sus, există mai multe tipuri de această figură: un paralelipiped drept, dreptunghiular, oblic, precum și un cub și un romboedru. Cum se deosebesc unul de altul? Totul este despre planurile care le formează și unghiurile pe care le formează.

Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre tipurile de paralelipiped enumerate.

• După cum sugerează și numele, o cutie înclinată are fețe înclinate, și anume acele fețe care nu sunt la un unghi de 90 de grade față de bază.
• Dar pentru un paralelipiped drept, unghiul dintre bază și față este de doar nouăzeci de grade. Din acest motiv, acest tip de paralelipiped are un astfel de nume.
• Dacă toate fețele paralelipipedului sunt aceleași pătrate, atunci această cifră poate fi considerată un cub.
• Paralepipedul dreptunghiular și-a primit numele datorită planurilor care îl formează. Dacă toate sunt dreptunghiuri (inclusiv baza), atunci este un cuboid. Acest tip de paralelipiped nu este atât de comun. În greacă, romboedrul înseamnă față sau bază. Acesta este numele unei figuri tridimensionale, în care fețele sunt romburi.

Formule de bază pentru un paralelipiped

Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea acestuia perpendicular pe bază.

Aria suprafeței laterale va fi egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea.
Cunoscând definițiile și formulele de bază, puteți calcula aria de bază și volumul. Puteți alege baza la alegere. Cu toate acestea, de regulă, un dreptunghi este folosit ca bază.

Un paralelipiped este o figură geometrică, toate cele 6 fețe ale căreia sunt paralelograme.

În funcție de tipul acestor paralelograme, se disting următoarele tipuri de paralelipiped:

• Drept;
• înclinat;
• dreptunghiular.

Un paralelipiped drept este o prismă patruunghiulară ale cărei margini formează un unghi de 90 ° cu planul de bază.

Un paralelipiped dreptunghiular este o prismă patruunghiulară, ale cărei fețe sunt dreptunghiuri. Un cub este un fel de prismă pătrangulară în care toate fețele și muchiile sunt egale.

Caracteristicile unei figuri predetermina proprietățile acesteia. Acestea includ următoarele 4 afirmații:

Amintirea tuturor proprietăților de mai sus este simplă, ele sunt ușor de înțeles și sunt derivate logic pe baza tipului și caracteristicilor corpului geometric. Cu toate acestea, declarațiile simple pot fi incredibil de utile atunci când rezolvați sarcini tipice USE și vor economisi timpul necesar pentru a trece testul.

Formule paralelepipedice

Pentru a găsi răspunsuri la problemă, nu este suficient să cunoaștem numai proprietățile figurii. Este posibil să aveți nevoie și de câteva formule pentru a găsi aria și volumul unui corp geometric.

Aria bazelor se găsește și ca indicator corespunzător al unui paralelogram sau dreptunghi. Puteți alege singur baza paralelogramului. De regulă, atunci când rezolvați probleme, este mai ușor să lucrați cu o prismă, care se bazează pe un dreptunghi.

Formula pentru găsirea suprafeței laterale a unui paralelipiped poate fi necesară și în sarcinile de testare.

Exemple de rezolvare a sarcinilor tipice USE

Exercitiul 1.

Dat: un cuboid cu dimensiunile de 3, 4 și 12 cm.
Necesar Aflați lungimea uneia dintre diagonalele principale ale figurii.
Soluţie: Orice solutie problema geometrica ar trebui să înceapă cu construirea unui desen corect și clar, pe care se va indica „dată” și valoarea dorită. Figura de mai jos prezintă un exemplu de formatare corectă a condițiilor sarcinii.

Luând în considerare desenul realizat și amintindu-ne toate proprietățile unui corp geometric, ajungem la singura modalitate corectă de a-l rezolva. Aplicând proprietatea 4 a paralelipipedului, obținem următoarea expresie:

După calcule simple, obținem expresia b2=169, deci b=13. Răspunsul la sarcină a fost găsit, nu ar trebui să dureze mai mult de 5 minute pentru a-l căuta și a-l desena.

Sarcina 2.

Dat: o cutie oblică cu marginea laterală de 10 cm, un dreptunghi KLNM cu dimensiunile de 5 și 7 cm, care este o secțiune a figurii paralelă cu marginea indicată.
Necesar Găsiți aria suprafeței laterale a prismei patrulatere.
Soluţie: Mai întâi trebuie să schițați datele.

Pentru a rezolva această sarcină, trebuie să folosiți ingeniozitatea. Din figură se poate observa că laturile KL și AD sunt inegale, precum și perechea ML și DC. Cu toate acestea, perimetrele acestor paralelograme sunt în mod evident egale.

Prin urmare, zona laterala cifra va fi egală cu aria secțiunii transversale înmulțită cu muchia AA1, deoarece, prin condiție, muchia este perpendiculară pe secțiune. Raspuns: 240 cm2.

Teorema. În orice paralelipiped, fețele opuse sunt egale și paralele.

Deci, fețele (Fig.) BB 1 C 1 C și AA 1 D 1 D sunt paralele, deoarece două drepte care se intersectează BB 1 și B 1 C 1 ale unei fețe sunt paralele cu două drepte care se intersectează AA 1 și A 1 D 1 ale celălalt. Aceste fețe sunt egale, deoarece B 1 C 1 \u003d A 1 D 1, B 1 B \u003d A 1 A (ca părți opuse paralelograme) și ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorema. În orice paralelipiped, toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și sunt împărțite în jumătate în el.

Luați (fig.) într-un paralelipiped oricare două diagonale, de exemplu, AC 1 și DB 1, și trasați linii drepte AB 1 și DC 1.

Deoarece muchiile AD și B 1 C 1 sunt egale și, respectiv, paralele cu muchia BC, ele sunt egale și paralele între ele.

Ca urmare, figura ADC 1 B 1 este un paralelogram în care C 1 A și DB 1 sunt diagonale, iar în paralelogram diagonalele se intersectează pe jumătate.

Această demonstrație poate fi repetată la fiecare două diagonale.

Prin urmare, diagonala AC 1 se intersectează cu BD 1 în jumătate, diagonala BD 1 cu A 1 C în jumătate.

Astfel, toate diagonalele se intersectează în jumătate și, prin urmare, într-un punct.

Teorema. Într-un cuboid, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Fie (fig.) AC 1 o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic.

După desenarea AC, obținem două triunghiuri: AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare.

prima pentru că cutia este dreaptă și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază,

a doua este pentru că paralelipipedul este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că are un dreptunghi la bază.

Din aceste triunghiuri găsim:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Consecinţă. Într-un cuboid, toate diagonalele sunt egale.

cuboid

Un cuboid este un cuboid drept în care toate fețele sunt dreptunghiuri.

Este suficient să privim în jurul nostru, și vom vedea că obiectele din jurul nostru au o formă asemănătoare unui paralelipiped. Ele pot diferi ca culoare, au o mulțime de detalii suplimentare, dar dacă aceste subtilități sunt aruncate, atunci putem spune că, de exemplu, un dulap, o cutie etc., au aproximativ aceeași formă.

Dăm peste conceptul de paralelipiped dreptunghiular aproape în fiecare zi! Uită-te în jur și spune-mi unde vezi cutii dreptunghiulare? Uită-te la carte, pentru că este o astfel de formă! O cărămidă, o cutie de chibrituri, un bloc de lemn au aceeași formă și chiar și acum ești în interiorul unui cuboid dreptunghiular, deoarece sala de clasă este cea mai strălucitoare interpretare a acestui lucru. figură geometrică.

Sarcina: Ce exemple de paralelipiped poți numi?

Să aruncăm o privire mai atentă la cuboid. Și ce vedem?

În primul rând, vedem că această figură este formată din șase dreptunghiuri, care sunt fețele unui cuboid;

În al doilea rând, cuboidul are opt vârfuri și douăsprezece muchii. Marginile unui cuboid sunt laturile fețelor sale, iar vârfurile cuboidului sunt vârfurile fețelor.

Sarcina:

1. Cum se numește fiecare dintre fețele unui paralelipiped dreptunghic? 2. Datorită ce parametri se poate măsura un paralelogram? 3. Definiți fețele opuse.

Tipuri de paralelipipede

Dar paralelipipedele nu sunt doar dreptunghiulare, ci pot fi și drepte și înclinate, iar liniile drepte sunt la fel și sunt împărțite în dreptunghiulare, nedreptunghiulare și cuburi.

Sarcină: Privește imaginea și spune ce paralelipipede sunt afișate în ea. Cum este un cuboid diferit de un cub?

Proprietățile unui cuboid

Un paralelipiped dreptunghiular are o serie de proprietăți importante:

În primul rând, pătratul diagonalei acestei figuri geometrice este egal cu suma pătratelor celor trei parametri principali ai săi: înălțime, lățime și lungime.

În al doilea rând, toate cele patru diagonale ale sale sunt absolut identice.

În al treilea rând, dacă toți cei trei parametri ai paralelipipedului sunt aceiași, adică lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale, atunci un astfel de paralelipiped se numește cub și toate fețele sale vor fi egale cu același pătrat.

Sarcina

1. Un paralelipiped dreptunghiular are fețe egale? Dacă există, atunci arată-le în imagine. 2. Din ce forme geometrice constau fețele unui paralelipiped dreptunghic? 3. Care este aranjarea fețelor egale între ele? 4. Numiți numărul de perechi de fețe egale ale acestei figuri. 5. Găsiți muchiile din cuboid care indică lungimea, lățimea, înălțimea acestuia. Cati ai numarat?

O sarcină

Pentru a aranja frumos un cadou de ziua mamei ei, Tanya a luat o cutie in forma de paralelipiped dreptunghiular. Dimensiunea acestei cutii este de 25cm*35cm*45cm. Pentru a face acest pachet frumos, Tanya a decis să-l acopere cu hârtie frumoasă, al cărei cost este de 3 grivne pe 1 dm2. Câți bani trebuie să cheltuiți pe hârtie de împachetat?

Știați că celebrul iluzionist David Blaine, în cadrul unui experiment, a petrecut 44 de zile într-o cutie de sticlă suspendată deasupra Tamisei. Aceste 44 de zile nu a mâncat, ci a băut doar apă. În penitenciarul său voluntar, David a luat doar instrumente de scris, o pernă și o saltea și batiste.